Exercicio Flexao Simples Dimensionamento

Prévia do material em texto

1- Calcular e detalhar a armadura longitudinal para a viga de concreto armado abaixo, 
na seção de maior momento, dimensionando-a como peça sub-armada. 
2
s KN/cm 21000E
MPa 30fck
50-CA
cm 3c
1,4f
1,4c
1,15s
Estribo 5.0mm 
 
RESOLUÇÃO
 
a) Cálculo do momento: 
8
4.50.4,1
8
q.l1,4M
22
d KN.cm14000KN.m140M d 
 
b) Características da seção: 
Seção retangular 0,8.x.bwA c 
Adotando 
5cmd'
35cmd
 
 
c) Características dos materiais: 
Concreto: MPa 30f ck 
 2
c
ck
cd KN/cm14,2MPa 43,121,4
30ff 
 
Armadura: CA-50 
2
yk KN/cm05MPa 005f
2
s
yk
yd KN/cm 5,431,15
50ff
0,207%0,00207
21000
43,5
E
f
s
yd
yd 
 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
3,4
3,4
xd
x
0,207
0,35
2,32,3 x35,035d,0x 3,43,4 35x,035d,00,207x
0,259dx 2,3 d628,0x 3,4
9,1cmx 2,3 21,98cmx 3,4
d) Cálculo da armadura: 
50KN/m
400 cm
435
0,207 1
s(Mpa)
s(%)
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,207%
1%
20cm
40cm
1a Tentativa: 
Armadura simples 
Peça sub-armada 
Domínio 2 ou 3 
Armadura escoando yds f 
 
Equação de equilíbrio para o momento: (2ª equação) 
 0,4x)(dA.zRM ccccd 
 0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd 
 0,4.x).(df0,68.x.bw.M cdd d
x
x 
 )0,4.(1..d0,68.bw.fM xx
2
cdd )0,4.(1.0,68.f
1k
xxcd
c 
 
c
2
d k
bw.dM 
 75,1
14000
20.35
M
bw.dk
2
d
2
c 
 Pela tabela 1 temos: 49,0x cm15,17x
.dx x Domínio 3!! . 
 029,0k s 
 
 Equação de equilíbrio para a força normal: (1ª equação) 
 sc RR0 
 sscc .A.A0 
 sscd .A,85.f0,8.x.bw.00 
 ssxcd .A.d.0,68.bw.f0 
 ss
x
d .A
)0,4d.(1
M
0 
 
)0,4.d.(1
M
A
xs
d
s tabela 1 )0,4..(1
1k
xs
s 
 2dss 11,6cm35
140000,029
d
M
kA 
 
Portanto: 2s cm6,11A 4 20mm(3,15 cm²/barra) 
 
 
e) Verificação do d e detalhamento: 
cm33
2
320,5340d real
adotadoreal dd REDIMENSIONAR 
 
f) Redimensionando para 33cmd :
 
3
40cm
20cm
4 20mm 
Armadura simples 
Peça sub-armada 
 
 Domínio 2 ou 3 
Armadura tracionada escoando yds f 
 
0,259dx 2,3 d628,0x 3,4
 cm55,8x 2,3 cm72,20x 3,4
 
Equação de equilíbrio para o momento: (2ª equação) 
 0,4x)(dA.zRM ccccd 
 
c
2
d k
bw.dM 
 56,1
14000
20.33
M
bw.dk
2
d
2
c 
 Pela tabela 1 temos: 57,0x Como x =0,57>0,5 x=0,5 cm5,16x
.dx x 
 Domínio 3!! ---- Armadura dupla. 
 
Md = Rczc+Rs(d-d´) 
Md = Md1+ Md 
Md1 = Rczc = 0,8.x.bw.0,85.fcd.(d-0,4.x) 
 = 0,8.16,5.20.0,85.2,14.(33-0,4.16,5) = 12694,62KN/cm2 
 
Ou pela tabela 1 para x = 0,5 Kc = 1,716 Ks = 0,029 
31,12692
716,1
33.20
k
bw.dM
2
1
c
2
d1 dM KN/cm
2 
 
 
Equação de equilíbrio para a força normal: (1ª equação) 
 
s1c1 RR0 
 ss1c1c1 .A.A0 
 ss1cd .A,85.f0,8.x.bw.00 
 ss1xcd .A.d.0,68.bw.f0 
 ss1
x
d1 .A
)0,4d.(1
M
0 
 
