AP1_metdet_ii_2017_1_tutor.pdf

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 – Me´todos Determin´ısticos II – 26/03/2017
Questa˜o 1 [2,0pts] Considere as func¸o˜es f e g definidas por: f(x) = −3x+ 13 e
g(x) =

4x+ 12 se x ≤ −2
4 se −2 < x < 4
−3x+ 16 se x ≥ 4
. Determine a lei de definic¸a˜o de g ◦ f .
Soluc¸a˜o: Fazendo uma primeira etapa obtemos
g(f(x)) =

4f(x) + 12 se f(x) ≤ −2
4 se −2 < f(x) < 4
−3f(x) + 16 se f(x) ≥ 4
Agora, f(x) ≤ −2 ⇐⇒ −3x + 13 ≤ −2 ⇐⇒ x ≥ 5 e f(x) ≥ 4 ⇐⇒ −3x + 13 ≥ 4 ⇐⇒ x ≤ 3.
Ale´m disso, 4f(x)+12 = 4(−3x+13)+12 = −12x+52+12 e −3f(x)+16 = −3(−3x+13)+16 =
9x− 39 + 16, da´ı
g(f(x)) =

−12x+ 64 se x ≥ 5
4 se 3 < x < 5
9x− 23 se x ≤ 3
Questa˜o 2 [2,0pt] Considere as func¸o˜es f(x) =
√
x2 − 1 e g(x) = √x− 1, calcule g◦f e determine
o seu dom´ınio.
Soluc¸a˜o: Fazendo a composta temos
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(
√
x2 − 1) =
√√
x2 − 1− 1.
Para calcular o dom´ınio, veja que deve ocorrer ao mesmo tempo x2− 1 ≥ 0 e √x2 − 1− 1 ≥ 0. Da
primeira exigeˆncia temos que x ≤ −1 ou x ≥ 1. A segunda exigeˆncia pode ser traduzida da seguinte
forma: √
x2 − 1− 1 ≥ 0⇔
√
x2 − 1 ≥ 1⇔ x2 − 1 ≥ 1⇔ x2 ≥ 2.
Portanto, o dom´ınio da composta sa˜o todos os x ∈ R tais que x ≤ −√2 ou x ≥ √2.
Questa˜o 3 [1,0pt] Dada f(x) = 2x2 + 5x− 3 calcule e simplifique
f(x+ h)− f(x)
h
, com h 6= 0.
Soluc¸a˜o:
f(x+ h)− f(x)
h
=
2(x+ h)2 + 5(x+ h)− 3− (2x2 + 5x− 3)
h
=
2x2 + 4xh+ 2h2 + 5x+ 5h− 3− 2x2 − 5x+ 3
h
= 4x+ 2h+ 5.
Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2
Questa˜o 4 [1,0pt] Simplifique a expressa˜o ln eA+3 lnBe, onde A e B sa˜o constantes, de tal forma
que fique em termo de uma u´nico logaritmo.
Soluc¸a˜o: Veja que
ln eA + 3 lnBe = A ln e+ 3e lnB = A+ 3e lnB.
Questa˜o 5 [1,5pt] Calcule o lim
t→0
1−√1− t2
t2
.
Soluc¸a˜o:
lim
t→0
1−√1− t2
t2
= lim
t→0
1−√1− t2
t2
1 +
√
1− t2
1 +
√
1− t2
= lim
t→0
1− (1− t2)
t2(1 +
√
1− t2) = limt→0
1
(1 +
√
1− t2)
=
1
1 + 1
=
1
2
.
Questa˜o 6 [1,5pt] Calcule o lim
x→2
x2 + 3x− 10
x2 − 8x+ 12 .
Soluc¸a˜o: Observe que ao avaliarmos x2 + 3x − 10 em x = 2, obtemos 4 + 6 − 10 = 0. Ao
avaliarmos x = 2 em x2 − 8x + 12 obtemos 4 − 16 + 20 = 0. Portanto, podemos dividir tanto o
numerador como o denominador por x − 2. Dividindo obtemos x2 + 3x − 10 = (x − 2)(x + 5) e
x2 − 8x+ 12 = (x− 2)(x− 6) e nosso limite fica
lim
x→2
(x− 2)(x+ 5)
(x− 2)(x− 6) = limx→2
(x+ 5)
(x− 6) =
7
−4 .
Questa˜o 7 [1,0pts] Dada a func¸a˜o h(x) = 3x
2−12
x2−1 calcule os seguintes limites: limx→−∞
h(x) e
lim
x→−1−
h(x).
Soluc¸a˜o:
lim
x→−∞
h(x) = lim
x→−∞
x2
x2
(
3− 12/x2
1− 1/x2
)
= lim
x→−∞
3− 12/x2
1− 1/x2 =
3
1
= 3.
Para o outro limite observe que quando x se aproxima de -1 com valores menores que −1 o denomi-
nador vai para zero com valores positivos, enquanto que o numerador se aproxima de −9, portanto,
lim
x→−1−
h(x) = −∞.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