Noções de cálculo vetorial e tensorial 

Prévia do material em texto

1 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Noções de cálculo vetorial e tensorial 
 Variáveis escalares, vetoriais e tensoriais 
Os meios contínuos  (sólidos,  líquidos, gases)  (MC) ocupam parte do espaço  físico,  isto é os MCs ocupam 
um  certo  domínio    que  pode  ser  um  volume,  uma  superfície  ou  uma  linha  e  que  são  domínios 
respectivamente a 3, 2 e 1 dimensão (3D, 2D, 1D), ou seja estão contidos em R3, R2 ou R respectivamente. 
Assim a sua caracterização ponto a ponto é representada por uma função real de variável real f:   Rp 
onde RP  é o contradomínio real a p dimensões. Chama‐se a esta função um campo real de variável real.  
A cada ponto P do meio contínuo corresponde uma partícula de meio contínuo que é em si um sistema 
caracterizado por várias grandezas físicas tais como a pressão p, a temperatura T (escalares) , a velocidade 
v  (vetor), o tensor das tensões  ˆ  (tensor de 2ª ordem), que irá ser explicado mais tarde. Os escalares são 
caracterizados por um número  real, os  vetores  são  caracterizados por: ponto de  aplicação  (no  caso de 
vetores  aplicados  contrariamente  a  vetores  livres),  direcção,  sentido  e  módulo  (amplitude  ou 
comprimento). Os tensores são generalizações dos vetores. Os tensores de 2ª ordem podem ser encarados 
como um agrupamento de p vetores de dimensão p. 
Vetores 
Um vetor no espaço vetorial Rn pode ser representado pela seguinte combinação linear. 
1
n
i i
i
v v e

       
onde  1 2, ,..., ne e e   constituem uma base (conjunto de n vetores linearmente independentes).  
Consideremos o caso mais simples em que  1 2, ,..., ne e e    são normados  (vetores de norma unitária ou seja 
versores) e ortogonais entre si. Os versores constituem assim uma base ortonormada (bon): 
0,
1,i j
se i j
e e
se i j
   
   onde    representa o produto interno. A norma quadrática vem: 
2 1ie     
Neste caso (de uma bon), as componentes do vetor  v  exprimem‐se de forma mais simples: 
( 1,..., )i iv v e i n       
Dem.  
Consideremos 
1
n
j j
j
v v e

  e  tomemos o produto  interno com ie . Graças à ortogonalidade e normalidade, 
Obtem‐se assim cada componente na forma: 
2 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
     
1
0
n n
i j i j j i j i i i i i
j j i
v e v e e v e e v e e v v
 
                   
qed (quod erat demonstrandum)  cqd (como queriamos demonstrar)  
A noção de expansão de um vetor numa bon pode generalizar‐se para funções, isto é funções podem ser 
expressas  como  combinações  lineares de  funções de norma unitária e ortogonais entre  si. Este  tema é 
assunto da Análise Funcional. 
Tensores de 2ª ordem 
Os escalares não têm componentes (zero componentes), são por isso tensores de ordem zero. Os vetores 
são expressos por  componentes que  fazem percorrer um  índice,  são por  isso  tensores de ordem 1. Os 
tensores de 2ª ordem são expressos em termos de componentes caracterizadas por de 2 índices i,j=1,…,n. 
Da mesma forma que para os vetores, um tensor  Aˆ (usou‐se o acento circunflexo sobre A para diferenciar 
do símbolo  de vetor), é representado na forma: 
, 1
ˆ
n
ij i j
i j
A A e e

       onde Aij é a (i,j)‐ésima componente que multiplica a díada  i je e   
A díada é obtida pelo produto exterior de  ie por  je  ou  seja  i j i je e e e     .A díada é  simplesmente  visto 
como a associação de 2 versores  
O produto exterior é não comutativo isto é:  i j j ie e e e    . O produto exterior de 2 versores pertence a  2( )n , 
desse modo a operação binária de produto exterior é não  fechada,  isto é o produto exterior produz um 
resultado que não está no mesmo espaço dos vetores isto é Rn, por isso o produto se diz exterior.  
Um tensor de 2ª ordem é formalmente representado por uma matriz quadrada de n2=nxn componentes.  
   
3 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Noção intuitiva de tensor de 2ª ordem 
Um tensor de 2ª ordem é representado por n vetores de n componentes ou seja, pertencentes a Rn. Para 
exemplificar consideremos n=3. 
 11 12 1321 22 23 1 2 3
31 32 33
ˆ
A A A
A A A A a a a
A A A
      
  
onde os vetores coluna 
1
2
3
( 1, 2,3)
i
i i
i
A
a A i
A
      

formam a matriz associada A. 
Os tensores de 2ª ordem são úteis para representar grandezas  físicas que dependem da orientação. Por 
exemplo  a  temperatura num ponto P não depende da orientação do  termómetro e por  isso não é um 
vetor.  Já por exemplo a  resistência eléctrica de um material depende da orientação do  fluxo de  cargas 
eléctricas. A caracterização completa da resistência eléctrica é dada pelo tensor de resistividade.  
Considerarmos um ponto P num meio contínuo em torno do qual está centrado um cubo infinitesimal. Este 
cubo tem 3 pares de faces opostas entre si (ver figura) e ortogonais a cada versor  1 2 3, ,e e e   da bon. Assim 
a  face de  cima é ortogonal a  1e , a  face da direita é ortogonal a  2e e a  face de  cima é ortogonal a  3e . 
Generalizando para um hipercubo em R4, teríamos 4 pares de hiperfaces opostas (cubos em R3), ortogonais 
aos 4 versores da base.  
 
