Resumo 6 - Continuidade e descontinuidade

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RESUMO 6_17 - Engenharia 
TEMA: CONTINUIDADE 
1)INTRODUÇÃO. 
 
Ao estudarmos o cálculo de limites verificamos que existem funções, tais como as polinomiais, cujo 
cálculo do limite de x tendendo a se reduz ao cálculo do valor numérico desta função para x = a. Tal 
propriedade caracteriza as funções ditas contínuas em a. De fato, existe uma relação estreita entre o 
significado cotidiano da palavra continuidade e a definição matemática de continuidade. Veremos que as 
funções contínuas, em geral, são aquelas que crescem ou decrescem gradualmente, sem grandes interrupções 
ou mudanças repentinas. 
 
2) DEFNIÇÃO DE CONTINUIDADE EM UM NÚMERO a. 
 Dada uma função real f e um numero real a. 
 Uma função é contínua em um número a se lim
𝑥→𝑎
𝑓𝑥) = 𝑓(𝑎). 
Tal definição requer três condições para que ocorra a continuidade de f em a: 
1. A função esteja definida em x = a, isto é, exista f(a), o que é equivalente a dizer que o 
número a pertence ao domínio de f. 
2. Existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) , logo f deve ser definida em um intervalo aberto que contenha a. 
3. lim
𝑥→𝑎
𝑓𝑥) = 𝑓(𝑎). 
“Traduzindo” esta definição, podemos dizer que f é contínua em a se f(x) tender a f(a) quando x 
aproxima-se de a. Na verdade a função contínua f tem a propriedade que uma pequena variação em x 
produza apenas uma pequena variação em f(x). Na linguagem de limites dizemos que a variação em f(x) 
pode ser mantida tão pequena quanto desejarmos mantendo a variação em x suficientemente pequena. Esta 
idéia de uma pequena variação em x produzir uma pequena variação em f(x) é coerente com o significado 
cotidiano de continuidade que tem a ver com ausência de interrupções ou mudanças repentinas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Se f não for contínua em c, dizemos que f é descontínua em c, ou f tem uma descontinuidade em c. 
 Observe os gráficos abaixo. Eles representam funções f que apresentam uma descontinuidade em c. 
 
 
 
No gráfico do item a f é descontínua em c, pois a função não está definida em c. 
Nos gráficos dos itens b e c f é descontínua em c, pois não existe o limite de f quando x tende a c. 
No gráfico do item d f é descontínua em c, pois lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑐). 
 
 
Exemplo 1: Seja a função f representada abaixo. 
 
 
 
Em quais números reais f é descontínua? Por quê? 
 
Exemplo 2: Onde cada uma das seguintes funções é descontínua? 
 
a)𝑓(𝑥) =
𝑥2−𝑥−2
𝑥−2
 
b)f(x)= {
1
𝑥2
 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
1 𝑠𝑒 𝑥 = 0
 
 
c)𝑓(𝑥) = {
𝑥2−𝑥−2
𝑥−2
 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 2
1 𝑠𝑒 𝑥 = 2
 
 
 
Respostas : 
 
Exemplo: Em x = 1 pois f não está definida neste ponto. 
 Em x = 3 pois não existe limite de f quando x tende a 3. 
 Em x = 5 pois lim
𝑥→5
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(5). 
 
Exemplo 2: a) Em x = 2 pois a função não está definida em x = 2. 
 b) Em x = 0 pois não existe o limite de f para x tendendo a 0. 
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 c)Em x = 2 pois lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(2). 
 
 
 
3)CONTINUIDADE EM UM INTERVALO. 
 
