Aulas

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GL301 – Estatística I
Leonardo T. Duarte
Primeiro Semestre de 2013
Variável Aleatória
Distribuições discretas
 
Variáveis Aleatórias Discretas importantes
● Distribuição uniforme
● Distribuição de Bernoulli
● Distribuição binomial
● Distribuição de Poisson
● Distribuição geométrica
 
Distribuição Uniforme
● Uma variável aleatória X que assume um número 
finito de valores igualmente espaçados x1, x2, …, xn, é 
dita uniforme se
fX(xi) = c, c → constante 
 
Distribuição Uniforme
● Uma variável aleatória X que assume um número 
finito de valores igualmente espaçados x1, x2, …, xn, é 
dita uniforme se
fX(xi) = c, c → constante 
● Dado n (o número de valores que X assume), podemos 
calcular c
∑x fX(x) = 1 → ∑xc = 1 → nc = 1 → c = n-1
● Logo
fX(xi) = 1 / n
 
Distribuição Uniforme
● Exemplo: X é uniformemente distribuídas entre 2 e 6 
com espaçamento 1.
● a = 2, b = 6, n = 5. 
Função massa de probabilidade Função distribuição acumulada
 
Média de uma VA uniforme
● Seja X uniformemente distribuídas entre nos valores 
x1, x2, …, xn com espaçamento 1.
● Os limites de X são dados por a = x1 e b = xn
 
Média de uma VA uniforme
● Seja X uniformemente distribuídas entre nos valores 
x1, x2, …, xn com espaçamento 1.
● Os limites de X são dados por a = x1 e b = xn
● Logo: n = b – a + 1
 
Média de uma VA uniforme
● Seja X uniformemente distribuídas entre nos valores 
x1, x2, …, xn com espaçamento 1.
● Os limites de X são dados por a = x1 e b = xn
● Logo: n = b – a + 1
 
Média de uma VA uniforme
● Seja X uniformemente distribuídas entre nos valores 
x1, x2, …, xn com espaçamento 1.
● Os limites de X são dados por a = x1 e b = xn
● Logo: n = b – a + 1
Soma de uma PA
 = n*(b+a)/2
 
Média de uma VA uniforme
● Seja X uniformemente distribuídas entre nos valores 
x1, x2, …, xn com espaçamento 1.
● Os limites de X são dados por a = x1 e b = xn
● Logo: n = b – a + 1
Soma de uma PA
 = n*(b+a)/2
 
Variância de uma VA uniforme
● A variância de uma VA X uniforme é dada por
 
 
Variância de uma VA uniforme
● A variância de uma VA X uniforme é dada por
● É possível mostrar que
 
 
Aplicações de uma VA uniforme
● Geralmente, utilizamos uma VA uniforme para 
modelar um evento sobre o qual temos pouca 
informação (apenas os intervalos tipicamente);
● Exemplos
● Jogar de uma moeda não-viciada
● Jogar de um dado não-viciado
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas importantes
● Distribuição uniforme
● Distribuição de Bernoulli
● Distribuição binomial
● Distribuição de Poisson
● Distribuição geométrica
 
Distribuição de Bernoulli
● Suponha que um evento aleatório tenha um resultado 
binário
● Sucesso ou falha
● Positivo ou negativo
● Cara ou coroa
● Bom estado ou defeituoso
 
Distribuição de Bernoulli
● Suponha que um evento aleatório tenha um resultado 
binário
● Sucesso ou falha
● Positivo ou negativo
● Cara ou coroa
● Bom estado ou defeituoso
● A VA X que atribui 0 e 1 para cada uma das 
possibilidades em tais eventos é conhecida como VA 
de Bernoulli
 
Distribuição de Bernoulli
● Suponha que um evento aleatório tenha um resultado 
binário
● Sucesso ou falha
● Positivo ou negativo
● Cara ou coroa
● Bom estado ou defeituoso
● A VA X que atribui 0 e 1 para cada uma das 
possibilidades em tais eventos é conhecida como VA 
de Bernoulli
● Logo, uma VA de Bernoulli apresenta a seguinte fmp
 