Tem‐se assim n=3  faces, cada uma correspondente a um versor  ie da bon. Sobre cada  face é aplicado o 
vetor  ia correspondente.  
Tensor Delta de Kronecker  ˆ  
O tensor  ˆ  é um tensor de 2ª ordem que corresponde à matriz identidade de nxn componentes, isto é: 
0,ˆ
1ij
se i j
se i j
     
Formalmente tem‐se: 
1 0 ....0
0 1 ....0ˆ
.
0 0 ..... 1

       
 
4 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Transposto de tensor de 2ª ordem 
(Para simplificar a notação eliminemos o símbolo ^ de tensor a menos que seja extritamente necessário) 
Definição:  Seja  A  um  tensor  de  2ª  ordem  expresso  em  termos  de  díadas  numa  bon.  Define‐se  o  seu 
transposto AT  a partir da definição operacional:  ( , 1,... )Tij jiA A i j n  , ou  a partir da  troca de  índices. O 
transposto de um tensor é representado pela matriz transposta.  
Tensor de 2ª ordem simétrico e anti‐simétrico 
Um tensor de 2ª ordem A é simétrico se AT=A ou seja Aij=Aji (tal exige que a matriz triangular inferior iguale 
a matriz triangular superior) 
Um tensor de 2ª ordem A é anti‐simétrico se AT=‐A ou seja Aij=‐Aji (tal exige que os elementos da diagonal 
sejam nulos e que a matriz triangular inferior seja simétrica da matriz triangular superior). 
Teorema: Para qualquer  tensor de 2ª ordem A  tem‐se a decomposição única numa  soma de um  tensor 
simétrico com um tensor anti‐simétrico: 
 
 
1 parte simétrica
2
1 parte anti-simétrica
2
T
s
s a
T
s
A A A
A A A onde
A A A
      
 
Exemplo: 
1 4 8 1 2 6
2 6 10 ; 4 6 4 ;
6 4 2 8 10 2
1 3 1 0 1 7
3 6 7 ; 1 0 3
1 7 2 7 3 0
T
s a
A A
A A
                     
                     
Vetor axial associado a um tensor de 2ª ordem em R3 
Seja A um tensor anti‐simétrico de ordem 2 e dimensão 3. A é representado por 32=9 componentes das 
quais apenas 3 são não triviais, ou seja o tensor fica totalmente caracterizado por 3 componentes que são 
também as componentes do vetor axial associado a. escreve‐se então:  ˆa ax A  
Assim A e a representam formalmente o mesmo objecto matemático. A componente ai (i=1,2,3) do vetor 
associado é dada por: 
i jka A  
5 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
onde  i,j,k constituem uma permutação cíclica da  sequência  (1,2,3). Uma permutação cíclica é obtida do 
seguinte  modo.  Imagine‐se  que  (1,2,3)  estão  dispostos  regularmenteao  longo  de  uma  circunferência. 
Imagine‐se que os  índices rodam todos de uma posição no mesmo sentido  (empurram‐se todos de uma 
posição  no  mesmo  sentido).  Tal  é  uma  permutação  cíclica  simples.  Uma  permutação  cíclica  é  uma 
sequência de permutações cíclicas simples. Assim as permutações cíclicas de (1,2,3) são: (3,1,2) e (2,3,1) tal 
como indicado na figura anexa. 
 
Assim tem‐se então:  1 2,3 3,2 2 3,1 1,3 3 1,2 2,1; ;a A A a A A a A A         . O tensor A e o seu vetor axial a 
ficam então arranjados na forma: 
3 2 1
3 1 2
32 1
0
0 ;
0
a a a
A a a a a
aa a
                
  
Onde se assume que a é um vetor coluna.  
Tensor de 3ª ordem e superiores 
Um tensor de 3ª ordem necessita de 3 índices para ser explicitado. Por exemplo: 
, , 1
n
ijk i j k
i j k
C C e e e

     onde C é representado por uma combinação  linear de  tríadas  (produto exterior de um 
versor  por  uma  díada  ou  entre  3  versores).  Um  tensor  de  ordem  p  necessita  de  p  índices  sendo 
representado por uma combinação  linear de p‐tuplos  (produtos exteriores de p versores). Um tensor de 
ordem p e dimensão n é um objeto pertencente a  ( )pn ou seja tem np componentes. 
Produto exterior de dois tensores 
Seja C e D tensores de ordem a e b respectivamente. Assim numa bon têm‐se as expansões: 
1 1 1 1
1 1
... ...
,..., ,...,
... ; ...
a a b b
a b
n n
i i i i j j j j
i i j j
C C e e D D e e       
6 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
O produto de C por D é um  tensor de ordem a+b e cujas componentes são  todos os possíveis produtos 
(entre escalares) das componentes de C pelas componentes de D. Assim o respectivo produto exterior vem 
dado por:  
1 1 1 1
1 1
... ...
,..., ,...,
... ...
a b a b
a a
n n
i i j j i i j j
i i j j
E C D CD C D e e e e          . 
Em termos de componentes tem‐se: 
 
... ... 1 11 1 ... ...1 1
... ...i i j j a ba b i i j ja b
i i j jE CD C D  . 
O produto exterior aplica RaRb em R(a+b). O produto exterior é não comutativo ou seja CDDC visto que o 
arranjo dos índices em CD é diferente do arranjo dos índices em DC. 
Exemplo 1 
Produto exterior de 2 vetores (tensores de ordem 1): 
       ;ij i j ij i jij ij ij ijE a b ab a b F b a ba ba               
É trivial verificar que o transposto de ab é ba .  
O vetor axial associado à parte anti‐simétrica do tensor  ab é o produto externo de  a por b . Em termos de 
notação tem‐se: 
   2
a
a b ax ab ba ax ab        
        
A demonstração é  fácil de obter. De  facto a componente  ( , ) ( , )( ) ( ) 2 ( )k i j i j i j a i ja b a b b a ab ba ab     
  
onde  (i,j,k)  é  uma  permutação  cíclica  de  (1,2,3)  tendo  os  valores  possíveis  de  (i=1,j=2,k=3);    (i=2,j=3,k=1);   
(i=3,j=1,k=3). 
Exemplo 2 
Produto exterior de vetor a por tensor de 2ª ordem B: 
   ˆ ˆijk i jkijk ijkE a B aB a B      
Produto interior ou contraído de dois tensores 
Seja  C  e  D  tensores  de  ordem  a  e  b  respectivamente.  O  produto  exterior  CD  é  dado  por:
 
