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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Me´todos Determin´ısticos II 1o Semestre de 2017 Exerc´ıcios Programados 3 - Gabarito Questa˜o 1: Esboce o gra´fico das func¸o˜es a seguir atrave´s de translac¸o˜es e/ou reflexo˜es. Escreva a expressa˜o dessas func¸o˜es, quando poss´ıvel, como a composta de outras. (fac¸a os gra´ficos manualmente e verifique utilizando o software) a) y = 1− x2 d) y = (x− 4)2 + 3 b) y = 1x−4 e) y = 4− |x| c) y = √ x− 3 f) y = |x2 − 3x+ 2|. Soluc¸a˜o: a) O gra´fico da func¸a˜o y = 1− x2 e´ obtido a partir do gra´fico de y = x2 , refletindo-o em torno do eixo x e, a seguir, transladando uma unidade para cima. b)O gra´fico de y = 1x−4 e´ obtido transladando o gra´fico de y = 1 x quatro unidades para a direita. Figure 1: Gra´fico de y = 1− x2 Figure 2: Gra´fico de y = 1x−4 c) O gra´fico da func¸a˜o y = √ x− 3 e´ obtido transladando o gra´fico de y = √x treˆs unidades para a direita. d) O gra´fico de y = (x− 4)2 + 3 e´ obtido a partir do gra´fico da func¸a˜o y = x2, transladando-o quatro unidades para a direita e treˆs unidades para cima. e) O gra´fico da func¸a˜o y = 4 − |x| e´ obtido refletindo em torno do eixo x e transladando quatro unidades para cima o gra´fico de y = |x|. 1 Figure 3: Gra´fico de y = √ x− 3 Figure 4: Gra´fico de y = (x− 4)2 + 3 Figure 5: Gra´fico de y = 4− |x| Figure 6: Gra´fico de y = |x2 − 3x+ 2| f) O gra´fico de y = |x2 − 3x+ 2| e´ obtido refletindo a parte negativa de y = x2 − 3x+ 2 em torno do eixo x. Questa˜o 2: Determine o domı´nio das func¸o˜es a seguir: a) h(x) = 5x+4 x2+3x+2 d) g(t) = 11−et b) f(t) = √ t−1 3√t e) g(x) = ln(x 2 − 9) c) f(x) = √ 4− x2 f) h(x) = logx(x2 + 2x+ 5). Soluc¸a˜o: a) Por ser um quociente de func¸o˜es polinomiais, o domı´nio de h(x) = 5x+4 x2+3x+2 e´ o conjunto de todos os valores de x ∈ R que na˜o zeram o denominador x2 + 3x+ 2. Resolvendo a equac¸a˜o do 2o 2 grau obtemos x2+3x+2 = (x+1)(x+2). Portanto, o domı´nio de h(x) e´ {x ∈ R : x 6= −1 e x 6= −2} = (−∞,−2) ∪ (−2,−1) ∪ (−1,+∞). b) Primeiramente devemos observar que t − 1 ≥ 0 , isto e´, t ≥ 1. Por outro lado, o denominador da frac¸a˜o na˜o pode ser igual a zero. Assim, t 6= 0. Logo o domı´nio de f(t) e´ {t ∈ R : t ≥ 1}. c) Para determinar o domı´nio de f(x), precisamos encontrar os x ∈ R que tornam 4 − x2 ≥ 0, mas isso e´ equivalente a −2 ≤ x ≥ 2. Logo o domı´nio de f(x) e´ {x ∈ R : −2 ≤ x ≥ 2} = [−2, 2]. d) Precisamos que 1− et 6= 0⇔ et 6= 1⇔ t 6= 0. Logo D(g) = {t ∈ R : t 6= 0}. e) A condic¸a˜o para que possamos calcular g(x) = ln(x2 − 9) e´ que x2 − 9 > 0⇔ x < −3 ou x > 3. O