Lista 2

Prévia do material em texto

UFABC Introduc¸a˜o a´ Probabilidade e Estastistica
Lista N◦ 2 (Noc¸o˜es Ba´sicas de Probabilidade)
08/06/2010
1 Espac¸o amostral, eventos e conjuntos
1.1
-1- Qual e´ o nu´mero de amostras ordenadas (ou eventos ordenados) sem reposic¸a˜o
de tamanho n, de um conjunto com N elementos?
-2- Uma amostra ordenada sem reposic¸a˜o de tamanho n de um conjunto com
n elementos e´ denominada uma permutac¸a˜o dos n elementos. Qual e´ o nu´mero
Pn de permutac¸o˜es de n elementos?
-3- Qual e´ o nu´mero de amostras na˜o ordenadas sem reposic¸a˜o de tamanho n,
de um conjunto com N elementos?
1.2
Mostrar que : (a) (A ∪B){ = A{ ∩B{; (b) (A ∩B){ = A{ ∪B{ ;
(c) (A∪B)∩C = (A∩C)∪ (B ∩C); (d) (A∩B)∪C = (A∪C)∩ (B ∪C).
1.3
Dar o nu´mero de anagramas da palavra BARBARA.
1.4
(Ver tambem Lista 1, exercicios -1-; exemplos do curso)
2 Probabilidade
2.1
-1- Qual e´ a probabilidade de um evento ordenado que consiste em uma retirada
sem reposic¸a˜o de n elementos de um espac¸o amostral com N elementos?
-2- Qual e´ a probabilidade de um evento na˜o ordenado que consiste em uma
retirada sem reposic¸a˜o de n elementos de um espac¸o amostral com N elementos?
2.2
Se tiramos de uma maneira aleatoria e sem reposic¸a˜o 3 lettras da palavra BAR-
BARA, qual e´ a probabilidade de obter a possibilidade de escrever BAR com
as lettras retiradas? Qual e´ a probabilidade de escrever diretamente a palavra
BAR?
Mesma pergumtas com reposic¸a˜o.
1
2.3
(Ver tambem Lista 1 (exercicios 2; 5 ; 6)).
2.4
Uma loteria acontece uma vez por semana. Sobre 100 billetes, 5 sa˜o vencedores.
Cada billetes costa 2 reais. Temos 20 reais. Dois estrategias sa˜o possiveis:
Comprar 10 billetes em uma vez so ou comprar 1 billete durante 10 semanas.
Qual e´ a maior estrategia para obter pelo menos um billete vencedor?
3 Probabilidade condicional
3.1
Mostrar que se A1, . . . An sa˜o eventos tais que P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1) > 0,
temos :
P(A1 ∩ . . . ∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 ∩A2) . . .P(An|A1 ∩ . . . ∩An−1).
3.2 Controle de produc¸a˜o
Tiramos algums produtos feitos por uma impresa para testar a qualidade (testar
os produtos defeituosos). As tiradas sa˜o feitas sem reposic¸a˜o. Temos N objeitos
cujos m sa˜o defeituosos.
-1- Qual e´ a probabilidade P(E1) de tirar um produto defeituoso a primeira
vez?
-2- Qual e´ a probabilidade P(E1 ∩ E2) de tirar dois produtos defeituosos (na
primeira e na segunda vez)?
-3- Qual e´ a probabilidade P(E1|E2)?
-4- Qual e´ a probabilidade P(E2) de tirar um produto defeituoso nasegunda vez
sem saber nada sobre o primeiro evento?
3.3 (Formula de probabilidades totais)
Para ir na escolha um aluno tem a escolha entre 4 itinerarios: A,B,C e D.
A probabilidade que este aluno escolha A (respetivamente B,C) e´ 13 (respec-
tivamente 14 ,
1
12 ). Aprobabilidade chegar atrasado tomando o intenerario A
(respeitivamente B,C) e´ 120 (respeitivamente
1
10 ,
1
12 ). Tomando o itinerario D,
o aluno nunca e´ atrasado.
-1- Qual e´ a probabilidade de chegar atrasado?
-2- Um dia, o aluno esta atrasado. Qual e´ a probabilidade que ele escolheu o
itinerario C?
2
3.4
Se 14 da populac¸a˜o esta vacinada. Existe uma proporc¸a˜o de
1
12 de pessoas com
esta doencia e vacinadas. Entre as pessoas com a doencia, ha uma proporc¸a˜o de
4 na˜o vaxinados por um vacinado. Qual e´ a probabilidade para um na˜o vacinado
de contratar a doencia?
3.5 (Formula de Bayes)
Uma firma farmaceutica esta elaborando um teste para detectar uma doencia.
Sabemos que 1% da populac¸a˜o tem esta doencia. Efectuamos o teste sobre
pessoas com esta doencia e achamos 95% de testes positivos. Depois um teste
sobre pessoas sem a doencia da 5% de testes positivos. Qual e´ a probabilidade
de estar com a doencia se o teste e´ positivo? O que voce acha do test?
3.6
(Ver Tambem lista 1 (Exercicios 4 ; 7 ; 8 (Formula de Bayes)))
4 Independeˆncia de eventos
Definic¸a˜o
Os eventos A1, A2, . . . , An sa˜o independantes se:
P(Ai1 , Ai2 , . . . Aik) = P(Ai1)P(Ai2) . . .P(Aik) para todo k = 2, 3, . . . n
e todo {i1, i2, . . . ik} ⊂ {1, 2, . . . , n} tal que i1 < i2 < . . . < ik.
4.1
Lanc¸amos uma moeda e escrevemos C para a cara e C¯ para a coroa. Supore-
mos que a moeda e´ balanceada e portanto que os pontos do espac¸o amostral
teˆm probabilidade 14 . Lanc¸amos duas vezes a moeda e consideramos os eventos
A1 = {CC,CC¯}, A2 = {CC, C¯C} e A3 = {CC, C¯C¯}.
-1- Mostrar que os eventos A1, A2, A3 sa˜ dois a dois independantes mais que
A1, A2, A3 na˜o e´ um conjunto de eventos independantes.
-2- Lanc¸amos a moeda treˆs vezes e consideramos os eventos
B1 = {CCC,CCC¯,CC¯C,CC¯C¯}, B2 = {CC¯C,CC¯C¯, C¯CC, C¯CC¯} e B3 =
{CC¯C¯, C¯CC, C¯CC¯, C¯C¯C}.
Mostrar que B1 e B2 sa˜o independantes mais que os eventos B2 e B3 e os even-
tos B1 e B3 na˜o sa˜o independantes.
-3- Lanc¸amos de novo treˆs vezes a moeda e consideramos os eventos C1 = cara
no primeiro lanc¸amento, C2 = cara no segundo lanc¸amento e C3 = cara no
terceiro lanc¸amento. Verificar que C1 ,C2 e C3 sa˜o independantes.
4.2 (Ver tambem Lista 1 Exercicio 3)
3