1 1... ...1 1
... ...a bi i j ja b
i i j jCD C D . O produto exterior é um tensor de ordem a+b ou seja recorre a a+b índices. 
O produto  interior  recorre à noção de contracção de  índices. Escolhe‐se assim um par de  índices. Estes 
7 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
podem pertencer ambos a C ou a D ou ser um deles de C e o outro de D. Depois toma‐se a soma ao longo 
de  todos  os  valores  possíveis  dos  índices  contraídos  ou  repetidos  ou  seja  para  os  valores 
1,2,…,N=dimensão do espaço. Chama‐se a essa operação de contracção de índices, uma vez que o objecto 
final será um tensor com uma ordem subtraída de 2 por cada contracção. Por cada escolha de par tem‐se 
um possível produto interior. Se os índices contraídos forem adjacentes (último de C com primeiro de D), 
então  o  produto  interior  diz‐se  produto  interno  e  representa‐se  por  C D .  Deste  modo  é  possível 
generalizar a noção de produto interno para objectos para lá de vetores. Podem executar‐se mais de uma 
contracção de índices. A ordem tensorial do produto interior de C por D com r contracções é a+b‐2r. 
Vamos dar exemplos de produtos interiores entre um vetor c (tensor de 1ª ordem, a=1) por uma matriz D 
(tensor  de  2ª  ordem,  b=2).  Existem  3  possíveis  produtos  interiores  com  uma  contracção.  Todos  esses 
produtos interiores tem ordem a+b‐2r=1+2‐2x1=1 ou seja o resultado final é um vetor (tensor com um só 
índice). Assim: 
   
   
 
1
1
1
( 1º 1º )
( 1º 2º )
( ) ( 1º 2º )
n
T
i ij jj j
i
n
T
i ji jjj
i
n
j ii j jj
i
c D c D D c w contracção do índice dec com o índice de D
c D c D D c u contracção do índice dec com o índice de D
c D cTr D v c contracção do índice deD com o índice de D



    
    
  



 
onde  Tr(B)  é  o  traço  de  B  ou  seja  o  somatório  das  componentes  da  diagonal  da matriz  B. O  produto 
algébrico de uma matriz B por um vetor a é um produto interior. Na notação algébrica, a representação DC 
do produto de matriz D por vetor c, representa na notação tensorial o produto  interior  D c . A álgebra 
tensorial  permite  representar  objectos mais  ricos  que  a  álgebra  de matrizes  e  vetores. Mostremos  um 
exemplo com 2 contracções.  
 
, 1
( : 1º . 1º 2º 2º )
n
T
ij ij
i j
C D C D contracções índ deC com deDe de C com de D

    
O produto contraído tem 2+2‐2x2=0 índices ou seja trata‐se de um escalar. 
Convenção de Einstein (CE) ou dos índices mudos 
Sempre que há contracção de  índices há que representar o símbolo de somatório que está  implícito. Ora 
Einstein  inventou uma convenção que omite o símbolo de somatório economizando assim a escrita. Essa 
convenção diz: Sempre que haja índices representados pela mesma letra (ex. i), admite‐se (a menos que se 
diga  o  contrário)  que  esses  índices  contraiem  tomando‐se  portanto  o  somatório  para  todos  os  valores 
possíveis desses índices (de 1 a n). O símbolo de somatório é omitido uma vez que é redundante quando se 
admite a convenção de Einstein. 
Exemplo 1       
1 1
n n
i ij p pj i ij p pj
i p
a B a B a B a B
 
     
8 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Na expressão anterior, i e p são índices mudos uma vez que estes são índices de somatório enquanto que j 
é um índice fixo.  
Exemplo 2         
1
n
ip ij ip ij pj
i
A B A B C

   
Neste caso i é índice mudo, (p,j) são índices fixos. 
Exemplo 3           
1 1
n n
i ii p pp i ii p pp
i p
a B a B a B a B
 
     
i ou p constituem um índice mudo. 
 
Aniquilação do tensor Delta de Kronecker 
Quando  se  toma  o  produto  interior  de  um  tensor  A  com  o  tensor  Delta  de  Kronecker  ,  este  deve 
desaparecer sendo o índice contraído de A, substituído pelo índice de  que não contrai. Por exemplo: 
;ip pq iq ijk jq kq iqk kq iqq ikkA A T T T T        
Produto interno entre dois vetores 
O  produto  interno  de  a por  b é  dado  por  i ia b ab 

(somatório  dos  produtos  das  componentes duma 
bon). Este é o chamado produto interno canónico ou cartesiano. Tal permite definir a norma, comprimento 
ou amplitude de um vetor na  forma:  i ia a a a a     . O ângulo entre dois vetores pode  igualmente 
ser obtido através do seu co‐seno:     cos , 1,1a ba b
a b
  
  . 
Outros produtos interiores  
Seja a um vetor e T, R tensores de 2ª ordem em Rn. Um dos possíveis produtos interiores é  ˆ ˆa T R  . Este 
tensor contraídotem ordem p dada pela soma das ordens dos tensores (1+2+2), subtraída de duas vezes o 
número  de  contracções  (duas  neste  caso). Assim  p=1+2+2‐2x2=1,  tratando‐se  portanto  ˆ ˆa T R  de  um 
vetor. Assim, usando a convenção de Einstein, a sua i‐ésima componente é:  
 
1 1 1 1
ˆ ˆ
n n n n
j jp pi j jp pi s sk ki s sk ki k ks sii j p s k
a T R a T R a T R a T R a T R a T R
   
