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68 RESUMO 5 LIMITES NO INFINITO 1)LIMITES INFINITOS E O COMPORTAMENTO FINAL DE UMA FUNÇÃO. A) Introdução. Saber o que acontece com um fenômeno após um “longo tempo” é algo que pode interessar a economistas, biólogos ou físicos. Um biólogo pode estar interessado em estimar o tamanho de uma colônia de bactérias após um longo período de observação. Para um empresário pode ser útil saber qual será o custo médio de produção para fabricar um determinado produto se o nível de produção aumentar indefinidamente. Os Limites infinitos são ferramentas que podem nos auxiliar a analisar tais fenômenos. B) Os Limites no infinitos e análise do comportamento de funções. Vamos analisar o comportamento da função x xf 1 )( quando x cresce sem parar (sem cota), o que simbolicamente se indica por x e quando x decresce sem parar (decresce sem cota) cujo símbolo é 𝑥 → −∞. Tal comportamento pode ser descrito utilizando-se a notação de limite . Assim : lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 = lim 𝑥→−∞ 1 𝑥 = Algumas vezes dizemos que o comportamento final de uma função f é o comportamento desta função quando x cresce sem parar ou decresce sem parar. Ou seja, a função 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 tem comportamento final dado por: lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 =0 e lim 𝑥→−∞ 1 𝑥 =0 x y 69 Podemos verificar numericamente tal resultado por meio da tabela: Assim sob um ponto de vista informal temos que: Analisemos o comportamento da função f em cada situação apresentada. SITUAÇÃO 1: Seja f representada graficamente por: Para esta função temos que lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿 , isto é, o gráfico de f se aproxima tanto quanto queiramos da reta y = L quando x cresce sem parar. 70 SITUAÇÃO 2: Na situação 2 o gráfico de f se aproxima tanto quanto queiramos da reta y = L quando x decresce sem parar. Se ocorrer um desses limites ( Da situação 1 ou da situação 2) dizemos que a reta y = L é uma assíntota horizontal do gráfico de f. Exemplo 1: Determine a(s) assíntota(s) horizontal(is) da função x xf 1 )( . ( O seu gráfico está representado no início deste resumo). Exemplo 2:Determine a(s) assíntotas horizontal(is) da função f(x) = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 representada abaixo: Exemplo 3: Seja a função 𝑓(𝑥) = (1 + 1 𝑥 ) 𝑥 . A figura abaixo mostra o seu gráfico. Determine a(s) assíntota(s) horizontal(is) da função f. 71 Respostas Exemplos: Exemplo 1: y = 0 é assíntota para o sentido positivo e para o sentido negativo. Exemplo 2: 𝑦 = 𝜋 2 é 𝑎𝑠𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜. : 𝑦 = − 𝜋 2 é 𝑎𝑠𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. Exemplo 2: y = e é assíntota tanto para o sentido positivo quanto para o sentido negativo. 