A função f é contínua em um intervalo aberto (a,b), se f é contínua em cada ponto deste intervalo 
(a,b). Tal definição também se aplica para intervalos infinitos da forma (a,+∞), (−∞, 𝑏) 𝑒 (−∞, +∞). 
Quando f é contínua em (−∞, +∞) dizemos que f é contínua em toda parte. 
Observemos que a definição de continuidade envolve a existência de um limite bilateral, e em geral 
ela não se aplica aos extremos de um intervalo fechado [a,b] ou aos extremos de intervalos do tipo (a,b], 
[a,b), (−∞, 𝑏] 𝑜𝑢 [𝑎, +∞). 
Para contornar este problema vamos admitir que uma função é contínua nos pontos extremos de um 
intervalo se o valor numérico desta função no ponto extremo for igual ao limite lateral adequado naquele 
ponto. 
Tomemos como exemplo a função f representada abaixo: 
 
 
 
Temos que f é contínua no ponto extremo à direita do intervalo [a,b] porque lim
𝑥→𝑏−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏). 
 
Por outro lado f não é contínua no ponto extremo à esquerda do intervalo [a,b] pois 
 lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑎) . 
 
De um modo geral dizemos que uma função f é contínua à esquerda no ponto c se, 
 
 lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐). 
 
E f é contínua à direita no ponto c se, 
 
 lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐). 
 
A partir dessas considerações apresentamos a definição de continuidade de uma função em um 
intervalo fechado: 
 
Uma função f é dita contínua em um intervalo fechado [a,b] se as seguintes condições são satisfeitas: 
 
1. f é contínua em (a,b). 
2. f é contínua à direita em a. 
3. f é contínua à esquerda em b. 
 
Exemplo1: O que pode ser dito sobre a continuidade da função 𝑓(𝑥) = √9 − 𝑥2 ? 
 
R: f é contínua no intervalo fechado [-3,3]. 
Exemplo 2: Mostre que a função 𝑓(𝑥) = 1 − √1 − 𝑥2 é contínua no intervalo [-1,1]. 
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4)A CONTINUIDADE PARA FUNÇÕES POLINOMIAIS E RACIONAIS. 
 
TEOREMA 2: 
 
a)Uma função polinomial é contínua em toda parte, isto é, é continua no intervalo aberto (+∞, −∞) 
b)Uma função racional é contínua em cada ponto em que o denominador não se anula e tem 
 descontinuidades nos pontos em que o denominador é zero. 
 
OBS: Podemos interpretar o item b da seguinte forma: “toda função racional é contínua em seu domínio”. 
 
Demonstração: 
 
Para mostrar que uma função é contínua em toda parte, verificamos que ela contínua em um ponto 
arbitrário. 
 
 Demonstramos anteriormente que se f é uma função polinomial e a um número real arbitrário temos 
que 
 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). 
 
 Ou seja, podemos concluir a partir deste resultado demonstrado que uma função polinomial é 
contínua em toda parte. 
 Por conseguinte, uma vez que as funções racionais são quocientes entre polinômios e os polinômios 
são contínuos em toda parte tem-se que as funções racionais são contínuas nos pontos em que o 
denominador não se anula. Já nos pontos em que o denominador se anula a função racional tem 
descontinuidade. 
 
Exemplo 1: Mostre que o polinômio 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 − 1 é continua em x = 1. 
 
Exemplo 2: Seja a função 𝑓(𝑥) =
𝑥2−9
𝑥2−5𝑥+6
 . 
a)Mostre que f é contínua para x = 1. 
b) Para quais valores reais de x a função f é descontínua? R: x = 2 e x = 3. 
 
Exemplo 3: Determine k para que a função 𝑓(𝑥) = {
𝑘𝑥 + 5 𝑠𝑒 𝑥 < 1
𝑥2 − 3𝑥 + 4 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 seja contínua em x = 1. 
 R: k = -3. 
 
5) Exercícios de fixação: 
 
1) Discuta a continuidade das seguintes funções: 
a)𝑓(𝑥) = 
1
𝑥
 b)𝑔(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥+1
 c) ℎ(𝑥) = {
𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 < 1
2 − 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 . 
 
2)Represente o gráfico da função dada e diga se f é contínua em seu domínio. 
 a)𝑓(𝑥) = {
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
1 𝑠𝑒 𝑥 = 0
 b)𝑓(𝑥) = {
|𝑥| 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
1 𝑠𝑒 𝑥 = 0
 c)𝑓(𝑥) = {
𝑥
|𝑥|
 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
1
2
 𝑠𝑒 𝑥 = 0
 
 
3)Diga quais os pontos de descontinuidade das funções do exercício 2 e indique aqueles que são removíveis. 
 ( Obs: Um ponto de descontinuidade a é dito removível se a função pode ser redefinida neste ponto de 
forma a constituir-se uma função contínua em a.) 
 