)0,4.d.(1
M
A
xs
d1
s1 )0,4..(1
1k
xs
s 
 
33
12692,31029,0
d
M
kA d1ss1 
 2s1 cm15,11A 
 
dd1d MMM 
dM62,1269414000 
KN.cm38,1305M d 
 
)d'(dRM s2d )d'(d'RM sd 
)d'(d.AM ss2d 
s
s2
1k )d'(d''.AM ssd '
1'k
s
s 
)d'(d
M
A d2s2 sk )d'(d
M
''A ds sk 
 
Pela tabela 2 temos: 023,0k s2 Pela tabela 3 – para x=0,5 e =0,15 
 023,0'k s 
 
5)(33
1305,38023,0A s2 5)(33
1305,38023,0'A s 
2
s2 cm07,1A 
2
s cm07,1'A 
2
s2s1s cm22,1207,115,11AAA 
Portanto: 2s cm22,12A 4 20mm 
 2s cm07,1'A 2 10mm 
 
 
 
g) Verificação do d e detalhamento: 
cm332/320,5340d real
adotadoreal dd OK! 
 
Verificação do ah 
 
 
cmmmmmmáxagreg
cmmmbarra
cmmm
ah
33025.2,1..2,1
220
220
 
ah = (20-2.3-2.0,5-2.2) = 9 cm OK!
3
40cm
20cm
4 20mm 
o o 
2- Para a viga contínua da figura, admitida como seção constante, determinar as 
armaduras para o apoio central:
 
MPa 20f ck
40-CA
cm 3c
1,4f
1,4c
1,15s
Estribo 5.0mm 
 
RESOLUÇÃO
 
Cálculo do momento: 
270KN.m
8
60.6
8
q.lM
22
apoio
KN.cm37800KN.m378M.4,1M apoiod 
 
Características da seção: 
12,5cmx0
10cmy0
 0,8.x.bwA c 
 
cm5,73xcm5,21
cm03y10cm
 32x60010)4.10.(y100.10A c 
 
cm04xcm5,73
40cmycm03
120080x30)100.(y4.10.20100.10A c 
 
Adotando 
5cmd'
35cmd
 
 
Características dos materiais: 
Concreto: MPa 20f ck 
 2
c
ck
cd KN/cm43,1MPa 3,141,4
20ff 
6 m 6 m
60KN/m
40cm
10cm 20cm 10cm 20cm 10cm 20cm 10cm
10cm
20cm
10cm
100cm
 
Armadura: 40-CA 
2
yk KN/cm04MPa 004f
2
s
yk
yd KN/cm 78,341,15
40ff
%166,0
21000
34,78
E
f
s
yd
yd 
 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
3,4
3,4
xd
x
0,166
0,35
2,32,3 x35,035d,0x 3,43,4 35x,035d,00,166x
0,259dx 2,3 d678,0x 3,4
9,1cmx 2,3 23,73cmx 3,4
Cálculo da armadura: 
 
1a Tentativa: 
Armadura simples 
12,5cmx0 Seção retangular 
Armadura escoando yds f 
Equação de equilíbrio para o momento: 
 0,4x)(dA.zRM ccccd 
 0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd 
 0,4.x).(df0,68.x.bw.M cdd d
x
x 
 )0,4.(1..d0,68.bw.fM xx
2
cdd )0,4.(1.0,68.f
1k
xxcd
c 
 
c
2
d k
bw.dM 
)0,4.(10,68.1,43.
13,24
xx
 
 24,3
27000
100.35
M
bw.dk
2
d
2
c 12,2x1 Falso!! 0,1x1 
 372,0x2 
372,0x cm05,13x
.dx x Domínio 3 – Hipótese falsa! 
 
2a Tentativa: 
Armadura simples 
23,73cmx12,5 
Armadura escoando yds f 
 Observação : xdzc 4,01 e 52 dzc 
Equação de equilíbrio para o momento: 
 ccc zAzA )(.zRM 2211ccd 
 43,1.85,0)]5.(20.10.3).4,0.(.8,0.10.4[M d dxdx 
347,8
0,166 1
s (Mpa)
s(%)
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,166%
1%
 22,1]18000.1120.8,12[37800 2 xx 
d
x
x 
 013983,6-.x120112,8x- 2 
 x1= 13,75 cm 4,0x1 Dentro do intervalo OK!! 
 x2= 73,74 cm 10,2x1 Fora! 
 
