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Fenômenos Mecânicos 
BC0208 
 
 Introdução ao laboratório de Fenômenos 
Mecânicos 
 
Prof. 
CCNH – UFABC 
@ufabc.edu.br 
 
1.  Apresentação da Disciplina 
2.  Conceitos básicos da teoria de erros 
I.  Medidas e incertezas 
II.  Propagação de erros 
3.  Gráficos 
I.  Regras para construção de gráficos 
II.  Cálculos a partir de gráficos 
Aula 1 
T	
  P	
  I	
  =	
  4	
  1	
  6	
  	
  
Ementa	
  
O	
  conteúdo	
  pode	
  ser	
  dividido	
  nos	
  seguintes	
  tópicos	
  principais:	
  
1-­‐	
  Revisão	
  de	
  cinemá@ca	
  introduzindo	
  vetores	
  e	
  derivadas	
  	
  
2-­‐	
  Leis	
  de	
  Newton	
  e	
  suas	
  aplicações	
  
3-­‐	
  Trabalho,	
  energia	
  mecânica	
  e	
  conservação	
  da	
  energia	
  
4-­‐	
  Colisões	
  e	
  conservação	
  do	
  momento	
  linear	
  
5-­‐	
  Rotações	
  e	
  conservação	
  do	
  momento	
  angular	
  
	
  
Livro	
  texto	
  
-­‐Princípios	
  de	
  Física,	
  Vol.1,	
  R.	
  A	
  Serway	
  e	
  J.W.	
  Jewe<	
  Jr.,	
  tradução	
  da	
  3.a	
  edição	
  
norte-­‐americana,	
  Ed.	
  Cengage	
  Learning.	
  
-­‐Piacen@ni,	
  J.	
  J.	
  et	
  al.,	
  Introdução	
  ao	
  Laboratório	
  de	
  Física,	
  3a.	
  edição,	
  Ed.	
  da	
  
UFSC.	
  
-­‐J.H.	
  Vuolo,	
  Fundamentos	
  da	
  Teoria	
  de	
  Erros,	
  	
  2ª	
  ed.,	
  São	
  Paulo,	
  Ed.	
  Edgar	
  
Blücher,	
  1996.	
  
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
A/vidades	
  
	
  
Aulas	
  quinzenais	
  às	
  5ª-­‐feiras.	
  
	
  
As	
  a@vidades	
  prá@cas	
  do	
  curso	
  compõem-­‐se	
  de	
  3	
  etapas:	
  
	
  
§ 	
  Pré-­‐relatório	
  
§ 	
  Experimento	
  no	
  laboratório	
  
§ 	
  Relatório	
  
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Pré-­‐relatório	
  
	
  
A	
  realização	
  de	
  um	
  experimento	
  em	
  laboratório	
  exige	
  um	
  mínimo	
  de	
  
planejamento	
  prévio,	
  	
  pois	
  quando	
  temos	
  uma	
  ideia	
  antecipada	
  do	
  que	
  devemos	
  
fazer	
  ao	
  entrar	
  no	
  laboratório,	
  podemos	
  
§  Trabalhar	
  com	
  mais	
  segurança	
  
§  Evitar	
  erros	
  grosseiros	
  	
  
§  Aumentar	
  a	
  eficiência	
  
§  Evitar	
  danos	
  ao	
  equipamento	
  
	
  
Essa	
  é	
  a	
  função	
  do	
  pré-­‐relatório,	
  que	
  nada	
  mais	
  é	
  que	
  uma	
  mini-­‐lista	
  de	
  
exercícios	
  com	
  questões	
  conceituais	
  e	
  prá@cas	
  relacionadas	
  à	
  a@vidade	
  que	
  será	
  
realizada	
  no	
  laboratório	
  e	
  que	
  deverá	
  ser	
  feita	
  ANTES	
  de	
  cada	
  experimento,	
  
individualmente.	
  
	
  
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Pré-­‐relatório	
  
Regras:	
  
	
  
§  A	
  nota	
  de	
  laboratório	
  estará	
  condicionada	
  ao	
  preenchimento	
  on-­‐line	
  do	
  pré-­‐
relatório.	
  
