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Simetria
Translações (Retículos)
Uma propriedade a nível atômico, não da forma do 
cristal
Simetria por translações envolve repetidas distâncias
A origem é arbitrária
Translações 1-D = uma linha
Simetria
Translações (Retículos)
Uma propriedade a nível atômico, não da forma do 
cristal
Simetria por translação envolve repetidas distâncias
A origem é arbitraria
Translação 1-D = uma fila
a é o vetor repetição
→
a
Simetria
Translações (Retículos)
Translações 2-D = uma rede
Simetria
Translações (Retículos)
Translações 2-D = uma rede
Céla unitária
Cela unitária: a unidade básica de repetição que, somente por translação, gera um 
padrão completo
Com difere do motivo??
Simetria
Translações (Retículos)
Translações 2-D = uma rede
a
b
Escolha qualquer ponto
Cada ponto que é exatamente n repetições a partir do ponto inicial é um ponto 
equivalente do original
Translações
Translações
Exercício: padrão de Escher
Translações
Exercício: padrão de Escher
1. Qual é o motivo?
Translações
Exercício: padrão de Escher
1. Qual é o motivo?
2. Escolha qualquer ponto e marque com um ponto 
grande
Translações
Exercício: padrão de Escher
1. Qual é o motivo?
2. Escolha qualquer ponto e marque com um ponto 
grande
3. Faça o mesmo para todos os pontos equivalentes
4. Delineie a cela unitária baseado nos pontos 
equivalentes
Translações
Exercício: padrão de Escher
1. Qual é o motivo?
2. Escolha qualquer ponto e marque com um ponto 
grande
3. Faça o mesmo para todos os pontos equivalentes
4. Delineie a cela unitária baseado nos pontos 
equivalentes
5. Qual é o o conteúdo (Z) da cela unitária ??
Translações
Exercício: padrão de Escher
1. Qual é o motivo?
2. Escolha qualquer ponto e marque com um ponto 
grande
3. Faça o mesmo para todos os pontos equivalentes
4. Delineie a cela unitária baseado nos pontos 
equivalentes
5. Qual é o o conteúdo (Z) da cela unitária ??
Z = O número de motivos por cela unitária
Translações
Qual cela unitária é 
correta??
Convenções:
1. As arestas da cela, 
quando possível, 
coincidem com os 
eixos de simetria ou 
planos de reflexão
2. Se possível, as arestas 
devem relacionar 
umas as outras pela 
simetria do retículo
3. A menor cela possível 
(a cela reduzida) que 
satisfaça 1 e 2 deve 
ser escolhida
 
Translações
O Retículo e a simetria do grupo pontual se 
interrelacionam, pois ambos são propriedades do padrão 
de simetria geral
Translações
O Retículo e a simetria do grupo pontual se 
interrelacionam, pois ambos são propriedades do padrão 
de simetria geral
Translações
Escolha da cela unitária. Qual o valor de Z?
O Retículo e a simetria do grupo pontual se 
interrelacionam, pois ambos são propriedades do padrão 
de simetria geral
Translações
Escolha da cela unitária. Qual o valor de Z?
Há outros elementos de simetria ?
O Retículo e a simetria do grupo pontual se 
interrelacionam, pois ambos são propriedades do padrão 
de simetria geral
Translations
O Retículo e o grupo pontual de simetria se interrelacionam, 
pois ambos são propriedades da simetria geral do padrão
Isso explica porque eixo de rotação 5 e > 6 não funcionam 
nos cristais
Translations
O Retículo e o grupo pontual de simetria se interrelacionam, 
pois ambos são propriedades da simetria geral do padrão
Isso explica porque eixo de rotação 5 e > 6 não funcionam 
nos cristais
Translação
Existe uma outra operação 2-D de simetria ao considerar as 
translações
Passo 1: refletir
(uma posição temporária)
Passo 2: transladar
repetir
O Plano Glide:
Uma combinação de
reflexão e translação
Translações
Há somente 5 únicos retículos 2-D
Há somente 5 únicos retículos planos 2-D
Existem um total de 17 Planos Grupos 2-D que resultam da 
combinação de translações com operações de simetria compatíveis. 