Equação de equilíbrio para a força normal: 
 
 sc R -R0 
 sscc .A-.A0 
 78,34.78,34.35,2043,1.85,0)].20.10.3(0 sA 
85,0.43,1].6009,13.32[78,34.sA 
 2s 51,36A cm 
 
Portanto: 2s 51,36A cm 14 20mm – parte superior da viga 
 
 
Verificação do d e detalhamento: 
cm50,35
2
2,00,5340d real
adotadoreal dd OK!!! 
 
Verificação do ah
 
 
cmmmmmmáxagreg
cmmmbarra
cmmm
ah
33025.2,1..2,1
0,220
220
 
ah = (100-2.3,0-2.0,5-14.2,0)/13 = 5 cm OK! 
 
 
3- Dada a viga, dimensioná-la, com armadura simples e detalhá-la na seção do apoio de 
tal maneira que no E.L.U tenhamos:
I) tensão na armadura de tração de 40KN/cm2
II) encurtamento do concreto de 0,32% 
Qual o melhor dimensionamento para a viga (I ou II)? Justifique sua resposta. 
Aço CA-50 
25MPaf ck 
2
s 21000KN/cmE 
3cmc 
Estribo 6,3mm 
1,4c 
1,4f 
1,15s 
 
RESOLUÇÃO
a) Cálculo do momento: 
KN.cm 4000KN.m 4020.2M 
KN.cm 56001,4.MM d 
 
b) Características da seção: 
Seção retangular 0,8.x.bwA c 
 
c) Característica dos materiais: 
Concreto: 25MPaf ck 
 2cd 1,79KN/cmMPa9,17f 
 
Armadura: Aço CA-50 
 2yk 50KN/cmMPa500f 
 2yd 43,5KN/cmf 
 0,207%yd 
 
 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
3,4
3,4
xd
x
0,207
0,35
2,32,3 x35,035d,0x 3,43,4 35x,035d,00,207x
0,259dx 2,3 d628,0x 3,4
I) Adotando tensão na armadura de tração igual à 40KN/cm2
d) Cálculo da armadura: 
15cm
h =?
43,5
0,207 10
s(KN/cm )
2
s(%)
2
3
4x2,3
x3,4
0,35%
0,207%
1%
20KN
2 m 4 m 2 m
20KN
Armadura Simples 
yd
2
s f40KN/cm (Domínio 4) 
 
sss .E xd
0,19
x
0,35 
 .2100040 s 0,35x0,35d0,19x 
 0,19%s 0,647dx 
 0,647
d
x
x 
 Equação de equilíbrio para o momento: 
 0,4x)(dA.zRM ccccd 
 0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd 
 0,4.x).(df0,68.x.bw.M cdd d
x
x 
 )0,4.(1..d0,68.bw.fM xx
2
cdd 
 0,4.0,647).0,647(179.d0,68.15.1,6005 2 
 25,29cmd 
 
 Equação de equilíbrio para a força normal: 
sc RR0 
 sscd .A.x0,68.bw.f0 
 ssxcd .A.d.0,68.bw.f0 
 .d.0,68.bw.f.A xcdss 
 
)0,4.d.(1
M
.A
x
d
ss )0,4.(1
1k
xs
s 
 
d
M
kA dss 034,00,4.0,647)40(1
1k s 
29,25
5600034,0A s 
 2s cm53,7A 
Portanto: 2s cm53,7A 4 16mm 
 
e) Detalhamento: 
32cm
2
36,10,633dh 
II) Adotando o encurtamento do concreto igual à 0,32%. 
f) Cálculo da armadura: 
Armadura Simples 
x
d
0,35%
0,191%
32cm
15cm
4 16mm3
0,32%c (Domínio 2) 
2
yds 43,5KN/cmf 
 
xd
1%
x
0,32% 
 x32,0d23,01,0x 
 d24,0x 
0,24
d
x
x 
 
 )0,4..(1..d0,68.bw.fM xx
2
cdd 
 0,4.0,24).0,24.(179.d0,68.15,1,5600 2 
 cm6,37d 
 
)0,4.d.(1
M
.A
x
d
ss 
 
0,4.0,24)37,6.(1
5600.43,5A s 
 2s cm79,3A 
Portanto: 2s cm79,3A 2 16mm 
 
g) Detalhamento: 
42cm
2
1,60,634dh
 De acordo com a NBR 6118/2003 o dimensionamento deve ser realizado com x/d 0,5 
para fck 35 MPa. Na primeira situação o dimensionamento foi efetuado com x/d>0,5, desta 
forma está não pode ser considerada uma situação aceitável de dimensionamento. 
d’
d
x
1%
0,32%
42cm
15cm
2 16mm
4- Dimensionar a viga de concreto armado abaixo supondo armadura de compressão no 
início do patamar de escoamento. 
CA-50 
20MPaf ck 
Estribo 6,3 mm 
3cmc 
2
s 21000KN/cmE 
1,4c 
1,4f 
1,15s 
 
