LISTA 4 – Produto Escalar parte 1 20170329 2150

Prévia do material em texto

GEOMETRIA ANALÍTICA – 2017/1 
Profª LUCIANA B. FIOROTTI 
LISTA 4 – PRODUTO ESCALAR(parte 1) 
 
1. Dados os vetores 𝑢 = 2,−3,−1 e 𝑣 = 1,−1,4 , calcular: 
a) 2𝑢 ∙ −𝑣 
b) 𝑢 + 3𝑣 ∙ 𝑣 − 2𝑢 
c) 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑢 − 𝑣 
d) 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑣 − 𝑢 
 
2. Sejam os vetores 𝑢 = 2,𝑎,−1 , 𝑣 = 3,1,−2 e 𝑤 = 2𝑎 − 1,−2,4 . Determinar 𝑎 de modo que 
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑣 + 𝑤 . 
 
3. Dados os pontos 𝐴 4,0,−1 , 𝐵 2,−2,1 e 𝐶 1,3,2 e os vetores 𝑢 = 2,1,1 e 𝑣 = −1,−2,3 , obter o vetor 
𝑥 tal que: 
a) 3𝑥 + 2𝑣 = 𝑥 + 𝐴𝐵 ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 b) 𝐵𝐶 ∙ 𝑣 ∙ 𝑥 = 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑣 − 3𝑥 
 
4. Determinar o vetor 𝑣 , paralelo ao vetor 𝑢 = 2,−1,3 , tal que 𝑣 ∙ 𝑢 = −42. 
 
5. Determinar o vetor 𝑣 do espaço, sabendo que 𝑣 = 5, 𝑣 é ortogonal ao eixo 𝑂𝑥, 𝑣 ∙ 𝑤 = 6 e 𝑤 = 𝑖 + 2𝑗 . 
 
6. Determinar o vetor 𝑣 , ortogonal ao eixo 𝑂𝑦, 𝑣 ∙ 𝑣1 = 8 e 𝑣 ∙ 𝑣2 = −3, sendo 𝑣1 = 3,1,−2 e 𝑣2 = −1,1,1 . 
 
7. Dados os vetores 𝑢 = 1,2,−3 , 𝑣 = 2,0,−1 e 𝑤 = 3,1,0 , determinar o vetor 𝑥 tal que 𝑥 ∙ 𝑢 = −16, 
𝑥 ∙ 𝑣 = 0 e 𝑥 ∙ 𝑤 = 3. 
 
8. Sabendo que 𝑢 = 2, 𝑣 = 3 e 𝑢 ∙ 𝑣 = −1, calcular: 
a) 𝑢 − 3𝑣 ∙ 𝑢 
b) 2𝑣 − 𝑢 ∙ 2𝑣 
c) 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑣 − 4𝑢 
d) 3𝑢 + 4𝑣 ∙ −2𝑢 − 5𝑣 
 
9. Calcular 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑤 + 𝑣 ∙ 𝑤 , sabendo que 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 0 , 𝑢 = 2, 𝑣 = 3 e 𝑤 = 5. 
 
10. Os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 20 cm. Calcular 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶 e 
𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐴 . 
 
11. O quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2.16) é um losango de lado 2. 
Calcular: 
a) 𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐷 
b) 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐷 
c) 𝐵𝐴 ∙ 𝐵𝐶 
d) 𝐴𝐵 ∙ 𝐵𝐶 
e) 𝐴𝐵 ∙ 𝐷𝐶 
f) 𝐵𝐶 ∙ 𝐷𝐴 
 
 
 
12. Calcular 𝑢 + 𝑣 , 𝑢 − 𝑣 e 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑢 − 𝑣 , sabendo que 𝑢 = 4, 𝑣 = 3 e o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 é de 60°. 
 
13. Sabendo que 𝑢 = 2, 𝑣 = 3 e que 𝑢 e 𝑣 formam ângulo de 
3𝜋
4
𝑟𝑎𝑑, determinar: 
a) 2𝑢 − 𝑣 ∙ 𝑢 − 2𝑣 b) 𝑢 − 2𝑣 
 
14. Verificar para os vetores 𝑢 = 4,−1,2 e 𝑣 = −3,2, −2 as desigualdades: 
a) 𝑢 ∙ 𝑣 ≤ 𝑢 ∙ 𝑣 𝐷𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑐𝑕𝑤𝑎𝑟𝑧 
b) 𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣 𝐷𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 
 
15. Qual deve ser o valor de 𝛼 para que os vetores 𝑎 = 𝛼𝑖 + 2𝑗 − 4𝑘 e 𝑏 = 2𝑖 + 1 − 2𝛼 𝑗 + 3𝑘 sejam 
ortogonais? 
 
16. Dados os vetores 𝑎 = 2,1,𝛼 , 𝑏 = 𝛼 + 2,−5,2 e 𝑐 = 2𝛼, 8,𝛼 , determinar o valor de 𝛼 para que o vetor 
𝑎 + 𝑏 seja ortogonal ao vetor 𝑐 − 𝑎 . 
 
17. Dados os pontos 𝐴 −1,0,5 , 𝐵 2,−1,4 e 𝐶 1,1,1 , determinar 𝑥 tal que 𝐴𝐶 e 𝐵𝑃 sejam ortogonais, sendo 
𝑃 𝑥, 0, 𝑥 − 3 . 
 
