Limites 2014

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1. LIMITES – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
Historicamente, o desenvolvimento do cálculo por Isaac Newton (1642 – 1727) e Gottfried 
Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) resultou da investigação dos seguintes problemas: 
 
(a) (b) 
 
(a) Qual é a declividade da reta tangente ao gráfico da função no ponto de tangência? 
(b) Qual é a área da região sobreada? 
Pode parecer que o problema da reta tangente não esteja relacionado a nenhuma 
aplicação prática, mas, como veremos mais tarde, o problema de se encontrar a taxa de 
variação de uma quantidade em relação a outra é matematicamente equivalente ao problema 
geométrico de se encontrar a declividade da reta tangente a uma curva em um dado ponto da 
curva. Foi precisamente a descoberta da relação entre esses dois problemas que alavancou o 
desenvolvimento do cálculo no século XVII, transformando-o em uma ferramenta 
indispensável para a solução de problemas práticos. Eis aqui alguns exemplos de tais 
problemas: 
 Encontrar a velocidade de um objeto. 
 Encontrar a taxa de variação de uma população de bactérias em relação ao tempo. 
 Encontrar a taxa de variação do lucro de uma companhia em relação ao tempo. 
O estudo problema da reta tangente levou à criação do cálculo diferencial, que se 
baseia no conceito de derivada de uma função. O estudo do problema da área levou à criação 
do cálculo integral, que se baseia no conceito de antiderivada ou integral de uma função. 
Tanto a derivada quanto a integral de uma função são definidas em termos de um conceito 
mais fundamental – o de limite, nosso próximo tópico. 
 
 
 
 
 
 
Universidade Estadual do Rio Grande do Sul 
Cálculo I 
Limites. 
Profa. Rosandra Santos Mottola Lemos 
 
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
 Considere a função 𝑔 definida por 
𝑔(𝑡) =
4(𝑡2 − 4)
𝑡 − 2
 
Que fornece a velocidade média de um trem em movimento, por exemplo. 
Suponhamos que temos que determinar o valor de 𝑔(𝑡) quando 𝑡 se aproxima do número 2. 
Se tomamos uma sequência de valores de 𝑡 se aproximando de 2 pela direita, isto é, por 
valores maiores que 2, vemos que 𝑔(𝑡) se aproxima do número 16, como está na tabela 
abaixo: 
𝒕 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 
𝒈(𝒕) 18 16,4 16,04 16,004 16,0004 
Analogamente, se tomarmos uma sequência de valores de 𝑡 se aproximando de 2 pela 
esquerda, obtemos: 
𝒕 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 
𝒈(𝒕) 14 15,6 15,96 15,996 15,9996 
 
Observe que 𝑔(𝑡) se aproxima do número 16 quando 𝑡 se aproxima de 2 – dessa vez 
pelo lado esquerdo. Em outras palavras, quando t se aproxima de 2 de qualquer lado, 𝑔(𝑡) se 
aproxima de 16. Nessa situação, dizemos que o limite de 𝒈(𝒕) quando 𝒕 se aproxima de 2 é 
16, e escrevemos 
lim
𝑡→2
𝑔(𝑡) = lim
𝑡→2
4(𝑡2 − 4)
𝑡 − 2
= 16 
O gráfico da função 𝑔 confirma esta observação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico1 
 
 Observe que o ponto 𝑡 = 2 não pertence ao domínio da função 𝑔 (por esta razão, o 
ponto (2, 16) não aparece no gráfico de 𝑔). Isso, no entanto, é irrelevante porque o valor de 
𝑔(𝑡) em 𝑡 = 2 não desempenha nenhum papel no cálculo do limite. 
Esse exemplo nos leva à seguinte definição informal: 
A função 𝑓 tem limite L quando 𝑥 se aproxima de 𝑎, o que se denota por 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
Se podemos fazer o valor de 𝑓(𝑥) tão próximo do número 𝐿 quanto quisermos tomando 𝑥 
suficientemente próximo (MAS NÃO IGUAL) a 𝑎. 
 
CALCULANDO O LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
Consideremos agora alguns exemplos envolvendo cálculo de limites. 
Exemplo 1: Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑥3, calcule lim
𝑥→2
𝑓(𝑥). 
 
 
 
 
 
 
Gráfico2 
Exemplo 2: Seja 𝑔(𝑥) = {
𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
1, 𝑠𝑒 𝑥 = 1
. Calcule lim
𝑥→1
𝑔(𝑥). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                   



















x
y
 
        








x
y
Gráfico3 
Exemplo 3: Calcule o limite das seguintes funções quando x se aproxima do ponto indicado. 
a. 𝑓(𝑥) = {
−1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
1, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
; 𝑥 = 0 b. 𝑔(𝑥) =
1
𝑥2
; 𝑥 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico4 Gráfico5 
 
OBSERVAÇÕES: 
1. Limites laterais: 
 
 
 
 
2. Limites quando 𝑥 “cresce” ou “decresce” muito: 
 
 
 
 
 
 
Até agora, utilizamos diretamente os valores de uma função ou o gráfico da função nas 
proximidades de 𝑥 = 𝑎 para nos ajudar a calcular o limite da função 𝑓(𝑥) quando 𝑥 se 
aproxima de 𝑎. As seguintes propriedades de limites, as quais listamos sem provas, permitem-
nos calcular limites de funções algebricamente. 
 