RESOLUÇÃO
a) Cálculo do momento: 
KN.m94,75
8
30.(4,5)
8
q.lM
22
 7594.4,1M d 
KN.cm7594M KN.cm60,10631M d 
 
b) Características da seção: 
cm5,73x0
30cmy0
 0,8.x.bwA c 
 
cm40x7,5cm3
cm04y30cm
 600-x2830)(y.3515.30A c 
Adotando 
5cmd'
35cmd
 
c) Características dos materiais: 
Concreto: 20MPaf ck 
 2cd KN/cm43,1MPa29,41f 
 
Armadura: Aço CA-50 
 2yk 50KN/cmMPa500f 
 2yd 43,5KN/cmf 
 0,207%yd 
 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
3,4
3,4
xd
x
0,207
0,35
2,32,3 x35,035d,0x 3,43,4 35x,035d,00,207x
0,259dx 2,3 d628,0x 3,4
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,207%
1%
435
0,207 1
S
S(%)
(Mpa)
30cm
10cm
35cm
10cm10cm
15cm
9,1cmx 2,3 21,98cmx 3,4
d) Cálculo da armadura: 
 
1a Tentativa: 
 
Armadura simples 
cm5,73x0 0,8.x.bwA c 
 
Armadura escoando yds f 
Equação de equilíbrio para o momento: 
 0,4x)(dA.zRM ccccd 
 0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd 
 0,4.x).(df0,68.x.bw.M cdd d
x
x 
 )0,4.(1..d0,68.bw.fM xx
2
cdd 
 ).4,01(35.43,1.15.68,025,10631 2 xx 
 
 Então x =1,54 (domínio 5 – incompatível) 
 Ou x =0,96 (domínio 4). 
 
 Mas x =0,96 0,5, portanto deve-se REDIMENSIONAR! 
 
 
 
2a Tentativa: 
 
Armadura dupla 
Domínio 3 cm98,21x,10cm9 
 
Armadura tracionada escoando yds f 
 
 
Supondo início de escoamento da armadura de compressão no domínio 2: 
x'd
d'- x'
1,0
's
'x-d
d'- 'x 'yd 
'x-35
5- 'x 0,207 
10,15cm x' 
 Falso! Pois domínio 2 cm10,9x 
 
 
Supondo início de escoamento da armadura de compressão no domínio 3: 
d’
d
x’
1%
‘
S
 
x'
d'- x'
0,35
's
x'
5- x'
0,35
'yd
x'
5- x'
0,35
0,207
cm 24,21 x' 
OK! Escoamento inicia no domínio 3! 
 
 
Armadura comprimida escoando 'f' yds 
 
Adotando cm24,12x 
 
Equação de equilíbrio para o momento: 
 )d'-d(R.zRM sccd 
 dd1d MMM 
c1c1d1 .zRM 
0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd1 
)0,4.(1..d0,68.bw.fM xx
2
cdd1 
c
2
d1 k
bw.dM 
35,0
35
12,24
d
x
x Pela tabela 1 temos: 027,0k
42,3k
s
c 
2
2
c
2
d1 KN/cm81,53723,42
15.35
k
bw.dM 
 
Equação de equilíbrio para a força normal: 
 
s1c1 RR0 
 ss1c1c1 .A.A0 
 ss1cd .A,85.f0,8.x.bw.00 
 ss1xcd .A.d.0,68.bw.f0 
 ss1
x
d1 .A
)0,4d.(1
M
0 
 
)0,4.d.(1
M
A
xs
d1
s1 )0,4..(1
1k
xs
s 
 
35
5372,81027,0
d
M
kA d1ss1 
 2s1 cm15,4A 
 
dd1d MMM 
dM81,53728400 
x’
0,35
S
d’
‘
KN.cm19,3027M d 
 
)d'(dRM s2d )d'(d'RM sd 
)d'(d.AM ss2d 
s
s2
1k )d'(d''.AM ssd '
1'k
s
s 
)d'(d
M
A d2s2 sk )d'(d
M
''A ds sk 
 
Pela tabela 2 temos: 023,0k s2 Pela tabela 3 temos: 024,0'k s 
 
5)(35
3027,19023,0A s2 5)(35
3027,19024,0'As 
2
s2 cm32,2A 
2
s cm42,2'A 
2
s2s1s cm47,632,215,4AAA 
Portanto: 2s cm47,6A 6 12,5mm 
 2s cm42,2'A 2 12,5mm 
 
h) Verificação do d e detalhamento: 
cm75,35
2
1,250,63340d real
adotadoreal dd OK! 
cm26,4
2
1,250,633d'real 
 cm5d'd' adotadoreal OK! 
 
