Resumo 3 - Limites, limites laterais e limites infinitos

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RESUMO 3 
 
TEMA: LIMITES E CONTINUIDADE. 
 
 
“Um limite é uma concepção peculiar e fundamental, 
cujo uso na prova de proposições da Geometria Superior 
não pode ser suplantado por qualquer outra combinação 
de hipóteses e definições.” 
 
Willian Whewell 
Filósofo da Ciência 
 
1)INTRODUÇÃO. 
 
 O conceito de limite é a base sobre a qual se fundamenta a grande parte dos demais 
conceitos do Cálculo Diferencial e Integral. Este estudo se propõe a apresentar as noções intuitivas 
do conceito de limite que nos permitam compreender melhor as ideias básicas do Cálculo Diferencial 
e Integral, deixando para um momento posterior a apresentação das definições precisas deste 
conceito. 
 
2)LIMITES – UMA ABORDAGEM INTUITIVA 
A)Os Problemas do Cálculo. 
 
 Muitas das ideias básicas do Cálculo originaram-se a partir dos seguintes problemas 
geométricos: O problema da reta tangente e O problema da Área. 
 
O problema da reta tangente: Dada uma função f e um ponto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) em seu gráfico, encontre 
uma equação da reta que é tangente ao gráfico em P. 
 
 
 
O problema da Área: Dada uma função f, encontre a área entre o gráfico de f e um intervalo [a, b] no 
eixo x. 
 
 Tradicionalmente, a parte do Cálculo que se originou do problema da reta tangente é 
denominada Cálculo Diferencial, e a que foi originada do problema da área é denominada Cálculo 
Integral. Porém, posteriormente veremos que o problema da reta tangente e o da área estão tão 
estreitamente relacionados e que a distinção entre Cálculo Diferencial e Integral é bastante artificial. 
 
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B)A RETA TANGENTE E SUA RELAÇÃO COM OS LIMITES. 
 
Em geometria plana dizemos que uma reta é tangente a um círculo se o encontrar em um 
único ponto conforme a figura abaixo. 
 
No entanto esta definição não é adequada para curvas mais gerais. Observe o caso da curva 
representada abaixo, apesar da reta encontrar a curva em um único ponto é evidente que esta não é 
tangente á curva dada. 
 
Observe agora a curva da figura. 
 
 A reta parece ser tangente a curva, no entanto intersecta a mesma em dois pontos distintos. 
Portanto, precisamos de uma definição de reta tangente que se apliquem a curvas que não sejam 
círculos. 
 
A Reta tangente 
Seja o gráfico de uma função f a curva apresentada abaixo e P
 00 , yx
 um ponto desta 
curva. 
 
 Tomando-se um ponto genérico Q(x, f(x)) com Q

P e fazendo-o aproximar-se de P( pela 
direita e pela esquerda de P), pode acontecer que a reta PQ ( denominada reta secante à curva) 
tenda a uma posição-limite dada pela reta t. Neste caso t é chamada reta tangente à curva em 
P, desde que esta não seja vertical. 
Veja que este novo conceito de reta tangente também é adequado para apresentar retas 
tangentes a círculos, conforme figura abaixo: 
 
 
 
34 
 
Nem sempre a reta tangente ao gráfico de uma função existe. Observe o exemplo abaixo: 
 
 
 
Ao considerar-se o processo de aproximação do ponto Q ao ponto P pela direita e pela 
esquerda, têm-se duas retas 
1t
 e 
2t
 como posições-limite. Neste caso, não existe uma reta 
tangente t ao gráfico desta função no ponto P. 
 
Exemplo 1: Decida se o gráfico de f tem reta tangente ao ponto P, nos casos indicados na figura. 
 
 
R: Admite tangente: b e d 
Exemplo 2: Encontre uma equação para a reta tangente à parábola 𝑦 = 𝑥2 no ponto P(1, 1). 
R: y = 2x – 1. 
 
C) O CÁLCULO DE ÁREA E SUA RELAÇÃO COM OS LIMITES. 
 