§  Cada	
  pré-­‐relatório	
  individual	
  receberá	
  uma	
  nota	
  e	
  a	
  média	
  dos	
  mesmos	
  
corresponderá	
  a	
  10%	
  da	
  nota	
  experimental	
  (E).	
  
§  O	
  pré-­‐relatório	
  deverá	
  ser	
  preenchido	
  UNICAMENTE	
  pela	
  internet,	
  acessando	
  
o	
  site	
  da	
  disciplina	
  no	
  TIDIA	
  (hlp://@dia-­‐ae.ufabc.edu.br).	
  
§  O	
  preenchimento	
  do	
  pré-­‐relatório	
  poderá	
  ser	
  feito	
  até	
  24h	
  ANTES	
  da	
  aula	
  
de	
  laboratório,	
  após	
  esse	
  prazo,	
  o	
  sistema	
  ficará	
  bloqueado	
  e	
  o	
  estudante	
  
não	
  poderá	
  realizar	
  o	
  experimento.	
  
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Experimentos	
  
	
  
§  Na	
  primeira	
  aula	
  prá@ca,	
  deverão	
  ser	
  formados	
  grupos	
  para	
  a	
  realização	
  dos	
  
experimentos.	
  
§  Os	
  experimentos	
  serão	
  realizados	
  no	
  laboratório	
  segundo	
  relatório	
  que	
  será	
  
disponibilizado	
  na	
  página	
  do	
  TIDIA,	
  no	
  mínimo,	
  uma	
  semana	
  antes	
  do	
  
respec@vo	
  experimento.	
  
§  Cada	
  aluno	
  deve	
  imprimir	
  seu	
  próprio	
  relatório,	
  no	
  entanto,	
  no	
  final	
  de	
  cada	
  
aula,	
  deverá	
  ser	
  entregue	
  somente	
  1	
  (um)	
  relatório	
  preenchido	
  por	
  grupo.	
  	
  
§  Nas	
  aulas	
  prá@cas,	
  é	
  imprescindível	
  a	
  presença	
  no	
  laboratório,	
  por	
  isso,	
  	
  a	
  
falta	
  em	
  2	
  (experimentos)	
  	
  sem	
  jus/fica/va	
  implicará	
  em	
  reprovação	
  
automá/ca	
  na	
  disciplina.	
  
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Relatórios	
  
	
  
§  Nesta	
  disciplina,	
  os	
  chamados	
  “Relatórios”	
  são	
  os	
  roteiros	
  preenchidos	
  	
  por	
  
cada	
  grupo	
  com	
  os	
  resultados	
  dos	
  experimentos	
  (tabelas	
  e	
  gráficos)	
  e	
  as	
  
conclusões.	
  
§  O	
  relatórios	
  preenchidos	
  	
  deverão	
  ser	
  entregues	
  sempre	
  ao	
  final	
  de	
  cada	
  
aula.	
  
§  Os	
  relatórios	
  de	
  cada	
  grupo	
  receberão	
  uma	
  nota,	
  sendo	
  que	
  a	
  média	
  dos	
  
mesmos	
  corresponderá	
  a	
  80%	
  da	
  nota	
  da	
  parte	
  experimental	
  (E).	
  
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Avaliação	
  da	
  parte	
  experimental	
  
	
  
3	
  pré-­‐relatórios	
  e	
  3	
  relatórios,	
  2	
  provas	
  e	
  1	
  prova	
  subs@tu@va	
  (opcional).	
  A	
  nota	
  
final	
  da	
  disciplina	
  será	
  calculada	
  da	
  seguinte	
  forma:	
  
	
  
NF	
  =	
  0,7	
  ((P1+P2)/2)	
  +	
  0,1	
  L	
  +	
  0,2	
  E	
  	
  
	
  
Sendo	
  que	
  a	
  nota	
  da	
  parte	
  Experimental	
  será	
  dada	
  por	
  
	
  
E	
  =	
  0,2PR	
  +	
  0,8R	
  
	
  
onde	
  PR	
  é	
  a	
  média	
  dos	
  Pré-­‐Relatórios	
  e	
  R,	
  a	
  média	
  dos	
  Relatórios.	
  