A linha de baixo mostra exemplos de Grupos planos que 
correspondem a cada tipo de retículo
Combinando translações e grupos pontuais
Grupo de Simetria Plano
p211
Grupo de Simetria Plano
Tridimita: Cela ortorrômbica C
Translações 3-D e Retículos
 Maneiras diferentes de combinar 3 eixos não-paralelos, não co-
planares
 Translações compatíveis com os 32 grupos pontuais 3-D (ou 
classes de simetria)
 32 Grupos enquadram-se em 6 categorias
Translações 3-D e 
Retículos
 Diferentes maneiras de 
combinar 3 eixos não-paralelos e 
não-coplanares
 Translações compatíveis com os 
32 grupos pontuais 3-D (ou 
classes de simetria)
 Os 32 Grupos Pontuais 
enquadram-se em 6 categorias
+c
+a
+b
γ
β
α
Convenção axial:
“regra da mão direita ”
Translações 3-D e 
Retículos
 Diferentes maneiras de 
combinar 3 eixos não-paralelos e 
não-coplanares
 Translações compatíveis com os 
32 grupos pontuais 3-D (ou 
classes de simetria)
 Os 32 Grupos Pontuais 
enquadram-se em 6 categorias
+c
+a
+b
γ
β
α
Convenção axial:
“regra da mão direita ”
a
b
c
P
Monoclinico
α = γ = 90ο ≠ β
a ≠ b ≠ c
a
b
c
I = C
a b
P
Triclinico
α ≠ β ≠ γ
a ≠ b ≠ c
c
c
a P
Ortorrômbico
α = β = γ = 90ο a ≠ b ≠ c
C F I
b
a1
c
P
Tetragonal
α = β = γ = 90
ο a1 = a2 ≠ c
I
a2
a1
a3
P
Isométrico
α = β = γ = 90ο a1 = a2 = a3
a2
F I
Translações 3-D e Retículos
Triclinico:
Translações 3-D e Retículos
Triclinico:
Sem restrição de simetria.
Translações 3-D e Retículos
Triclinico:
Sem restrição de simetria.
Não há razão para escolher C quando P é mais simples
Translações 3-D e Retículos
Triclinico:
Sem restrição de simetria.
Não há razão para escolher C quando P é mais simples
Por convenção, todos mineralogistas fazem o mesmo
Translações 3-D e Retículos
Triclinico:
Sem restrição de simetria.
Não há razão para escolher C quando P é mais simples
Por convenção, todos mineralogistas fazem o mesmo
Ortorrômbico:
Translações 3-D e Retículos
Triclinico:
Sem restrição de simetria.
Não há razão para escolher C quando P é mais simples
Por convenção, todos mineralogistas fazem o mesmo
Ortorrômbico:
Porque C e não A ou B? 
Translações 3-D e Retículos
Triclinico:
Sem restrição de simetria.
Não há razão para escolher C quando P é mais simples
Por convenção, todos mineralogistas fazem o mesmo
Ortorrômbico:
Porque C e não A ou B? 
Se tiver A ou B, simplesmente renomear os eixos até que → C
+c
+a
+b
γ
β
α
Convenção Axial:
“regra da mão-diretita”
Simetria 3-D
Eixos Cristalográficos
Simetria 3-D
Simetria 3-D
Simetria 3-D
Simetria 3-D
Grupos Espaciais 3-D
Assim como nos17 Grupos Planos 2-D, os grupos de 
simetria 3-D podem ser combinados com translações para 
criar 230 Grupos Espaciais 3-D
Também como em 2-D há novos elementos de simetria que 
combinam translação com outras operações de simetria
Glides: Reflexão + translação
 4 tipos. Fig. 6.52, Klein
Screw Axes: Rotação + translação
 Fig. 5.67, Klein