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32 RESUMO 3 TEMA: LIMITES E CONTINUIDADE. “Um limite é uma concepção peculiar e fundamental, cujo uso na prova de proposições da Geometria Superior não pode ser suplantado por qualquer outra combinação de hipóteses e definições.” Willian Whewell Filósofo da Ciência 1)INTRODUÇÃO. O conceito de limite é a base sobre a qual se fundamenta a grande parte dos demais conceitos do Cálculo Diferencial e Integral. Este estudo se propõe a apresentar as noções intuitivas do conceito de limite que nos permitam compreender melhor as ideias básicas do Cálculo Diferencial e Integral, deixando para um momento posterior a apresentação das definições precisas deste conceito. 2)LIMITES – UMA ABORDAGEM INTUITIVA A)Os Problemas do Cálculo. Muitas das ideias básicas do Cálculo originaram-se a partir dos seguintes problemas geométricos: O problema da reta tangente e O problema da Área. O problema da reta tangente: Dada uma função f e um ponto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) em seu gráfico, encontre uma equação da reta que é tangente ao gráfico em P. O problema da Área: Dada uma função f, encontre a área entre o gráfico de f e um intervalo [a, b] no eixo x. Tradicionalmente, a parte do Cálculo que se originou do problema da reta tangente é denominada Cálculo Diferencial, e a que foi originada do problema da área é denominada Cálculo Integral. Porém, posteriormente veremos que o problema da reta tangente e o da área estão tão estreitamente relacionados e que a distinção entre Cálculo Diferencial e Integral é bastante artificial. 33 B)A RETA TANGENTE E SUA RELAÇÃO COM OS LIMITES. Em geometria plana dizemos que uma reta é tangente a um círculo se o encontrar em um único ponto conforme a figura abaixo. No entanto esta definição não é adequada para curvas mais gerais. Observe o caso da curva representada abaixo, apesar da reta encontrar a curva em um único ponto é evidente que esta não é tangente á curva dada. Observe agora a curva da figura. A reta parece ser tangente a curva, no entanto intersecta a mesma em dois pontos distintos. Portanto, precisamos de uma definição de reta tangente que se apliquem a curvas que não sejam círculos. A Reta tangente Seja o gráfico de uma função f a curva apresentada abaixo e P 00 , yx um ponto desta curva. Tomando-se um ponto genérico Q(x, f(x)) com Q P e fazendo-o aproximar-se de P( pela direita e pela esquerda de P), pode acontecer que a reta PQ ( denominada reta secante à curva) tenda a uma posição-limite dada pela reta t. Neste caso t é chamada reta tangente à curva em P, desde que esta não seja vertical. Veja que este novo conceito de reta tangente também é adequado para apresentar retas tangentes a círculos, conforme figura abaixo: 34 Nem sempre a reta tangente ao gráfico de uma função existe. Observe o exemplo abaixo: Ao considerar-se o processo de aproximação do ponto Q ao ponto P pela direita e pela esquerda, têm-se duas retas 1t e 2t como posições-limite. Neste caso, não existe uma reta tangente t ao gráfico desta função no ponto P. Exemplo 1: Decida se o gráfico de f tem reta tangente ao ponto P, nos casos indicados na figura. R: Admite tangente: b e d Exemplo 2: Encontre uma equação para a reta tangente à parábola 𝑦 = 𝑥2 no ponto P(1, 1). R: y = 2x – 1. C) O CÁLCULO DE ÁREA E SUA RELAÇÃO COM OS LIMITES. A noção geral de área também nos conduz ao conceito de limite. Para regiões planas com contornos formados por linhas retas as áreas podem ser calculadas subdividindo-se a região em retângulos ou triângulos e somando-se as áreas das partes constituintes. Observe: No entanto para regiões cujo contorno é curvo, como na figura abaixo, se faz necessária uma abordagem mais geral. Uma dessas abordagens é começar aproximando a área da região com certo número de retângulos inscritos de larguras iguais sob a curva, e somar as áreas desses retângulos. Observe: 35 Intuitivamente se repetirmos este processo de aproximação com cada vez mais retângulos então eles tenderão a preencher o vazio sob a curva se aproximando cada vez mais da área exata sob a curva. Portanto, podemos conceber a área sob a curva como sendo o valor limite dessas aproximações pelas somas das áreas dos retângulos. D)A SOMA DE UMA SÉRIE E SUA RELAÇÃO COM OS LIMITES. Um dos paradoxos de Zenon apresentado por Aristóteles afirma que uma pessoa num certo ponto de uma sala não pode caminhar até a parede. Ela deve percorrer metade da distância, depois a metade da distância