	
  
As	
  provas	
  P1,	
  P2	
  e	
  SUB	
  conterão	
  questões	
  experimentais.	
  
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Avaliação	
  
	
  
No	
  seguinte	
  caso	
  a	
  fórmula	
  anterior	
  não	
  se	
  aplicará:	
  	
  
	
  
	
  se	
  o	
  aluno	
  não	
  @ver	
  realizado	
  pelo	
  menos	
  2	
  experimentos	
  (nesse	
  caso,	
  o	
  
aluno	
  será	
  reprovado	
  com	
  conceito	
  F).	
  	
  
	
  	
  
Caso	
  o	
  aluno	
  tenha	
  perdido	
  2	
  experimentos,	
  ainda	
  terá	
  a	
  chance	
  de	
  repor	
  1(um)	
  
experimento	
  somente	
  se	
  jus/ficar	
  a	
  falta	
  em	
  um	
  deles.	
  
	
  
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Conversão	
  Nota-­‐Conceito	
  
	
  
A	
  correspondência	
  entre	
  notas	
  e	
  conceitos	
  seguirá	
  a	
  tabela	
  abaixo	
  
	
  
	
  
	
  
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
A	
   B	
   C	
   D	
   F	
  
≥	
  8,0	
  	
   ≥	
  6,5	
   ≥	
  5,0	
   >	
  4,0	
   <	
  4,0	
  
Regras	
  para	
  reposição	
  de	
  experimentos	
  
	
  
§  Aqueles	
  que	
  perderam	
  uma	
  aula	
  prá@ca	
  e	
  jus/ficaram,	
  têm	
  direito	
  à	
  
reposição	
  do	
  respec@vo	
  experimento	
  ao	
  final	
  do	
  curso	
  (vide	
  cronograma).	
  
§  O	
  documento	
  que	
  jus@fica	
  a	
  falta	
  em	
  uma	
  aula	
  prá@ca	
  (atestado	
  médico	
  ou	
  
do	
  empregador)deverá	
  ser	
  entregue	
  ao	
  respec/vo	
  professor	
  em	
  até	
  6	
  (seis)	
  
dias	
  após	
  a	
  aula	
  perdida.	
  
§  O	
  aluno	
  deverá	
  solicitar	
  por	
  e-­‐mail	
  que	
  deseja	
  repor	
  o	
  experimento.	
  
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Trabalhando	
  no	
  laboratório	
  
	
  
§  No	
  laboratório,	
  será	
  exigido	
  o	
  uso	
  de	
  jaleco,	
  conforme	
  regra	
  da	
  universidade.	
  
§  Não	
  será	
  aceito	
  o	
  uso	
  de	
  computadores	
  de	
  mão	
  para	
  análise	
  de	
  dados.	
  
§  Será	
  permi@do	
  o	
  uso	
  de	
  calculadoras	
  cienuficas.	
  
§  A	
  área	
  de	
  trabalho	
  deverá	
  ser	
  organizada	
  e	
  limpa	
  antes	
  do	
  aluno	
  deixar	
  o	
  
laboratório.	
  
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Cronograma (Grupo A) 
Data Aula A/vidade 
25/04 1 Introdução ao laboratório de Fenômenos Mecânicos 
09/05 2 
Experimento 1: movimento retilíneo uniforme 
(MRU) 
23/05 3 Experimento 2: Lei de Hooke 
10/06 PROVA 1 
13/06 4 
Experimento 3: colisões, conservação de momento 
linear, conservação de energia 
27/06 5 Reposição de experimentos 
01/07 PROVA 2 
04/07 SUB 
A	
  
Cronograma (Grupo B) 
Data Aula A/vidade 
02/05 1 Introdução ao laboratório de Fenômenos Mecânicos 
16/05 2 
Experimento 1: movimento retilíneo uniforme 
(MRU) 
06/06 3 Experimento 2: Lei de Hooke 
10/06 PROVA 1 
20/06 4 
Experimento 3: colisões, conservação de momento 
linear, conservação de energia 
27/06 5 Reposição de experimentos 
01/07 PROVA 2 
04/07 SUB 
B	
  
A todos um bom curso! 
Medir é um procedimento experimental em que o valor de uma grandeza 
é determinado em termos do valor de uma unidade, definida através de 
um padrão. 
Uma medição começa com a especificação apropriada do 
mensurando e do procedimento de medição. 
Como todo processo de medição é imperfeito, resulta que toda medida 
tem uma incerteza associada que procura expressar a nossa ignorância 
(no bom sentido) do valor medido. 
Sendo assim, uma medida deve conter as seguintes informações: 
 
§  o valor da grandeza 
§  a incerteza da medição 
§  a unidade 
Medidas e Incertezas 
Como expressar o resultado de uma medida? 
 
