FCGExercicio01 (Respondido)

Prévia do material em texto

( ) Prova ( ) Prova Semestral 
 (X) Exercícios ( ) Segunda Chamada 
 ( ) Prova Modular ( ) Prova de Recuperação
 ( ) Prática de Laboratório 
 ( ) Exame Final/Exame de Certificação 
 ( ) Aproveitamento Extraordinário de Estudos 
	Nota:
	Curso: Bacharelado em Engenharia de Computação
Disciplina: Fundamentos de Computação Gráfica
	Turma: ECP391
	Professor: Claudinei Dias
	Data:
	
Aluno (a): Elverson Vilharroel Tarifa
Exercício 01
O que você entende por Computação Gráfica? 
R: É um conjunto de técnicas e ferramentas que cria e/ou manipula dados em imagens com o auxílio de softwares e computadores
Quais são consideradas as três principais subáreas da computação gráfica? Explique cada uma delas sucintamente. 
R: Síntese de imagens: É a produção de representações visuais a partir das especificações geométrica e visual de seus componentes.
Processamento de Imagens: envolve as técnicas de transformação de Imagens, em que tanto a imagem original quanto a imagem resultado apresentam-se sob uma representação visual (geralmente matricial). Estas transformações visam melhorar as características visuais da imagem (aumentar contraste, foco, ou mesmo diminuir ruídos e/ou distorções).
Análise de Imagens: subárea que procura obter a especificação dos componentes de uma imagem a partir de sua representação visual. Ou seja através da informação pictórica da imagem (a própria imagem!) produz uma informação não pictórica da imagem (por exemplo, as primitivas geométricas elementares que a compõem).
Quais as transformações 3D mais comuns? Coloque também a representação de cada uma em forma matricial. 
R: Translação, Escala, Rotação.
Translação 
Escala
Rotação
O que são coordenadas homogêneas? O que são transformações homogêneas? Represente a notação para uma transformação homogênea genérica em 3D, em sua forma matricial. 
R: São coordenadas que tem o objetivo de otimizar as aplicações das operações de cisalhamento, reflexão, rotação e escala.
As coordenadas homogêneas permitem escrever as translações como matrizes de transformação. Isso faz as transformações geométricas ficarem uniformizadas pelo cálculo matricial e podem ser combinadas por concatenação (multiplicação) de matrizes.
A aplicação da translação em 3D por multiplicação de matrizes pode, nesse sistema de coordenadas, ser escrita na seguinte forma:
Dado o ponto P1=(2,1,1), calcule o ponto P2, rotacionado de 60 graus em torno de X, 45 graus em torno de Y e 30 graus em torno de Z. Neste contexto, defina ângulos de Euler? 
R: * 		
 * = 
 * = 
 * = 
Podemos dar dois ângulos Euler diferente definido dinamicamente. Uma é fixada ao corpo rígido em torno do eixo de rotação dos três compósitos; outra é de rotação em torno de três eixos de referência de laboratório composto. Com uma definição dinâmica, podemos entender melhor os ângulos de Euler no sentido físico e aplicação. Especial atenção para a seguinte descrição, eixos XYZ são eixo rígido de rotação, os eixos de coordenadas xyz são eixo de referência estacionário.
Aplique uma translação de (+3, -4, +5) no resultado da questão anterior. 
R: * = 
Repita os dois exercícios anteriores, combinando as matrizes e vetores usados em uma transformação homogênea única. 
R: * = 
Tem-se um quadrado de diagonal d e lado l, centrado na posição (x,y) (Ver figura). Descreva uma concatenação de matrizes de transformação M (não precisa multiplicar), que ao multiplicar P’=MP gere a configuração final mostrada na figura pontilhada. A figura final tem lado 2l e forma um angulo de 45º em sobre o plano xy.(x,y)
R: * * 
Quais as diferenças, em especificidade, das curvas paramétricas e implícitas (sugestão: defina as duas)? Indique as vantagens e desvantagens de cada uma. 
R: Curvas Paramétricas: São geradas por um polinômio cúbico; Pela definição de um conjunto determinado de pontos de controle; União de diversas curvas; Curva resultante da união tem curvatura contínua; Segunda derivada, das curvas representadas por polinômios cúbicos; Exemplos: Hermite, Beziere Splines
A representação paramétrica tem várias vantagens. Assim como a representação explícita, a representação paramétrica é fácil de renderizar: basta avaliar as funções de coordenadas em vários valores dos parâmetros. Assim como as equações implícitas, equações paramétricas também podem ser usadas para representar curvas e superfícies fechadas, bem como as curvas e superfícies que se auto-interceptam. Além disso, a representação paramétrica tem outra vantagem: é fácil estender para dimensões maiores. Uma desvantagem é que para parametrizações polinomiais ou racionais, sabe-se que para uma dada curva ou superfície paramétrica encontra-se uma curva ou superfície polinomial implícita. O inverso, no entanto, não é verdade. Existem curvas e superfícies polinomiais implícitas que não possuem parametrização polinomial ou racional. Assim, a forma polinomial implícita é mais geral do que a forma paramétrica. 
