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GL301 – Estatística I Leonardo T. Duarte Primeiro Semestre de 2013 Probabilidade O que é estatística? ● Panorama geral da estatística População Modelo probabilístico Amostras Probabilidade ● O que é probabilidade? Probabilidade ● O que é probabilidade? ● Uma ferramenta útil que criamos para modelar eventos aleatórios. Probabilidade ● O que é probabilidade? ● Uma ferramenta útil que criamos para modelar eventos aleatórios. ● Intuitivamente, pode ser vista como a chance de um certo evento ocorrer. ● Ou então, podemos encarar a probabilidade como uma medida que atribuímos a eventos aleatórios, assim como atribuímos massa a um corpo, ou resistência a um resistor, sem se preocupar, num primeiro momento, com interpretações intuitivas. Experimento aleatório ● Basicamente, um experimento aleatório é um experimento que pode resultar em diferentes saídas, mesmo tendo sido repetido em condições iguais. Experimento aleatório ● Basicamente, um experimento aleatório é um experimento que pode resultar em diferentes saídas, mesmo tendo sido repetido em condições iguais. ● Rigorosamente, um experimento aleatório possui as seguintes características ● Deve ser repetido em condições idênticas ● A saída do experimento (resultado) não pode ser prevista antes da sua ocorrência ● Deve apresentar uma certa regularidade estatística, ou seja, quando repetido um grande número de vezes, deve apresentar um “comportamento estatístico” médio. Exemplo de experimentos aleatórios ● Jogar de uma moeda; ● Jogar um dado; ● Medida de um parâmetro de um produto manufaturado; ● Energia consumida num processo químico; Exemplo de experimentos aleatórios ● Jogar de uma moeda; ● Jogar um dado; ● Medida de um parâmetro de um produto manufaturado; ● Energia consumida num processo químico; A definição de um experimento como sendo aleatório ou determinístico em engenharia ou em qualquer outra ciência aplicada é sobretudo uma questão de conveniência, e não implica que o fenômeno observado é, em essência, aleatório ou determinístico. Espaço amostral ● Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. ● Denotaremos o espaço amostral por S Espaço amostral ● Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. ● Denotaremos o espaço amostral por S ● Exemplo ● Jogar de uma moeda (C = cara, Co = coroa) – S = {C, Co} Espaço amostral ● Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. ● Denotaremos o espaço amostral por S ● Exemplo ● Jogar de uma moeda (C = cara, Co = coroa) – S = {C, Co} ● Medida do peso de um produto manufaturado – S = ℝ+ (Reais não negativos) Espaço amostral ● Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. ● Denotaremos o espaço amostral por S ● Exemplo ● Jogar de uma moeda (C = cara, Co = coroa) – S = {C, Co} ● Medida do peso de um produto manufaturado – S = ℝ+ (Reais não negativos) ● Jogar de duas moedas – S = {C, Co} X {C, Co} = {CC, CCo, CoC, CoCo} Evento ● Evento: um subconjunto do conjunto amostral S. Evento ● Evento: um subconjunto do conjunto amostral S. ● Exemplo: jogar de uma moeda ● S = {C, Co} – E1 = ∅ (Evento impossível) – E2 = {C} – E3 = {Co} – E4 = {C, Co} (Evento certo) Evento ● Evento: um subconjunto do conjunto amostral S. ● Exemplo: jogar de uma moeda ● S = {C, Co} – E1 = ∅ (Evento impossível) – E2 = {C} – E3 = {Co} – E4 = {C, Co} (Evento certo) ● Exemplo: Medida do peso de um produto manufaturado – S = ℝ+ (Reais não negativos) – E1 = { x | x > 10 } – E2 = { x | 1 < x < 5 } Eventos formados a partir de outros eventos ● Dados dois ou mais eventos, podemos obter novos eventos considerando as operações aplicadas em conjuntos 1. União: E3 = E1 ∪ E2 Exemplo: jogar de um dado: E1 = {1,2}, E2 = {3} E3 = E1 ∪ E2 = {1,2,3} E1 E2 S Eventos formados a partir de outros eventos ● Dados dois ou mais eventos, podemos obter novos eventos considerando as operações aplicadas em conjuntos 2. Interseção: E3 = E1 ∩ E2 Exemplo: jogar de um dado: E1 = {1,2}, E2 = {2,4} E3 = E1 ∩ E2 = {2} E1 E2; S Eventos formados a partir de outros eventos ● Dados dois ou mais eventos, podemos obter novos eventos considerando as operações aplicadas em conjuntos 3. Complemento: E2 = E1' Exemplo: E1 = {1,2} → E2 = E1' ={3,4,5,6} Note que, neste caso, E2 ∪ E1 = S E2 E1 Mais exemplos de operações sobre conjuntos ● Outros exemplos de operações sobre conjuntos (Montgomery et al. 2003). Exemplo ● Seja um experimento aleatório associado à medida da largura (mm) de uma peça. Exemplo ● Seja um experimento aleatório associado à medida da largura (mm) de uma peça ● O espaço amostral neste caso é: S = ℝ+ (Reais não negativos) Exemplo ● Seja um experimento aleatório associado à medida da largura (mm) de uma peça ● O espaço amostral neste caso é: S = ℝ+ (Reais não negativos) ● Queremos que está largura seja menor que 10 (aceitável). Podemos definir dois eventos Exemplo ● Seja um experimento aleatório associado à medida da largura (mm) de uma peça ● O espaço amostral neste caso é: S = ℝ+ (Reais não negativos) ● Queremos que está largura seja menor que 10 (aceitável). Podemos definir dois eventos ● E1 = { x | 0 ≤ x ≤ 10 } (aceitável) ● E2 = E1' = { x | x > 10 } (defeituoso) ● Vamos calcular E3 = E1 ∪ E2 E3 = E1 ∩ E2 Exemplo ● Seja um experimento aleatório associado à medida da largura (mm) de uma peça ● O espaço amostral neste caso é: S = ℝ+ (Reais não negativos) ● Queremos que está largura seja menor que 10 (aceitável). Podemos definir dois eventos ● E1 = { x | 0 ≤ x ≤ 10 } (aceitável) ● E2 = E1' = { x | x > 10 } (defeituoso) ● Vamos calcular E3 = E1 ∪ E2 = S E3 = E1 ∩ E2 Exemplo ● Seja um experimento aleatório associado à medida da largura (mm) de uma peça ● O espaço amostral neste caso é: S = ℝ+ (Reais não negativos) ● Queremos que está largura seja menor que 10 (aceitável). Podemos definir dois eventos ● E1 = { x | 0 ≤ x ≤ 10 } (aceitável) ● E2 = E1' = { x | x > 10 } (defeituoso) ● Vamos calcular E3 = E1 ∪ E2 = S E3 = E1 ∩ E2 = ∅ Eventos disjuntos ● Dois eventos E1 e E2 são ditos disjuntos (ou mutualmente excludentes) se E1 ∩ E2 = ∅ E1 E2 S Eventos disjuntos ● Dois eventos E1 e E2 são ditos disjuntos (ou mutualmente excludentes) se E1 ∩ E2 = ∅ ● Exemplo (dado): os eventos E1 = {1,2} e E2 = {3,4,5} são disjuntos. E1 E2 S Eventos ● (E1')' =E1 ● Leis comutativas E1 ∪ E2 = E2 ∪ E1 E1 ∩ E2 = E2 ∩ E1 ● Leis associativas (E1 ∪ E2) ∪ E3 = E1 ∪ (E2 ∪ E3) (E1 ∩ E2) ∩ E3 = E1 ∩ ( E2 ∩ E3) Eventos ● Leis distributivas (E1 ∪ E2) ∩ E3 = (E1 ∩ E3) ∪ (E2 ∩ E3) (E1 ∩ E2) ∪ E3 = (E1 ∪ E3) ∩ (E2 ∪ E3) ● Leis de DeMorgan (E1 ∩ E2)' = E1' ∪ E2' (E1 ∪ E2)' = E1' ∩ E2' Probabilidade ● O que queremos? Probabilidade ● O que queremos? Uma medida capaz de quantificar o grau de incerteza ou as chances de um evento acontecer. ● Vamos considerar, por exemplo, um evento E. Probabilidade ● O que queremos? Uma medida capaz de quantificar o grau de incerteza ou as chances de um evento acontecer. ● Vamos considerar, por