Veja o seguinte exemplo: 
 
A leitura da régua mostra 128,9 cm. 
Podemos associar uma incerteza de 0,05 cm a esta medida. 
 
Sendo assim, devemos escrever 
 
 L = 128,90 ± 0,05 cm 
Em geral: 
Medidas e Incertezas 
Especifica o valor mais plausível da medida. 
Especifica o intervalo em que se tem confiança de ser onde a 
quantidade se encontra, entre 128,85 e 128,95. 
xxmédio δ±= x de medidoValor 
Algarismos significativos 
 
Como δx é só uma estimativa da incerteza, não faz sentido 
expressá-lo com muita precisão. 
 
Exemplo 
É um ABSURDO expressar a medida da aceleração da 
gravidade como g = 9,82 ± 0,02385 m.s-2 . 
 
Mesmo em trabalhos de altíssima precisão, utilizam-se no 
máximo DOIS algarismos significativos para expressar a 
incerteza de uma medida. 
 
No nosso caso, vamos trabalhar com apenas UM algarismo 
significativo, o que resulta em 
g = 9,82 ± 0,02 m.s-2 . 
Medidas e Incertezas 
Algarismos significativos 
 
Outro exemplo: 
A velocidade medida de um foguete é 6050,78 m.s-1. 
 
Como expressar essa medida se a incerteza for 
 
§  ± 30 ? 
§  ± 3 ? 
§  ± 0,3 ? 
Medidas e Incertezas 
6050 ± 30 
Faixa de confiança entre 6020 e 6080 m.s-1 
6051 ± 3 
Faixa de confiança entre 6048 e 6054 m.s-1 
6050,8 ± 0,3 
Faixa de confiança entre 6050,5 e 6051,1 m.s-1 
Algarismos significativos 
São os algarismos que compõem o valor de uma grandeza, 
excluindo eventuais zeros à esquerda, usados para 
acertos de unidades. 
 
ZEROS À DIREITA SÃO SIGNIFICATIVOS SOMENTE 
 
QUANDO A VÍRGULA É UTILIZADA! 
RAIO	
  (mm)	
  
57,896	
  
5,79X101	
  
5,789600X101	
  
0,6X102	
  
A.	
  SIGNIFICATIVOS	
  
5	
  
3	
  
7	
  
1	
  
Medidas e Incertezas 
Note o uso da 
notação científica 
neste caso! 
Regras práticas para apresentação de resultados 
•  Para expressar a incerteza, use apenas UM algarismo 
significativo, conforme discutido anteriormente; 
•  O último algarismo significativo do valor medido deve ser 
da mesma ordem de grandeza (mesma casa decimal) que 
a incerteza; 
•  A notação científica pode ser usada para se evitar 
ambiguidades. Neste caso, deve-se usar a mesma 
potência de dez tanto para o valor da grandeza quanto 
para sua incerteza. 
NOTAÇÃO	
  ERRADA	
  
5,30	
  ±	
  0,0572	
  
124,5	
  ±	
  10	
  
0,00002002	
  ±	
  0,0000005	
  
(45	
  ±	
  2,6)X101	
  
NOTAÇÃO	
  CORRETA	
  
5,30	
  ±	
  0,06	
  
120	
  ±	
  10	
  
(200	
  ±	
  5)X10-­‐7	
  
(45	
  ±	
  3)X101	
  
Medidas e Incertezas 
Regras práticas para apresentação de resultados 
•  Uma regra prática usada para evitar a obtenção de 
resultados inexatos é trabalhar sempre com todos os 
algarismos significativos disponíveis durante os cálculos 
intermediários. A calculadora sempre registrará valores 
com uma porção de algarismos significativos, os quais 
devem ser desprezados e arredondados somente na 
resposta final. 
Medidas e Incertezas 
Erro 
 
Todo processo de medição tem imperfeições que dão origem 
a um erro em seu resultado. 
 