Obs: No entanto, por causa de seu poder, simplicidade e facilidade de uso, a representação paramétrica de curvas e superfícies é a mais utilizada. Além disso, a representação paramétrica funciona igualmente bem em um número arbitrário de dimensões. Note-se que no caso unidimensional a representação paramétrica é a mesma que a representação explícita, portanto as representações explícitas serão cobertas automaticamente como um caso especial.
Curvas Implícitas:
 Existem duas formas não-paramétricas de representar curvas que são: explícita e a implícita.
Representações implícitas são mais gerais do que as representações explícitas. A curva explícita y = f(x) é a mesma curva implícita y - f(x) = 0, porém, nem sempre é uma questão simples converter uma curva implícita numa única fórmula explícita. Além disso, as equações implícitas podem ser utilizadas para definir curvas e superfícies fechadas ou curvas e superfícies que se auto interceptam, formas que são impossíveis de representar com funções explícitas. 
Para curvas e superfícies fechadas, a equação implícita pode também ser usada para distinguir o interior do exterior, olhando para o sinal da expressão implícita. Esta capacidade de distinguir facilmente entre o interior e o exterior de uma curva ou superfície fechada é frequentemente importante em aplicações de modelagem de sólidos.
Uma das desvantagens das implícitas é que elas podem ser difíceis de renderizar curvas e superfícies definidas implicitamente.
Cite uma aplicação de curvas paramétricas em Computação Gráfica. 
R: A maioria dos softwares de computação gráfica utilizam os conceitos de curvas paramétricas. Permitem representar uma variedade de curvas e superfícies no plano o no espaço. Usadas para modelar as curvas suaves.
Quais as restrições que definem (especificam) uma curva de Hermite? Ou seja, como se define uma curva de Hermite e quais suas características básicas? Coloque em forma matricial a equação que a implementa. 
R: Uma curva de Hermite precisa de quatro fatores, dois pontos P1 e P2 que descrevem o ponto inicial e final da curva, dois pontos T1 e T2 que descrevem as tangentes e seus pesos na curva.
Repita a questão 11 para curva de Bezier.
R: 
Repita a questão 11 para curva de Spline.
R: A expressão matemática que descreve é denominado SplineCúbica Natural, a alteração em um ponto de controle provoca alteração em toda a curva. Uma versão da SplineNatural é a B-Spline, com controle local, a alteração nos pontos de controle propagam-se apenas para os vizinhos.
Outra característica básica é que ela pode ser gerada para qualquer número de pontos de controle e grau de polinômio, ou seja, o grau do polinômio pode ser selecionado de maneira independentedo número de pontos de controle. No entanto, é claro que o grau i de continuidade Ci depende da ordem dos polinômios usados nas funções de base.
Nas aplicações que usam curvas de forma livre para o projeto de modelos, curvatura contínua é geralmente um fator importante e por isso B-Splines cúbicas são preferencialmente usadas.
Formulação Genérica de B-Splines
Para gerar interpolações lineares, tem-se k=2, e a curva passa a ser descrita pelas funções:
Assim como Hermite e Bézier, um ajustador B-Spline, utilizando a forma matricial com os parâmetros separados das matrizes B-Spline, descreve as curvas de mistura de sua geometria e os pontos de controle. Se essa forma for usada para a expressão da spline cúbica anterior teremos:
no caso de t ser substituído por (t+i) em cada intervalo, sendo ainda:
Os ajustadores de B-Spline abrigam também uma outra característica interessante. Para gerar uma curva convexa, com o mesmo grau de continuidade do restante dos segmentos, basta repetir os três primeiros pontos ao final da seqüência de pontos de controle.
Considere os seguintes pontos de controle que definem uma curva Bezier:
a) Escreva as equações paramétricas x(t), y(t)
b) Determine os pontos da curva que correspondem a t=0.1 e t=0.6
c) Represente graficamente a curva
	R: Equação Paramétrica:
P(t) (1t)³ B0 3t(1t)² B1 3t² (1t)B2 t³B3
a)
x(t) = (1 –t)3 . x0+ 3 . t(1 –t)2. x1+ 3 . t2(1 –t). x2+ t3.x3
y(t) = (1 –t)3 . y0+ 3 . t(1 –t)2. y1+ 3 . t2(1 –t). y2+ t3.y3
Substituindo os pontos de controle indicados na equação, temos que a curva é definida em função de t como segue:
x(t) = (1t)³ 2 3t(1t)² 33t² (1t)5 t³6
y(t) = (1t)³ 4 3t² (1t)2 t³5
b)
Para t= 0.1:
x(0.1) = (1t)³ 2 3t(1t)² 33t² (1t)5 t³6
y(0.1) = (1t)³ 4 3t² (1t)2 t³5
 x(0.1) = 2,328
 y(0.1) = 2,975
 Para t=0.6:
x(0.6) = (1t)³ 2 3t(1t)² 33t² (1t)5 t³6
y(0.6) = (1t)³ 4 3t² (1t)2 t³5
x(0.6) = 4,448
y(0.6) = 2,2
c) Representação gráfica:
Explique a propriedade do fecho convexo ("convex hull") para curva de Bezier. 