D(g) = {x ∈ R : x < −3 ou x > 3}. f) O domı´nio de h(x) = logx(x 2 + 2x + 5), depende de x2 + 2x + 5 > 0, x > 0 e, ale´m disso, x 6= 1. Ao resolver a equac¸a˜o do 2o grau, x2 + 2x + 5 = 0, vemos que ela na˜o tem ra´ızes reais, e como o termo de segundo grau tem coeficiente positivo segue que x2 + 2x + 5 > 0 para todo x ∈ R, logo, D(h) = {x ∈ R : x > 0 e x 6= 1}. Questa˜o 3: Calcule os limites: a) lim x→2 2x2 + 1 x2 + 6x− 4 b) lim x→1 √ 5x2 − 4 (3x− 5)4 c) lim x→1 ( 1 + 3x 1 + 4x2 + 3x4 )3 d) lim x→5 x2 − 25 x− 5 e) lim x→4 x2 − 4x x2 − 3x− 4 f) lim x→2 −2x2 + 6x− 4 x− 2 g) lim x→−1 x3 − 2x2 − x+ 2 x+ 1 h) lim x→3 (x− 2)3 − 1 x− 3 Soluc¸a˜o: a) lim x→2 2x2 + 1 x2 + 6x− 4 = limx→2 2 · 22 + 1 22 + 6 · 2− 4 = 8 + 1 12 = 3 4 . b) lim x→1 √ 5x2 − 4 (3x− 5)4 = √ lim x→1 5x2 − 4 lim x→1 (3 · 1− 5)4 = √ 5 · 12 − 4 (3 · 1− 5)4 = √ 1 (−2)4 = 1 16 . 3 c) lim x→1 ( 1 + 3x 1 + 4x2 + 3x4 )3 = limx→1 1 + 3x lim x→1 1 + 4x2 + 3x4 3 = (4 8 )3 = 1 8 . d) Na˜o podemos aplicar o limite diretamente, pois o denominador se anula em x = 5. lim x→5 x2 − 25 x− 5 = limx→5 (x− 5)(x+ 5) x− 5 = limx→5x+ 5 = 10. e) Na˜o podemos aplicar o limite diretamente, pois o denominador se anula em x = 4. lim x→4 x2 − 4x x2 − 3x− 4 = limx→4 x(x− 4) (x+ 1)(x− 4) = limx→4 x (x+ 1) = 4 4 + 1 = 4 5 . f) Na˜o podemos aplicar o limite diretamente, pois o denominador se anula em x = 2. lim x→2 −2x2 + 6x− 4 x− 2 = limx→2 −2(x− 2)(x− 1) x− 2 = limx→2−2(x− 1) = −2. g) Na˜o podemos aplicar o limite diretamente, pois o denominador se anula em x = −1, lim x→−1 x3 − 2x2 − x+ 2 x+ 1 = lim x→−1 (x+ 1)(x2 − 3x+ 2) x+ 1 = lim x→−1 x2 − 3x+ 1 = 1 + 3 + 2 = 6. h) Na˜o podemos aplicar o limite diretamente, pois o denominador se anula em x = 3, lim x→3 (x− 2)3 − 1 x− 3 = limx→3 (x− 3)(x2 − 3x+ 3) x− 3 = limx→3x 2 − 3x+ 3 = 9− 9 + 3 = 3. Observe que (x− 2)3 − 1 = (x− 2)3 − 13 = (x− 2− 1)((x− 2)2 + (x− 2) · (1) + 12) = (x− 3)(x2 − 3x+ 3). Questa˜o 4: Considere as func¸o˜es f(x) = { x− 3 se x 6= 4 5 se x = 4 g(x) = { x2 − 9 se x 6= −3 4 se x = −3 . a. Determine lim x→4 f(x) e lim x→−3 g(x). b. Esboce os gra´ficos de f e g. c. Compare os limites obtidos no item a. com os valores das func¸o˜es nos pontos (x = 4 para f e x = −3 para g) e observe o que isso implica no comportamento do gra´fico das func¸o˜es. Soluc¸a˜o: a) Lembre que o limite esta´ associado ao comportamento da func¸a˜o na vizinhanc¸a do ponto e na˜o ao valor da func¸a˜o nesse ponto, a func¸a˜o, inclusive, pode na˜o estar definida nesse ponto. lim x→4 f(x) = lim x→4 x− 3 = 4− 3 = 1. lim x→−3 g(x) = lim x→−3 x2 − 9 = (−3)2 − 9 = 0. 