O erro é definido como a diferença entre o valor medido e o 
valor verdadeiro (em geral, não acessível) do mensurando. 
 
Teoria de erros 
Conceitos básicos 
Tipos de erros 
Podem ser basicamente de dois tipos: aleatório e sistemático: 
§  Erro aleatório 
o  Origem: variações imprevisíveis no processo de medida. Não 
pode ser compensado, mas pode ser reduzido, aumentando-se o 
número de observações ou repetições da mesma medida. 
§  Erro sistemático 
o  Origem: má calibração do instrumento ou de um erro de medida 
repetitivo. Não pode ser eliminado, mas pode ser reduzido ou 
corrigido. Ex: uma balança mal aferida que apresenta sempre 
uma leitura 50 g maior do que o valor real do objeto medido. 
Teoria de erros 
Conceitos básicos 
Incerteza 
 
Parâmetro associado ao resultado de 
uma medição que caracteriza a 
dispersão dos valores que podem ser 
atribuídos ao mensurando. A 
incerteza reflete o desconhecimento 
do valor exato do mensurando. 
 
Esse parâmetro pode ser um 
desvio padrão (ou um múltiplo dele) 
ou a metade do intervalo de uma 
escala. 
 
Uma incerteza corresponde a um 
dado nível de confiança, ou seja, a 
probabilidade de encontrar o valor 
num determinado intervalo. 
Teoria de erros 
Conceitos básicos 
68%	
  
95%	
  
Precisão 
 
Medida de quão bem o valor de uma 
medida fo i determinado, sem 
considerar se este está próximo ou 
não do valor real. 
T a m b é m é u m a m e d i d a d a 
reprodutibilidade do resultado de um 
experimento. 
 
Acurácia ou exatidão 
 
Medida de quão próximo o valor 
medido está do valor verdadeiro da 
grandeza. 
 
Teoria de erros 
Conceitos básicos 
Erros X Acurácia e Precisão 
Erro sistemático aumenta 
Er
ro
 a
le
at
ór
io
 a
um
en
ta
 
Mas afinal, qual a importância de se estimar os erros??? 
 
Estimar os erros é importante porque sem isso não temos como tirar 
conclusões significativas a partir dos resultados experimentais. 
 
Imagine a seguinte situação: 
 
 
 
 
 
 
Será que o valor obtido, quando comparado ao valor já conhecido de g = 
(9,82 ± 0,02) m/s2, indica alguma variação significativa de g? 
Em um experimento, mediu-se o valor da aceleração da gravidade 
para comparar com o valor obtidono ano anterior em outro 
laboratório. 
Resultado: g = (9,70 ± 0,15) m/s2 
Medidas e Incertezas 
Há 3 possibilidades: 
 
1.  Como o erro estimado é de ± 0,15, esse valor pode ser considerado 
satisfatório, já que está de acordo com o valor esperado 
2.  Se tivesse sido realizado um experimento muito mais preciso de 
modo que tivesse sido possível reduzir o erro a ± 0,01, esse 
resultado seria inconsistente com o esperado. Nesse caso: 
i.  Ou o resultado poderia estar errado 
ii.  Ou teria sido feita uma nova descoberta! 
3.  Se tivesse sido realizado um experimento mal projetado, o erro 
estimado poderia chegar, digamos, a ± 5. Nesse caso, os valores 
estariam de acordo, MAS a precisão seria tão baixa que seria 
impossível detectar variações significativas com esse método 
experimental. 
Medidas e Incertezas 
Conclusões que poderiam ser tiradas daí: 
Medidas e Incertezas 
Moral da estória: sempre que medir um parâmetro, 
estime o erro ou seu experimento será INÚTIL. 
1.  Nosso experimento foi bem feito. 
OU 
 
2.  Fizemos uma descoberta sensacional! 
OU 
3.  Precisamos descobrir um jeito melhor de fazer esse 
experimento. 
A incerteza pode ser de dois tipos, segundo o método 
utilizado para estimar o seu valor: 
 
Avaliação tipo A 
 
A incerteza é avaliada por meio de uma análise estatística 
de uma série de medidas. 
 