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4)Suponha que a temperatura do ar é 30℉. Nesse caso a sensação térmica( em ℉ ) para uma velocidade do 
vento (em milhas por hora) édado por: 
 
 𝑊(𝑣) = {
30 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑣 ≤ 4
1,25𝑣 − 18,67√𝑣 + 62,3 𝑝𝑎𝑟𝑎 4 < 𝑣 < 45
−7 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣 ≥ 45
 
a)Qual é a sensação térmica para v = 20 milhas por hora? 
b)Que velocidade do vento produz uma sensação 0℉ ? 
c)A função sensação térmica W(v) é contínua em v = 4? 
 
Respostas: 
 
R: 1) R: As funções dos itens a e b são racionais e portanto contínuas em seus domínios, isto é, em todos os 
pontos nas quais estão definidas. ( em todos os pontos nas quais o seu denominador não se anula). 
 
Portanto, a função 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥
 é contínua para qualquer valor de x , 𝑥 ≠ 0. A função 𝑔(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥+1
 é contínua 
para todo x, x≠ −1. Como não existe o limite bilateral para h(x) tendendo a 1, tem-se que h é descontínua 
em x = 1. Para os demais valores reais tem-se h contínua uma vez que suas partes são as funções polinomiais 
a(x)=x+1 e b(x)=2-x que são contínuas para todo x real. Assim tem-se que h é contínua para todo x, 𝑥 ≠ 1. 
 
 
 R: 2- Todas as funções são descontínuas. 
Gráficos dos itens a e b. Gráfico do item c 
 
 
 3- a) 0; removível. B) 0; removível. C) 0; não removível. 
4 – a) W(20)≈ 3,8 e W(50) = -7 
 b) v≈ 25 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 (nota: v = 98 milhas por hora está fora do intervalo da equação do meio.) 
 c)W é contínua em v = 4 e em v = 45, supondo que os valores de W(4) e W(45) sejam arredondados para 
os números inteiros mais próximos. A ligeira discrepância pode ser atribuída a uma imprecisão do modelo. 
 
6) TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO E O TEOREMA DE BOLZANO. 
Observe o gráfico de uma função contínua em um intervalo fechado [a,b]. 
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Em termos gráficos temos que qualquer linha reta horizontal y = k , com k entre f(a) e f(b) vai cortar 
a curva y = f(x) pelo menos uma vez sobre o intervalo [a,b]. Em termos numéricos dizemos que se f é 
contínua em [a,b] então f assume todos os valores k entre f(a) e f(b) pelo menos uma vez quando x varia de a 
para b. 
Tomemos o seguinte exemplo: Seja a função polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥 + 3 . Sabemos que f(1) = 3 
e f(2) = 33. Como f é contínua em toda parte( é função polinomial) temos que a equação 𝑥5 − 𝑥 + 3 = 𝑘 
tem, no mínimo, uma solução no intervalo [1,2] para todo valor de k entre 3 e 33. 
Vamos agora enunciar o teorema: 
 
TEOREMA (Teorema do Valor Intermediário): Se f for uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] 
e k um número qualquer entre f(a) e f(b), inclusive, então existe no mínimo um número x no intervalo [a,b], 
tal que f(x) = k. 
 
O Teorema de Bolzano é um caso particular do Teorema do Valor Intermediário. Vejamos o que ele 
propõe: 
 
TEOREMA (Teorema de Bolzano): Se f for contínua em [a,b], e se f(a) e f(b) forem diferentes de zero com 
sinais opostos, então existe, no mínimo, um ponto x de (a,b) para o qual f(x) = 0, isto é, existe no mínimo 
uma solução para a equação f(x) = 0 no intervalo (a,b). 
 