2) REGRAS PARA LIMITES INFINITOS. Lembremos que para limites tais que x→ 𝑎 são válidas os seguintes resultados: Tais resultados não se alteram em limites nos quais 𝑥 → +∞ ou 𝑥 → −∞ . Além disso podemos mostrar que são válidas as seguintes regras para limites no infinito: 72 Se n é um número inteiro positivo, então: 1) lim 𝑥→+∞ (𝑓(𝑥))𝑛 = ( lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥)) 𝑛 ou lim 𝑥→−∞ (𝑓(𝑥))𝑛 = ( lim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥)) 𝑛 Desde que tais limites existam. 2) lim 𝑥→+∞ 𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) ou lim 𝑥→−∞ 𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) Desde que tais limites existam. 3) lim 𝑥→+∞ 𝑘 = 𝑘 ou lim 𝑥→−∞ 𝑘 = 𝑘 , isto é, limite de uma constante quando x +∞ ou x→ −∞ é a própria constante. Usando estas regras e alguns resultados obtidos anteriormente vamos generalizar alguns resultados e calcular alguns limites especiais : a) lim 𝑥→+∞ 1 𝑥𝑛 = lim 𝑥→+∞ ( 1 𝑥 ) 𝑛 = ( lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 ) 𝑛 = 0 Exemplo: lim 𝑥→+∞ 1 𝑥4 = 0 b) ) lim 𝑥→−∞ 1 𝑥𝑛 = lim 𝑥→−∞ ( 1 𝑥 ) 𝑛 = ( lim 𝑥→−∞ 1 𝑥 ) 𝑛 = 0 Exemplo: lim 𝑥→−∞ 1 𝑥3 = 0 c) lim 𝑥→+∞ (1 + 1 2𝑥 ) 𝑥 = lim 𝑥→+∞ ((1 + 1 2𝑥 ) 2𝑥 ) 1 2 =[ lim 𝑥→+∞ (1 + 1 2𝑥 ) 2𝑥 ] 1 2 =𝑒 1 2 =√𝑒 3)LIMITES INFINITOS NO INFINITO. 3.1 ) Introdução Os limites no infinito também podem deixar de existir em determinadas condições. Uma possibilidade é que os valores de f(x) cresçam ou decresçam sem cota quando 𝑥 → +∞ 𝑜𝑢 𝑥 → −∞. 3.2) Limites da função potência 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 quando 𝒙 → ∞ 𝟎𝒖 𝒙 → −∞ e n é um número inteiro e positivo. Observe o comportamento de algumas funções potências para n = 1,2,3, e 4. 73 De um modo geral temos que: A) Se n é um número inteiro e positivo: 1) n x xlim 2) ímparénse parénse xn x lim Exemplos: a) lim 𝑥→−∞ 𝑥3 = −∞ b) a) lim 𝑥→−∞ 𝑥4 = +∞ B) Se n é um número inteiro e positivo: 1) Se c>0, tem-se n x cxlim 2) Se c<0, tem-se n x cxlim Exemplos: a) lim 𝑥→∞ 3𝑥4 = +∞ b) lim 𝑥→∞ −5𝑥3 = −∞ C) Se n é um número inteiro e positivo: 1) 0 0 lim ceímparén ceparén secxn x 2) 0 0 lim ceímparén ceparén secxn x Exemplos: 𝑎) lim 𝑥→−∞ 3𝑥4 = +∞ b) lim 𝑥→−∞ −3𝑥5 = +∞ c) lim 𝑥→−∞ −3𝑥4 = −∞ d) ) lim 𝑥→−∞ 3𝑥5 = −∞ Exercícios: Estude o comportamento das funções abaixo, nas situações indicadas: 69lim) xa x b) 33lim x x c) 75lim x x d) 64lim x x 74 e) 45lim x x f) 3 8 lim xx g) 4 5 lim xx h) )3(lim 5x x R a) +∞ b)−∞ c) +∞ d) −∞ e) +∞ f)0 g) 0 h) −∞ 4)LIMITE DE FUNÇÕES POLINOMIAIS QUANDO 𝒙 → ±∞ EX 1: Seja 1432)( 234 xxxxxf . Determine ).(lim xf x EX2: Seja .1263)( 2 xxxf Determine ).(lim xf x Respostas dos exemplos: 1) ) +∞ 2) +∞ Ou seja, de um modo geral tem-se: n n x n n n n x xaaxaxaxa lim)...