Aula 4 Flexão em vigas compostas

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18/08/2015
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Prof. Dr. Valkisfran L. Brito
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Lembrando teorias básicas
Introdução
� Muitas aplicações estruturais envolvem vigas feitas com dois 
materiais. 
� Exemplos disso incluem: 
� vigas feitas de madeira reforçadas com placas de metal 
ligadas às superfícies do topo e da base; 
� Vigas de concreto armado, nas quais são embutidas 
barras de aço para resistir às tensões de tração; etc..
� Os engenheiros projetam propositalmente vigas dessa 
maneira de forma que as vantagens oferecidas pelos 
materiais possam ser utilizadas de modo eficiente.
� Um método para solucionar duplo material é transformar a 
seção transversal de uma viga com dois materiais em uma 
seção transversal equivalente com um único material.
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O que é necessário para termos vigas 
equivalentes?
� Suponha uma pequena barra retangular de 
alumínio com módulo de elasticidade Ealum = 
70GPa usada como uma viga submetida à flexão. 
� A barra está sujeita a um momento fletor M = 
140.000 Nmm, e tem um momento de inércia em z 
de Ialum = 80.000 mm4. O raio de curvatura ρ dessa 
viga pode ser calculado por meio da equação...
� A deformação específica máxima pode ser 
determinada por meio da equação...
� A seguir, suponha que desejamos substituir a barra de alumínio por 
madeira, com módulo de elast. Emad = 10 Gpa, de forma que fique 
equivalente à viga de alumínio. 
� Perguntas:
� “Que dimensões são exigidas a fim de que a viga de madeira seja 
equivalente à viga de alumínio?”
� O que significa “equivalente” nesse contexto? 
� Para ser equivalente, a viga de madeira deve ter o mesmo raio de 
curvatura ρ e a mesma distribuição das deformações especificas εx
que a viga de alumínio para o momento fletor interno M. 
� Para produzir o mesmo ρ para o momento fletor de 140 Nm, o 
momento de inércia da viga deve ser aumentado para...
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� A viga de madeira deve ser maior do que a barra de alumínio a fim 
de que tenha o mesmo raio de curvatura. 
� Entretanto, a equivalência também exige que a viga de madeira 
exiba a mesma distribuição das deformações específicas. Como as 
deformações específicas são proporcionais a y, a viga de madeira 
deve ter as mesmas coordenadas y que a viga de alumínio, em 
outras palavras, a altura da viga de madeira deve ser igual a 40mm.
� O momento de inércia da viga de madeira deve ser maior do que o 
da barra de alumínio, mas a altura de ambas deve ser a mesma. 
Portanto, a viga de madeira deve ser mais larga do que a barra de 
alumínio para que as duas barras sejam equivalentes.
� Obs. 105 / 15 = 7
� Pergunta:
� Se as duas vigas forem equivalentes, as tensões normais 
oriundas da flexão são as mesmas?
� A tensão normal oriunda da flexão na madeira é um sétimo da 
tensão normal no alumínio. Portanto, as vigas equivalentes não 
possuem necessariamente as mesmas tensões normais oriundas da 
flexão, apenas o mesmo ρ e o mesmo εx.
� Neste exemplo, o modulo de elasticidade, as larguras das vigas e 
todas as tensões normais oriundas da flexão diferem de um fator 7. 
� O fator 7 que aparece ao longo de todo este exemplo é resultado da 
taxa modular entre os dois materiais.
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Método da seção transformada
� Desejamos agora transformar o Material 2 em uma quantidade 
equivalente do Material 1 e, uma vez feito isso, definir uma seção 
transversal nova constituída inteiramente do Material 1. 
� Para que essa seção transv. transformada seja válida, ela deve ser 
equivalente à seção transversal real, significando que as 
deformações específicas e a curvatura da seção transformada 
devem ser as mesmas da seção transversal real.
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Exemplo
Uma viga em balanço de 10 ft (3,05 m) de comprimento suporta uma carga 
uniformemente distribuída. A viga é construída com uma prancha de madeira 
(1), com 3 in (7,62 cm) de largura e 8 in (20,32 cm) de altura, que é reforçada 
em sua superfície superior por uma placa de alumínio (2) de 3 in (7,62 cm) 
de largura por 0,25 in (0,64 cm) de espessura. Determine as tensões 
normais máximas oriundas da flexão produzidas na madeira (1) e na placa 
de alumínio (2).
Dados:
Emadeira = 1.700 ksi
(11,72 Gpa)
Ealumínio = 10.200 ksi
(70,33 GPa)
Resolvendo:
1. Taxa Modular
2. Propriedades da seção
3. Momento fletor máximo
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4. Formula da flexão
• As tensões normais oriundas da flexão calculadas para a 
parte original de madeira da seção transversal são calculadas 
corretamente pela fórmula da flexão. As tensões normais 
oriundas da flexão calculadas para a placa de alumínio devem 
ser multiplicadas pela taxa modular n para levar em 
consideração a diferença entre os módulos de elasticidade 
dos dois materiais.
5. Tensões Normais Máximas Produzidas pela Flexão na Madeira
6. Tensões Normais Máximas Produzidas pela Flexão no Alumínio
7. Tensões Normais Provocadas pela Flexão na Intersecção dos Dois 
Materiais
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OBSERVAÇÕES
� Material auxiliado pelo livro
PHILPOT, Timothy A.. Mecânica dos Materiais - Um 
Sistema Integrado de Ensino, 2ª edição. LTC, 01/2013;
� Estudar: 
� Cap. 7, do livro Mecânica dos Materiais, Ugural, LTC; 
� Cap. 8, do livro Mecânica dos Materiais do Philpot, LTC;
� Cap. 6, do livro Resistencia dos Materiais, Hibbeler; 
� Cap. 7, do livro Mecânica dos Materiais, Riley, LTC;