 
Avaliação tipo B 
 
A incerteza é avaliada por meio de métodos não 
estatísticos quando não se dispõe de observações 
repetidas. 
Como estimar incertezas 
 
 
Avaliação tipo B 
 
Caso em que o número de medições realizadas não é suficiente para uma 
análise estatística ou não é prático ou não é possível fazer esse tipo de 
análise. 
 
Dependente do bom senso do operador que deve utilizar de outras 
fontes de informação para estimar a incerteza, tais como: 
 
•  Dados de medições anteriores 
•  Conhecimento sobre o instrumento utilizado 
•  Especificações do fabricante 
•  Dados de calibração 
 
Exemplos: 
•  Metade da menor divisão de um instrumento 
•  Faixa de oscilação do ponteiro de um medidor analógico 
•  Faixa de variação do último algarismo de um medidor digital 
Cálculo de incertezas 
 
LDV
4
2
π=
 , LD LLDD σσ ±=±=
L 
D 
Como determinar a incerteza de uma grandeza que é obtida 
por meio de um cálculo usando medidas diretas? 
Aí vem a seguinte questão: 
Qual a incerteza envolvida nessa determinação indireta do 
volume? 
O diâmetro e a altura são determinados experimentalmente e, 
consequentemente essas grandezas possuem incertezas 
associadas a sua determinação: 
Exemplo: Vamos considerar um cilindro de 
diâmetro da base D e altura L. 
Medindo D e L, o volume do 
cilindro será estimado por: 
Propagação de erros 
Vamos	
  considerar	
  um	
  caso	
  concreto	
  
LDV
4
2
π=
Considerando	
  a	
  expressão	
  para	
  a	
  determinação	
  do	
  volume	
  
O	
  valor	
  médio	
  do	
  volume	
  é	
  dado	
  simplesmente	
  pelos	
  valores	
  médios	
  do	
  diâmetro	
  e	
  
da	
  altura:	
  
 cm cm 05,050,1205,000,5 ±=±= LD
( ) ( ) 3
2
05,050,12
4
05,000,5 cm±±= π
( ) ( ) 33
2
44,2455,12
4
0,5 cmcmV == π
Qual	
  o	
  valor	
  que	
  obteríamos	
  se	
  considerássemos	
  os	
  valores	
  máximos	
  do	
  diâmetro,	
  
5,05	
  cm,	
  e	
  da	
  altura,	
  	
  12,55	
  cm?	
  
E	
  se	
  considerássemos	
  os	
  valores	
  mínimos?	
  
3cm )6245( ±=V
Mas, qual a incerteza nessa determinação do volume? 
Assim,	
  com	
  esses	
  dados	
  de	
  diâmetro	
  e	
  altura,	
  podemos	
  concluir	
  que	
  
Propagação de erros 
Esse procedimento de considerar “valores máximos e mínimos” 
nos dá uma ideia grosseira da incerteza na variável determinada 
indiretamente. 
Esse método é denominado PROPAGAÇÃO DE ERROS 
Vamos	
  considerar	
  o	
  caso	
  de	
  uma	
  variável	
  dependente	
  geral	
  
A	
  incerteza	
  em	
  F é determinada indiretamente pela propagação dos erros das 
outras variáveis 
,...),,( zyxF
...)()()( 2
2
2
2
2
2
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
= zyxF z
F
y
F
x
F
σσσσ
Existe um método mais rigoroso e apropriado para se encontrar a 
incerteza de uma variável determinada indiretamente. 
 
Propagação de erros 
Neste quadrimestre nos basearemos somente nos casos de soma/
subtração e multiplicação/divisão. 
 
Quadro	
  resumo	
  
Iden@fique	
  o	
  @po	
  de	
  expressão	
  que	
  você	
  
precisa	
  para	
  determinar	
  a	
  incerteza.	
  