Distribuição de Bernoulli
● Média das distribuição de Bernoulli
 
Distribuição de Bernoulli
● Média das distribuição de Bernoulli
μX = E{X} = ∑x x fX(x)
= (1-p)*0 + p*1 = p
● Isto é, a média desta VA é a probabilidade da VA 
assumir o valor 1.
● Variância
 
Distribuição de Bernoulli
● Média das distribuição de Bernoulli
μX = E{X} = ∑x x fX(x)
= (1-p)*0 + p*1 = p
● Isto é, a média desta VA é a probabilidade da VA 
assumir o valor 1.
● Variância
σX2 = E{X2} – E{X}2
= ((1-p)*02 + p*12) – p2
= p – p2 = (1-p) p
● Isto é, a variância desta VA é o produto da 
probabilidade de sucesso pela probabilidade de falha.
 
Exemplo: distribuição de Bernoulli
● O experimento jogar de uma moeda pode ser 
modelado por uma VA de Bernoulli
 
Exemplo: distribuição de Bernoulli
● O experimento jogar de uma moeda pode ser 
modelado por uma VA de Bernoulli
● Se a moeda não é enviesada, então
p = 0.5, μX = p= 0.5, σX2 = (1-p) p = 0.25 
 
Exemplo: distribuição de Bernoulli
● O experimento jogar de uma moeda pode ser 
modelado por uma VA de Bernoulli
● Se a moeda não é enviesada, então
p = 0.5, μX = p= 0.5, σX2 = (1-p) p = 0.25 
● Esta é a situação de máxima variância! Vamos 
verificar.
● Considerando σX2(p) = (1-p) p, qual o valor que 
maximiza σX2(p)? 
 
Exemplo: distribuição de Bernoulli
● O experimento jogar de uma moeda pode ser 
modelado por uma VA de Bernoulli
● Se a moeda não é enviesada, então
p = 0.5, μX = p= 0.5, σX2 = (1-p) p = 0.25 
● Esta é a situação de máxima variância! Vamos 
verificar.
● Considerando σX2(p) = (1-p) p, qual o valor que 
maximiza σX2(p)? 
● dσX2(p) / dp = 1 – 2p 
No máximo, 1 – 2p = 0 → p = 0.5
 
Variáveis Aleatórias Discretas importantes
● Distribuição uniforme
● Distribuição de Bernoulli
● Distribuição binomial
● Distribuição de Poisson
● Distribuição geométrica
 
Distribuição binomial
● Considere agora um experimento que consiste em n 
realizações de um experimento de Bernoulli.
 
Distribuição binomial
● Considere agora um experimento que consiste em n 
realizações de um experimento de Bernoulli.
● A variável aleatória associada ao número de 
“sucessos” é conhecida como distribuição binomial.
 
Distribuição binomial
● Considere agora um experimento que consiste em n 
realizações de um experimento de Bernoulli.
● A variável aleatória associada ao número de 
“sucessos” é conhecida como distribuição binomial.
● Exemplo: num estoque, a probabilidade de que uma 
peça esteja em boas condições é p. Se eu retirar 5 
peças (com reposição), como fica a distribuição de 
probabilidade do número de peças retiradas que estão 
em boas condições?
 
A FMP de uma VA binomial
● Vamos considerar o caso n = 3. Possíveis saídas
000 , 001 , 010 , 011 , 100, 101, 110, 111
 
A FMP de uma VA binomial
● Vamos considerar o caso n = 3. Possíveis saídas
000 , 001 , 010 , 011 , 100, 101, 110, 111
● X → VA associada ao número de sucessos
 
A FMP de uma VA binomial
● Vamos considerar o caso n = 3. Possíveis saídas
000 , 001 , 010 , 011 , 100, 101, 110, 111
● X → VA associada ao número de sucessos
fX(x = 0) = P(000) = (1-p)*(1-p)*(1-p) = (1-p)3
 
A FMP de uma VA binomial
● Vamos considerar o caso n = 3. Possíveis saídas
000 , 001 , 010 , 011 , 100, 101, 110, 111
● X → VA associada ao número de sucessos
fX(x = 0) = P(000) = (1-p)*(1-p)*(1-p) = (1-p)3
fX(x = 1) = P(001∪010∪100) = P(001)+P(010)+P(100)
= (1-p)*(1-p)*p + (1-p)*p*(1-p) + (1-p)*(1-p)*p = 3*(1-
p)2*p
 