(lim 01 1 1 Ou n n x n n n n x xaaxaxaxa lim)...(lim 01 1 1 Isto é o comportamento final de uma função polinomial coincide com o comportamento final do seu termo de maior grau. Exemplo: a) lim 𝑥→−∞ (2𝑥5 − 3𝑥3 + 2𝑥 − 1) = lim 𝑥→−∞ 2𝑥5 = −∞ b) lim 𝑥→−∞ −4𝑥8 + 17𝑥3 − 5𝑥 + 1 = lim(−4𝑥8) = −∞ 5)LIMITE DE FUNÇÕES RACIONAIS QUANDO 𝑥 → ±∞ . Observe os dois exemplos desenvolvidos abaixo: 75 76 Simplificando o cálculo dos limites de funções racionais quando x → ±∞ . A partir dos resultados apresentados e considerando que o comportamentofinal de um polinômio coincide com o comportamento final do seu termo de maior grau podemos adotar o seguinte resultado para calcular limites de funções racionais: O comportamento final de uma função racional coincide com o comportamento final do quociente do termo de maior grau do numerador dividido pelo termo de maior grau do denominador. Agora vamos resolver os limites propostos nos exemplos acima utilizando este modo simplificado de cálculo: a) lim 𝑥→+∞ 3𝑥+5 6𝑥−8 b) lim 𝑥→−∞ 4𝑥2−𝑥 2𝑥3−5 c) lim 𝑥→+∞ 5𝑥3−2𝑥2+1 1−3𝑥 d) 53 123 lim 2 3 xx xx x 77 Exercícios: 1) Crie uma função racional e determine seu limite para x . R: Resposta individual. 2)Estude o comportamento das funções abaixo: a) 12 123 lim 2 5 x xx x b) 12 135 lim 5 2 x xx x c) 122(lim 45 xx x ) d) 544lim 12 xx x e) 147lim 13 xx x f) 5321 16 lim 3 5 tt tt t R: a) +∞ b)0 c) - ∞ d) - ∞ e) + ∞ f) - ∞ 3) O gerente de uma empresa observa que, t meses após começar a fabricação de um novo produto, o número de unidades fabricadas será P milhares, onde 𝑃(𝑡) = 6𝑡2+5𝑡 (𝑡+1)2 . O que ocorrerá com a produção a longo prazo ? R: Se estabilizará em 6.000 indivíduos. 4)Duas espécies coexistem em um mesmo ecossistema. A espécie I tem uma população P(t) e a espécie II tem uma população Q(t), ambas em milhares de indivíduos, onde t é o tempo em anos e e P e Q são modeladas pelas funções: 𝑃(𝑡) = 30 𝑡+3 e 𝑄(𝑡) = 64 4−𝑡 para todos os instantes de tempo 𝑡 ≥ 0 para as quais as populações respectivas são não negativas. a)Qual é a população inicial de cada espécie? b)O que acontece com P(t) quando t aumenta? E com Q(t)? 5)Para estudar o aprendizado em animais , um estudante de psicologia realizou um experimento no qual um rato teve que percorrer várias vezes o mesmo labirinto. Suponha que o tempo que o rato leva para atravessar o labirinto na enésima tentativa tenha sido da ordem de 𝑇(𝑛) = 5𝑛+17 𝑛 minutos. O que acontece com esse tempo quando o número n de tentativas aumenta indefinidamente? Interprete este resultado. R: O tempo se estabilizará em 5 minutos. 