	
  
Exemplo:	
  Um	
  objeto	
  percorreu	
  a	
  
distância	
  de	
  D	
  =	
  (2,4	
  	
  	
  0,2)	
  m	
  em	
  um	
  
tempo	
  de	
  t	
  =	
  (1,2	
  	
  	
  0,1)s.	
  Determine	
  a	
  
velocidade	
  média	
  do	
  objeto	
  e	
  sua	
  
incerteza.	
  
	
  
	
  
	
  
Para	
  o	
  cálculo	
  da	
  incerteza,	
  observamos	
  
na	
  tabela	
  que:	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Logo:	
  	
  v	
  =	
  (2,0	
  	
  	
  0,2)	
  m/s	
  
±
±
2
2,1
4,2
===
t
Dv
±
23,0
22
222
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
yx
v
yxv
yx
v
yxv
σσ
σ
σσσ
Regras para construção de gráficos 
O que todo gráfico deve ter: 
 
1.  Título ou legenda do gráfico 
2.  Eixos das variáveis com os 
nomes das variáveis, escalas e 
unidades 
3.  Dados experimentais e 
incertezas 
4.  Funções teóricas ou curvas 
médias (esse último item é 
opcional e, dependendo das 
circunstâncias, pode ser omitido) 
Exemplo de gráfico bem feito 
Figura 1: variação da velocidade em função do tempo de um 
corpo se deslocando em movimento variado 
Exemplo de gráficos bem feito vs ruim 
Figura 1: variação da velocidade em função do 
tempo de um corpo se deslocando em movimento 
variado 
Bem Feito Ruim! 
Cálculos a partir de gráficos 
 Existe um método rápido para estimar os parâmetros de uma reta, 
muito útil quando não se dispõe de um computador com software 
adequado para cálculos estatísticos (como, por exemplo, nas provas!). 
 
As únicas ferramentas necessárias são um lápis (ou caneta) e uma 
régua (de preferência transparente). 
O método funciona melhor se as 
escalas do gráfico foram escolhidas 
decentemente, ou seja com os pontos 
experimentais relativamente 
alinhados ao longo de uma diagonal. 
Cálculos a partir de gráficos 
 
Cálculos a partir de gráficos 
 
A (x1, y1) 
C (x3, y3) 
B (x2, y2) 
D (x4, y4) 
Cálculos a partir de gráficos 
 
Os coeficientes angulares a de cada reta são obtidos a partir das 
coordenadas de seus pontos extremos: 
 
 
 Reta mínima 
 
 
 
 Reta máxima 
 
 
 
 
Os coeficientes lineares b, por sua vez, são obtidos pela leitura direta 
dos pontos onde cada reta cruza o eixo y. 
13
13
xx
yyamín −
−
=→
24
24
xx
yyamáx −
−
=→
Cálculos a partir de gráficos 
 
Obtém-se, assim a equação correspondente para cada uma das retas: 
 
 Reta mínima Reta máxima 
 
 
 
 
Finalmente, os coeficientes e as respectivas incertezas da reta média 
são obtidos pelas expressões abaixo: 
mínmín bxay +⋅= máxmáx bxay +⋅=
	
  
	
  
Na próxima aula iniciaremos os experimentos. 
	
  
	
  
O	
  relatório	
  deve	
  ser	
  baixado	
  do	
  site:	
  
hdp:///dia-­‐ae.ufabc.edu.br	
  
	
  
Para	
  a	
  entrada	
  no	
  laboratório	
  na	
  próxima	
  aula	
  é	
  OBRIGATÓRIO:	
  	
  
	
  
Queo	
  estudante	
  esteja	
  usando	
  o	
   jaleco,	
   roupas	
  adequadas	
  segundo	
  as	
  normas	
  
de	
  segurança	
  dos	
  laboratórios	
  .	
  	
  
	
  
Tenha	
  preenchido	
  o	
  pré-­‐relatório	
  on-­‐line	
  (CUIDADO	
  COM	
  O	
  PRAZO!).	
  	
  
	
  
	
  
	
  
Não	
  esqueça	
  de	
  definir	
  com	
  seus	
  colegas	
  quem	
  são	
  os	
   integrantes	
  de	
  seu	
  grupo.	
  
Lembre-­‐se	
  que	
  no	
  final	
  da	
  aula	
  deve	
  ser	
  entregue	
  UM	
  único	
  roteiro	
  por	
  grupo.

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