 A noção geral de área também nos conduz ao conceito de limite. Para regiões planas com 
contornos formados por linhas retas as áreas podem ser calculadas subdividindo-se a região em 
retângulos ou triângulos e somando-se as áreas das partes constituintes. Observe: 
 
 
 No entanto para regiões cujo contorno é curvo, como na figura abaixo, se faz necessária uma 
abordagem mais geral. 
 
 
 
 Uma dessas abordagens é começar aproximando a área da região com certo número de 
retângulos inscritos de larguras iguais sob a curva, e somar as áreas desses retângulos. Observe: 
35 
 
 
 Intuitivamente se repetirmos este processo de aproximação com cada vez mais retângulos 
então eles tenderão a preencher o vazio sob a curva se aproximando cada vez mais da área exata sob 
a curva. 
 
 Portanto, podemos conceber a área sob a curva como sendo o valor limite dessas 
aproximações pelas somas das áreas dos retângulos. 
 
D)A SOMA DE UMA SÉRIE E SUA RELAÇÃO COM OS LIMITES. 
 
 Um dos paradoxos de Zenon apresentado por Aristóteles afirma que uma pessoa num certo 
ponto de uma sala não pode caminhar até a parede. Ela deve percorrer metade da distância, depois 
a metade da distância restante, e então novamente a metade da distância que restou e assim por 
diante de tal forma que o processo pode ser sempre continuado e não terá fim, isto é, ela não 
chegará até a parede. 
 
 Mas intuitivamente sabemos que ela pode chegar até a parede. E então o que acontece? 
 
 Na verdade é possível que a distância total possa ser expressa como uma soma de infinitas 
distâncias cada vez menores, como a seguir: 
 
 1 = 
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ … + 
1
2𝑛
+ ⋯ 
 
 Zenon afirmava que não fazia sentido somar um número infinito de números. Porém algumas 
somas infinitas (também chamadas de séries infinitas) tem um significado se utilizarmos a ideia de 
limite. 
 Considere 𝑆𝑛 a soma dos n primeiros termos da série infinita 
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ … + 
1
2𝑛
+ ⋯. Assim: 
36 
 
 
 
Ou seja à medida que somamos mais e mais termos a soma, as somas parciais ficam cada vez 
mais próximas de 1. Parece então razoável afirmar que a soma desta série infinita tende ao valor 
limite de 1. 
 
3)LIMITES. 
 
 O uso mais básico de limite é descrever o comportamento de uma função quando a variável 
independente tende a um determinado valor. 
 
 Seja a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 1 definida para x real. Vamos analisar o comportamento da função f 
quando x assume valores próximos de 2. Para tal elaboremos as tabelas 1 e 2: 
TABELA 1 : x se aproxima de 2 por valores à 
esquerda de 2: 
 
x f(x) 
 1 1 
1,5 1,75 
1,9 2,71 
1,99 2,9701 
1,999 2,997001 
 
TABELA 2: X se aproxima de 2 por valores a 
direita de 2. 
x f(x) 
 3 7 
2,5 4,75 
2,1 3,31 
2,01 3,030100 
2,001 3,003001 
 
Ou seja, os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de ___ à medida que escolhermos 
valores de x cada vez mais próximos de ___ por qualquer um dos lados, esquerdo ou direito . 
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Descrevemos isso dizendo que o “limite de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 1 é 3 quando x tende a 2 por qualquer 
um dos lados , e escrevemos lim
𝑥→3
𝑥2 − 𝑥 + 1= 3. 
Observe esse comportamento observando a representação gráfica desta função: 
 
Generalizando esta idéia podemos dizer que : 
“Se os valores de f(x) puderem ser tornados tão próximos quanto queiramos de L, desde que 
tomemos os valores de x suficientemente próximos de a ( mas não iguais a a ), então escreveremos 
 
 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
Que deve ser lido como “o limite de f(x) quando x tende a a é L.” 
Ainda podemos escrever: 𝑓(𝑥) → 𝐿 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 𝑎. 
OBS: Uma vez que x deve ser diferente de a então o valor de f em a não tem relação alguma com o 
limite L, bem como é indiferente se f estáou não definido em a. O limite descreve o comportamento 
de f próximo de a, mas não em a. 
 