       
, 
onde há duas contracções de índices uma vez que há o par de índices j (ou s) e o par de índices p (ou k). Os 
índices  contraídos  são  mudos  e  podem  ser  representados  por  letras  diferentes,  desde  que  não  usem 
9 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
outras letras já usadas na expressão. Tome‐se atenção que quando há vários pares de índices contraídos se 
tem de usar uma letra diferente para cada um deles. Por exemplo  j jj jia T R refere‐se à soma correndo todos 
os valores de j. Esse produto contraído é diferente de  ˆ ˆa T R  .  
Duplos produtos interiores entre tensores de 2ª ordem 
Tem‐se os dois possíveis duplos produtos interiores entre tensores com a seguinte convenção de escrita: 
: ; : :T Tij ji ij ijT R T R T R T R T R T R      
No primeira expressão a contracção é executada nos  índices anti‐homólogos  (1º com 2º, 2º com1º); na 
segunda é executada nos índices homólogos (1º com 1º, 2º com 2º).  
Usando  essa  convenção  pode  exprimir‐se  o  traço  de  um  tensor  (soma  dos  elementos  da  diagonal)  na 
forma:  11( ) : ...ij ij ii nnTr R R R R R R R          .  Em  particular  o  traço  do  tensor  Delta  de 
Kronecker é Tr()=n=dimensão do espaço Rn.  
Tensor alternante ou de Levi‐Civita  
O  tensor de Levi‐Civita ou alternante é um  tensor de 3ª ordem  (p=3) em R3  (n=3). Podem  formalmente 
definir‐se generalizações do  tensor de Levi‐Civita com p=n  (ex.  tensor de 2ª ordem em R2,  tensor de 4ª 
ordem em R4). O tensor  tem a seguinte forma: 
1 ( , , ) (1,2,3)
1 ( , , ) (1,2,3)
0 2
( , , 1, 2,3)
ijk
se i j k são diferentes e constituem uma permutação par de
se i j k são diferentes e constituem uma permutação ímpar de
se ou mais índices são iguais
i j k

      
  
Definamos permutação par e ímpar. Admitamos que se tem n índices dispostos ciclicamente. Expliquemos 
o caso com n=5 na figura. Uma permutação simples consiste numa troca de  índices adjacentes. Assim P1 
resulta de uma permutação simples a partir de P0 e P2 resulta de duas permutações simples a partir de P0. 
É possível chegar a qualquer permutação  dos n índices através de permutações simples (troca de lugares 
adjacentes). Seja m() esse número, a permutação diz‐se par se m() é par e  ímpar se m é  ímpar, o que 
caracteriza a paridade da permutação. O valor de  (‐1)m()   é designado por   assinatura da permutação  
valendo 1 ou ‐1 conforme seja par ou ímpar. 
 
10 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Mostra‐se que as permutações cíclicas (todos os índices avançam de uma posição) são pares. No caso n=3, 
as permutações pares de (1,2,3) são: (1,2,3), (2,3,1) e (3,1,2), donde 1,2,3= 2,3,1= 3,2,1= 1. As permutações 
ímpares de  (1,2,3) são:  (2,1,3),  (1,3,2) e  (3,2,1) e portanto 2,1,3= 1,3,2= 3,2,1=  ‐1. Todas as outras 21=np‐
6=27‐6 componentes do tensor de Levi‐Civita são nulas.  
As propriedades do tensor de Levi‐Civita são as seguintes: 
1)   ijk jki kij ikj jik kji               isto é uma permutação par dos  índices deixa  invariante ; 
uma permutação ímpar produz o simétrico de . 
2) A contracção de 2 de qualquer dos seus 3 índices é nula ou seja  0iik kii iki     . Esta propriedade é 
trivial porque os termos da soma que está implícita na contracção são todos nulos. 
3) Regra  Épsilon‐Delta.  Trata‐se  de  uma  fórmula  que  exprime  o  produto  interior  de  dois  tensores 
alternantes com uma contracção. Tem‐se pois 2 índices mudos e 4 índices fixos: 
qrp stp pqr pst qpr spt qs rt qt rs              
O resultado é uma soma de produtos de Deltas de Kronecker. No primeiro produto de Deltas tem‐
se (q,s) e (r,t) ou sejam respectivamente os primeiros e os segundos índices de cada . No segundo 
produto  de  Deltas  tem‐se  (q,t)  e  (r,s)  ou  sejam  respectivamente  (o  primeiro  e  segundo)  e  (o 
segundo e o primeiro) índices de cada .  
O  tensor  alternante é muito  importante na definição de produto externo ou  vetorial entre  vetores, de 
produto misto e  triplo de vetores e ainda na definição de determinante de uma matriz ou  tensor de 2ª 
ordem.  
   
11 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Produto externo ou vetorial entre vetores 
Sejam 2 vetores  a e b

 de R3. O seu produto externo ou vetorial é uma operação binária fechada, isto é cujo 
resultado está também no espaço de partida (R3) e é representado por: a b  e que possui as seguintes 
propriedades: 
1) a b   é ortogonal (perpendicular) a  a  e b . 
2) Tem sentido dado pela regra do parafuso ou do saca‐rolhas (sentido que o parafuso de rosca direita executa 
ao progredir no sentido de  a (primeiro vetor do produto) para b

(segundo vetor do produto). Como 
consequência a b b a      . 
3) Módulo   sin ,a b a b a b        onde  é área do paralelogramo de arestas definidas por  a e b .  
 