        








x
y
 
Propriedades de Limites 
Suponha que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀 . então, temos: 
1. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
[𝒇(𝒙)]𝒓 = [𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)]
𝒓
= 𝑳𝒓 
2. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒄𝒇(𝒙) = 𝒄 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝒄𝑳 
3. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) ± 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈(𝒙) = 𝑳 ± 𝑴 
4. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
[𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)] = [𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)] [𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈(𝒙)] = 𝑳𝑴 
5. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
=
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈(𝒙)
=
𝑳
𝑴
 desde que 𝑴 ≠ 𝟎 
 
Exemplo 4: Use as propriedades para calcular os seguintes limites: 
a. lim
𝑥→2
𝑥3 
 
b. lim
𝑥→4
5𝑥
3
2⁄ 
 
c. lim
𝑥→1
(5𝑥4 − 2) 
 
d. lim
𝑥→3
2𝑥3√𝑥2 + 7 
 e. lim
𝑥→2
2𝑥2+1
𝑥+1
 
 
 
 
 
 
 
Os exemplos precendentes juntamente com as propriedades enunciadas acima servem de 
base para as observações que seguem. 
 Limites de 𝒙𝒏 quando 𝒙 → +∞ ou 𝒙 → −∞ 
 
Observe os gráficos das seguintes funções: 
 
1. 𝑦 = 𝑥 2. 𝑦 = 𝑥2 
 
 
3. 𝑦 = 𝑥3 4. 𝑦 = 𝑥4 
Da análise dos gráficos acima pode-se concluir que: 
lim
𝑥→+∞
𝑥𝑛 = +∞, 𝑛 = 1, 2,3, … 
lim
𝑥→−∞
𝑥𝑛 = {
+∞, 𝑛 = 2, 4, 6, …
−∞, 𝑛 = 1, 3, 5, …
 
 
 
        








x
yy = x
        








x
y
        








x
y
        








x
y
 Limites de polinômios quando 𝒙 → +∞ ou 𝒙 → −∞ 
 
Há um princípio útil sobre os polinômios que, expresso informalmente, estabelece 
que: 
 
Um polinômio comporta-se como o seu termo de maior grau quando 𝒙 → +∞ ou 
𝒙 → −∞. 
 
Afirma-se mais precisamente, que se 𝑐𝑛 ≠ 0, então, 
 
lim
𝑥→+∞
(𝑐0 + 𝑐1𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥
𝑛) = lim
𝑥→+∞
𝑐𝑛𝑥
𝑛 
 
lim
𝑥→−∞
(𝑐0 + 𝑐1𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥
𝑛) = lim
𝑥→−∞
𝑐𝑛𝑥
𝑛 
 
Ex. ) Calcule: 
lim
𝑥→−∞
(7𝑥5 − 4𝑥3 + 2𝑥 − 9) 
lim
𝑥→−∞
(−4𝑥8 + 17𝑥3 − 5𝑥 + 1)
 
 
 Limites de funções racionais quando 𝒙 → 𝒂 
Caso 1: Quando é possível calcular o limite de maneira “direta” 
Ex.) lim
𝑥→2
5𝑥3+4
𝑥−3
 
 
 
 Caso 2: O caso da forma indeterminada 0 0⁄ 
 Este é o caso em que haverá a presença de um FATOR COMUM!!!!!! 
 Ex.) lim
𝑥→−4
2𝑥+8
𝑥2+𝑥−12
 
 
 
 
 
 
 
 Caso 3: Quando o limite do denominador tende a zero, mas o do numerador não. 
 O método utilizado no último exemplo não funciona com funções racionais emque o 
limite do denominador é nulo. Há dois casos a considerar: aquele em que o limite do 
denominador é zero e o do numerador não é zero e aquele em que ambos os limites, o do 
denominador e o do numerador, são iguais a zero. Se o limite do denominador é zero mas o do 
numerador não é, podemos provar que o limite da função racional não existe e que ocorre 
uma das seguintes situações: 
 O limite poderá ser −∞. 
 O limite poderá ser +∞. 
 O limite poderá ser −∞ de um lado e +∞ do outro. 
As figuras abaixo ilustram essas três possibilidades para funções racionais da forma 1 (𝑥 − 𝑎)⁄ , 
1
(𝑥 − 𝑎)2⁄ e −
1
(𝑥 − 𝑎)2⁄ . 
 
 Gráfico 1 Gráfico 2 
 
Gráfico 3 
 
        








x
y
        








x
y
        








x
y
Ex.) Encontre 
a) lim
𝑥→4+
2−𝑥
(𝑥−4)(𝑥+2)
 b) lim
𝑥→4−
2−𝑥
(𝑥−4)(𝑥+2)
 c) lim
𝑥→4
2−𝑥
(𝑥−4)(𝑥+2)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Limites envolvendo radicais 
 
Ex.) Encontre lim
𝑥→1
𝑥−1
√𝑥−1
. 
 
 
 
 
 
 
 Limites de funções definidas por partes 
 
Ex.) Seja 𝑓(𝑥) = {
1
(𝑥 + 2)⁄ , 𝑥 < −2
𝑥2 − 5, − 2 < 𝑥 ≤ 3
√𝑥 + 13, 𝑥 > 3
. Encontre: 
 
a) lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) b) lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) c) lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
Gráfico6