 
A FMP de uma VA binomial
● Vamos considerar o caso n = 3. Possíveis saídas
000 , 001 , 010 , 011 , 100, 101, 110, 111
● X → VA associada ao número de sucessos
fX(x = 0) = P(000) = (1-p)*(1-p)*(1-p) = (1-p)3
fX(x = 1) = P(001∪010∪100) = P(001)+P(010)+P(100)
= (1-p)*(1-p)*p + (1-p)*p*(1-p) + (1-p)*(1-p)*p = 3*(1-
p)2*p
fX(x = 2) = P(011∪101∪110) = P(011)+P(101)+P(110)
= (1-p)*p*p + p*(1-p)*p + (1-p)*(1-p)*p = 3*(1-p)*p2 
 
 
A FMP de uma VA binomial
● Vamos considerar o caso n = 3. Possíveis saídas
000 , 001 , 010 , 011 , 100, 101, 110, 111
● X → VA associada ao número de sucessos
fX(x = 0) = P(000) = (1-p)*(1-p)*(1-p)= (1-p)3
fX(x = 1) = P(001∪010∪100) = P(001)+P(010)+P(100)
= (1-p)*(1-p)*p + (1-p)*p*(1-p) + (1-p)*(1-p)*p = 3*(1-
p)2*p
fX(x = 2) = P(011∪101∪110) = P(011)+P(101)+P(110)
= (1-p)*p*p + p*(1-p)*p + (1-p)*(1-p)*p = 3*(1-p)*p2 
fX(x = 3) = P(111) = p*p*p = p3 
 
A FMP de uma VA binomial
● Em geral
 fX(x) = N° de saídas que resultam em x sucessos * px (1-p)n-x 
● A FMP de um VA binomial de parâmetros n e p é
onde
 
Exercício: VA binomial
● Em um processo de manufatura, a probabilidade de uma 
peça sair defeituosa é de p = 0.01. As peças são vendidas 
em lotes de 10 unidades. Se existir, pelo menos, duas 
peças defeituosas no lote, o cliente pode devolver o lote. 
Qual a probabilidade de que o cliente devolva o lote? 
 
Exercício: VA binomial
● Em um processo de manufatura, a probabilidade de uma 
peça sair defeituosa é de p = 0.01. As peças são vendidas 
em lotes de 10 unidades. Se existir, pelo menos, duas 
peças defeituosas no lote, o cliente pode devolver o lote. 
Qual a probabilidade de que o cliente devolva o lote? 
X → número de peças defeituosas no lote: VA binomial de 
parâmetros n = 10 e p = 0.01;
 
Exercício: VA binomial
● Em um processo de manufatura, a probabilidade de uma 
peça sair defeituosa é de p = 0.01. As peças são vendidas 
em lotes de 10 unidades. Se existir, pelo menos, duas 
peças defeituosas no lote, o cliente pode devolver o lote. 
Qual a probabilidade de que o cliente devolva o lote? 
X → número de peças defeituosas no lote: VA binomial de 
parâmetros n = 10 e p = 0.01;
Probabilidade de ocorrer, pelo menos, duas peças 
defeituosas
 
Exercício: VA binomial
● Em um processo de manufatura, a probabilidade de uma 
peça sair defeituosa é de p = 0.01. As peças são vendidas 
em lotes de 10 unidades. Se existir, pelo menos, duas 
peças defeituosas no lote, o cliente pode devolver o lote. 
Qual a probabilidade de que o cliente devolva o lote? 
X → número de peças defeituosas no lote: VA binomial de 
parâmetros n = 10 e p = 0.01;
Probabilidade de ocorrer, pelo menos, duas peças 
defeituosas
● Ou então, como os eventos {X>1} e {X≤1} são 
complementares, temos que 
 
Exercício: VA binomial
● Em um processo de manufatura, a probabilidade de uma 
peça sair defeituosa é de p = 0.01. As peças são vendidas 
em lotes de 10 unidades. Se existir, pelo menos, duas 
peças defeituosas no lote, o cliente pode devolver o lote. 
Qual a probabilidade de que o cliente devolva o lote? 
X → número de peças defeituosas no lote: VA binomial de 
parâmetros n = 10 e p = 0.01;
Probabilidade de ocorrer, pelo menos, duas peças 
defeituosas
● Ou então, como os eventos {X>1} e {X≤1} são 
complementares, temos que 
● P(X>1) = 1 – P(X≤1) = 1- fX(0) - fX(1)
 