Recorrendo ao tensor alternante , o produto externo é dado pelo produto interior de  com  a e b

com duas 
contracções de índices na forma: 
  ipq p qia b a b   
As propriedades 1 e 2 vêm triviais. Na verdade o produto de a b   com  a  é nulo sendo dado por: 
  (pela prop. 1 de ε)
(por i,pserem índices mudos)
(prop. comutativa da multiplicação)=0
(porquevem igual aosimétrico)
i ipq p q i piq p q ii
ipq i q p
ipq p q i
a b a a b a a b a
a b a
a b a
 


    
  
 

 
O produto externo de dois vetores pode ser obtido através da notação de determinante: 
     x y zx y z y z z y x z x x z y x y y x z
x y z
e e e
a b a a a a b a b e a b a b e a b a b e
b b b
       
  
   
12 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Produtos entre vetores e tensores de 2ª ordem  
Seja  a  um vetor e bc o produto exterior de dois vetores (ex. díada). Os produtos interno e externo entre 
a e bc  vêm definidos de forma coerente como: 
   ;a bc a bc a b c a bc a b c                      
Produto misto entre 3 vetores de R3 
O produto misto entre 3 vetores  a ,  b

 e  c  é um escalar obtido pelo produto  interno de um desses vetores pelo 
produto externo dos dois restantes. Assim tem‐se o produto misto: 
      ipq i p qa b c b c a c a b a b c                 
Este produto é  invariante para uma permutação cíclica dos  três vetores mudando de  sinal para uma permutação 
ímpar.  Tem‐se   a b c V    que  é o  volume V do paralelogramo  rectângulo definido pelos  três  vetores  (vide 
figura). 
 
Produto triplo 
O produto triplo de 3 vetores é o produto externo de um deles com o produto externo dos dois restantes. 
O produto triplo pode exprimir‐se através de produtos internos graças às propriedade Épsilon‐Delta de . 
Tem‐se assim o produto triplo: 
     a b c a c b a b c              
Dem.  A componente i do produto triplo é:  
     
     
 
(def. de d)
(prop. ε-δ)
(prop. distributiva) (aniquilaçãodeδ)
ikl k l ikl k lpq p qii
ikl lpq k p q lik lpq k p q ip kq iq kp k p q
ip kq k p q iq kp k p q q i q p b i
i
a b c a d a d a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c a b c
a c b a
  
       
   
        
   
   
 
    
      i
i
b c a c b a b c i       
     
 
donde sai o resultado.  
13 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Determinante de tensor de 2ª ordem 
Um tensor A em R3 é representado por matriz 3x3 que é formalmente idêntico à linha de 3 vetores coluna  1a

,  2a
  e 
3a
  ou seja   1 2 3, ,A a a a    . O determinante da matriz A é o produto misto   1 2 3a a a    e representa (a menos de 
um sinal) o volume do paralelogramo definido pelos três vetores. Tem‐se assim o determinante: 
1 2 3 1 2 3det( ) det( )
T
ijk i j k ijk i j kA A A A A A A A A      
 O determinante do tensor transposto é idêntico devido às propriedades de .  
Pode obter‐se o determinante de um tensor de 2ª ordem em Rn recorrendo ao tensor de Levi‐Civita  de n‐ésima 
ordem em Rn e que fornece a assinatura de uma permutação genérica de n índices tal como no caso em n=3. Tem‐se 
assim: 
1 1,... ,1 ,
det( ) ...
n ni i i i n
A A A A   
No caso n=2 o tensor alternante é dado por uma matriz 2x2: 
11 12
21 22
0 1
1 0
   
           donde o determinante de A é:  
  11 12 1 2 11 11 12 21 21 12 12 11 22 22 21 22
21 22
21 12 11 22
det ij i j
A A
A A A A A A A A A A A
A A
A A A A
          
  
 
Vetor axial associado  
Seja um tensor A de 2ª ordem em R3. Das 9 componentes, 3 são nulas sobre a diagonal, e das restantes 6 
apenas  3  são  independentes  sendo  as  outras  simétricas  das  primeiras.  Desse  modo  o  tensor  A  fica 
totalmente caracterizado por um vetor a=ax(A) que é o vetor axial associado cujas componentes são dadas 
pela fórmula: 
 1
2i ipq pq i
a A ax A      
Se A é simétrico então o vetor formado pela operação anterior é nulo devido às propriedades do tensor 
alternante. A fórmula anterior é equivalente a: 
; ( , , ) permutação cíclica de (1,2,3)pq ipq i pqi iA a a i p q    
a qual permite obter o tensor original a partir do vetor axial em termos indiciais. 
14 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
  
Cálculo diferencial e integral de campos tensoriais cartesianos em Rn    
(Usa‐se a convenção de Einstein a menos que se diga o contrário) 
Qualquer ponto Q do espaço Rn pode ser descrito de  forma unívoca pelas coordenadas cartesianas   1,..., nx x . A 
base de versores ortonormados (bon) é : 1,..., ne e
 
, sendo cada versor  ie

tangente à i‐ésima linha coordenada, na qual 
apenas  ix varia deixando invariantes todas as outras coordenadas  ( )jx j i . Desse modo, qualquer deslocamento 
vetorial infinitesimal  dr é expresso na forma: 
i idr dxe   
Poderemos definir sobre um domínio arbitrário  de Rn um campo  tensorial de ordem p ou seja a uma 
aplicação: ( ):
pn nT R R   em  que  a  cada  ponto  Q  faz  corresponder  um  tensor  de  ordem  p.  São 
exemplos em mecânica dos meios  contínuos. Os  campos escalares da pressão,  temperatura, densidade 
(p=0);  os  campos  vetoriais  da  velocidade,  aceleração  (p=1),  campos  tensoriais  das  tensões,  da  taxa  de 
deformação (p=2).  
O campo T admite‐se contínuo e com derivadas contínuas até uma certa ordem, isto é a ordem necessária 
para  as  aplicações.  Estas  propriedades  permitem  a  aplicação  do  cálculo  diferencial  sobre  campos  de 
tensores.  
A  integração do  campo  T em  subdomínios de Rn é  também necessária e útil em  certas  aplicações. Por 
exemplo o comportamento mecânico integrado de um fluido exige a integração de campos tensoriais. 
   
