PROVA 3 - Graça Luzia (2013.1)

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Observações:  Todas as respostas devem ser justificadas.  Não é permitido o uso de calculadoras 
 
(2,4) 1ª QUESTÃO 
 
a) Use multiplicadores de Lagrange para determinar o ponto do plano mais próximo (1, 0,-2). 
 
b) A temperatura em um ponto (x,y,z) é dada por ( ) ( 
 ), sendo T medido em 
0
C e x,y,z em 
metros. Determine, justificando, em que direção e sentido (exibindo um vetor) em P(2,-1,2) a temperatura 
i) cresce mais rapidamente, 
ii) permanece constante. 
 
 (2,4) 2ª QUESTÃO : Calcule a integrais duplas: 
a) 
dydxye
y
x
 









4
0
2 5)( b) 
 







R
dA
yx 22
1
, sendo 
 0 e 41;),( 222  xyxRyxR
 
 (1,3) 3ª QUESTÃO : 
 Calcule o trabalho realizado pelo campo de força 
jyxixyyxF

)2()(),( 
 para mover uma partícula ao longo da 
curva C; sendo C a reunião do segmento de reta AB, com A(0,1) e B(1,0), com o arco da parábola 
12  xy
, do ponto B 
até o ponto (2,3). 
 
(2,6) 4ª QUESTÃO: 
a)Usando rotacional, mostre que o campo 
)33,26,322(),,( 2223223 zyxyxyzxyzxzyxyzzyxF 
 é 
conservativo. 
b) Calcule uma função potencial do campo 
F
 . 
c) Use o Teorema fundamental da integral linha para calcular a integral 
drF
C
.

, onde C é qualquer caminho que vai 
do ponto A(-1,0,1) até o ponto B(0,-1,2). 
 
(1,3) 5ª QUESTÃO: 
 Use o Teorema de Green, para calcular 
  
C
x dyyxdxey )cos(2)( 2
, sendo C a fronteira (orientada no sentido 
anti-horário) da região englobada pelas parábolas e . 
 
Questão extra (valor 1,0): Determine e classifique os pontos críticos da função de domínio R
2
, definida por 
 ( ) 
 
 
 . 
 
Departamento de Matemática. - UFBA 
MATA03 – Cálculo B 3ª Prova Data: 09/09/2013 
Professora: Graça Luzia Dominguez Santos Turma : 01 Sem: 2013.1 
Nome do Aluno___________________________________________________ 
Assinatura_______________________________________________________