semana_09f

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o – Semana 9
Temas abordados : Concavidade e gra´ficos
Sec¸o˜es do livro: 3.2; 3.3
1) Para cada uma das func¸o˜es abaixo determine: pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos locais,
intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexa˜o, intervalos onde f e´ coˆncava
para cima e para baixo, ass´ıntotas verticais e horizontais. Em seguida fac¸a um esboc¸o do
gra´fico de f .
(a) f(x) = −2x3 − 3x2 + 12x+ 4
(b) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2
(c) f(x) = x+
3
x
(d) f(x) =
x3 − 2
x
(e) f(x) =
16− x2
(x− 2)2
(f) f(x) =
(x+ 1)2
1 + x2
(g) f(x) = x1/3(x− 4)
2) Conforme ilustra a figura abaixo, as a´reas dos retaˆngulos inscritos na circunfereˆncia
x2+y2 = 16 podem ser calculadas por meio da func¸a˜o A(x) = 4x
√
16− x2, com x ∈ [0, 4].
(a) Calcule os pontos cr´ıticos da func¸a˜o A(x) no intervalo (0, 4).
(b) Determine os intervalos de crescimento e os
de decrescimento da func¸a˜o A(x).
(c) Determine os intervalos em que a concavi-
dade do gra´fico de A(x) e´ voltada para baixo
e os intervalos em que concavidade e´ voltada
para cima.
(d) Esboce o gra´fico de A(x).
x
y
3) Suponha que o nu´mero de milhares de pessoas infectadas por um v´ırus seja modelado
pela func¸a˜o N(t) = −2t3+at2+bt+c, em que a, b e c sa˜o constantes e o tempo t e´ medido
em anos. Suponha ainda que, no instante t = 0, nove mil pessoas estavam infectadas,
um ano depois esse nu´mero atingiu um valor mı´nimo e, em seguida, cresceu ate´ atingir
um valor ma´ximo para t = 2.
(a) Determine as constantes a, b e c a partir das informac¸o˜es dadas.
(b) Determine o nu´mero de pessoas infectadas 1, 2 e 3 anos depois do instante t = 0.
(c) Determine a concavidade de N(t) e, em seguida, esboce o seu gra´fico para t ∈ [0, 3].
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 9 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1) (a) pontos cr´ıticos: x = −2 (mı´nimo local); x = 1 (ma´ximo local)
crescente em (−2, 1)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−2); (1,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−1/2)
concavidade voltada para baixo em: (−1/2,+∞)
ponto de inflexa˜o: x = −1/2
na˜o existem ass´ıntotas verticais e nem horizontais.
(b) pontos cr´ıticos: x = 0 (mı´nimo local); x = 1 (na˜o e´ extremo local)
crescente em (0,+∞)
decrescente em (−∞, 0)
concavidade voltada para cima em: (−∞, 1/3) ∪ (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (1/3, 1)
pontos de inflexa˜o: x = 1/3 e x = 1
na˜o existem ass´ıntotas verticais e nem horizontais.
(c) pontos cr´ıticos: x = −√3 (ma´ximo local); x = √3 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−√3); (√3,+∞)
decrescente em (−√3,√3)
concavidade volta para cima em: (0,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, 0)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: x = 0
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(d) pontos cr´ıticos: x = −1 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−1, 0); (0,+∞)
decrescente em: (−∞,−1)
concavidade volta para cima em: (−∞, 0) ∪ ( 3√2,+∞)
concavidade volta para baixo em: (0, 3
√
2)
pontos de inflexa˜o: x = 3
√
2
ass´ıntotas verticais: x = 0
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(e) pontos cr´ıticos: x = 8 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞, 2); (8,+∞)
decrescente em: (2, 8)
concavidade volta para cima em: (−∞, 11)
concavidade volta para baixo em: (11,+∞)
pontos de inflexa˜o: x = 11
ass´ıntotas verticais: x = 2
ass´ıntotas horizontais: y = −1
(f) pontos cr´ıticos: x = −1 (mı´nimo local); x = √1 (ma´ximo local)
crescente em (−1, 1)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−1); (1,+∞)
concavidade volta para cima em: (−√3, 0) ∪ (√3,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞,−√3) ∪ (0,√3)
pontos de inflexa˜o: x = −√3; x = 0; x = √3
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 1
(g) pontos cr´ıticos: x = 0 (na˜o e´ extremo local); x = 1 (mı´nimo local)
crescente em (1,+∞)
decrescente em (−∞, 1)
concavidade volta para cima em: (−∞,−2) ∪ (0,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−2, 0)
pontos de inflexa˜o: x = −2
na˜o existem ass´ıntotas verticais e nem horizontais
Observe que na˜o estaria correto dizer que x = 0 e´ ponto de inflexa˜o porque na˜o existe f ′(0)
2) (a) {√8} (b) cresce em (0,√8); decresce em (√8, 4) (c) coˆncava para baixo em (0, 4)
3) (a) a = 9; b = −12; c = 9 (b) 4000, 5000 e 0, respectivamente (c) coˆncava para cima em (0, (3/2));
coˆncava para baixo em ((3/2), 3)
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 9 - Pa´gina 2 de 2