15 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Noção de Gradiente e Diferencial 
Consideremos um  campo  tensorial de uma  certa ordem p,  ( ) ( )T Q T r  ,  aplicado no ponto Q de  vetor 
posição  r em  relação à origem do  sistema de coordenadas. Os versores nos quais se exprime T são os 
versores fixos da base cartesiana. Vamos exprimir a variação infinitesimal dT num pequeno deslocamento 
dr : 
1
n
i i
ii i
T TdT dx dx
x x
     
A  variação  dT  pode  exprimir‐se  recorrendo  ao operador  gradiente. Um  operador  é  uma  aplicação  que 
converte uma função noutra função. Por exemplo a derivada é um operador porque converte uma função 
na sua função derivada. O operador gradiente é um operador tensorial de ordem 1 ou seja tem a mesma 
estrutura que um vetor. Assim, em coordenadas cartesianas definimos o operador gradiente na forma: 
 
1
operador gradiente ou NABLA
n
i i
ii i
grad e e
x x
        
O produto interno do deslocamento infinitesimal  dr com o operador gradiente fornece o operador diferencial 
d : 
   
1
i i j i i j
j j
n
i ij i i
ij i i
d dr dx e e dx e e
x x
dx dx dx
x x x


           
      
    
 
A derivada dirigida segundo uma certa direcção l, orientada segundo o versor  lé dada pelo produto interno 
de  l

 com o operador gradiente ou seja: 
l i
i
dd l l
x dl
   

 
onde dl  é o deslocamento medido ao longo da direcção orientada l. Em particular, se aplicarmos esse operador 
a T vem:  l
dTd T
dl
  ou seja a taxa de variação de T ao longo da direcção orientada l.  
   
16 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Gradiente de um campo escalar 
Consideremos um campo escalar diferenciável  ( )T r . O lugar geométrico T dos pontos onde T =T0 =constante 
é  um  domínio  (variedade)  com  dimensão  n‐1,  sendo  n  a  dimensão  do  espaço  total. Chamemos  a  esse 
domínio T de iso‐domínio T (o prefixo iso significa constante). Por exemplo em R3 os iso‐domínios são iso‐
superfícies  (duas  dimensões).  Em R2,  os  iso‐domínios  são  iso‐linhas  (uma  dimensão). Ao  longo  dos  iso‐
domínios T não há variação do campo T.  
 
Calculemos  a  variação  dT  ao  longo  de  um  deslocamento ( )dr dr vers dr dr l     onde 0dr    é  o 
comprimento desse deslocamento e  l o seu versor.  
 dT dr l T   
Esta expressão permite mostrar as seguintes propriedades do gradiente de um campo escalar. 
1) O gradiente de T é perpendicular aos  iso‐domínios de T. Na verdade se o versor  l for tangente aos  iso‐
domínios de T, a variação dT=0 ou  seja o produto  interno  0l T  o que  significa que o  iso‐
domínio de T é ortogonal a  T .  
2) A máxima  derivada  dirigida  positiva  de  T  (máxima  taxa  de  variação  espacial  positiva  de  T  verifica‐se  na 
direcção e sentido do gradiente. Na verdade tomando   l vers T   tem‐se:  0dT dr T   . Assim 
~ /T T r   onde  r é a distância, medida na perpendicular entre iso‐domínios em que difira de 
0T  . Deste modo quanto menor a distância entre iso‐domínios (iso‐superfícies, isolinhas), maior 
o módulo  do  gradiente  de  T. O  campo  escalar  T  fica  totalmente  caracterizado  pelo  gráfico  dos  iso‐
domínios. 
   
17 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Gradiente de um campo tensorial cartesiano 
Seja T um campo tensorial de ordem p1 em Rn (exemplos: um campo vetorial, um campo de tensores de 2ª ordem). 
Um  campo  tensorial  é  composto  de  np  campos  escalares  e  portanto  poderemos  calcular  o  gradiente  e  os  iso‐
domínios de cada uma das np componentes.  
O gradiente do tensor T de ordem p é assim um tensor de ordem p+1 que é formado pelo gradiente (vetorial) de 
cada  uma  das  np  componentes  escalares.  Tendo  em  conta  que  os  versores  da  base  em  que  se  exprime  T  são 
cartesianos e fixos (contrariamente ao que sucede em coordenadas curvilíneas em geral), tem‐se: 
  ji j j i j
i i
T
T e T e e e
x x
   
   
 
Note‐se a aplicação da Convenção de Einstein.  
Para um tensor T de 2ª ordem, o seu gradiente é um tensor de 3ª ordem:  jki jk j k i j k
i i
T
T e T e e e e e
x x
   
     
 
A variação infinitesimal dT de um tensor de ordem p é dada, tal como para o caso escalar por: 
dT dr T   
 
   
18 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Operador divergência de tensores cartesianos 
O produto  interno entre tensores permite construir o operador de divergência, muito útil em cálculo diferencial e 
integral  em  Rn.  Assim,  em  coordenadas  cartesianas,  define‐se  o  operador  divergência  aplicado  a  um  tensor  T 
cartesiano de ordem p1 na forma: 
 2 2 ...div ... p pi i ii i
i
T T e e T
x
   
 
 
onde  se executa a  contracção do  índice da derivada  com o primeiro  índice da esquerda de T. O  resultado é um 
tensor de ordem p‐1. Assim a divergência de um campo vetorial é um campo escalar, a divergência de um campo 
tensorial  de  2ª  ordem  é  um  campo  vetorial  etc.  Por  exemplo  em  R3  com  coordenadas  cartesianas  (x,y,z),  a 
divergência de um campo vetorial vem: 
com x y z
u v wdiv v v ue ve we
x y z
         
    
 
onde  , ,x y ze e e
  
são os versores associados às direcções orientadas x,y,z respectivamente. 
Um campo tensorial de divergência nula diz‐se solenoidal ou seja em que  0div T   
Operador Laplaciano  
O  operador  Laplaciano  define‐se  como  a  norma  quadrada  do  operador  gradiente  ou  seja  o  produto  interno  do 
operador gradiente por ele próprio. Tem‐se então o Laplaciano de um tensor T ordem p0 (escalar, vetor, tensor): 
   1 2 1 222 ...Lap ... p pi i i i i i
i i
T T T e e e T
x x
      