Exercício: VA binomial
● P(X>1) = 1 – P(X≤1) = 1- fX(0) – fX(1)
 
Exercício: VA binomial
● P(X>1) = 1 – P(X≤1) = 1- fX(0) – fX(1)
● Temos que calcular fX(0) e fX(1)
 
Exercício: VA binomial
● P(X>1) = 1 – P(X≤1) = 1- fX(0) – fX(1)
● Temos que calcular fX(0) e fX(1)
● Logo, a probabilidade de uma dado lote retornar é 
P(X>1) = 1- 0.9044 – 0.0914 = 0.0042
 
Exercício: VA binomial
● P(X>1) = 1 – P(X≤1) = 1- fX(0) – fX(1)
● Temos que calcular fX(0) e fX(1)
● Logo, a probabilidade de uma dado lote retornar é 
P(X>1) = 1- 0.9044 – 0.0914 = 0.0042
● Se o cliente pudesse devolver apenas se, pelo menos, 3 
peças estivessem defeituosas, então
● P(X>1) = 1 – P(X≤1) = 1- fX(0) – fX(1) – fX(2) = 0.000113849
 
Influência de p e n
● A fdp de uma VA binomial é função de p e n
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
x
f X(
x)
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
x
f X(
x)
p = 0.01 n = 20 p = 0.3 n = 20
 
Média de uma VA binomial
● Uma VA binomial X pode ser escrita como
Xi são VAs (independentes) aleatórias de Bernoulli 
com probabilidade de sucesso p
 
Média de uma VA binomial
● Uma VA binomial X pode ser escrita como
Xi são VAs (independentes) aleatórias de Bernoulli 
com probabilidade de sucesso p
● Logo, pela linearidade da esperança, temos que
 
Média de uma VA binomial
● Uma VA binomial X pode ser escrita como
Xi são VAs (independentes) aleatórias de Bernoulli 
com probabilidade de sucesso p
● Logo, pela linearidade da esperança, temos que
● Vimos que E{Xi} = p, e, portanto, 
 
 
Variância de uma VA binomial
● Uma VA binomial X pode ser escrita como
Xi são VAs (independentes) aleatórias de Bernoulli 
com probabilidade de sucesso p
 
Variância de uma VA binomial
● Uma VA binomial X pode ser escrita como
Xi são VAs (independentes) aleatórias de Bernoulli 
com probabilidade de sucesso p
● Para VAs independentes, temos que 
 
Variância de uma VA binomial
● Uma VA binomial X pode ser escrita como
Xi são VAs (independentes) aleatórias de Bernoulli 
com probabilidade de sucesso p
● Para VAs independentes, temos que 
● Vimos que σXi2 = (1-p) p, e, portanto, 
 
 
Exemplo: VA binomial
● Num sistema de comunicação digital, o objetivo é 
transmitir números binários (bits). A probabilidade de 
um dado bit recebido estar errado é p = 0.1. Numa 
sequência de 20 bits transmitidos, qual é a média de 
bits transmitidos incorretamente?
 
Exemplo: VA binomial
● Num sistema de comunicação digital, o objetivo é 
transmitir números binários (bits). A probabilidade de 
um dado bit recebido estar errado é p = 0.1. Numa 
sequência de 20 bits transmitidos, qual é a média de 
bits transmitidos incorretamente?
X → VA associado ao número de bits transmitidos → 
binomial n = 20, p = 0.1
 
Exemplo: VA binomial
● Num sistema de comunicação digital, o objetivo é 
transmitir números binários (bits). A probabilidade de 
um dado bit recebido estar errado é p = 0.1. Numa 
sequência de 20 bits transmitidos, qual é a média de 
bits transmitidos incorretamente?
X → VA associado ao número de bits transmitidos → 
binomial n = 20, p = 0.1
● Logo,
μX = E{X} = np = 2
 