4 Figure 7: Gra´fico de f(x) Figure 8: Gra´fico de g(x) b) c) Para a func¸a˜o f , lim x→4 f(x) = 1 ,entretanto, f(4) = 5. Observe, no gra´fico, que a func¸a˜o da´ um salto em x = 4. Da mesma forma, lim x→−3 g(x) 6= g(−3) = 4. No gra´fico da func¸a˜o g tambe´m podemos observar um salto em x = −3. Mais para frente veremos que func¸o˜es que apresentam este tipo de comportamento sa˜o chamadas de descont´ınuas. Questa˜o 5: E´ feita uma aplicac¸a˜o financeira, e o rendimento, em anos t, e´ dado por r(t) = 16t2−20t. 1. Encontre o rendimento me´dio para o per´ıodo de tempo que comec¸a quando t = 2 e dura: • 0, 5 ano; • 0, 1 ano; • 0, 05 ano; • 0, 001 ano. 2. Encontre o rendimento “instantaˆneo” quando t = 2. 3. O que acontece com o rendimento me´dio em relac¸a˜o ao rendimento instantaˆneo a` medida que a durac¸a˜o do intervalo no item 1 diminui? Soluc¸a˜o: 1. Para o intervalo de durac¸a˜o igual a 0, 5 temos: r(2, 5)− r(2) 2, 5− 2, 0 = (100− 50)− (64− 40) 0, 5 = 50− 24 0, 5 = 52 Para o intervalo de 0, 1 ano temos: r(2, 1)− r(2) 2, 1− 2, 0 = (70, 56− 42)− (64− 40) 0, 1 = 28, 56− 24 0, 1 = 45, 6. 5 Ja´ para o intervalo de 0, 05 ano temos: r(2, 05)− r(2) 2, 05− 2, 0 = (67, 24− 42)− (64− 40) 0, 05 = 26, 24− 24 0, 05 = 44, 8. E, por fim, para 0, 001 ano temos: r(2, 001)− r(2) 2, 001− 2, 0 = (64, 064016− 40, 02)− (64− 40) 0, 001 = 24, 044016− 24 0, 001 = 44, 016. 2. Calculando lim x→2 r(t)− r(2) t− 2 = limx→2 (16t2 − 20t)− 24 t− 2 = limx→2 (16t+ 12)(t− 2) t− 2 = limx→2 16t+ 12 = 44. 3. O rendimento me´dio esta´ se aproximando do rendimento instantaˆneo a` medida que a durac¸a˜o do intervalo diminui. Questa˜o 6: Para a func¸a˜o f cujo gra´fico e´ dado, determine o valor de cada limite pedido, se ele existir. Caso na˜o exista, explique o por que. a) lim x→0 f(x) d) lim x→3 f(x) b) lim x→3− f(x) e) f(3) c) lim x→3+ f(x) Soluc¸a˜o: a) lim x→0 f(x) = 0 d) f(x) na˜o admite limite quando x→ 3 b) lim x→3− f(x) = 4 e) f(3) = 3. c) lim x→3+ f(x) = 2 Questa˜o 7: Esboce o gra´fico de um exemplo de func¸a˜o f que satisfac¸a a`s seguintes condic¸o˜es: 6 a) lim x→0+f(x) = −1 d) lim x→2− f(x) = 1 b) lim x→0− f(x) = 1 e) f(0) na˜o esta definida. c) lim x→2+ f(x) = 0 f) f(2) = 1. Soluc¸a˜o: Existem infinitas soluc¸o˜es. A` baixo apresentamos uma soluc¸a˜o que satisfaz todas as condic¸o˜es de a ate´ f. Questa˜o 8: Calcule os limites: a) lim x→0 √ x+ 4− 2 x b) lim x→−2 x3 − x2 − 4x+ 4 x2 + 2x c) lim x→0 √ x+ 2−√2 x d) lim x→−4 1 4 + 1 x x+ 4 e) lim x→1 √ x− x2 1−√x f) lim x→3 2x3 − 12x2 + 10x+ 24 x2 − x− 6 Soluc¸a˜o: a) lim x→0 √ x+ 4− 2 x = lim x→0 (√ x+ 4− 2 x )(√ x+ 4 + 2√ x+ 4 + 2 ) = lim x→0 x+ 4− 4 x( √ x+ 4 + 2) = lim x→0 1 ( √ x+ 4 + 2) = 1 4 . 