  
 
Por exemplo os Laplacianos de um escalar  e de um vetor  x y zv ue ve we      em R3 vêm respectivamente: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2Lap ; Lap
v v vv
x y z x y z
                  
  
 
   
19 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Operador Laplaciano iterado 
Em algumas aplicações nomeadamente para a modelação do atrito em mecânica de fluidos, usa‐se o laplaciano 
iterado (ex. laplaciano do laplaciano). Assim tem‐se o operador bi‐harmónico para a duplicação do laplaciano: 
 1 2 1 22 24 ...Lap Lap ... p pi i i i i i
j j i i
T T e e e T
x x x x
       
  
 
Em coordenadas (x,y,z) e para o caso de um escalar  tem‐se: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2Lap Lap x y z x y z
                       
Operador rotacional de tensores cartesianos 
O  rotacional  (rot ou  curl em alguma  literatura  inglesa) de um  tensor T de ordem p1 em Rn  recorre ao produto 
externo em Rn e portanto ao tensor alternante de ordem n em Rn e à operação de produto externo. O rotacional de T 
é também um tensor de ordem T. 
Rotacional em R3 
Usa‐se o tensor alternante em R3 ou o tensor de Levi‐Civita. 
 2 2 ...rot ... p pk i i kjs si i
j
T T e e e T
x
     
  
 
Pode assim definir‐se o rotacional de um campo vetorial e o rotacional de um campo tensorial. Um campo tensorial 
de rotacional nulo diz‐se irrotacional ou seja  rot 0T  . 
Em particular o rotacional é de um campo vetorial em coordenadas cartesianas (x,y,z) é: 
rot
com
x y z
x y z
x y z
e e e
w v u w v uv e e e
x y z y z z x x y
u v w
v ue ve we
                                  
  
  
   
   
 
   
20 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Rotacional em R2 
O equivalente ao rotacional em R2 é um operador vetorial aplicado ao campo escalar  na forma:
 x y
z x y
e e
e e e
y x
x y
             
 
  
 
Identidades entre operadores diferenciais 
Usando  as  propriedades  dos  operadores  divergência,  rotacional,  do  produto  externo,  interno,  triplo  e  misto,  é 
possível obter várias entidades entre operadores que são úteis em cálculo diferencial integral em R3 nomeadamente 
em mecânica dos meios contínuos. 
Tem‐se então para um campo escalar arbitrário  e campos vetoriais  ,A B  : 
 
 
   
   
     
         
   
2 3
1: ( ) 0
2 : ( ) 0
3: (n=2 em R , n=3 em R )
4 : 0
5:
6 :
7 :
8 :
9 :
rot grad
A div rot A
r n
r
A A A
A A A
A B B A A B
A B A B B A A B B A
A B A B B A
 
  
  
   
   
 
 
    
     
       
           
      

 


  
  
    
        
        
     
       
     
10 :
11:
112 : (decomposição de Weber)
2
B A A B
A A A
A B A B A B A B
A A A A A A
  
      
        
      
  
  
      
     
 
 
   
21 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Demonstrações de algumas Identidades entre operadores diferenciais 
(Recurso ao cálculo tensorial) 
Demonstração de:         A B A B B A B A A B                  .  
O produto triplo   A B   pode expandir‐se como:      ( aplica-se aos dois vectores)B A A B       
Usando a derivada do produto em que se deriva um dos vetores de cada vez tem‐se: 
           ;B A A B B A A B B A A B                     
donde se obtem o resultado. 
 
Demonstração de:       A A A               ou  
( ( )) ( ( )) ( )rot rot A Grad Div A Lap A     
Desenvolvamos a componente i de   A   : 
   
     
 
2 2 2
2 2
(Regra Épsilon-Delta)
(Aniquilação de Deltas)
s
ipq ipq qrsqi
p p r
s s s
ipq qrs qip qrs ir ps is pr
p r p r p r
p pi
p i r r i p
AA A
x x x
A A A
x x x x x x
A AA A
x x x x x x
  
       
               
          
               
 
    ,
i
ii
A A i          
 
 
Como a igualdade se verifica para cada componente i então obtem‐se a igualdade para a totalidade do vetor. 
 
   
22 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Cálculo Integral de tensores cartesianos 
No cálculo integral em Rn são necessários calcular vários tipos de integrais tais como o fluxo de um campo tensorial 
através de uma superfície orientada e a circulação ao longo de uma curva fechada.  
Fluxo de um campo tensorial através de uma superfície orientada 
Consideremos uma superfície orientada  no espaço R3 (superfície curva) ou no espaço R2 (superfície plana) limitada 
pela curva fronteira . Em R3, uma superfície orientada é aquela que tem dois lados bem definidos e não é possível 
através de um percurso ao longo da superfície passar de um lado para o outro da superfície. Existem superfícies não 
orientadas tais como a fita de Möbius, isto é que têm apenas um lado como mostra a figura. 
 
