Algebra_P1_manha_GABARITO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
 
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
 
 
 
 
1º Avaliação – Álgebra Linear (ECT1211) – 2013.2 
GABARITO (Turma 01) Data: 27 / 08 / 2013 
���� (2,0 pontos) Considere o sistema de equações lineares e responda: 





=−−
=−+−
=+−−
12
0
123
cda
dcab
acb
 
a) Qual a forma matricial? 
b) Qual a matriz escalonada? 
c) Qual a solução do sistema? 
d) O conjunto (x=1,y=1,z=0,w=1) é solução do sistema? 
RESPOSTA 
a) A forma matricial é AX=B, logo: 










=






















−−
−−
−−
1
0
1
1201
1111
0312
d
c
b
a
 
b) Para iniciar o escalonamento é necessário obter a matriz ampliada: 
[ ]










−−
−−
−−
==
1
0
1
 
1201
1111
0312
| BAAa
 
Processo de eliminação gaussiana: 










−−
−−
−−
+=
−=
1
1
0
 
LLL
LLL
1201
2110
1111
322
311
 










−−
−−
−−
−=
1
1
0
 LLL
2110
2110
1111
133
 
Duas linhas iguais: informação redundante 










−−
−−
0
1
0
 
0000
2110
1111
 
Matriz escalonada por linhas 
 
 
 
 
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









−−
−−
+=
0
1
1
 L2L1L1
0000
2110
1201
 
Matriz escalonada reduzida por linhas 
c) Analisando o posto das matrizes dos coeficientes e da matriz aumentada 
temos: 
Pc=2, Pa=2 e nº incógnitas=4 
Logo, o sistema é Possível Indeterminado, uma vez que Pc=Pa≠n 
Retornando para o sistema matricial patra escrevera solução temos: 
AX=B 
 
 



=−−
=−−
12
12
dcb
dca
 
Como temos quatro incógnitas e duas equações, devemos ter duas variáveis livres. 
Escolhendo c e d temos: 



++=
++=
dcb
dca
21
21
, logo 
ℜ∈












+












+












=












++
++
=












dc, ,
0
0
1
1
1
0
2
1
0
1
1
2
21
21
dc
d
c
dc
dc
d
c
b
a
 
d) Substituindo o vetor (1,1,0,1) no sistema de equações temos: 





=−−
=−+−
=+−−
12
0
123
cda
dcab
acb
 → 





=−−
−=−+−
=+−−
00.211
11011
11.20.31
 
 Como as equações não batem ao substituirmos os valores, então o vetor não 
pertence à solução do sistema. 
 
 
 
 
 
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���� (2,0 pontos)
 
Considere a matriz A4x4 e que o termo geral da matriz inversa de A seja 
[ ]



≥−
<−
=
−
ji seji
ji sei
aij
21
, responda: 
 
a) Qual o determinante de A? 
b) Após aplicar as operações elementares (L1 = L1 – 2L3; L4 = L4 – L1; L4 = –3L4; L2 = 
3L2 + 2L1; L3 ⇔ L4; L3 = L3 + L1; L1 ⇔ L4; L2 = –L2) a matriz A apresenta inversa? 
c) Qual o determinante de ( )21 22 AAA t−− ? 
d) Qual a matriz Adjunta de A? 
RESPOSTA 
a) Matriz A: 
[ ]



≥−
<−
=
−
ji seji
ji sei
aij
21
 → 











 −−−
=
−
0123
1012
0001
1110
1A
 
 
Encontrando o determinante de A-1: 
(escolhendo a linha 2) 
2424232322222121
1)det( cacacacaA +++=− 
2423222121
1
.0.0.0)det( ccccaA +++=− 
Como 
)det()1( ijjiij Ac +−= , então 
012
101
111
)1.(1)det( 1221211
−−−
−==
+−
caA 
Escolhendo a linha 2: 
12
11)1(1
01
11)1(1
012
101
111
3212
232322222121
−−
−+
−−
−=++=
−−−
++
cbcbcb 
211
012
101
111
−=−−=
−−−
 
Substituindo: 
2)2()1.(1)det( 1221211 =−−== +− caA , logo 
2
1
)det(
1)det( 1 == −AA 
 
 
i < j 
i ≥≥≥≥ j 
 
 
 