Exemplo: VA binomial
● Num sistema de comunicação digital, o objetivo é 
transmitir números binários (bits). A probabilidade de 
um dado bit recebido estar errado é p = 0.1. Numa 
sequência de 20 bits transmitidos, qual é a média de 
bits transmitidos incorretamente?
X → VA associado ao número de bits transmitidos → 
binomial n = 20, p = 0.1
● Logo,
μX = E{X} = np = 2
● E a variância?
σX2 = n(1-p) p = 20*0.9*0.1 = 1.8
 
Variáveis Aleatórias Discretas importantes
● Distribuição uniforme
● Distribuição de Bernoulli
● Distribuição binomial
● Distribuição de Poisson
● Distribuição geométrica
 
Variável Aleatória de Poisson
● Considere uma VA binomial de parâmetros p e 
n
 
Variável Aleatória de Poisson
● Considere uma VA binomial de parâmetros p e 
n
● Agora, vamos forçar n → ∞ e p → 0 de modo 
que np = λ = constante.
 
Variável Aleatória de Poisson
● Considere uma VA binomial de parâmetros p e 
n
● Agora, vamos forçar n → ∞ e p → 0 de modo 
que np = λ = constante.
● Ao fazermos isso, a VA binomial tende para 
chamada VA de Poisson, cuja fmp é dada por 
 
Variável Aleatória de Poisson
● Aproximação de VAs binomiais a partir de VAs 
de Poisson (Kay, 2006)
 
 
Aplicações de uma VA de Poisson
● A VA de Poisson oferece um modelo probabilístico mais 
simples, e não obstante flexível, do que uma VA 
binomial.
● A VA de Poisson é comumente utilizada para modelar 
eventos raros.
 
Aplicações de uma VA de Poisson
● A VA de Poisson oferece um modelo probabilístico mais 
simples, e não obstante flexível, do que uma VA 
binomial.
● A VA de Poisson é comumente utilizada para modelar 
eventosraros.
● Algumas aplicações da VA de Poisson
● Número de partículas contaminantes no processo de 
manufatura de semi-condutores
● Número de partículas alfa emitidas por uma fonte 
radioativa durante um certo período
● Número de pessoas, de uma certa cidade, que vivem 
mais de 100
● Companhia de seguros → Número de acidentes 
raros num certo período.
 
Exemplos
● A VA de Poisson é parametrizado por apenas 
um parâmetro λ 
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0
- 0 . 0 5
0
0 . 0 5
0 . 1
0 . 1 5
0 . 2
0 . 2 5
0 . 3
0 . 3 5
0 . 4
x
f X(
x)
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0
- 0 . 0 5
0
0 . 0 5
0 . 1
0 . 1 5
0 . 2
0 . 2 5
0 . 3
0 . 3 5
0 . 4
x
f X(
x)
λ = 10 λ = 1
 
Média e variância de uma VA de Poisson
● É possível mostrar que a média e a variância de 
uma VA de Poisson de parâmetro λ são dadas por
μX = E{X} = λ
σX2 = λ
 
Exemplo
● O número médio de acidentes de carro que ocorrem 
em um determinado bairro por semana é igual a 3. 
Calcule a probabilidade de, numa dada semana, 
ocorra pelo menos um acidente neste bairro.
 
Exemplo
● O número médio de acidentes de carro que ocorrem 
em um determinado bairro por semana é igual a 3. 
Calcule a probabilidade de, numa dada semana, 
ocorra pelo menos um acidente neste bairro.
● Podemos utilizar a VA de Poisson, pois o evento é 
raro e há muitos carros circulando no bairro.
 
Exemplo
● O número médio de acidentes de carro que ocorrem 
em um determinado bairro por semana é igual a 3. 
Calcule a probabilidade de, numa dada semana, 
ocorra pelo menos um acidente neste bairro.
● Podemos utilizar a VA de Poisson, pois o evento é 
raro e há muitos carros circulando no bairro.
● Solução:
P(X>0) = 1 – P(X=0)
= 1 – exp(-3)30/0! ≈ 0,95
 
Processo de Poisson e Teoria das Filas
● Teoria das filas → fundamental em diversos 
problemas em engenharia
● Figura retirada de F. S. Hillier and G. J. Lieberman 
2001
 