Exemplo 1: Mostre que existe uma raiz da equação 4𝑥3 − 6𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0 entre 1 e 2. 
Exemplo 2: A velocidade de uma partícula é dada por 𝑣(𝑡) = 2𝑡3 − 2𝑡2 − 1. Mostre que existe um instante 
entre 1 e 2 no qual a velocidade se anula. 
 
 
 
7)EXERCÍCIOS 
 
1)Escreva uma equação que expresse o fato de que uma função f é contínua no número 4. 
 
2)Se f é contínua em (−∞, +∞), o que você pode dizer sobre seu gráfico ? 
 
3)a)Dado o gráfico de f estabeleça os números nos quais f é descontínua e explique por quê. 
 
 
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4)Esboce o gráfico de uma função que seja contínua em toda parte, exceto em x = 3 e é contínua á esquerda 
em 3. 
 
5)Seja a função cujo gráfico é dado abaixo. Diga em quais dos intervalos ( se houver) f é contínua. 
a)[1,3] b)(1,3) c)[1,2] d)(1,2) e)[2,3] f)(2, 3) 
Em cada intervalo no qual f não for contínua indique quais das condições para a continuidade de f não 
valem. 
 Gráfico 1 Gráfico 2 
 
 6)Suponha que f e g sejam funções contínuas, tais que f(2) = 1 e lim
𝑥→2
[𝑓(𝑥) + 4𝑔(𝑥)] = 13 . Encontre 
a)g(2) b)lim
𝑥→2
𝑔(𝑥) 
 
7) Esboce o gráfico de uma função f que tem um limite bilateral em x = 3, mas não é contínua naquele 
ponto. 
 
 
8)Encontre os pontos x, se houver, nos quais f não é contínua. 
 
 
 
9)Determine k para que a função dada seja contínua em toda parte. 
 
 
10)Verifique se a função 
 
 
212  xsex
 
 f(X) = é contínua em x = 2. 
7 – 2x se 
2x
 
 
11)Verifique se a função f é contínua no ponto especificado. Justifique sua resposta caso ela não seja 
contínua. 
 
90 
 
 3x + 2 se x > -2 
 a) f(x) = em x = -2. 
 
22  xsex
 
 
 
1
2
1 2



xse
x
x
 
 b)f(x) = em x = 1. 
 -2 se x = 1. 
 
 
2
2
42



xse
x
x
 
 c)f(x) = em x = - 2. 
 4 se x = - 2. 
 
 
 3x – 10 se x > 4 
 d) f(x ) = 2 se x = 4 em x = 4. 
 10 – 2x se x < 4 
 
 
 
1232 2  xsexx
 
 e) f(x) = 2 se x = 1 em x = 1. 
 
22 x
 se x < 1 
 
 
2
2
3


xse
x
 
 f) f(x) = em x = 2. 
 0 se x = 2 
 
12)Determine a para que a função seja contínua no ponto especificado. 
 
 
2
2
652



xse
x
xx
 
 a) f(x) = em x = 2. R: a = -1 
 a se x = 2 
 
 
4
2


x
x se x > 4 . 
 b) f(x) = em x = 4. R: - 23/4 
 3x + a se 
4x
 
 
13)Mostre que a equação 𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 = 1 tem, no mínimo, uma solução no intervalo [-1, 1]. 
 
14) Quais das seguintes funções têm uma descontinuidade removível em a? Se a descontinuidade for 
removível, encontre uma função g que é igual a f para x ≠ 𝑎 e contínua em R. 
 
a)𝑓(𝑥) =
𝑥2−2𝑥−8
𝑥+2
 , a = -2. 
b)𝑓(𝑥) =
𝑥−7
|𝑥−7|
 , a = 7. 
c)𝑓(𝑥) =
𝑥3+64
𝑥+4
, a = - 4. 
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15)Prove que a equação 𝑒𝑥 = 2 − 𝑥 tem pelo menos uma raiz real. Use uma calculadora para encontrar um 
intervalo de comprimento 0,01 que contenha uma raiz. 
 
16) Em certas situações, é necessário comparar os benefícios de uma certa medida com o custo necessária 
para executá-la. Suponha, por exemplo, que, para remover x% da poluição causada por um derramamento de 
petróleo, seja preciso gastar C milhares de reais, onde 
 
 𝐶(𝑥) =
12𝑥
100−𝑥
 
a)Quanto custa remover 25% da poluição? E 50%? 
b)O que acontece quando 𝑐 → 100− ? É possível remover toda a poluição? 
 