restante, e então novamente a metade da distância que restou e assim por diante de tal forma que o processo pode ser sempre continuado e não terá fim, isto é, ela não chegará até a parede. Mas intuitivamente sabemos que ela pode chegar até a parede. E então o que acontece? Na verdade é possível que a distância total possa ser expressa como uma soma de infinitas distâncias cada vez menores, como a seguir: 1 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + … + 1 2𝑛 + ⋯ Zenon afirmava que não fazia sentido somar um número infinito de números. Porém algumas somas infinitas (também chamadas de séries infinitas) tem um significado se utilizarmos a ideia de limite. Considere 𝑆𝑛 a soma dos n primeiros termos da série infinita 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + … + 1 2𝑛 + ⋯. Assim: 36 Ou seja à medida que somamos mais e mais termos a soma, as somas parciais ficam cada vez mais próximas de 1. Parece então razoável afirmar que a soma desta série infinita tende ao valor limite de 1. 3)LIMITES. O uso mais básico de limite é descrever o comportamento de uma função quando a variável independente tende a um determinado valor. Seja a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 1 definida para x real. Vamos analisar o comportamento da função f quando x assume valores próximos de 2. Para tal elaboremos as tabelas 1 e 2: TABELA 1 : x se aproxima de 2 por valores à esquerda de 2: x f(x) 1 1 1,5 1,75 1,9 2,71 1,99 2,9701 1,999 2,997001 TABELA 2: X se aproxima de 2 por valores a direita de 2. x f(x) 3 7 2,5 4,75 2,1 3,31 2,01 3,030100 2,001 3,003001 Ou seja, os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de ___ à medida que escolhermos valores de x cada vez mais próximos de ___ por qualquer um dos lados, esquerdo ou direito . 37 Descrevemos isso dizendo que o “limite de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 1 é 3 quando x tende a 2 por qualquer um dos lados , e escrevemos lim 𝑥→3 𝑥2 − 𝑥 + 1= 3. Observe esse comportamento observando a representação gráfica desta função: Generalizando esta idéia podemos dizer que : “Se os valores de f(x) puderem ser tornados tão próximos quanto queiramos de L, desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a ( mas não iguais a a ), então escreveremos lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 Que deve ser lido como “o limite de f(x) quando x tende a a é L.” Ainda podemos escrever: 𝑓(𝑥) → 𝐿 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 𝑎. OBS: Uma vez que x deve ser diferente de a então o valor de f em a não tem relação alguma com o limite L, bem como é indiferente se f estáou não definido em a. O limite descreve o comportamento de f próximo de a, mas não em a. Exemplo 1: A função f tem a sua representação gráfica dada por: Analise o comportamento de f e determine o valor de lim 𝑥→1 𝑥 −1 √𝑥−1 . 38 Exemplo 2: A tabela abaixo representa a função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 . A partir da análise dela determine lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 . Verifique se a resposta que você obteve é consistente com a representação gráfica desta função apresentada abaixo. Resposta: lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 = 1 4) Exercícios: A)Represente graficamente a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2−1 𝑥−1 . Analisando o seu gráfico determine o lim 𝑥→1 𝑥2−1 𝑥−1 . R: 2 Desafio: Represente graficamente a função 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 𝑥2−1 . Analisando seu gráfico determine o lim 𝑥→1 𝑥−1 𝑥2−1 ( sugestão: tome por base a função recíproca 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ) 39 B) Dado o gráfico abaixo, determine os limites pedidos em cada caso (se existirem). Gráfico 1 Gráfico 2 1) Para o gráfico 1 : )(lim) 2 xfa x b) )(lim 1 xf x c) )(lim 2 xf x 2) Para o gráfico 2: )(lim) 1 xfa x b) )(lim 1 xf x c) )(lim 2 xf x R: 1.a) 0 1.b) -1 1.c)2 2.a) Não existe 2.b) 0 2.c)0 4)LIMITES LATERAIS. O limite lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 é denominado bilateral quando requer que os valores de f(x) fiquem cada vez mais próximos de L quando x tende a a por qualquer um dos dois lados ( direito ou esquerdo). No entanto existem funções que apresentam comportamentos distintos em cada um dos lados de um ponto a. Observe o comportamento da função 𝑓(𝑥) = |𝑥| 𝑥 quando x se aproxima de 0: 𝑓(𝑥) = |𝑥| 𝑥 = { 𝑥 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 −𝑥 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 