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Resumo 3 - Limites, limites laterais e limites infinitos

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que f(x) cresce sem cota quando x 
tende a a pela direita ou pela esquerda, respectivamente. Se ambas as expressões são verdadeiras, 
escrevemos: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = +∞. 
 
De maneira análoga temos que as expressões lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = −∞ 𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = −∞ significam que 
f(x) decresce sem cota quando x tende a a pela direita ou pela esquerda, respectivamente. Se ambas 
as expressões são verdadeiras, escrevemos: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = −∞. 
 
 
 
44 
 
Respostas dos exemplos: 
 
Exemplo 1: Para valores de x cada mais próximos de 1 pela esquerda e pela direita a função cresce 
sem cota, isto é a)
2
1 )1(
1
lim
 xx
 =+∞ b) 

 21 )1(
1
lim
xx
 
Exemplo 2: a)
2
1 )1(
1
lim


 xx
 =-∞ b) 



 21 )1(
1
lim
xx
 
Exemplo 3: a) 

 1
1
lim
1 xx
 +∞ b) 

 1
1
lim
1 xx
 -∞ 
 
 
 
b)ASSÍNTOTAS VERTICAIS 
 
A figura abaixo ilustra geometricamente o comportamento da função f descrito pelas expressões: 
 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = +∞, lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = +∞, lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = −∞ e lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = +∞ 
 
 
 Em cada um dos casos o gráfico da função f cresce ou decresce sem cota, aproximando-se 
cada vez mais da reta x = a á medida que x tende a a pela direita ou pela esquerda. Esta reta x = a é 
denominada assíntota vertical da curva y = f(x). ( O termo assíntota deriva do grego asymptotos, que 
significa “ que não pode coincidir”.) 
Exemplo 1: Observando o gráfico da função 𝑓(𝑥) =
𝑥2+2𝑥
𝑥2−1
 . 
 
Podemos verificar que x = 1 e x = -1 são assíntotas verticais do gráfico de f. 
 
45 
 
Exemplo 2: Determine a equação da assíntota vertical da função f(x) = ln x, representada 
graficamente por 
 
 
 
R: x = 0. 
 
7)Exercícios. 
 
1)Use o gráfico de y = f(x) para (−∞ < 𝑥 < 3) representado abaixo para determinar os limites: 
 
a)lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) b) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) c) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) d) lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) 
 
 
2)Para a função ∅ cujo gráfico está na figura abaixo, obtenha: 
 
a) lim
𝑥→4−
∅(𝑥) b) lim
𝑥→4+
∅(𝑥) c)lim
𝑥→4
∅(𝑥) d)∅(4) 
 
 
 
3)para a função f cujo gráfico está na figura abaixo, obtenha: 
 
a) lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) b) lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) c)lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) d)f(3) 
 
46 
 
 
 
4)Esboce o gráfico possível de uma função f tal que: 
 
a)O domínio de f é [-1,1]. 
b)f(-1)=f(0)=f(1)=0 
c) lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→+1−
𝑓(𝑥) = 1 
 
5)Esboce o gráfico possível de uma função f tal que: 
 
a) O domínio de f é (−∞, 0]. 
b) f(-2)=f(0)=1 
c) lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = +∞ 
 
 
 
 
6)Considere a função f cujo gráfico está na figura abaixo. Para que valores de 𝑥0 com −9 ≤ 𝑥𝑜 ≤ 4 , 
existe lim
𝑥→𝑥𝑜
𝑓(𝑥)? 
 
 
7)Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑦 = 𝑥2 em (-1, 1). 
 
8)Explique com suas palavras o significado da equação lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 5 . 
É possível, diante da equação acima, que f(2)=3 ? Explique. 
 
9)Explique o que significa para você dizer que lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 3 e lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 7 
Nessa situação é possível que exista lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) ?Explique. 
 
10)Explique o significado da notação lim
𝑥→ −3
𝑓(𝑥) = +∞. 
 
Respostas dos exercícios: 
 
1) a)0 b)1 c)+∞ d)−∞ 
2) a) +∞ b) +∞ c) +∞ d) Não está definido 
3) a) −∞ b)−∞ c)−∞ d)1 
4) Resposta possível. 
47 
 
 
5) Resposta possível. 
 
6)para todo 𝑥0 ≠ −6 𝑒 𝑥0 ≠ 3. 
 
7)y = -2x-1 
 
8)Significa que pode-se tomar os valores de f(x) tão próximos de 5 quanto se quer, desde que se 
tome os valores de x suficientemente próximo de 2, mas não igual a 2. 
Sim, pois o valor do limite para x→ 2 , não depende do valor da função definido para x = 2, isto é, f(2) 
pode assumir um valor diferente do limite de f quando x tende a 2. 
 
9) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 3 ∶ Significa que pode-se tomar os valores de f(x) tão próximos de 3 quanto se quer, 
desde que se tome os valores de x suficientemente próximos de 1( mas menores do que 1). 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 7 : significa que pode-se tomar os valores de f(x) tão próximos de 7 quanto se quer, 
desde que se tome os valores de x suficientemente próximos de 1( mas maiores que 1). 
Não existe o limite bilateral pois os limites laterais para x tendendo a 1 são diferentes. 
 
10) Significa que f(x) cresce sem cota quando x tende a -3 pela esquerda ou pela direita.