mat1006 semana01 gabarito

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PUC-Rio - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o ao Ca´lculo - MAT1006
Gabarito - Semana 01
Pula linha
Questa˜o 1.
(a) Para determinar tais valores de k, basta resolver a inequac¸a˜o ∆ > 0, onde ∆ e´ o
discriminante da expressa˜o x2 − kx+ 2− k. Da´ı,
∆ > 0 ∴ (−k)2−4(1)(2−k) > 0 ∴ k2+4k−8 > 0 ∴ k ∈ (−∞,−2−2
√
3)∪(−2+2
√
3,∞),
onde na u´ltima parte usamos os seguintes comandos do Maple:
> restart;
> solve(k ∧ 2 + 4 ∗ k − 8 > 0);
(b) Para determinar tais valores de k, basta resolver a equac¸a˜o ∆ = 0. Enta˜o,
∆ = 0 ∴ k2 + 4k − 8 = 0 ∴ k = −2− 2
√
3 ou k = −2 + 2
√
3,
onde na u´ltima parte usamos o seguinte comando do Maple:
> solve(k ∧ 2 + 4 ∗ k − 8 = 0);
(c) Para determinar tais valores de k, basta resolver a inequac¸a˜o ∆ < 0. Enta˜o,
∆ < 0 ∴ k2 + 4k − 8 < 0 ∴ k ∈ (−2− 2
√
3,−2 + 2
√
3),
onde na u´ltima parte usamos o seguinte comando do Maple:
> solve(k ∧ 2 + 4 ∗ k − 8 < 0);
(d.1) No Maple:
> restart;
> k:=4;
> f:=x− > x ∧ 2− k ∗ x+ 2− k;
> plot(f(x),x=-1..5,thickness=3);
(d.2) No Maple:
> restart;
> k:=−2 + 2 ∗ sqrt(3);
> f:=x− > x ∧ 2− k ∗ x+ 2− k;
> plot(f(x),x=-1..5,thickness=3);
(d.3) No Maple:
> restart;
> k:=0;
> f:=x− > x ∧ 2− k ∗ x+ 2− k;
> plot(f(x),x=-1..5,thickness=3);
(e) Sim. A quantidade de soluc¸o˜es da equac¸a˜o x2 − kx + 2 − k = 0 e´ exatamente igual a
quantidade de pontos de intersec¸a˜o entre o gra´fico de f e o eixo x.
Questa˜o 2.
(a)
–2
–1
0
1
2
y
1 2 3 4
x
(b.1) No Maple:
> restart;
> plot([x ∧ 2 − 5 ∗ x + 4,sqrt(x + 1),-sqrt(x + 1)], x=-5..5,y=-5..5, thickness=3, co-
lor=[red,blue,blue]);
(b.2) No Maple:
> restart;
> with(plots);
> A1:=implicitplot(x = y ∧ 2− 1,x=-5..5,y=-5..5,thickness=3,color=blue);
> A2:=plot(x ∧ 2− 5 ∗ x+ 4,x=-5..5,y=-5..5,thickness=3,color=red);
> display(A1,A2);
Questa˜o 3.
(a) Primeiramente, note que o coeficiente angular da reta r e´ igual a −1
2
. Da´ı, a reta s
tem a seguinte equac¸a˜o: y = −1
2
x + b, onde b e´ o coeficiente linear da reta s. Para
determinar b, basta utilizar o fato que o ponto P = (1, 1) pertence a reta s, ou seja,
1 = −1
2
(1) + b ∴ b = 1 +
1
2
∴ b =
3
2
.
Portanto, a equac¸a˜o da reta s e´ dada por y = −1
2
x+
3
2
.
(b) Basta escolher qualquer valor para b que seja diferente de
3
2
. Por exemplo, a equac¸a˜o
da reta t e´ dada por y = −1
2
x+ 3.
(c) No Maple:
> restart;
> plot([−x/2 + 3/4,−x/2 + 3/2,−x/2 + 3],x=-5..5,y=-5..5,thickness=3);
As retas r, s e t sa˜o paralelas, ja´ que todas possuem o mesmo coeficiente angular.