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Resumo 3 - Limites, limites laterais e limites infinitos

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ou não definido em a. O limite descreve o comportamento 
de f próximo de a, mas não em a. 
 
 
Exemplo 1: A função f tem a sua representação gráfica dada por: 
 
 
Analise o comportamento de f e determine o valor de lim
𝑥→1
𝑥 −1
√𝑥−1
. 
 
 
 
 
 
38 
 
Exemplo 2: A tabela abaixo representa a função 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
 . 
 
 
 A partir da análise dela determine lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
. 
 
 
 
 
Verifique se a resposta que você obteve é consistente com a representação gráfica desta função 
apresentada abaixo. 
 
 
Resposta: lim
𝑥→0
 
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= 1 
 
 
4) Exercícios: 
A)Represente graficamente a função 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
 . Analisando o seu gráfico determine o 
lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
 
. 
R: 2 
Desafio: Represente graficamente a função 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
𝑥2−1
 . Analisando seu gráfico 
determine o lim
𝑥→1
𝑥−1
𝑥2−1
 ( sugestão: tome por base a função recíproca 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 ) 
 
 
39 
 
B) Dado o gráfico abaixo, determine os limites pedidos em cada caso (se existirem). 
 Gráfico 1 Gráfico 2 
 
1) Para o gráfico 1 : 
)(lim)
2
xfa
x 
 b)
)(lim
1
xf
x 
 c)
)(lim
2
xf
x
 
2) Para o gráfico 2: 
)(lim)
1
xfa
x
 b)
)(lim
1
xf
x 
 c)
)(lim
2
xf
x
 
R: 1.a) 0 1.b) -1 1.c)2 
 2.a) Não existe 2.b) 0 2.c)0 
 
4)LIMITES LATERAIS. 
 
 O limite lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 é denominado bilateral quando requer que os valores de f(x) fiquem 
cada vez mais próximos de L quando x tende a a por qualquer um dos dois lados ( direito ou 
esquerdo). No entanto existem funções que apresentam comportamentos distintos em cada um dos 
lados de um ponto a. Observe o comportamento da função 𝑓(𝑥) =
|𝑥|
𝑥
 quando x se aproxima de 0: 
 
 𝑓(𝑥) =
|𝑥|
𝑥 
= { 
𝑥
𝑥
 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥
𝑥
 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
 
 𝑓(𝑥) = {
1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−1 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
 
Analisando a representação gráfica desta função podemos concluir que: 
 
- Quando x se aproxima de 0 por valores maiores que 0, isto é, pelo lado direito, os valores de f(x) 
tendem ao limite 1 ( na verdade eles são exatamente iguais a 1 para todos esses x). Esse 
comportamento de f é denotado por : 
 
 lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = 1 
 
-Quando x se aproxima de 0 por valores menores que 0, isto é, pelo lado esquerdo, os valores de f(x) 
tendem ao limite -1. Esse comportamento de f é denotado por : 
 
 lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = −1 
 
 
40 
 
 
 
 Generalizando essas formas de conceber os limites temos que: 
 
 
- Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que 
tomemos os valores de x suficientemente próximos de a ( mas maiores que a), então escrevemos 
 
 lim
x→a+
f(x) = L 
 
 Este limite é lido como: “ L é o limite de f quando x tende a a pela direita.” 
 
-Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que 
tomemos valores de x suficientemente próximos de a ( mas menores do que a) então escrevemos: 
 
 
 lim
x→a−
f(x) = L 
 
 Este limite é lido como: “ L é o limite de f quando x tende a a pela esquerda.” 
 
 
OBS: 
 
Existem funções para as quais os valores de f(x) podem não se aproximar mais e mais de um único 
número real L quando 𝑥 → 𝑎 . Neste caso f não tem um limite bilateral no ponto a e dizemos que 
 
 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒. 
 
 Assim podemos estabelecer a seguinte relação entre limites laterais e bilaterais. 
 
 O limite bilateral de uma função f existe em um ponto a, se e somente se, existirem os limites 
laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor, isto é, 
 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑠𝑒, 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
41 
 
 Exemplo 1: Para as funções abaixo encontre os limites laterais e bilaterais em x = a, se eles 
existirem. 
 Graf 1 Graf 2 Graf 3 
 
 
 Respostas: Graf 1: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 3 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 1 
 Graf 2: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 3 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 1 
 Graf 3: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 3 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 1 
 
 Em todos os três casos, o limite lateral não existe para 𝑥 → 𝑎 pois os limites laterais não são iguais. 
 
 
Exemplo 2: Para as funções abaixo encontre os limites laterais e bilaterais em x = a se eles existirem. 
 
 
 
 
Respostas: 
Graf 1: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 2 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 2 
Graf 2: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 2 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 2 
Graf 3: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 2 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 2 
 
Como os limites laterais são iguais a 2 em todos os três casos podemos afirmar que para os gráficos 
1, 2 e 3 tem-se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 2 
 
5)Exercícios 
 
1)Para a função F representada graficamente abaixo, obtenha: 
a) lim
𝑥→−2−
𝐹(𝑥) b) lim
𝑥→−2+
𝐹(𝑥) c) lim
𝑥→−2
𝐹(𝑥) d)F(-2) 
 
2)Considere a função g cujo gráfico está representado abaixo. Para quais valores de 𝑥𝑜 com −7 ≤
𝑥0 ≤ 4 , existe limite de g(x)? 
42 
 
 
Respostas 
1 a)0 b)0 c)0 d)3 
2)Para todo 𝑥 ≠ −4 
 
6)LIMITES INFINITOS 
 
a) INTRODUÇÃO 
As vezes os limites laterais ou bilaterais não existem porque os valores da função crescem ou 
decrescem sem cotas. Observemos a partir da análise do seu gráfico o comportamento das funções 
apresentadas abaixo: 
EXEMPLO 1: Seja a função 
2)1(
1
)(


x
xf
 definida para 
}1{
 representada pelo gráfico: 
 
 Vamos Analisar o comportamento da função f para valores de x próximos de 1. O que você 
observa em relação ao comportamento desta função quando tomamos valores de x cada vez mais 
próximos de 1 pela direita? 
 
 E se tomarmos os valores de x cada vez mais próximos de 1 pela esquerda, qual o comportamento 
da função f? 
 
Tal comportamento pode ser descrito pela notação de limites do seguinte modo 
a)
2
1 )1(
1
lim
 xx
 = ∞ b) 

 21 )1(
1
lim
xx
 
EXEMPLO 2: Seja a função 
2)1(
1
)(


x
xf
 definida para 
1x
, representada pelo gráfico : 
43 
 
 
 
Descreva o comportamento desta função utilizando a notação de limites: 
a)
2
1 )1(
1
lim


 xx
 = b) 




2
1 )1(
1
lim
xx
 
EXEMPLO 3: ) Seja a função 
1
1
)(


x
xf
 definida para 
1x
, representada pelo gráfico: 
 
 
Descreva o comportamento desta função utilizando a notação de limite: 
a)

 1
1
lim
1 xx
 b) 

 1
1
lim
1 xx
 
 
 
De um modo geral podemos afirmar que: 
 
As expressões lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = +∞ 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = +∞ significam