 
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b) A matriz A apresenta inversa por ter determinante diferente de zero. As 
operações elementares alteram o determinante modificando o sinal ou 
multiplicando por constantes diferentes de zero (senão não seria uma operação 
elementar). Logo, as operações elementares nunca poderiam “zerar” o 
determinante, continuando, portanto, a serem não singulares todas as matrizes 
equivalentes a A. 
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AAAAAAAAAA tt det.det.det)4(det
1det.4det.det22det 42121 −=−=− −−
 
( ) ( ) 48
2
1)4(det)4(22det
2
42421
=





−=−=−
− AAAA t 
d) Como 











 −−−
=
−
0123
1012
0001
1110
1A
 , ( )
2
1det =A e ( ) )(det
11 AAdj
A
A =− , 
então: ( ) 1.det)( −= AAAAdj 
















−−−
=











 −−−
=
02
112
3
2
102
11
0002
1
2
1
2
1
2
10
0123
1012
0001
1110
2
1)(AAdj
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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���� (2,0 pontos) Ao descontar um cheque, recebi somente cédulas de R$10,00 e 
R$50,00 em um total de 14 notas. Quando fui conferir, descobri que o caixa havia se 
enganado, pois recebi tantas notas de R$50,00 quanto as de R$10,00 que deveria ter 
recebido e vice-versa. Percebido o erro, verifiquei que, se gastasse R$240,00 da 
importância recebida, ainda ficaria com o valor do meu cheque. 
 
Considere como variáveis: 
d - a quantidade de cédula de R$10,00 
c - a quantidade de cédula de R$50,00 
x – o valor total do cheque 
 
a) Escreva o sistema de equações lineares. 
b) Qual o valor do cheque? 
 
RESPOSTA 
 
d = número de cédulas de dez 
c = número de cédulas de cinquenta 
x = valor total do cheque 
 
d + c = 14 notas 
 
Para descontar o cheque corretamente teríamos: 
10.d + 50.c = x 
Porém, o caixa trocou as quantidades e isso resultou em R$240,00 a mais: 
50.d + 10.c = 240 + x 
 
a) 




=−+
=−+
=+
2405010
01050
14
xdc
xdc
dc
 
b) Para resolver o sistema linear: 
Da primeira equação temos: c=14-d 
Substituindo nas demais: 
( )
( ) 

=−+
=−−
→



=−+−
=−+−
24040140
040700
240501410
0101450
xd
xd
xdd
xdd
 
Somando as duas equações: 
2402840 =− x
 
00,300$Rx =
 
 
 
 
 
 
 
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���� (2,0 pontos) Se 










⊗⊗
−⊗⊗
⊗⊗
=
0
1
1
A , onde ⊗ é um número desconhecido, e 










−
−−=
020
111
111
)(AAdj , encontre: 
 
a) O determinante de A 
b) A-1 
c) A 
d) A2 
 
 
 
 
RESPOSTA 
a) O determinante é dado por ∑
=
=
n
i
ijijcaA
1
)det( , onde cij é o cofator. 
Como conhecemos a matriz adjunta, então conhecemos também a matriz dos 
cofatores: 
tAAdjACof )()( =
 










−−
−
=
011
211
011
)(ACof 
Como conhecemos a coluna 3 da matriz A, então vamos escolhê-la: 
J=3 
3333232313133
1
33)det( cacacacaA
i
ii ++== ∑
=
 
 
Substituindo:
 
 
20.0)2).(1(0.1)det( =+−−+=A 
 
b) Para encontrar a inversa de A, temos que: 
)(
det
11 AAdj
A
A =− 












−
−−=










−
−−=
−
010
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
020
111
111
2
11A
 
 
 
 
 
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c) Como ( ) AA =−− 11 então devemos inverter a inversa de A para conhecermos 
a matriz A: 












−
−−=
−
010
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1A
 
Usando as operações elementares e a matriz identidade I: 
 [ ] [ ]( )AIIA ~1− 
 
[ ]












−
−−=
−
100
010
001
 
010
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 IA
 
Escalonando: 










−
+=
100
011
001
 
010
100
2
1
2
1
2
1
 122 LLL
 










−⇔
011
100
001
 
100
010
2
1
2
1
2
1
 21 LL
 










−=
=
011
1-00
002
 
100
010
111
 
22
121
LL
LL
 










−=
011
1-00
102
 
100
010
101
 211 LLL
 
[ ]AILLL ~
011
1-00
11-1
 
100
010
001
 311










−=
 
 
 
 
 
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









=
011
1-00
11-1
A
 
 
d) 










−
−−=




















==
011
011
202
011
1-00
11-1
.
011
1-00
11-1
.
2 AAA