A curva  fronteira  de  é em geral uma  linha  torsa se R3 e plana se R2. Tendo essa superfície dois 
lados  bem  definidos,  poderemos  definir  um  ‘lado  de  dentro’  e  o  correspondente  ‘lado  de  fora’. O  elemento  de 
superfície orientada define‐se como: 
d nd     
onde  d é a área  infinitesimal  (positiva) e  n é o versor normal que aponta do  lado  (convencionado) de dentro 
para  o  lado de  fora. O  versor  tangente  t

é  o  versor  com  o  sentido  directo,  tangente  à  curva  orientada . O 
elemento de arco ao  longo de  é dl. O sentido directo  (anti‐horário) é aquele que deixa a superfície  à sua 
esquerda. O versor u

é tangente à superfície e perpendicularà curva fronteira . Têm‐se as relações: 
;u t n t n u         
23 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
O fluxo de um campo tensorial T em R3 (ou R2), de ordem p1 através da superfície orientada  (curva ou 
plana) é o integral: 
  dT n T       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em particular a superfície  pode ser a fronteira  de um certo domínio tridimensional R3. Nesse 
caso a superfície = é uma superfície fechada e o seu bordo  é o conjunto vazio (não tem bordo).  
Aplicação:  Cálculo  da  quantidade  de  massa  total  (ou  parcial)  escoada  por  unidade  de  tempo  e  que 
atravessa a superfície orientada . O campo T e o respectivo fluxo são neste  caso:  
 ; dT v v n v             
onde  é a densidade do fluido (ou densidade parcial de um certo tipo de massa específico, ex: sal, vapor) 
e  v é a velocidade do fluido. A quantidade   v   tem dimensões físicas de kg/s (massa/tempo) e na 
terminologia dos  fluidos  chama‐se débito de massa.  Se a  velocidade  v   for  tangente em  cada ponto à 
superfície, então  0n v    e o débito é nulo ou seja a massa não atravessa , verificando‐se a condição de 
fluxo nulo ou de impermeabilidade total (ou parcial a um certo tipo de massa ou espécie química).    
   
24 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Fluxo no bordo de uma superfície orientada  
A superfície orientada  (curva ou plana) tem como fronteira a curva orientada . Esta curva tem como 
versor  tangente  t

,  versor  normal  exterior u e  elemento  de  arco  dl. Define‐se  o  fluxo  de  um  campo 
tensorial T (de ordem p1) através da curva  como: 
  dT l u T

     
Aplicação:  Consideremos  o  escoamento  bidimensional  sobre  uma  superfície  (ex.  escoamento  de  água 
sobre uma bolha de água e detergente  (sabonária)). A massa está distribuída por unidade de  superfície 
sendo o seu valor  (densidade areolar ou por área) de dimensões kg/m2. O débito (quantidade de massa 
que atravessa  é dado por: 
 ;T v v dl u v

  

         
A curva  que limita  é fechada, no entanto pode igualmente calcular‐se o fluxo ao longo de uma curva 
não fechada C com extremidades (início e fim). 
Circulação de um campo tensorial T ao longo de uma curva orientada fechada 
Consideremos um campo tensorial T de ordem p1 em R3 (ou R2). A circulação de T ao longo de uma curva 
fechada orientada C é o integral de linha: 
  dC
C
T l t T     
 
25 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Aplicação: Consideremos um fluido circulando em circuito fechado em sentido único ao longo da curva fechada C 
(célula de circulação) com massa por unidade de comprimento ou densidade linear l (em kg/m). A energia cinética 
do fluido em circulação é dada pela circulação ao longo de C do vetor  12 l v v
   onde  t é o versor de v . 
Teoremas Integrais em R2 e R3‐ vol 
O cálculo de integrais tridimensionais 3D num domínio R3 pode em certos casos ser obtido pelo integral 
na  sua  fronteira  de normal exterior  (apontando para  fora)  n de  componentes ni  . Tem‐se então o 
teorema de Stockes generalizado em volumes (TSG‐vol): 
   ... ...i
i
dv d n
x 
     
Onde (…) é um campo tensorial arbitrário envolvendo produtos  interiores ou exteriores com o  índice  i e 
onde 
ix

 são as derivadas em relação às coordenadas cartesianas. Alguns corolários deste teorema muito 
geral são o teorema do fluxo‐divergência. 
Teorema do fluxo‐divergência em R3, de Gauss ou de Ostrogradsky 
Tome‐se no TSG‐vol as componentes cartesianas Ai do campo vetorial  A

e faça‐se a contracção em i. 
Obtem‐se: 
 i
i
Adv dv div A d n A A
x   
        
    
ou  seja  o  integral  de  volume  da  divergência  iguala  o  fluxo  através  da  fronteira.  Tal  permite  definir  a 
divergência de um campo vetorial como o limite quando 0 do Fluxo/Volume.  
Outras aplicações do TSG‐vol 
 
 
... escalar
grad (integral de volumede gradiente)
... ( )
rot (integral de volumede rotacional)
dv d n
A produtoexternocom A
dv A d n A

  
 

 
 
  
 
 

 
 


 
26 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Teoremas Integrais em R2 e R3‐sup 
O teorema de Stockes generalizado pode aplicar‐se também sobre uma superfície orientada  de normal 
n com  linha  fronteira ou bordo orientado∙ com versor tangente  t e normal exterior  u t n   . Tem‐se 
então o teorema TSG‐sup: 
         ... ... ...ii id n dl n u dl t
  
           
Aplicações do teorema TSG‐sup em 3D 
 ... d n dl t  
 
      
 
 
     
 
...
Fluxo do Rotacionalde
Circulação de no bordo= (Teorema de Stockes )
A d n A d n A
A dl t A
A A
 


          
   

 

   
 
 

 
Este teorema permite definir rotacional como o limite quando 0 do quociente circulação/área. 
 
   ... A d n A dl t A
 
            
Aplicação: vetor área tomando  A r vector posição    
1
2
d n r dr
 
          
   
27 
 
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 
 
Teorema de Green 
No caso de  ser uma superfície plana com normal  n constante tem‐se: 
       ... ...i id dl u
 
      
Tomando um campo vetorial  A

bidimensional (com componentes apenas sobre ) e fazendo a contracção 
dos índices tem‐se: 
 
 
2
Fluxode através da linha orientada
D
d A dl u A
A A
 

    
  
  
 

 
Ou seja, o integral de superfície da divergência iguala o fluxo através do bordo. Este teorema é uma versão 
2D do teorema fluxo‐divergência. Outra aplicação em 2D é a do integral do gradiente 2D: 
 2Dd dl u 
 
    