Processo de Poisson e Teoria das Filas
● Parâmetro importante em filas → N(t) número de 
chegadas entre o tempo [0,t]
● Modelos probabilísticos são utilizados para caracterizar 
este número 
● Modelo muito utilizado: processo de Poisson → para 
um dado instante de tempo t, o número de chegadas 
segue uma distribuição de Poisson de média λt
● E{N(t)} = λt
 
Processo de Poisson e Teoria das Filas
● Exemplo de possível evolução de N(t)
 
Variáveis Aleatórias Discretas importantes
● Distribuição uniforme
● Distribuição de Bernoulli
● Distribuição binomial
● Distribuição de Poisson
● Distribuição geométrica
 
Variável Aleatória Geométrica
● Numa VA binomial, estávamos interessados na 
quantidade de sucessos num dado número de 
experimentos.
 
Variável Aleatória Geométrica
● Numa VA binomial, estávamos interessados na 
quantidade de sucessos num dado número de 
experimentos.
● A distribuição geométrica é parecida. Porém, 
esta VA diz respeito ao número de 
experimentos necessários para acontecer um 
sucesso.
 
Variável Aleatória Geométrica
● Exemplo: X representa o número de jogadas de uma 
moeda até ser observado cara
 
Variável Aleatória Geométrica
● Exemplo: X representa o número de jogadas de uma 
moeda até ser observado cara
● Espaço amostral infinito 
S = {Ca,CoCa, CoCoCa, CoCoCoCa,...}
 
Variável Aleatória Geométrica
● Exemplo: X representa o número de jogadas de uma 
moeda até ser observado cara
● Espaço amostral infinito 
S = {Ca,CoCa, CoCoCa, CoCoCoCa,...}
● Variável aleatória
X(Ca) = 1, X(CoCa) = 2, X(CoCoCa) = 3,...
 
Variável Aleatória Geométrica
● Exemplo: X representa o número de jogadas de uma 
moeda até ser observado cara
● Espaço amostral infinito 
S = {Ca,CoCa, CoCoCa, CoCoCoCa,...}
● Variável aleatória
X(Ca) = 1, X(CoCa) = 2, X(CoCoCa) = 3,...
● fX(1) = P(Ca) = p
fX(2) = P(CoCa) = P(Co)P(Ca) = (1-p)*p
fX(x) = P(Co....Co (x-1 vezes) Ca) = (1-p)x-1p
● Esta é a variável geométrica!
 
Variável Aleatória Geométrica
● A fmp de uma VA geométrica é dada por 
fX(x) = (1-p)x-1p se x ≥ 1
onde p: probabilidade de sucesso
 
Média de uma VA Geométrica
● A média de uma VA geométrica é dada por:
●
 
Média de uma VA Geométrica
● A média de uma VA geométrica é dada por:
● Substituindo q = 1 – p
 
Média de uma VA Geométrica
● A média de uma VA geométrica é dada por:
● Substituindo q = 1 – p
 
Média de uma VA Geométrica
● A média de uma VA geométrica é dada por:
● Substituindo q = 1 – p
 
Média de uma VA Geométrica
● A média de uma VA geométrica é dada por:
● Substituindo q = 1 – p
● Note que este resultado faz sentido, pois se a 
probabilidade de sucesso é 0.1 é esperado que seja 
necessário 1/0.1=10 experimentos para ter um 
sucesso.
 
Exemplo: VA Geométrica
● Considere uma VA geométrica de probabilidade de 
sucesso p = 0.1
Função massa de probabilidade Função Distribuição Acumulada
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0
0
0 . 1
0 . 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5
x
f X(
x)
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
x
F X
(x)
 
Exemplo: VA Geométrica
● Diferenças entre duas VAs geométricas de 
probabilidade de sucesso p = 0.1 e p = 0.5
Função massa de probabilidade Função massa de probabilidade
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0
0
0 . 1
0 . 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5
x
f X(
x)
p=0.5p=0.1
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0
0
0 . 1
0 . 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5
x
f X(
x)
 
Variância de uma VA geométrica
● A variância de uma VA geométrica é dada por 
 
Variância de uma VA geométrica
● A variância de uma VA geométrica é dada por 
● Qual o valor de p que maximiza a variância?
Resposta: p → 0
● De fato, se a probabilidade de sucesso é baixa, a VA 
tende a se espalhar, pois o sucesso pode acontecer 
para um grande número de experimentos. 
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