18. Provar que os pontos 𝐴 −1,2,3 , 𝐵 −3,6,0 e 𝐶 −4,7,2 são vértices de um triângulo retângulo. 
 
19. Dados os pontos 𝐴 𝑚, 1,0 , 𝐵 𝑚 − 1,2𝑚, 2 e 𝐶 1,3,−1 , determinar 𝑚 de modo que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 seja 
retângulo em 𝐴. Calcular a área do triângulo. 
 
20. Encontrar os vetores unitários paralelos ao plano 𝑦𝑂𝑧 e que são ortogonais ao vetor 𝑣 = 4,1,−2 . 
 
21. Determinar o vetor 𝑢 tal que 𝑢 = 2, sendo o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 = 1,−1,0 igual a 45° e 𝑢 seja ortogonal a 
𝑤 = 1,1,0 . 
 
22. Seja o vetor 𝑣 = 2,−1,1 . Obter: 
a) um vetor ortogonal a 𝑣 ; 
b) um vetor unitário ortogonal a 𝑣 ; 
c) um vetor de módulo 4 ortogonal a 𝑣 . 
 
23. Sendo 𝑎  𝑏 , 𝑎 = 6 e 𝑏 = 8, calcular 𝑎 + 𝑏 e 𝑎 − 𝑏 . 
 
24. Determinar o ângulo entre os vetores: 
a) 𝑢 = 2,−1,−1 e 𝑣 = −1,−1,2 
b) 𝑢 = 1,−2,1 e 𝑣 = −1,1,0 
 
25. Seja o triângulo de vértices 𝐴 3,4,4 , 𝐵 2,−3,4 e 𝐶 6,0,4 . Determinar o ângulo interno ao vértice 𝐵. Qual o 
ângulo externo ao vértice 𝐵? 
 
26. Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices 𝐴 2,1,3 , 𝐵 1,0,−1 e 𝐶 −1,2,1 . 
 
27. Calcular o valor de 𝑚 de modo que o ângulo entre os vetores 𝑢 = 1,−2,1 e 𝑣 = −2,1,𝑚 + 1 seja 120°. 
 
28. Calcular 𝑛 para que o ângulo entre os vetores 𝑣 = −3,1,𝑛 e 𝑘 seja de 30°. 
 
29. Se 𝑢 = 4, 𝑣 = 2 e 120° o ângulo entre os vetores 𝑢 e 𝑣 , determinar o ângulo entre os vetores 𝑢 + 𝑣 e 𝑢 − 𝑣 
e construir uma figura correspondente a esses dados. 
 
30. Seja o cubo de aresta a representado na figura 2.17. 
Determinar: 
a) 𝑂𝐴 ∙ 𝑂𝐶 
b) 𝑂𝐴 ∙ 𝑂𝐷 
c) 𝑂𝐸 ∙ 𝑂𝐵 
d) 𝑂𝐵 e 𝑂𝐺 
e) 𝐸𝐺 ∙ 𝐶𝐺 
f) 𝐸𝐷 ∙ 𝐴𝐵 ∙ 𝑂𝐺 
g) o ângulo entre a diagonal do cubo e uma aresta; 
h) o ângulo formado por duas diagonais do cubo. 
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
1. a) – 2 b) 21 c) – 4 d) 4 
2. 𝑎 =
5
8
 
3. a) 3,6,−9 b) −
1
3
,−
2
3
, 1 
4. 𝑣 = −6,3,−9 
5. 𝑣 = 0,3,4 𝑜𝑢 𝑣 = 0,3,−4 
6. 𝑣 = 2,0,−1 
7. 𝑥 = 2,−3,4 
8. a) 7 b) 38 c) – 4 d) – 181 
9. – 19 
10. 200 e – 200 
11. a) 0 b) 2 c) – 2 d) 2 e) 4 f) – 4 
12. 37, 13 e 7 
13. a) 37 b) 50 
15. 𝛼 = −5 
16. 𝛼 = 3 ou 𝛼 = −6 
17. 𝑥 =
25
2
 
18. 𝐵𝐴 ∙ 𝐵𝐶 = 0 
19. 𝑚 = 1, á𝑟𝑒𝑎 =
 30
2
 
20. 0,
2
 5
,
1
 5
 ou 0,−
2
 5
,−
1
 5
 
21. 𝑢 = 1,−1, 2 ou 𝑢 = 1,−1,− 2 
22. a) entre os infinitos possíveis: 1,1,−1 b) um deles: 
1
 3
,
1
 3
,−
1
 3
 c) um deles: 
4
 3
,
4
 3
,−
4
 3
 
23. 10 e 10 
24. a) 120° b) 150° 
25. 45° e 135° 
26. 𝐴 ≅ 50°57′, 𝐵 ≅ 50°1′ e 𝐶 ≅ 72°2′ 
27. 𝑚 = 0 ou 𝑚 = −18 
28. 𝑛 = 30 
29. 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 
3
 21
 ≅ 49°6′ 
30. a) 0 b) 0 c) 0 d) 𝑎 2 e 𝑎 3 e) 𝑎2 f) 𝑎3,𝑎3,𝑎3 
g) 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 
 3
3
 ≅ 54°44′ h) 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 
1
3
 ≅ 70°31′