MD1-AP2-2013-2-gabarito

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CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP2 - 2013.2
Questa˜o 1 (2 ponto). Seja f : R→ R dada por
f(x) =
x2
4
−
x
2
− 6
.
a) Encontre as ra´ızes de f ;
Soluc¸a˜o: Para achar as ra´ızes devemos resolver f(x) = 0, isto e´,
x2
4
−
x
2
− 6 = 0.
Multiplicando ambos os lados por 4, vemos que resolver esta equac¸a˜o equivale a resolver
x2 − 2x− 24 = 0
Por Bhaskara, temos:
∆ = 4 + 96 = 100
Da´ı,
x =
2± 10
2
,
o que significa que as ra´ızes sa˜o x1 = −4 e x2 = 6.
b) Encontre qual o valor mı´nimo assumido por f(x) e o valor de x no qual este mı´nimo
se realiza.
Soluc¸a˜o: Para resolver este item devemos encontrar o ve´rtice da para´bola. O valor de x no
qual este ve´rtice ocorre e´ o ponto me´dio entre as ra´ızes, logo xv = (−4 + 6)/2 = 1. Para
achar o valor mı´nimo da func¸a˜o basta, agora, encontrar f(1). Temos que
f(1) =
1
4
−
1
2
− 6 =
1− 2− 24
4
= −
25
4
= −6, 25
1
Questa˜o 2 (2 ponto). Resolva o sistema de equac¸o˜es a seguir:


3x− 4y = −27
5x− 2y = 11
Soluc¸a˜o: Multiplicando por -2 a segunda equac¸a˜o ficamos com −10x + 4y = −22 e
somando esta com a primeira equac¸a˜o obtemos −7x = −49. Da´ı temos que x = 7. Subs-
tituindo na segunda equac¸a˜o temos: 35 − 2y = 11, donde, 2y = 35 − 11 = 24. Portanto
y = 12. A soluc¸a˜o e´ (x, y) = (7, 12).
Questa˜o 3 (2 ponto). Certo produto tem sua curva de demanda dada porD(P ) = −3P/4+8
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e a demanda D e´ dada em toneladas. A curva
de oferta deste mesmo produto e´ dada pela func¸a˜o Q(P ) = 3P − 2 (tambe´m dada em
toneladas). Encontre o prec¸o de equil´ıbrio e a quantidade de equil´ıbrio para comercializac¸a˜o
deste produto.
Soluc¸a˜o: Para encontrar a quantidade e o prec¸o de equil´ıbrio devemos igualar as
func¸o˜es de oferta e demanda: −3P/4 + 8 = 3P − 2. Desenvolvendo esta equac¸a˜o obtemos:
15P/4 = 10, o que significa que P = 2, 666.... Logo o prec¸o de equil´ıbrio deve ser R$2, 67
(aproximando).
Para encontrar a quantidade de equil´ıbrio basta substituir o prec¸o em qualquer uma das
duas func¸o˜es dadas:
Q(2, 666...) = 3× 2, 666...− 2 = 6.
Logo a quantidade de equil´ıbrio e´ de seis toneladas.
Questa˜o 4 (4 pontos). Um grupo de professores da UFF resolveram alugar um carro
econoˆmico para juntos visitarem polos do CEDERJ. Na loja em que realizam o aluguel
ha´ duas opc¸o˜es para o ca´lculo do valor a ser pago: no plano D aluga-se pagando apenas o
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valor fixo por dia; no plano KM, um valor fixo por dia somado a uma taxa por quiloˆmetro
rodado. De posse destas informac¸o˜es eles trac¸aram um gra´fico para descobrir qual a opc¸a˜o
mais barata para viajar a cada um dos polos que planejavam visitar, sempre partindo da
locadora de automo´veis que se situa perto do campus onde trabalham.
g(x) : valor para percorrer x km em um dia pelo plano D.
f(x): valor para percorrer x km em um dia pelo plano KM
a) Analisando o gra´fico que eles trac¸aram e considerando que eles va˜o e voltam no mesmo
dia (e visitam apenas um polo por dia), marque na tabela que segue qual a opc¸a˜o mais
barata para visitar cada polo (lembre-se que eles precisam ir e voltar).
Distaˆncia Melhor Melhor
da locadora plano: plano:
ao polo KM D
Angra dos Reis 160km ×
Petro´polis 73km ×
Rio Bonito 60km ×
Sa˜o Fide´lis 310km ×
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b) Segundo o gra´fico, qual e´ o valor fixo no plano KM e qual o valor por quiloˆmetro rodado
neste mesmo plano? Explique como voceˆ obteve estes valores.
Soluc¸a˜o: No plano KM, chamando de a o valor por quiloˆmetro rodado e de b o
valor fixo, se o cliente andar x quiloˆmetros, pagara´ ax+ b. Se andasse zero quiloˆmetro
(teoricamente, tendo feito o contrato) pagaria apenas o valor fixo b. Vemos que para
x = 0 temos que ax+ b = b = 70. Logo esse e´ o valor fixo.
Para achar o valor de a, a taxa por quiloˆmetro rodado, vemos que para x = 180,
ax + b = 160. Lembrando que b = 70, ficamos com ax + b = 180a + 70 = 160. Da´ı,
180a = 90, o que significa que a = 0, 5.
Conclu´ımos assim que o valor fixo e´ de 70 reais e a taxa por quiloˆmetro rodado e´ de
R$ 0,50.
c) Encontre a lei da func¸a˜o f : [0,∞) → R que indica qual o valor f(x) a ser pago no
plano KM caso o cliente rode por x km.
Soluc¸a˜o: Conforme explicado no item anterior, f(x) = 0, 5x+ 70.
d) Para qual quilometragem total seria indiferente para o cliente optar entre um plano ou
outro? Justifique sua resposta. Soluc¸a˜o: Como vemos no gra´fico, quando o cliente
roda 180 km no total, ele paga o mesmo prec¸o (160 reais) qualquer que seja o plano.
Este e´ o caso em que ele fica indiferente.
Bom trabalho e boa sorte!
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