 
 
 
6 12.5mm
2 12.5mm
5- Dimensionar a armadura para a seção dada, sujeita a um momento fletor em serviço 
de 60 KN.m: 
CA-50 
20MPaf ck 
Estribo 5.0 mm 
2,5cmc 
2
s 21000KN/cmE 
1,4c 
1,4f 
1,15s 
RESOLUÇÃO
 
i) Cálculo do momento: 
8400KN.cm84KN.m60KN.m.4,11,4.MM Kd 
 
j) Características da seção: 
cm25,6x0
5cmy0
 Seção retangular 
 
cm5,12x,25cm6
cm10y5cm
 Seção vazada 
 
cm25x2,5cm1
cm20y10cm
 Seção vazada 
 
cm5,37x5cm2
cm30y20cm
 Seção vazada 
 
cm50x7,5cm3
cm50y30cm
 Seção vazada 
 
Adotando 
5cmd'
45cmd
 
 
k) Características dos materiais: 
Concreto: MPa 20f ck 
 2
c
ck
cd KN/cm43,1MPa 3,141,4
20ff 
 
 
M
20cm
5cm 5cm
5cm
5cm
10cm
50cm
10cm
10cm
20cm
Armadura: CA-50 
2
yk KN/cm05MPa 005f
2
s
yk
yd KN/cm 5,431,15
50ff
0,207%0,00207
21000
43,5
E
f
s
yd
yd 
 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
3,4
3,4
xd
x
0,207
0,35
2,32,3 x35,035d,0x 3,43,4 35x,035d,00,207x
0,259dx 2,3 d628,0x 3,4
cm66,11x 2,3 cm26,82x 3,4
l) Cálculo da armadura: 
 
1a Tentativa: 
 
Armadura simples 
cm25x2,5cm1 c3c2c1c AAA.2A 
50-x1610)0.(y15.10.y5.2A c 
 
0,8.x.5.20,8.x.bw.2A c1 .x8A c1 
0,4.x-540,4.x-dz1 
 
5.10A c2 50KNA c2 
42,5cm2,5452,5dz 2 
 
10-y10.A c3 100-.x8A c3 
0,4x50
2
10-0,8x-45
2
10-y-dz 3 
Armadura escoando yds f 
Equação de equilíbrio para o momento: 
c3c3c2c2c1c1ccd .zR.zR.zR.zRM 
 0,4x)(50A(42,5)A0,4x)(45AM c3c3c2c2c1c1d 
 0,4x)(50f100).0,85.-x8((42,5)50.0,85.f0,4x)(458.x.0,85.fM cdcdcdd 
 100)-x8(0,4x)..(50f.85,0.f25,18060,4x)(45.x.f8,6M cdcdcdd 
 100)-8x(0,4x)..(5043,1.85,0.1,4325,18060,4x)x.1,43(45.8,64008 
 
1,35cm11x1 Falso ! 
cm76,13x 2 OK! Domínio 3! 
Equação de equilíbrio para a força normal: 
 
sc RR0 
435
0,207 1
s(Mpa)
s(%)
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,207%
1%
1 1
2
3
sc3c2c1 RRRR0 
 ssc3c3c2c2c1c1 .A.A.A.A0 
 sscdcdcd .Af100).0,85.-8x(50.0,85.f8.x.0,85.f0 
cdcdcdss f100).0,85.-8x(.f5,24.x.f8,6.A 
 
s
cdcdcd
s
f100).0,85.-8x(.f5,24.x.f8,6
A 
43,5
1,43100).0,85.-.13,768(.1,435,243.13,76.1,48,6A s 
2
s 4,75cmA 
 
Portanto: 2s cm75,4A 4 12,5mm 
 
 
m) Verificação do d e detalhamento: 
cm38,46
2
1,250,52,550d real
45dd adotadoreal OK! 
 
 
 
 4 12.5mm