semana_08f

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o – Semana 8
Temas abordados : Crescimento de func¸o˜es
Sec¸o˜es do livro: 3.1
1) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine os pontos cr´ıticos, classifique-os como
ma´ximos ou mı´nimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f e´ cres-
cente e decrescente.
(a) f(x) = x+
3
x2
(b) f(x) =
3x2 + 4x
1 + x2
(c) f(x) =
x2 − x+ 1
2(x− 1) (d) f(x) = x
√
8− x2
(e) f(x) = x3 − 12x− 5 (f) f(x) = x2/3(x2 − 4)
(g) f(x) =
√
9− x2 (h) f(x) = √x+ 1√
x
(i) f(x) =
x2
x2 + x− 2 (j) f(x) = 2x+
200
x
2) Mostre que p(x) = x3 − 3x2 + 6 tem exatamente uma ra´ız real.
3) Mostre que x+
1
x
≥ 2 para todo x > 0.
4) A partir de uma cartolina medindo 10× 16 vamos construir uma caixa sem tampa como
segue: recortamos quadrados de lado x em cada um dos ve´rtices da cartolina e dobramos
as abas. Nessas condic¸o˜es, resolva os itens a seguir.
(a) Encontre a expressa˜o e o domı´nio da func¸a˜o V (x) que fornece o volume da caixa em
func¸a˜o de x.
(b) Determine os intervalos onde V e´ crescente e decrescente.
(c) Determine o valor de x ∈ dom(V ) que fornece o volume ma´ximo.
5) Suponha que, na produc¸a˜o de uma lata de refrigerante, o custo do material da lateral
e do fundo e´ de uma unidade moneta´ria por cent´ımetro quadrado, mas para o material
da tampa esse custo e´ de 98/27 unidades moneta´rias por cent´ımetro quadrado. Suponha
ainda que a lata seja cil´ındrica de raio r cm e altura h cm, conforme ilustra a figura
abaixo, e que o volume seja constante e igual a 53 pi cm3. A ma´quina que fabrica as latas
e´ capaz de fazer latas com raio da base r entre 1 e 6 cm.
(a) Obtenha a expressa˜o da altura h em func¸a˜o do raio r e do
volume da lata.
(b) Obtenha a a´rea lateral L(r) da lata em func¸a˜o do raio r.
(c) Obtenha o custo de produc¸a˜o C(r) de uma lata de raio r.
(d) Calcule o raio r0 que minimiza o custo de produc¸a˜o.
r
h
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 8 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1) (a) pontos cr´ıticos: x = 3
√
6 (mı´nimo local)
crescente em (−∞, 0) ∪ ( 3√6,+∞)
decrescente em (0, 3
√
6)
(b) pontos cr´ıticos: x = −1/2 (mı´nimo local); x = 2 (ma´ximo local)
crescente em (−1/2, 2)
decrescente em (−∞,−1/2) ∪ (2,+∞)
(c) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local); x = 2 (mı´nimo local)
crescente em (−∞, 0) ∪ (2,+∞)
decrescente em (0, 1) ∪ (1, 2)
Observe que estaria incorreto dizer que f e´ decrescente em (0, 2) porque 1 6∈ dom(f)
(d) pontos cr´ıticos: x = −2 (mı´nimo local); x = 2 (ma´ximo local)
crescente em (−2, 2)
decrescente em (−√8,−2) ∪ (2,√8)
(e) pontos cr´ıticos: x = −2 (ma´ximo local); x = 2 (mı´nimo local)
crescente em (−∞,−2) ∪ (2,+∞)
decrescente em (−2, 2)
(f) pontos cr´ıticos: x = −1 (ma´ximo local); x = 1 (mı´nimo local)
crescente em (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
decrescente em (−1, 1)
(g) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local)
crescente em (−3, 0)
decrescente em (0, 3)
(h) pontos cr´ıticos: x = 1 (mı´nimo local)
crescente em (1,+∞)
decrescente em (0, 1)
(i) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local) e x = 4 (mı´nimo local)
crescente em (0, 4)
decrescente em (−∞, 0) ∪ (4,+∞)
(j) pontos cr´ıticos: x = −10 (ma´ximo local) e x = 10 (mı´nimo local)
crescente em (−∞,−10) ∪ (10,+∞)
decrescente em (−10, 0) ∪ (0, 10)
Observe que estaria incorreto dizer que f e´ decrescente em (−10, 10) porque 0 6∈ dom(f)
2) Calcule a func¸a˜o em cada ponto cr´ıtico, estude os intervalos de crescimento e decresci-
mento e os limites no infinito.
3) Basta verificar que o ponto de mı´nimo absoluto da func¸a˜o x 7→ x + (1/x) no intervalo
(0,+∞) e´ x = 1.
4) (a) V (x) = x(10− 2x)(16− 2x) para x ∈ (0, 5)
(b) V e´ crescente em (0, 2) e decrescente em (2, 5)
(c) O valor ma´ximo ocorre quando x = 2 e vale V (2) = 144
5) (a) h = 53/r2 (b) L(r) = (2pi53)/r (c) C(r) = L(r)+ (pir53)/27 (d) r0 = 3
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