7 b) Queremos calcular lim x→−2 x3 − x2 − 4x+ 4 x2 + 2x . Observe que tanto o numerador quanto o denominador da˜o 0 quando x = −2, por isso podemos dividir os dois por x−(−2) = x+2 e obtemos x3−x2−4x+4 = (x+ 2)(x2 − 3x+ 2) e x2 + 2x = x(x+ 2) e da´ı lim x→−2 x3 − x2 − 4x+ 4 x2 + 2x = lim x→−2 (x+ 2)(x2 − 3x+ 2) x(x+ 2) = lim x→−2 (x2 − 3x+ 2) x = 12 −2 = −6. c) lim x→0 √ x+ 2−√2 x = lim x→0 (√ x+ 2−√2 x )(√ x+ 2 + √ 2√ x+ 2 + √ 2 ) = lim x→0 (x+ 2)− 2 x( √ x+ 2 + √ 2) = lim x→0 1√ x+ 2 + √ 2 = 1 2 √ 2 . d) lim x→−4 1 4 + 1 x x+ 4 = lim x→−4 x+4 4x x+ 4 = lim x→−4 x+ 4 4x 1 x+ 4 = lim x→−4 1 4x = − 1 16 . e) lim x→1 √ x− x2 1−√x = limx→1 (√ x− x2 1−√x )( 1 + √ x 1 + √ x ) = lim x→1 ( √ x− x2)(1 +√x) 1− x = lim x→1 √ x− x2 + x− x2√x 1− x = limx→1 √ x(1− x2) + x(1− x) 1− x = lim x→1 √ x(1− x)(1 + x) + x(1− x) 1− x = limx→1 √ x(1 + x) + x = 1(2) + 1 = 3 f) Observe que tanto o nu´merador como o denominador de 2x 3−12x2+10x+24 x2−x−6 da˜o zero quando x = 3, enta˜o podemos dividir ambos por x − 3 e obtemos 2x3 − 12x2 + 10x + 24 = (x − 3)(2x2 − 6x − 8) e x2 − x− 6 = (x− 3)(x+ 2) e temos lim x→3 2x3 − 12x2 + 10x+ 24 x2 − x− 6 = limx→3 (x− 3)(2x2 − 6x− 8) (x− 3)(x+ 2) = limx→3 2x2 − 6x− 8 x+ 2 = −8 5 . Questa˜o 9: Sejam g e h duas func¸o˜es reais. Sabendo que lim x→a 2g(x)− h(x) 5 = 2 e lim x→ah(x) = 4, determine lim x→a 1 g(x) . Soluc¸a˜o: Inicialmente observe que 2 = lim x→a 2g(x)− h(x) 5 = lim x→a(2g(x)− h(x)) lim x→a 5 = 2 lim x→a g(x)− limx→ah(x) 5 = 2 lim x→a g(x)− 4 5 8 e temos que 2 lim x→a g(x)− 4 = 10⇔ 2 limx→a g(x) = 14⇔ 1 lim x→a g(x) = 1 7 ⇔ lim x→a 1 g(x) = 1 7 . Questa˜o 10: Seja h(x) = { 4− x2 se x ≤ 1 2 + x2 se x > 1 . Determine os seguintes limites: (para melhor compreender fac¸a o gra´fico de h(x)). a) lim x→1− h(x) b) lim x→1+ h(x) c) lim x→1 h(x) Soluc¸a˜o: Nessa questa˜o devemos prestar atenc¸a˜o para qual expressa˜o devemos usar em cada um dos limites. Enta˜o a) fica lim x→1− h(x) = lim x→1− 4− x2 = 3 e b) lim x→1+ h(x) = lim x→1+ 2 + x2 = 3. Ja´ que os dois limites laterais sa˜o iguais temos que em c) limx→1 h(x) = 3. Questa˜o 11: Seja f : R→ R definda por f(x) = x+ 5 se x < −3√ 9− x2 se −3 ≤ x ≤ 3 3− x se x > 3 . Determine (fac¸a o gra´fico de f): a) lim x→−3− f(x) d) lim x→3− f(x) b) lim x→−3+ f(x) e) lim x→3+ f(x) c) lim x→−3 f(x) f) lim x→3 f(x). Soluc¸a˜o: 9 a) lim x→−3− f(x) = lim x→−3− x+ 5 = 2 d) lim x→3− f(x) = lim x→3− √ 9− x2 = 0 b) lim x→−3+ f(x) = lim x→−3+ √ 9− x2 = 0 e) lim x→3+ f(x) = lim x→3+ 3− x = 0 c) O lim x→−3 f(x) na˜o existe ja´ que lim x→−3− f(x) 6= lim x→−3+ f(x) f) lim x→3 f(x) = 0. 10
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