05.01_-_Aula_07_-_Bases_Numericas

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18/04/2009
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Fundamentos de Informática – Instituto Superior Fátima 2009
UNIDADE DIDÁTICA IV
Prof. Carlos Maurício de B. Mello 1/29
BASES NUMÉRICAS
CONVERSÃO ENTRE AS BASES 2, 8 E 16
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Notação Não Posicional
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Notação Não-Posicional 
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o Aquela em que o valor atribuído a um símbolo não se
altera, independente da posição em que o símbolo se
encontre no conjunto que representa um número tal como
Notação Não-Posicional
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encontre no conjunto que representa um número, tal como
o sistema de numeração ROMANO.
o Neste sistema os símbolos I, V, X, L, C, D e M têm um
valor em qualquer posição dentro de um número.
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I-1 V-5 X-10 L-50 C-100 M-1000
o Cada símbolo colocado à direita de um maior é adicionado a
este Ex : XI 10 + 1 = 11;
Notação Não-Posicional
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este. Ex.: XI 10 + 1 = 11;
o Cada símbolo colocado à esquerda de um maior tem o seu
valor subtraído deste. Ex.: IX 10 – 1 = 9;
o Assim, XXI representa 21 em decimal (10+10+1), enquanto
que XIX representa 19 (10+10–1).
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Calcule:
MDCCCXLIX + MMCXXIV
Notação Não-Posicional
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MDCCCXLIX = 1.849
MMCXXIV = 2.124
1.849+ 2.124= 3.973 = MMMCMLXXIII
Resposta:
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Notação Posicional
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Notação Posicional 
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o Os algarismos componentes de um número assumem
valores diferentes, dependendo de sua posição
relativa no número;
Notação Posicional
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o O valor total do número é a soma dos valores relativos
de cada algarismo;
o Desse modo, é a posição do algarismo ou dígito que
determina seu valor.
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4 1 5
5
Notação Posicional
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5
1 0
4 0 0
5 x 100 + 1 x 101 + 4 x 102 = 415
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Bases Numéricas
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Bases Numéricas
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o A quantidade de algarismos disponíveis em um dado
sistema de numeração é chamada de base.
o A base serve para contar grandezas maiores, indicando
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a noção de grupamento.
o O sistema de dez algarismos é chamado de base 10.
o Um outro sistema que possua apenas dois algarismos
diferentes (0 e 1) é chamado de base 2, e assim por
diante.
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o Num sistema qualquer de numeração posicional, um
número N é expresso da seguinte forma:
o N = (dn-1 dn-2 dn-3....... d1 d0 ) b
Bases Numéricas
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o Onde:
o d indica cada algarismo do número;
o n-1, n-2, 1, 0, indicam a posição de cada algarismo;
o b indica a base de numeração;
o n indica o número de dígitos inteiros.
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o O valor do número pode ser obtido então, a partir
d i t tó i
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do seguinte somatório:
o N= dn-1 x bn-1 + dn-2 x bn-2 + .... +d1 x b1+ d0 x b0
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o Uma caixa alienígena com o número 25 gravado
na tampa foi entregue a um grupo de cientistas.
Para Pensar... E Calcular...
Bases Numéricas
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p g g p
Ao abrirem a caixa, encontraram 17 objetos.
Considerando que o alienígena tem um formato
humanóide, quantos dedos ele tem nas duas
mãos?
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Resolução:
1710 = 25b
17 = 2xb1 + 5xb0
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17 = 2b + 5
b = (17‐5)/2 = 6
O Alienígena tem, ao todo, 06 (seis) dedos.
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o Base 2 (binária)
o 0,1
o Base 8 (octal)
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o Base 8 (octal)
o 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
o Base 16 (hexadecimal)
o 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
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o No início, na representação de dados era utilizada a
Base 10;
o Problemas com representação (10 níveis de energia diferentes);
Alt d i
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o Alto consumo de energia;
o Constante queima de componentes;
o Solução?
o Utilização de uma base mais elementar;
o Base 2 – Só dois níveis de energia;
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o Se a Base 10 foi descartada, por causa da quantidade
de níveis de energia. Por que utilizar as Bases 8 e 16?
o A resposta é: Representação de Dados, ainda!
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p p ç ,
o A Base 2 é utilizada para representação de dados, mas
internamente. Enquanto as Bases 8 e 16 são utilizadas para
representação de dados. Só que, externamente.
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o Por exemplo:
o Usaremos o MAC Address como referência:
o Nr composto por 48 bits;
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o Qual representação é mais fácil para o ser humano reproduzir?
00001010 : 11111010 : 00010010 : 10110111 : 10001001 : 11111111
ou
0 A : F A : 1 2 : B 7 : 8 9 : F F
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o Além disso, temos a quantidade de dígitos utilizados para
representar os mesmos valores:
o Em Binário: 48 dígitos
o Em Hexadecimal: 12 dígitos
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o Em Hexadecimal: 12 dígitos
o Se é para facilitar, por que não utilizar a Base 10 então?
o Simples. Porque 10 não é uma potência perfeita da Base 2;
o As bases 2, 8 e 16 são respectivamente, 21, 23, 24.
o E a conversão entre Bases desse tipo, não necessitam de cálculos;
o Necessitam apenas de uma tabela de conversão entre os dígitos.