 
Exemplo 1: A função f tem a sua representação gráfica dada por: 
 
 
Analise o comportamento de f e determine o valor de lim
𝑥→1
𝑥 −1
√𝑥−1
. 
 
 
 
 
 
38 
 
Exemplo 2: A tabela abaixo representa a função 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
 . 
 
 
 A partir da análise dela determine lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
. 
 
 
 
 
Verifique se a resposta que você obteve é consistente com a representação gráfica desta função 
apresentada abaixo. 
 
 
Resposta: lim
𝑥→0
 
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= 1 
 
 
4) Exercícios: 
A)Represente graficamente a função 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
 . Analisando o seu gráfico determine o 
lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
 
. 
R: 2 
Desafio: Represente graficamente a função 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
𝑥2−1
 . Analisando seu gráfico 
determine o lim
𝑥→1
𝑥−1
𝑥2−1
 ( sugestão: tome por base a função recíproca 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 ) 
 
 
39 
 
B) Dado o gráfico abaixo, determine os limites pedidos em cada caso (se existirem). 
 Gráfico 1 Gráfico 2 
 
1) Para o gráfico 1 : 
)(lim)
2
xfa
x 
 b)
)(lim
1
xf
x 
 c)
)(lim
2
xf
x
 
2) Para o gráfico 2: 
)(lim)
1
xfa
x
 b)
)(lim
1
xf
x 
 c)
)(lim
2
xf
x
 
R: 1.a) 0 1.b) -1 1.c)2 
 2.a) Não existe 2.b) 0 2.c)0 
 
4)LIMITES LATERAIS. 
 
 O limite lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 é denominado bilateral quando requer que os valores de f(x) fiquem 
cada vez mais próximos de L quando x tende a a por qualquer um dos dois lados ( direito ou 
esquerdo). No entanto existem funções que apresentam comportamentos distintos em cada um dos 
lados de um ponto a. Observe o comportamento da função 𝑓(𝑥) =
|𝑥|
𝑥
 quando x se aproxima de 0: 
 
 𝑓(𝑥) =
|𝑥|
𝑥 
= { 
𝑥
𝑥
 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥
𝑥
 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
 
 𝑓(𝑥) = {
1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−1 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
 
Analisando a representação gráfica desta função podemos concluir que: 
 
- Quando x se aproxima de 0 por valores maiores que 0, isto é, pelo lado direito, os valores de f(x) 
tendem ao limite 1 ( na verdade eles são exatamente iguais a 1 para todos esses x). Esse 
comportamento de f é denotado por : 
 
 lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = 1 
 
-Quando x se aproxima de 0 por valores menores que 0, isto é, pelo lado esquerdo, os valores de f(x) 
tendem ao limite -1. Esse comportamento de f é denotado por : 
 
 lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = −1 
 
 
40 
 
 
 
 Generalizando essas formas de conceber os limites temos que: 
 
 
- Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que 
tomemos os valores de x suficientemente próximos de a ( mas maiores que a), então escrevemos 
 
 lim
x→a+
f(x) = L 
 
 Este limite é lido como: “ L é o limite de f quando x tende a a pela direita.” 
 
-Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que 
tomemos valores de x suficientemente próximos de a ( mas menores do que a) então escrevemos: 
 
 
 lim
x→a−
f(x) = L 
 
 Este limite é lido como: “ L é o limite de f quando x tende a a pela esquerda.” 
 
 
OBS: 
 
Existem funções para as quais os valores de f(x) podem não se aproximar mais e mais de um único 
número real L quando 𝑥 → 𝑎 . Neste caso f não tem um limite bilateral no ponto a e dizemos que 
 
 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒. 
 
 Assim podemos estabelecer a seguinte relação entre limites laterais e bilaterais. 
 
 O limite bilateral de uma função f existe em um ponto a, se e somente se, existirem os limites 
laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor, isto é, 
 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑠𝑒, 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
41 
 
 Exemplo 1: Para as funções abaixo encontre os limites laterais e bilaterais em x = a, se eles 
existirem. 
 Graf 1 Graf 2 Graf 3 
 
 
 Respostas: Graf 1: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 3 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 1 
 Graf 2: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 3 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 1 
 Graf 3: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 3 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 1 
 
 Em todos os três casos, o limite lateral não existe para 𝑥 → 𝑎 pois os limites laterais não são iguais. 
 