6)LIMITE ENVOLVENDO RADICAIS. Exemplo 1 : Encontre lim 𝑥→+∞ √ 3𝑥+5 6𝑥−8 3 R: √ 1 2 3 Exemplo 2: Encontre a) lim 𝑥→+∞ √𝑥2+2 3𝑥−6 b) lim 𝑥→−∞ √𝑥2+2 3𝑥−6 R; a)1/3 b)-1/3 Exemplo 3: lim 𝑥→+∞ √𝑥6 + 5 − 𝑥3 R: 0 Exemplo 4: lim 𝑥→+∞ √𝑥6 + 5𝑥3 - 𝑥3 R: 5/2 78 Analise o gráfico das funções dos exemplos dados e verifique a validade de suas respostas. 7) COMPORTAMENTO FINAL DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS. 7.1) Funções Trigonométricas. Seja f(x) = sen x cujo gráfico está representado abaixo. Os limites dessa função para 𝑥 → +∞ e x→ −∞ deixam de existir porque os valores f(x) variam entre -1 e 1 sem se aproximar de nenhum número real específico. Em geral as funções trigonométricas deixam de possuir limites para 𝑥 → +∞ e x→ −∞ devido a periodicidade de tais funções. Não existe uma notação específica para denotar este tipo de comportamento. 7.2)Funções Exponenciais e logarítmicas. Observemos os gráficos das funções 𝑦 = ln 𝑥 , 𝑦 = 𝑒𝑥 e 𝑦 = 𝑒−𝑥. A partir da sua análise vamos determinar os limites para os casos onde x cresce sem cota ou decresce sem cota (𝑥 → +∞ e x→ −∞ ). 79 Neste caso temos : lim 𝑥→+∞ ln 𝑥 = +∞ 𝑒 lim 𝑥→+∞ 𝑒𝑥 = +∞ lim 𝑥→−∞ 𝑒𝑥 = 0 e lim 𝑥→0+ ln 𝑥 = −∞ Levando-se em consideração que o gráfico de 𝑦 = 𝑒−𝑥 é uma reflexão em relação ao eixo y do gráfico da função y = 𝑒𝑥 conforme mostra o gráfico abaixo podemos determinar os limites : lim 𝑥→+∞ 𝑒−𝑥 = 0 e lim 𝑥→−∞ 𝑒−𝑥 = +∞ 80 8)EXERCÍCIOS Respostas Questões 1, 2, 3 e 4. 5) Para a função g do gráfico abaixo encontre : a) lim 𝑥→−∞ 𝑔(𝑥) e b) lim 𝑥→∞ 𝑔(𝑥) 81 6)Para a função ∅ do gráfico abaixo, encontre:a) lim 𝑥→−∞ ∅(𝑥) e b) lim 𝑥→∞ ∅(𝑥). 7)Dado que lim 𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = 3, lim 𝑥→∞ 𝑔(𝑥) = −5 e lim 𝑥→∞ ℎ(𝑥) = 0 . Encontre os limites que existirem. Se o limite não existir explique por quê. 8) Seja 𝑓(𝑥) = { 2𝑥2 + 5 𝑠𝑒 𝑥 < 0 3−5𝑥3 1+4𝑥+𝑥3 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 . Encontre: a) lim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) 𝑏) lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥). 82 9)Encontre os limites: 10) 11)Encontre o limite lim 𝑥→+∞ √𝑥2 + 3 − 𝑥 . 83 12)Discuta os limites de 𝑝(𝑥) = (1 − 𝑥)𝑛 quando 𝑥 → +∞ e x→ −∞ para valores inteiros e positivos de n. 13)Encontre os limites: a) lim 𝑥→0+ 𝑒 1 𝑥 b) lim 𝑥→−∞ 1−𝑒𝑥 1+𝑒𝑥 c) lim 𝑥→1− [ln (1 − 𝑥)] d) lim 𝑥→+∞ ( 𝑒𝑥+𝑒−𝑥 𝑒𝑥−𝑒−𝑥 ) e) lim 𝑥→+∞ [ln(𝑥2 − 1) − ln (𝑥 + 1)] f) lim 𝑥→+∞ (1 − 1 𝑥 ) −𝑥 g) lim 𝑥→+∞ (1 + 3 𝑥 )𝑥 h) lim 𝑥→+∞ (1 + 4 𝑥 )2𝑥 i) lim 𝑥→−∞ (1 + 1 𝑥 )𝑥+2 RESPOSTAS 5 a) -∞ b) + ∞ 6) a) 0 b)-1 7)a)-12 b)21 c)-15 d)25 e)2 f)3/5 g)0 h)não existe. 8) a) +∞ b)-5 Questão 9 9.7) -∞ 9.9)+ ∞ 9.11) 3/2 9.13)0 9.15) 0 9.17) − √5 3 2 9.19)−√5 9.21) 1 √6 9.23)√3 9.25)- ∞ 9.27) -1/7 10) lim 𝑡→+∞ 𝑛(𝑡) = +∞ e lim 𝑡→+∞ 𝑒(𝑡) = 𝑐 11)0 12) lim 𝑥→+∞ 𝑝(𝑥) = (−1)𝑛∞ e lim 𝑥→−∞ 𝑝(𝑥) = +∞ 13) a)+ ∞ b)1 c ) - ∞ d)1 e)+ ∞ f)e g) 𝑒3 h)𝑒8 i) 1 𝑒
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