semana_14f

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o – Semana 14
Temas abordados : Integral definida; Teorema Fundamental do Ca´lculo
Sec¸o˜es do livro: 5.3; 5.4
1) Calcule as integrais definidas abaixo.
(a)
∫
0
−2
(2x+ 5)dx (b)
∫ pi
0
sen (2x)dx
(c)
∫
1
0
x2ex
3
dx (d)
∫
4
0
4x√
x2 + 9
dx
(e)
∫ −1
1
(r + 1)2dr (f)
∫ pi/2
0
cos(θ) dθ
(g)
∫
2
−4
|y|dy (h)
∫ e
1
ln x
x
dx
(i)
∫
2
1
x
√
1 + x2dx (j)
∫
1
0
e
√
x
√
x
dx
2) Considere a func¸a˜o
f(x) =
∫ x3
a
sen3(t)dt
e note que, se F (x) =
∫ x
a
sen3(t)dt e c(x) = x3, enta˜o f(x) = (F ◦ c)(x). Use a regra da
cadeia e o Teorema Fundamental do Ca´lculo para determinar f ′(x).
3) Determine a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas dadas.
(a) f(x) =
√
x, g(x) = x2
(b) f(x) = 6− x2, g(x) = 3− 2x
(c) f(x) = x3 − x, g(x) = 0
(d) f(x) = |x− 2|, g(x) = 2− (x− 2)2
4) Para uma func¸a˜o cont´ınua f : [a, b] → R o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido pela
rotac¸a˜o do seu gra´fico em torno do eixo Ox e´ dado por V = ∫ b
a
pif(x)2dx. Calcule esse
volume no caso das func¸o˜es indicadas abaixo. Em seguida, fac¸a o gra´fico da func¸a˜o e
identifique qual o so´lido gerado pela rotac¸a˜o.
(a) f(x) = r, para x ∈ [0, h], onde h, r > 0
(b) f(x) =
r
h
x, para x ∈ [0, h], onde h, r > 0.
(c) f(x) =
√
r2 − x2, para x ∈ [−r, r], onde r > 0.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 14 - Pa´gina 1 de 3
5) Suponha que, no instante t, a posic¸a˜o em relac¸a˜o a` origem de uma part´ıcula que se
desloca ao longo de uma reta seja dada por s(t) =
∫ t
0
v, em que v : [0, 9] → R e´ a
func¸a˜o velocidade, cujo gra´fico esta´ ilustrado abaixo. Considere ainda que t seja dado
em segundos, que s(t) seja dada em metros e que, para 0 ≤ t ≤ 3, o gra´fico de v(t) seja
um segmento de reta. A partir do gra´fico da func¸a˜o velocidade, julgue os itens a seguir.
(a) A part´ıcula esta´ se afastando da origem
entre os instantes t = 5 e t = 6.
(b) A part´ıcula percorre menos de 4 metros
nos primeiros 3 segundos.
(c) No instante t = 6 a part´ıcula esta´ na ori-
gem.
(d) No instante t = 9 a posic¸a˜o da part´ıcula
e´ positiva.
(e) O espac¸o total percorrido pela part´ıcula
e´ igual a
∫
6
0
v −
∫
9
6
v.
–2
–1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
v
t
6) Considere a curva g(x) =
1
1 + x2
, definida para 0 ≤ x ≤ t. Ao girarmos o gra´fico de g
em torno do eixo Oy obtemos um so´lido cujo volume e´ dado por
V (t) =
∫ t
0
2pixg(x) dx = pi
∫ t
0
2x
1 + x2
dx
(a) Determine uma primitiva para a func¸a˜o (2x)/(1 + x2).
(b) Use o Teorema Fundamental do Ca´lculo para calcular o volume do so´lido no caso em
que t = 2.
(c) Calcule V (t) para t ≥ 0.
(d) Calcule agora V ′(t) e, em seguida, determine limt→∞ V
′(t).
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 14 - Pa´gina 2 de 3
RESPOSTAS
1) (a) 6
(b) 0
(c)
1
3
(e− 1)
(d) 8
(e) −8/3
(f) 1
(g) 10
(h) 1/2
(i) −16
3
√
2 +
5
3
√
5
(j) 2e− 2
2) Pela regra da cadeia f ′(x) = F ′(c(x))c′(x). Basta agora lembra que, pelo Teorema Fun-
damental do Ca´lculo F ′(x) = sen3(x), de modo que f ′(x) = 3x2 sen3(x3)
3) (a) 1/3
(b) 32/3
(c) 1/2
(d) ln(12)
4) (a) pir2h (cilindro circular reto de altura h e raio da base r)
(b)
1
3
pir2 (cone circular reto de altura h e raio da base r)
(c)
4
3
pir3 (esfera de raio r)
5) Itens corretos: (a), (d), (e)
6) (a) ln(1 + x2) +K
(b) V (2) = pi ln(5)
(c) V (t) = pi ln(1 + t2)
(d) V ′(t) = (2pit)/(1 + t2) e limt→∞ V
′(t) = 0.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 14 - Pa´gina 3 de 3