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Conversão de Bases
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Conversão de Bases
Regras
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Bases Numéricas – Regras
2 8
2 16
2
810
Grupo I Grupo I I Grupo I I I
2
8 10
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168 2 16
Direto na Tabela
Substituição Direta
Divisões Sucessivas
do Nr (B.10) pela Base
de destino.
Fórmula Específica
Vide Abaixo.
16
Fórmula do Grupo I I I
N= dn-1 x bn-1 + dn-2 x bn-2 + .... +d1 x b1+ d0 x b0
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Conversão de Bases
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Grupo I
2 , 8 e 16
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Conversão entre as Bases: 2 – 8 - 16
Para representar...
1 dígito da Base 2 1 2=
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1 dígito da Base 2 3 8=
1 dígito da Base 2 4 16=
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o As conversões entre as Bases 2, 8 e 16, são feitas através
da substituição dos algarismos de uma base, pelos
equivalentes da outra.
o Entre as bases 2 e 8 e entre as Bases 2 e 16 a conversão é direta;Bases Numéricas – Na Informática
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o Entre as bases 2 e 8, e entre as Bases 2 e 16, a conversão é direta;
o Entre as bases 8 e 16 a conversão é indireta,ou seja, é preciso
fazer uma conversão intermediária para a base 2, e depois,
converter para a base de destino.
2 8 2 16 168 2
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Base 16 Base 2 Base 8
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 2
3 0 0 1 1 3
4 0 1 0 0 4
5 0 1 0 1 5
6 0 1 1 0 6
o Observe a Tabela ao lado:
o 753/8 = 111101011/2, pois...
o 7/8 = 111/2
o 5/8 = 101/2
o 3/8 = 011/2
o 7 5 3/8 = 111 101 011/2
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6 0 1 1 0 6
7 0 1 1 1 7
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
A 1 0 1 0
B 1 0 1 1
C 1 1 0 0
D 1 1 0 1
E 1 1 1 0
F 1 1 1 1
o Observe novamente:
oFA01/16=1111101000000001/2, pois
oF/16=1111/2
oA/16=1010/2
o 0/16=0000/2
o 1/16=0001/2
oF A 0 1/16 = 1111 1010 0000 0001/2
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Base 16 Base 2 Base 8
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 2
3 0 0 1 1 3
4 0 1 0 0 4
5 0 1 0 1 5
6 0 1 1 0 6
o Observe a Tabela ao lado:
o 753/8 = 1 E B/16
o 1º - Converte-se para Base 2:
o 753/8 = 111101011/2
o Depois converte-se o resultado
na Base 2 para a Base 16:
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6 0 1 1 0 6
7 0 1 1 1 7
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
A 1 0 1 0
B 1 0 1 1
C 1 1 0 0
D 1 1 0 1
E 1 1 1 0
F 1 1 1 1
o Separa-se os bits de 4 em 4, da
Direita para a Esquerda:
o 1 1110 1011
o O que faltar no último grupo,
deve ser complementado com 0.
o 0001 1110 1011
o 1 E B
o 753/8 = 1EB/16
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Base 16 Base 2 Base 8
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 2
3 0 0 1 1 3
4 0 1 0 0 4
5 0 1 0 1 5
6 0 1 1 0 6
o Observe a Tabela ao lado:
o 1 E B/16 = 7 5 3/8
o 1º - Converte-se para Base 2:
o 1EB/16 = 000111101011/2
o Depois converte-se o resultado
na Base 2 para a Base 8:
Separa se os bits de 3 em 3 da
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6 0 1 1 0 6
7 0 1 1 1 7
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
A 1 0 1 0
B 1 0 1 1
C 1 1 0 0
D 1 1 0 1
E 1 1 1 0
F 1 1 1 1
o Separa-se os bits de 3 em 3, da
Direita para a Esquerda:
o 000 111 101 011
o Neste caso, o último grupo é
todo formado por 0`s, e pode ser
desprezado.
o 111 101 011
o 7 5 3
o 1 E B/16 = 7 5 3/8
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Base 16 Base 2 Base 8
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 2
3 0 0 1 1 3
4 0 1 0 0 4
5 0 1 0 1 5
6 0 1 1 0 6
Exercícios:
1. 111010111/2 = /8
2. 1010011111/2 = /8
3. 327/8 = /2
4. 673/8 = /2
5. 1011011011/2 = /16
6 10011100101101/2 = /16
Prof. Carlos Maurício de B. Mello 28/29
6 0 1 1 0 6
7 0 1 1 1 7
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
A 1 0 1 0
B 1 0 1 1
C 1 1 0 0
D 1 1 0 1
E 1 1 1 0
F 1 1 1 1
6. 10011100101101/2 = /16
7. 306/16 = /2
8. F50/16 = /2
9. 3174/8 = /16
10.254/8 = /16
11.2E7A/16 = /8
12.3C7/16 = /8
13.211/3 = /9
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