17)O Gráfico a seguir mostra ovolume de gasolina no tanque do carro de Suzana durante um período de 30 
dias . Em que pontos o gráfico indica existir uma descontinuidade? O que pode ter acontecido nessas 
ocasiões? 
 
 
18) No correio dos Estados Unidos, a “função porte” p(x) pode ser descrita da seguinte forma: 
 𝑓(𝑥) = {
41 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑥 ≤ 1
58 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 < 𝑥 ≤ 2
75 𝑝𝑎𝑟𝑎 2 < 𝑥 ≤ 3,5
 
Onde x é o peso em onças e p(x) é o preço correspondente do porte, em cents. Faça o gráfico da função p 
para 0< 𝑥 ≤ 3. Para que valores de x a função p é descontínua no intervalo (0,3] ? 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS: 
1)lim
𝑥→4
𝑓(𝑥) = 𝑓(4) 
2)O gráfico não tem nenhuma ruptura ou “quebra”, “ ou salto”. É uma linha contínua. 
3)a) Em x = -5 pois não existe limite de f quando x tende a -5. (salto) 
 Em x = -3. Não existe limite de f quando x tende a -3 pela direita a função f  +∞. 
 Em x = -1. A função não está definida neste ponto. 
 Em x = 3. Lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(3). 
 Em x = 5. Não existe limite de f quando x  5. ( limite infinito (-∞)) 
 Em x = 8. Não existe limite de f para x8. ( Salto) 
 Em x = 10 a função não está definida em x = 10 e também não existe o limite de f para x  10. 
4)Resposta pessoal. 
5)Gráfico 1: a)[1,3] : é descontínua em x = 2 b)(1,3): é descontínua em x = 2. C) [1,2]: é descontínua em 
x = 2 pois lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(2). D) É contínua. E) É contínua. É contínua. (OBS: lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝑓(2) ) 
f) É contínua. 
 
92 
 
Gráfico 2: a) [1,3]: é descontínua em x = 2. B) (1,3): é descontínua em x = 2. C)[1,2]: é descontínua(á 
esquerda) em x = 2 ( lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(2)) d)(1, 2) é contínua. E) [2,3] é descontinua (á direita) em x = 
2( lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(2). F)(1,3): é contínua. 
6) a) 3 b) 3 
7)Resposta pessoal. Possível resposta: 
 
8) 8.11) Não tem. 8.13) Não tem. 8.15)-1/2 e 0 8.17) -1, 0, 1. 8.19)nenhum. 8.21)nenhum. 
8.22) 1. 
9) a)k = 5. B) k = 4/3 
10) É contínua em x =2. 
11)a)Descontínua em x = -2 ( não está definida em x = -2) b)Contínua. C)Descontínua. D) Contínua. 
 E) Descontínua f) Descontínua.( Não existe limitie, pois limite é infinito) 
12) a = -1 b) a = -23/4 
14) a) tem descontinuidade removível em x = -2. 𝑔(𝑥) = {
𝑥2−2𝑥−8
𝑥+2
 𝑠𝑒 𝑥 ≠ −2
−6 𝑠𝑒 𝑥 = −2
 
 b)É descontínua em x = 7. Não tem descontinuidade Removível. 
 c)Tem descontinuidade removível em a = - 4. {
𝑥3+64
𝑥+4
 𝑠𝑒 𝑥 ≠ −4
48 𝑠𝑒 𝑥 = −4
 
15) Intervalo [0,44, 0,45] 
16) a) R$ 4.000,00 e R$ 12.000,00 
 b) lim
𝑥→100−
𝐶(𝑥) = +∞ . Não é possível remover toda a poluição. 
17) O gráfico é descontínuo em t = 10 e t = 25. Essas são provavelmente as ocasiões nas quais Suzana parou 
em um posto de gasolina e reabasteceu seu carro. 
18) É descontínua em x = 1 e x = 2.