R: Essa propriedade é chamada de propriedade normalizante, e força a curva gerada a ficar inteiramente dentro da figura convexa (convex hull) definida pelos pontos de controle Bi.
Explique a ideia do principio da subdivisão para curvas de Bezier, ilustrando graficamente, e indique sua utilidade.
R: No caso de termos que desenhar uma curva mais complicada e, manipulando seus quatro pontos de controle não conseguirmos alcançar a forma desejada, temos duas opções a seguir para aumentar o número de pontos de controle de uma curva de Bezier. Uma delas é a elevação do grau do polinômio de três para quatro ou mais. Em alguns casos específicos tal procedimento é indicado, na maioria das vezes ele resulta em aumento significativo no trabalho matemático e aparecimento indesejado de mais pontos de inflexão da curva. 
 
A outra opção, mais útil para aumentar o número de pontos de controle sem alterar o grau dos polinômios que a definem é a subdivisão de um ou mais segmentos da curva em dois segmentos. Assim, por exemplo, no caso de uma curva de Bezier com seus quatro pontos de controle ser subdividida, teremos um total de 7 (sete) pontos de controle, uma vez que os novos segmentos terão em comum um ponto de controle. Os dois novos segmentos correspondem exatamente ao segmento original até que seus novos pontos de controle sejam efetivamente alterados.
No espaço bidimensional (X,Y), dados os pontos P1 = (1,1), P2 = (2,4), P3 = (5,4) e P4 = (6,1), especifique a função paramétrica de Bezier que define a curva que passa por P1 e P4. Usando a curva de Bezier especificada, calcule o valor das coordenadas (X,Y) para t = 0.3 e para t = 0.4. Faca o desenho aproximadamente em escala desta curva. 
R: P(t) (1t)³ B0 3t(1t)² B1 3t² (1t)B2 t³B3
Tanto em Bezier como Hermite a curva passa pelo primeiro e último ponto de controle. Comente a diferença que os pontos intermediários têm na geração da curva.
R: Na curva de Hermite na interpolação, a curva passa sobre todos os pontos definidos.
Na de Bezier na aproximação, a curva começa sobre o ponto inicial e termina sobre o final. Os demais pontos são aproximados.
Comente o que é continuidade paramétrica Cn. Comente sobre as diferentes continuidades em relação às curvas de Bezier. Dê exemplos. Qual a relação matemática para gerar continuidade C1 entre 3 pontos de controle de uma curva de Bezier. Justifique.
R: Em geral, uma forma complexa é mais facilmente modelada por várias curvas que são conectadas em seus pontos extremos. Ao criar as junções, o projetista, em geral, deseja controlar a continuidade nos pontos de junção. Continuidade de ordem 0 significa que as duas curvas se encontram; continuidade de primeira ordem exige que as curvas tenham tangentes comuns no ponto de junção, e continuidade de segunda ordem exige que as curvaturas sejam as mesmas. Para representar essas continuidades usa-se a notação C0, C1,C2 etc. Essa simbologia usa a letra C maiúscula com um número superescrito. A forma mais simples de continuidade C0 assegura que uma curva ou a união de curvas não terá descontinuidade. O nível seguinte de continuidade C1 indica que a inclinação ou sua derivada primeira da curva é constante em todos os pontos. A continuidadeC2 implica em continuidade na derivada segunda da curva e assim por diante.
Três pontos de controle: B0, B1 e B2. Nesse caso, os polinômios terão grau n = 2. Expandindo as expressões anteriores, teremos: P(t) = B0 J2,0 (t) + B1 J 2,1 (t) + B2 J2,2 (t).
Escreva a parametrização da superfície de Bezier em que m = n = 2 definida pelos pontos de controle (0,0,0), (0,1,1), (0,2,-1), (1,0,1), (1,1,-3), (1,2,2), (2,0,1), (2,1,-1), (2,2,0).
Exercícios Adaptados para as Referências:
Azevedo, E; Conci, A. Computação Gráfica: Teoria e prática. Rio de Janeiro: Elsevier, 2003.
Foley, Van D.; Feiner, H. Computer Graphics: principles and practice. 2 ed. Reading: Addison-Wesley, 1997.
RQ 0501 Rev. 14
Página 1 de 9
RQ 0501 Rev. 13
Página 9 de 9