 
Exemplo 2: Para as funções abaixo encontre os limites laterais e bilaterais em x = a se eles existirem. 
 
 
 
 
Respostas: 
Graf 1: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 2 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 2 
Graf 2: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 2 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 2 
Graf 3: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 2 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 2 
 
Como os limites laterais são iguais a 2 em todos os três casos podemos afirmar que para os gráficos 
1, 2 e 3 tem-se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 2 
 
5)Exercícios 
 
1)Para a função F representada graficamente abaixo, obtenha: 
a) lim
𝑥→−2−
𝐹(𝑥) b) lim
𝑥→−2+
𝐹(𝑥) c) lim
𝑥→−2
𝐹(𝑥) d)F(-2) 
 
2)Considere a função g cujo gráfico está representado abaixo. Para quais valores de 𝑥𝑜 com −7 ≤
𝑥0 ≤ 4 , existe limite de g(x)? 
42 
 
 
Respostas 
1 a)0 b)0 c)0 d)3 
2)Para todo 𝑥 ≠ −4 
 
6)LIMITES INFINITOS 
 
a) INTRODUÇÃO 
As vezes os limites laterais ou bilaterais não existem porque os valores da função crescem ou 
decrescem sem cotas. Observemos a partir da análise do seu gráfico o comportamento das funções 
apresentadas abaixo: 
EXEMPLO 1: Seja a função 
2)1(
1
)(


x
xf
 definida para 
}1{
 representada pelo gráfico: 
 
 Vamos Analisar o comportamento da função f para valores de x próximos de 1. O que você 
observa em relação ao comportamento desta função quando tomamos valores de x cada vez mais 
próximos de 1 pela direita? 
 
 E se tomarmos os valores de x cada vez mais próximos de 1 pela esquerda, qual o comportamento 
da função f? 
 
Tal comportamento pode ser descrito pela notação de limites do seguinte modo 
a)
2
1 )1(
1
lim
 xx
 = ∞ b) 

 21 )1(
1
lim
xx
 
EXEMPLO 2: Seja a função 
2)1(
1
)(


x
xf
 definida para 
1x
, representada pelo gráfico : 
43 
 
 
 
Descreva o comportamento desta função utilizando a notação de limites: 
a)
2
1 )1(
1
lim


 xx
 = b) 




2
1 )1(
1
lim
xx
 
EXEMPLO 3: ) Seja a função 
1
1
)(


x
xf
 definida para 
1x
, representada pelo gráfico: 
 
 
Descreva o comportamento desta função utilizando a notação de limite: 
a)

 1
1
lim
1 xx
 b) 

 1
1
lim
1 xx
 
 
 
De um modo geral podemos afirmar que: 
 
As expressões lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = +∞ 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = +∞ significamque f(x) cresce sem cota quando x 
tende a a pela direita ou pela esquerda, respectivamente. Se ambas as expressões são verdadeiras, 
escrevemos: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = +∞. 
 
De maneira análoga temos que as expressões lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = −∞ 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = −∞ significam que 
f(x) decresce sem cota quando x tende a a pela direita ou pela esquerda, respectivamente. Se ambas 
as expressões são verdadeiras, escrevemos: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = −∞. 
 
 
 
44 
 
Respostas dos exemplos: 
 
Exemplo 1: Para valores de x cada mais próximos de 1 pela esquerda e pela direita a função cresce 
sem cota, isto é a)
2
1 )1(
1
lim
 xx
 =+∞ b) 

 21 )1(
1
lim
xx
 
Exemplo 2: a)
2
1 )1(
1
lim


 xx
 =-∞ b) 



 21 )1(
1
lim
xx
 
Exemplo 3: a) 

 1
1
lim
1 xx
 +∞ b) 

