Lista3_resolvida

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Universidade Federal da Bahia 
Instituto de Física – Departamento de Física Geral 
Disciplina: Métodos da Física Teórica II (FIS 114) Profa: Suani Pinho 
Nome: Data: 15/06/2012 
 
 
3ª Prova – Etapa 1 
 
 
1) (2.5) Sobre funções de Green independentes do tempo: 
Mostre que a parte heterogênea da função de Green da equação não homogênea 
modificada de Helmholtz, , é dada por: 
, 
 
 sendo K0 a função modificada de Bessel do segundo tipo de ordem zero. 
 
 
2) (2.0) Sobre funções de Green dependentes do tempo: 
Considere o problema unidimensional da condução de calor sob ação de uma fonte 
externa q(x,t). Assumindo que a temperatura é nula antes de ligar a fonte térmica, 
obtenha a função de Green retardada e a temperatura u(x,t), ou seja, as expressões 
(181) e (182) do material de Paulo Miranda (página 65). 
 
 
3) (1.5) Considere o potencial no interior de uma casca esférica com simetria azimutal. 
Aplicando o método da separação de variáveis, a parte radial deste problema gera a 
seguinte equação: 
 
€ 
d
dr r
2 du
dr ( r )
⎡ 
⎣ 
⎢ 
⎤ 
⎦ 
⎥ − n( n +1)u( r ) = 0 , 
assumindo que, nos extremos 0 e ∞, a solução seja nula. Mostre que a função de Green 
do problema não-homogêneo associado no intervalo [0, ∞) é dada por 
 
 
 
 
4) (2.5) Considere o problema de Sturm-Liouville perturbado . Com 
base nos resultados já obtidos para a aproximação de 1ª. ordem: 
a) (1.0) Mostre que a aproximação de 2ª. ordem nos leva à equação do sistema 
perturbado 
 
 
 
b) (1.5) Sendo , mostre que os autovetores da aproximação 
de 2ª. ordem são dados por 
 
 
 
 quando , ficando indeterminado. 
 
 
5) (2.0) Considere o problema não-homogêneo de Sturm-Liouville (SL) definido no 
intervalo [a,b] cuja função que age externamente é representada por f(x) e o operador 
de SL é dado por 
 
 
€ 
L =
d
dx p(x)
d
dx
⎡ 
⎣ 
⎢ 
⎤ 
⎦ 
⎥ − q(x) 
 
Usando a equação de Euler-Lagrange, mostre que a extremização do funcional 
 
€ 
J = p(x) dudx
⎡ 
⎣ 
⎢ 
⎤ 
⎦ 
⎥ 
2
+q(x) u(x)[ ]2 + 2 f(x)u(x)
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
⎫ 
⎬ 
⎪ 
⎭ ⎪ a
b
∫ dx 
 
leva à equação diferencial do problema não-homogêneo de SL cuja solução é u(x). 
 
	Binder1
	P3_metodos2
	Questão 1-1
	Questão 1-2
	Questão 1-3
	Questão 1-4
	Questão 2-1
	Questão 2-2
	Questão 2-3
	Questão 2-4
	Questão 2-5
	Questão 2-6
	Questão 2-7
	Questão 3-1
	Questão 3-2
	Questão 4-1
	Questão 4-2
	Questão 4-3
	Questão 5