CalcDif e Int I 20 LExerc11

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CET160: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
EXTREMOS ABSOLUTOS DE FUNÇÕES; TEOREMA DE ROLLE E TEOREMA DO VALOR MÉDIO
Um fabricante de latas sem tampas deseja usar folhas de flandres com dimensões de 
 cm por 
 cm, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Encontre o comprimento do lado do quadrado a ser cortado, a fim de obter de cada folha de flandres uma caixa aberta, tendo maior volume possível. Resp.: 
 cm.
Se um dos lados de um campo retangular for um rio, encontre as dimensões do maior campo retangular que pode ser fechado usando 
 m de cerca para os outros três lados. Resp.: 
 m por 
 m.
Encontre o número no intervalo 
, tal que a diferença entre o número e seu quadrado seja um máximo. Resp.: 
.
Encontre a área do maior retângulo tendo dois vértices no eixo 
 e os dois outros vértices sobre a parábola 
 acima do eixo 
. Resp.: 
 unidades quadradas.
Uma ilha está num ponto 
, a 
 km do ponto mais próximo 
, numa praia reta. Uma mulher na ilha deseja ir a um ponto 
, a 
 km do ponto 
. A mulher pode alugar um barco por R$ 15,00 o quilômetro e navegar até um ponto 
 entre 
 e 
 e então alugar um carro a um custo de R$ 12,00 o quilômetro e chegar a 
 por uma estrada reta. Determine o percurso mais barato de 
 até 
. Resp.: de 
 a 
e de 
 a 
, onde 
 fica a 
 km abaixo de
. 
Se 
 m for o alcance de um projétil, então 
, com 
, onde 
 m/s é a velocidade inicial, 
 m/s2 é a aceleração da gravidade e 
 é a medida em radianos do ângulo que a arma faz com a horizontal. Determine o valor de 
 para que o alcance seja máximo. Resp.: 
 rad.
Um clube privado cobra a anuidade de R$ 100,00 por membro, menos R$ 0,50 para cada membro acima de 
 e mais R$ 0,50 para cada membro abaixo de 
. Quantos membros darão ao clube um rendimento anual máximo? Resp.: 
membros. 
Um sítio produz 
 laranjas por ano, se forem plantadas no máximo 
 árvores por acre. Cada árvore plantada a mais causa um decréscimo de 
 laranjas por pé. Quantas árvores devem ser plantadas por acre para se obter o maior número de laranjas? Resp.: 
 árvores.
Suponha que a diminuição na pressão sanguínea de uma pessoa dependa de uma determinada droga que ela deverá tomar. Assim, se 
 mg da droga forem tomadas, a queda na pressão sanguínea será uma função de 
. Seja 
 esta função e 
, onde 
 está em 
 e 
 é uma constante positiva. Determine o valor de 
 que cause o maior decréscimo na pressão sanguínea. Resp.: 
.
Um pedaço de arame com 
 m é cortado em duas partes. Uma delas é curvada na forma circular e a outra, na forma de um quadrado. Como dividir o fio, de tal forma que:
A área combinada das duas figuras seja a menor possível? Resp.: raio da circunferência de 
 m e lado do quadrado de 
 m.
A área combinada das duas figuras seja a maior possível? Resp.: raio da circunferência de 
 m e não há quadrado.
Comprove que as três condições do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Determine, então, um valor adequado de 
 que satisfaça a conclusão do Teorema.
; 
. Resp.: 
.
; 
. Resp.: 
.
Comprove que as duas condições do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Determine, então, um valor adequado de 
 que satisfaça a conclusão do Teorema.
; 
. Resp.: 
.
; 
. Resp.: 
.
; 
. Resp.: 
.
; 
. Resp.: 
.
; 
. Resp.: 
.
Para cada função abaixo, teste as três condições do Teorema de Rolle e verifique quais entre elas são satisfeitas. Se as três condições forem satisfeitas, determine um ponto no qual existe uma reta tangente horizontal.
; 
. Resp.: todas são satisfeitas; 
.
; 
. Resp.: a (i) não é satisfeita.
; 
. Resp.: a (ii) não é satisfeita.
Para cada uma das funções abaixo, não existe um número 
 que satisfaça a conclusão do Teorema do Valor Médio. Determine, então, qual das hipóteses do Teorema não é satisfeita.
; 
. Resp.: (i).
; 
. Resp.: (ii).
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica, volume 1, 3ª edição. São Paulo, HARBRA, 1991.
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