 1
1
lim
1 xx
 -∞ 
 
 
 
b)ASSÍNTOTAS VERTICAIS 
 
A figura abaixo ilustra geometricamente o comportamento da função f descrito pelas expressões: 
 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = +∞, lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = +∞, lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = −∞ e lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = +∞ 
 
 
 Em cada um dos casos o gráfico da função f cresce ou decresce sem cota, aproximando-se 
cada vez mais da reta x = a á medida que x tende a a pela direita ou pela esquerda. Esta reta x = a é 
denominada assíntota vertical da curva y = f(x). ( O termo assíntota deriva do grego asymptotos, que 
significa “ que não pode coincidir”.) 
Exemplo 1: Observando o gráfico da função 𝑓(𝑥) =
𝑥2+2𝑥
𝑥2−1
 . 
 
Podemos verificar que x = 1 e x = -1 são assíntotas verticais do gráfico de f. 
 
45 
 
Exemplo 2: Determine a equação da assíntota vertical da função f(x) = ln x, representada 
graficamente por 
 
 
 
R: x = 0. 
 
7)Exercícios. 
 
1)Use o gráfico de y = f(x) para (−∞ < 𝑥 < 3) representado abaixo para determinar os limites: 
 
a)lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) b) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) c) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) d) lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) 
 
 
2)Para a função ∅ cujo gráfico está na figura abaixo, obtenha: 
 
a) lim
𝑥→4−
∅(𝑥) b) lim
𝑥→4+
∅(𝑥) c)lim
𝑥→4
∅(𝑥) d)∅(4) 
 
 
 
3)para a função f cujo gráfico está na figura abaixo, obtenha: 
 
a) lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) b) lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) c)lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) d)f(3) 
 
46 
 
 
 
4)Esboce o gráfico possível de uma função f tal que: 
 
a)O domínio de f é [-1,1]. 
b)f(-1)=f(0)=f(1)=0 
c) lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→+1−
𝑓(𝑥) = 1 
 
5)Esboce o gráfico possível de uma função f tal que: 
 
a) O domínio de f é (−∞, 0]. 
b) f(-2)=f(0)=1 
c) lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = +∞ 
 
 
 
 
6)Considere a função f cujo gráfico está na figura abaixo. Para que valores de 𝑥0 com −9 ≤ 𝑥𝑜 ≤ 4 , 
existe lim
𝑥→𝑥𝑜
𝑓(𝑥)? 
 
 
7)Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑦 = 𝑥2 em (-1, 1). 
 
8)Explique com suas palavras o significado da equação lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 . 
É possível, diante da equação acima, que f(2)=3 ? Explique. 
 
9)Explique o que significa para você dizer que lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 3 e lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 7 
Nessa situação é possível que exista lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) ?Explique. 
 
10)Explique o significado da notação lim
𝑥→ −3
𝑓(𝑥) = +∞. 
 
Respostas dos exercícios: 
 
1) a)0 b)1 c)+∞ d)−∞ 
2) a) +∞ b) +∞ c) +∞ d) Não está definido 
3) a) −∞ b)−∞ c)−∞ d)1 
4) Resposta possível. 
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5) Resposta possível. 
 
6)para todo 𝑥0 ≠ −6 𝑒 𝑥0 ≠ 3. 
 
7)y = -2x-1 
 
8)Significa que pode-se tomar os valores de f(x) tão próximos de 5 quanto se quer, desde que se 
tome os valores de x suficientemente próximo de 2, mas não igual a 2. 
Sim, pois o valor do limite para x→ 2 , não depende do valor da função definido para x = 2, isto é, f(2) 
pode assumir um valor diferente do limite de f quando x tende a 2. 
 
9) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 3 ∶ Significa que pode-se tomar os valores de f(x) tão próximos de 3 quanto se quer, 
desde que se tome os valores de x suficientemente próximos de 1( mas menores do que 1). 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 7 : significa que pode-se tomar os valores de f(x) tão próximos de 7 quanto se quer, 
desde que se tome os valores de x suficientemente próximos de 1( mas maiores que 1). 
Não existe o limite bilateral pois os limites laterais para x tendendo a 1 são diferentes. 
 
10) Significa que f(x) cresce sem cota quando x tende a -3 pela esquerda ou pela direita.