0 𝑓(𝑥) = { 1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 −1 𝑠𝑒 𝑥 < 0 Analisando a representação gráfica desta função podemos concluir que: - Quando x se aproxima de 0 por valores maiores que 0, isto é, pelo lado direito, os valores de f(x) tendem ao limite 1 ( na verdade eles são exatamente iguais a 1 para todos esses x). Esse comportamento de f é denotado por : lim 𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = 1 -Quando x se aproxima de 0 por valores menores que 0, isto é, pelo lado esquerdo, os valores de f(x) tendem ao limite -1. Esse comportamento de f é denotado por : lim 𝑥→0− 𝑓(𝑥) = −1 40 Generalizando essas formas de conceber os limites temos que: - Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a ( mas maiores que a), então escrevemos lim x→a+ f(x) = L Este limite é lido como: “ L é o limite de f quando x tende a a pela direita.” -Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos valores de x suficientemente próximos de a ( mas menores do que a) então escrevemos: lim x→a− f(x) = L Este limite é lido como: “ L é o limite de f quando x tende a a pela esquerda.” OBS: Existem funções para as quais os valores de f(x) podem não se aproximar mais e mais de um único número real L quando 𝑥 → 𝑎 . Neste caso f não tem um limite bilateral no ponto a e dizemos que lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒. Assim podemos estabelecer a seguinte relação entre limites laterais e bilaterais. O limite bilateral de uma função f existe em um ponto a, se e somente se, existirem os limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor, isto é, lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑠𝑒, 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 = lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) 41 Exemplo 1: Para as funções abaixo encontre os limites laterais e bilaterais em x = a, se eles existirem. Graf 1 Graf 2 Graf 3 Respostas: Graf 1: lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 3 𝑒 lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 1 Graf 2: lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 3 𝑒 lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 1 Graf 3: lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 3 𝑒 lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 1 Em todos os três casos, o limite lateral não existe para 𝑥 → 𝑎 pois os limites laterais não são iguais. Exemplo 2: Para as funções abaixo encontre os limites laterais e bilaterais em x = a se eles existirem. Respostas: Graf 1: lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 2 𝑒 lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 2 Graf 2: lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 2 𝑒 lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 2 Graf 3: lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 2 𝑒 lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 2 Como os limites laterais são iguais a 2 em todos os três casos podemos afirmar que para os gráficos 1, 2 e 3 tem-se lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 2 5)Exercícios 1)Para a função F representada graficamente abaixo, obtenha: a) lim 𝑥→−2− 𝐹(𝑥) b) lim 𝑥→−2+ 𝐹(𝑥) c) lim 𝑥→−2 𝐹(𝑥) d)F(-2) 2)Considere a função g cujo gráfico está representado abaixo. Para quais valores de 𝑥𝑜 com −7 ≤ 𝑥0 ≤ 4 , existe limite de g(x)? 42 Respostas 1 a)0 b)0 c)0 d)3 2)Para todo 𝑥 ≠ −4 6)LIMITES INFINITOS a) INTRODUÇÃO As vezes os limites laterais ou bilaterais não existem porque os valores da função crescem ou decrescem sem cotas. Observemos a partir da análise do seu gráfico o comportamento das funções apresentadas abaixo: EXEMPLO 1: Seja a função 2)1( 1 )( x xf definida para }1{ representada pelo gráfico: Vamos Analisar o comportamento da função f para valores de x próximos de 1. O que você observa em relação ao comportamento desta função quando tomamos valores de x cada vez mais próximos de 1 pela direita? E se tomarmos os valores de x cada vez mais próximos de 1 pela esquerda, qual o comportamento da função f? Tal comportamento pode ser descrito pela notação de limites do seguinte modo a) 2 1 )1( 1 lim xx = ∞ b) 21 )1( 1 lim xx EXEMPLO 2: Seja a função 2)1( 1 )( x xf definida para 1x , representada pelo gráfico : 43 Descreva o comportamento desta função utilizando a notação de limites: a) 2 1 )1( 1 lim xx = b) 2 1 )1( 1 lim xx EXEMPLO 3: ) Seja a função 1 1 )( x xf definida para 1x , representada pelo gráfico: Descreva o comportamento desta função utilizando a notação de limite: a) 1 1 lim 1 