7. Cristalografia

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Cristalografia
Cristalografia - Posições
• Para descrever uma estrutura cristalina é necessário escolher uma
notação para posições, direções e planos:
• Posições -> são definidas dentro do cubo unitário – suas coordenadas
são selecionadas na célula unitária, seus índices referem-se à
distância da origem em termos de parâmetros de rede (a);
Cristalografia - Direções
• 3 números inteiros são utilizados para designar as direções e os
planos;
• A base para determinação dos valores dos índices é a célula unitária;
• O sistema de coordenadas consiste em 3 eixos (x y z), com origem
localizada em um dos vértices e cujas direções coincidem com as
arestas da célula unitária;
• Direções cristalográficas são definidas como vetores;
• As seguintes etapas são utilizadas na determinação dos 3 índices
direcionais:
Cristalografia - Direções
1. O vetor é posicionado saindo da origem do sistema de coordenadas. E
pode ser movido através do retículo sem sofrer alterações, desde que seu
paralelismo seja mantido;
2. O comprimento da projeção do vetor sobre cada um dos 3 eixos é
determinado - medido em termos das dimensões da célula unitária;
3. Estes 3 números são multiplicados ou divididos por um fator comum, a fim
de reduzi-los aos menores valores inteiros;
4. Os 3 índices são colocados entre colchetes [u v w] – e correspondem às
projeções reduzidas ao longo dos eixos (x y z) respectivamente;
Cristalografia - Direções
• Para cada um dos 3 eixos, irão existir coordenadas positivas e
negativas;
• São possíveis índices negativos, representados mediante a colocação
de uma barra sobre o índice apropriado;
Cristalografia – Famílias de direções
• Várias direções não-paralelas e com índices diferentes apresentam
arranjos atômicos idênticos;
• Nestas o espaçamento entre os átomos ao longo de cada direção é o
mesmo. Estas direções são denominadas equivalentes;
• As direções equivalentes são agrupadas em uma família, que é
representada entre colchetes angulados, assim: <u v w>
Cristalografia – Famílias de direções
• Direções em cristais cúbicos que possuam os mesmos índices,
independente da ordem ou do sinal, serão equivalentes;
• Contudo, para sistemas cristalinos não cúbicos, isto não é verdadeiro;
Ex: Para cristais tetragonais, as direções [100] e [010] são equivalentes,
enquanto as direções [100] e [001] não.
Cristalografia – Famílias de direções
Ex: Determine os índices para as direções mostradas na célula unitária
cúbica abaixo:
Cristalografia – Direções
Cristalografia - Planos
• As orientações dos planos para uma estrutura cristalina são
representadas de maneira semelhante as direções;
• A célula unitária é a base, com o sistema de coordenadas com 3 eixos;
• Em todos os sistemas cristalinos, à exceção do hexagonal, os planos
cristalográficos são especificados por três índices de Miller (h k l);
• 2 planos paralelos entre si são equivalentes e possuem índices
idênticos;
• O procedimento empregado na determinação dos valores dos índices
(h k l) é o seguinte:
Cristalografia – Planos
1. Se o plano passa através da origem, ou outro plano paralelo deve ser construído no
interior da célula mediante uma translação, ou uma nova origem deve ser estabelecida
no vértice de outra célula unitária.
2. O plano ou intercepta ou é paralelo a cada um dos 3 eixos; o comprimento da
interseção planar para cada eixo é determinado em termos dos parâmetros de rede.
3. Os valores inversos desses números são calculados e tomados. Um plano que é
paralelo a um eixo pode ser considerado como tendo uma interseção no infinito, daí
considera-se o índice igual a zero.
4. Em caso de valores fracionários os 3 índices são modificados para o conjunto de
menores números inteiros pela multiplicação ou divisão por um fator comum (de
modo a não apresentar índices fracionários).
5. Os índices inteiros, não separados por vírgulas, são colocados entre parênteses,
assim: (h k l).
Cristalografia - Planos
• Uma interseção no lado negativo da origem é indicada por uma barra
ou por um sinal de menos posicionado sobre o índice apropriado;
• Planos e direções que possuem os mesmos índices são
perpendiculares (formam ângulos de 90°) uns aos outros nos cristais
cúbicos;
• No caso dos outros sistemas cristalinos (que não o cúbico), não
existem relações geométricas simples relacionando os planos e as
direções que possuem os mesmos índices.
Cristalografia - Planos
• A notação para os planos utiliza os Índices de Miller que são obtidos
da seguinte maneira:
• Obs: As interseções são multiplicadas quando necessário para se
obter os menores índices inteiros.
Cristalografia – Famílias de Planos
Cristalografia - Planos
Cristais Hexagonais
• No sistema hexagonal algumas direções cristalográficas equivalentes
não têm os mesmos índices de Miller;
• Usa-se um sistema de coordenadas de quatro eixos (a1, a2, a3 e c);
• Três eixos (a1, a2 e a3) estão contidos no plano basal e fazem ângulos
de 120° entre si;
• O quarto eixo (c) é perpendicular ao plano basal;
Cristais Hexagonais
Cristais Hexagonais - Direções
• Uma direção cristalográfica representada pelos Índices de Miller
[u v w] pode ser convertida para o sistema de Miller-Bravais com
índices [u v t w] com auxílio de equações;
• Índices de Miller tornam-se Índices de Miller-Bravais, onde: n é
número inteiro:
u = 1⁄3 (2u′ − v′) ⋅ n
v = 1⁄3 (2v′ − u′) ⋅ n
t = −(u + v)
w = w′ ⋅ n
Cristais Hexagonais - Planos
• Os índices de Miller-Bravais de um plano num cristal hexagonal são
representados por (h k i l);
• Estes índices são os recíprocos dos interceptos sobre os eixos a1, a2,
a3 e z;
• Como apenas 3 eixos não coplanares são necessários para especificar
um plano no espaço, os quatro índices não podem ser
independentes;
• A conversão dos índices de Miller (h k l) em índices de Miller-Bravais
(h k i l) é dada através da relação:
i = −(h + k)
Resumo
• Direções -> [u v w]
• Famílias de Direções -> <u v w>
• Planos -> (h k l) Índices de Miller
• No sistema hexagonal -> (h k i l) Índices de Miller-Bravais
i = −(h + k)
• Famílias de Planos -> {h k l}