semana_05f

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o – Semana 5
Temas abordados : Derivadas e suas regras ba´sicas
Sec¸o˜es do livro: 2.1; 2.2; 2.3
1) Defina o conceito de derivada de uma func¸a˜o f(x) no ponto x = a.
2) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) em cada um dos
casos abaixo.
(a) f(x) = x2 − x+ 1, a = 1 (b) f(x) = 1/x, a = −2
(c) f(x) =
√
x, a = 4 (d) f(x) = sen(x), a = pi
3) Quantas retas tangentes ao gra´fico de f(x) = x3 + 3x sa˜o paralelas a` reta y = 6x + 1?
Determine a equac¸a˜o dessas retas tangentes.
4) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) =
√
x
x2 − 2x (b) f(x) =
2x+ 3
x2 − 1
(c) f(x) = (5x4 − 4x+√x)(x4 + 3x6 − 3
x2
) (d) f(x) = 3
√
x+
4
x
(e) f(x) = tan(x) =
sen(x)
cos(x)
(f) f(x) = sec(x) =
1
cos(x)
5) Calcule a taxa de variac¸a˜o do volume de um bala˜o esfe´rico em relac¸a˜o ao seu raio, quando
o raio do bala˜o for igual a 5 cm.
6) Um proje´til e´ lanc¸ado verticalmente para cima e t > 0 segundo apo´s o lanc¸amento esta´
a s metros do solo, onde s(t) = 256t− 16t2. Calcule
(a) a velocidade do proje´til t segundos apo´s o lanc¸amento;
(b) o tempo necessa´rio que a altura ma´xima seja atingida;
(c) a altura ma´xima atingida pelo proje´til.
7) No instante t horas um ve´ıculo esta´ 16
√
t3− 24t+16 quiloˆmetros a` leste de um ponto de
refereˆncia na estrada.
(a) Qual a velocidade no instante t = 1/4? Nesse instante o ve´ıculo esta´ se afastando
ou aproximando do ponto de refereˆncia?
(b) Onde esta´ o ve´ıculo quanto a velocidade e´ zero?
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 1 de 3
8) Suponha que um reservato´rio, inicialmente com 50 litros de a´gua pura, comece a ser
abastecido com a´gua salgada a` raza˜o de 5 litros/min e com uma concentrac¸a˜o de 1
grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de a´gua V (t) e a quantidade de sal Q(t)
no reservato´rio sa˜o func¸o˜es do tempo t ≥ 0, e portanto a concentrac¸a˜o de sal c(t) no
reservato´rio e´ tambe´m uma func¸a˜o do tempo.
(a) Obtenha as expresso˜es das func¸o˜es V (t), Q(t) e c(t).
(b) Calcule a taxa de variac¸a˜o da concentrac¸a˜o.
(c) Usando o item anterior, decida em qual dos instantes t0 = 10 ou t1 = 30 a concen-
trac¸a˜o esta´ variando mais rapidamente.
9) Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fa´brica possa ser modelada em
func¸a˜o do nu´mero x de empregados, por uma func¸a˜o deriva´vel p(x), em que p(x) e´ medida
em milhares e x em centenas. A produtividade me´dia por empregado e´ enta˜o dada pela
func¸a˜o M(x) = p(x)/x, e pode-se mostrar que o nu´mero x0 de empregados que maximiza
a func¸a˜o M(x) e´ aquele para o qual M ′(x0) = 0.
(a) Usando as regras de derivac¸a˜o, calcule M ′(x) em termos da derivada p′(x).
(b) Use o item anterior para justificar a afirmac¸a˜o de que M ′(x0) = 0 se, e somente se,
p′(x0) = M(x0).
(c) Calcule p′(x) supondo que p(x) =
2x2
x2 + 1
.
(d) Determine o nu´mero de empregados que maximiza a produtividade me´dia da fa´brica.
10) Suponha que o eixo Ox representa o solo e uma montanha e´ modelada pela equac¸a˜o
g(x) = 4 − x2 = (2 + x)(2 − x), onde x ∈ [−2, 2]. Um avia˜o sobrevoa a montanha
horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta y = 9, de modo que, no instante t >
0 minutos, a posic¸a˜o do avia˜o no plano cartesiano abaixo e´ dada por (4t, 9). Considerando
que a luz se propaga em linha reta, resolva os itens abaixo.
(a) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de
g(x) em um ponto gene´rico (a, g(a)).
(b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` monta-
nha que passa por um observador localizado em
(−5/2, 0).
(c) Determine o instante t0 em que o observador do item
b) perde a visa˜o do avia˜o devido a` montanha.
(−5/2, 0)
y = 9
y = 4− x2
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 2 de 3
RESPOSTAS
1) A derivada de uma func¸a˜o f no ponto x = a e´ o limite
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a ,
sempre que o limite acima existe.
2) (a) y = x (b) y = −1
4
x− 1 (c) y = 1
4
x+ 1 (d) y = −− x+ pi
3) duas retas, com equac¸o˜es y = 6x− 2 e y = 6x+ 2
4) (a) f ′(x) =
−3x2 + 2x
2
√
x(x2 − 2x)2
(b) f ′(x) =
−2x2 − 6x− 2
(x2 − 1)2
(c) f ′(x) = (5x4−4x+√x)(4x3+18x5+6x−3)+(20x3−4+1/(2√x))(x4+3x6−3x−2)
(d) f ′(x) =
1
3x2/3
− 4
x2
(e) f ′(x) = cos(x) cos(x)−sen(x)(−sen(x))
cos2(x)
= sec2(x)
(f) f ′(x) = cos(x)·0−1·(−sen(x))
cos2(x)
= sen(x)
cos2(x)
5) 100pi
6) (a) v(t) = 256− 32t
(b) 8 segundos
(c) 1024 metros
7) (a) Se aproximando a 12 km/h
(b) 8 km a leste do ponto de refereˆncia
8) (a) V (t) = 50 + 5t, Q(t) = 5t, c(t) = t/(10 + t)
(b) c′(t) = 10/(10 + t)2
(c) no instante t0 = 10
9) (a) M ′(x) =
xp′(x)− p(x)
x2
(b) p′(x) =
4x
(x2 + 1)2
(c) x0 = 1
10) (a) ya(x) = −2a(x− a) + g(a)
(b) y(x) = 2x+ 5
(c) t0 = 1/2
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