xx b) 1 1 lim 1 xx De um modo geral podemos afirmar que: As expressões lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = +∞ 𝑒 lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = +∞ significamque f(x) cresce sem cota quando x tende a a pela direita ou pela esquerda, respectivamente. Se ambas as expressões são verdadeiras, escrevemos: lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = +∞. De maneira análoga temos que as expressões lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑒 lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = −∞ significam que f(x) decresce sem cota quando x tende a a pela direita ou pela esquerda, respectivamente. Se ambas as expressões são verdadeiras, escrevemos: lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = −∞. 44 Respostas dos exemplos: Exemplo 1: Para valores de x cada mais próximos de 1 pela esquerda e pela direita a função cresce sem cota, isto é a) 2 1 )1( 1 lim xx =+∞ b) 21 )1( 1 lim xx Exemplo 2: a) 2 1 )1( 1 lim xx =-∞ b) 21 )1( 1 lim xx Exemplo 3: a) 1 1 lim 1 xx +∞ b) 1 1 lim 1 xx -∞ b)ASSÍNTOTAS VERTICAIS A figura abaixo ilustra geometricamente o comportamento da função f descrito pelas expressões: lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = +∞, lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = +∞, lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = −∞ e lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = +∞ Em cada um dos casos o gráfico da função f cresce ou decresce sem cota, aproximando-se cada vez mais da reta x = a á medida que x tende a a pela direita ou pela esquerda. Esta reta x = a é denominada assíntota vertical da curva y = f(x). ( O termo assíntota deriva do grego asymptotos, que significa “ que não pode coincidir”.) Exemplo 1: Observando o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2+2𝑥 𝑥2−1 . Podemos verificar que x = 1 e x = -1 são assíntotas verticais do gráfico de f. 45 Exemplo 2: Determine a equação da assíntota vertical da função f(x) = ln x, representada graficamente por R: x = 0. 7)Exercícios. 1)Use o gráfico de y = f(x) para (−∞ < 𝑥 < 3) representado abaixo para determinar os limites: a)lim 𝑥→0 𝑓(𝑥) b) lim 𝑥→2− 𝑓(𝑥) c) lim 𝑥→2+ 𝑓(𝑥) d) lim 𝑥→3− 𝑓(𝑥) 2)Para a função ∅ cujo gráfico está na figura abaixo, obtenha: a) lim 𝑥→4− ∅(𝑥) b) lim 𝑥→4+ ∅(𝑥) c)lim 𝑥→4 ∅(𝑥) d)∅(4) 3)para a função f cujo gráfico está na figura abaixo, obtenha: a) lim 𝑥→3− 𝑓(𝑥) b) lim 𝑥→3+ 𝑓(𝑥) c)lim 𝑥→3 𝑓(𝑥) d)f(3) 46 4)Esboce o gráfico possível de uma função f tal que: a)O domínio de f é [-1,1]. b)f(-1)=f(0)=f(1)=0 c) lim 𝑥→−1+ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→0 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→+1− 𝑓(𝑥) = 1 5)Esboce o gráfico possível de uma função f tal que: a) O domínio de f é (−∞, 0]. b) f(-2)=f(0)=1 c) lim 𝑥→−2 𝑓(𝑥) = +∞ 6)Considere a função f cujo gráfico está na figura abaixo. Para que valores de 𝑥0 com −9 ≤ 𝑥𝑜 ≤ 4 , existe lim 𝑥→𝑥𝑜 𝑓(𝑥)? 7)Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑦 = 𝑥2 em (-1, 1). 8)Explique com suas palavras o significado da equação lim 𝑥→2 𝑓(𝑥) = 5 . É possível, diante da equação acima, que f(2)=3 ? Explique. 9)Explique o que significa para você dizer que lim 𝑥→1− 𝑓(𝑥) = 3 e lim 𝑥→1+ 𝑓(𝑥) = 7 Nessa situação é possível que exista lim 𝑥→1 𝑓(𝑥) ?Explique. 10)Explique o significado da notação lim 𝑥→ −3 𝑓(𝑥) = +∞. Respostas dos exercícios: 1) a)0 b)1 c)+∞ d)−∞ 2) a) +∞ b) +∞ c) +∞ d) Não está definido 3) a) −∞ b)−∞ c)−∞ d)1 4) Resposta possível. 47 5) Resposta possível. 6)para todo 𝑥0 ≠ −6 𝑒 𝑥0 ≠ 3. 7)y = -2x-1 8)Significa que pode-se tomar os valores de f(x) tão próximos de 5 quanto se quer, desde que se tome os valores de x suficientemente próximo de 2, mas não igual a 2. Sim, pois o valor do limite para x→ 2 , não depende do valor da função definido para x = 2, isto é, f(2) pode assumir um valor diferente do limite de f quando x tende a 2. 9) lim 𝑥→1− 𝑓(𝑥) = 3 ∶ Significa que pode-se tomar os valores de f(x) tão próximos de 3 quanto se quer, desde que se tome os valores de x suficientemente próximos de 1( mas menores do que 1). lim 𝑥→1+ 𝑓(𝑥) = 7 : significa que pode-se tomar os valores de f(x) tão próximos de 7 quanto se quer, desde que se tome os valores de x suficientemente próximos de 1( mas maiores que 1). Não existe o limite bilateral pois os limites laterais para x tendendo a 1 são diferentes. 10) Significa que f(x) cresce sem cota quando x tende a -3 pela esquerda ou pela direita.
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