exemplo, um evento E. ● A frequência relativa donúmero de vezes que o evento E ocorreu é dada por nE → número de vezes que o evento E ocorreu no experimento nS → número total de repetições. Probabilidade ● O que queremos? Uma medida capaz de quantificar o grau de incerteza ou as chances de um evento acontecer. ● Vamos considerar, por exemplo, um evento E. ● A frequência relativa do número de vezes que o evento E ocorreu é dada por nE → número de vezes que o evento E ocorreu no experimento nS → número total de repetições. ● Uma possível definição de probabilidade associada ao evento A é dado por Probabilidade: definição axiomática ● Andrey N. Kolmogorov: “The probability theory, as a mathematical discipline, can and should be developed from axioms in exactly the same way as Geometry and Algebra.” Probabilidade: definição axiomática ● Andrey N. Kolmogorov: “The probability theory, as a mathematical discipline, can and should be developed from axioms in exactly the same way as Geometry and Algebra.” ● A probabilidade é um número real atribuído para cada evento, de modo que 1) P(S) = 1 2) Dado um evento E, então 0 ≤ P(E) ≤ 1 3) Dados dois eventos disjuntos E1 e E2, então P(E1 ∪ E2 ) = P(E1) + P(E2) Um resultado direto deste axioma é que para N eventos mutualmente disjuntos, i.e. Ei ∩ Ej = ∅ , ● P(E1 ∪ E2 … ∪ ∪ EN ) = P(E1) + P(E2) +...+P(EN) Axiomas da Probabilidade ● Consequências dos axiomas ● Qual a probabilidade do evento nulo E = ?∅ Axiomas da Probabilidade ● Consequências dos axiomas ● Qual a probabilidade do evento nulo E = ?∅ O evento nulo é o complemento do espaço amostral E' = S. Portanto P(S ∪ E ) = P(S) (1) Axiomas da Probabilidade ● Consequências dos axiomas ● Qual a probabilidade do evento nulo E = ?∅ O evento nulo é o complemento do espaço amostral E' = S. Portanto P(S ∪ E ) = P(S) (1) Além disso, o evento nulo e S são disjuntos. Portanto, P(S ∪ E ) = P(S) + P(E) (2) Axiomas da Probabilidade ● Consequências dos axiomas ● Qual a probabilidade do evento nulo E = ?∅ O evento nulo é o complemento do espaço amostral E' = S. Portanto P(S ∪ E ) = P(S) (1) Além disso, o evento nulo e S são disjuntos. Portanto, P(S ∪ E ) = P(S) + P(E) (2) Substituindo (2) em (1) P(S) = P(S) + P(E) Axiomas da Probabilidade ● Consequências dos axiomas ● Qual a probabilidade do evento nulo E = ?∅ O evento nulo é o complemento do espaço amostral E' = S. Portanto P(S ∪ E ) = P(S) (1) Além disso, o evento nulo e S são disjuntos. Portanto, P(S ∪ E ) = P(S) + P(E) (2) Substituindo (2) em (1) P(S) = P(S) + P(E) Portanto P(E = ) = 0∅ Axiomas da Probabilidade ● Qual a probabilidade P(E') do evento E' em termos de P(E)? Axiomas da Probabilidade ● Qual a probabilidade P(E') do evento E' em termos de P(E)? Os eventos E e E' são disjuntos. Portanto, P(E ∪ E' ) = P(E) + P(E') (2) Axiomas da Probabilidade ● Qual a probabilidade P(E') do evento E' em termos de P(E)? Os eventos E e E' são disjuntos. Portanto, P(E ∪ E' ) = P(E) + P(E') (2) Todavia, E ∪ E' = S Logo P(S) = 1 = P(E') + P(E) Portanto P(E') = 1 – P(E) Axiomas da Probabilidade ● Qual a probabilidade P(E') do evento E' em termos de P(E)? Os eventos E e E' são disjuntos. Portanto, P(E ∪ E' ) = P(E) + P(E') (2) Todavia, E ∪ E' = S Logo P(S) = 1 = P(E') + P(E) Portanto P(E') = 1 – P(E) ● Exemplo, moeda viciada P(Co) = 0.4. Como C é o evento complementar de Co neste caso, então P(C) = 1 – P(Co) = 0.6 Axiomas da Probabilidade ● Se E1 ⊂ E2, o que podemos dizer sobre P(E1) e P(E2)? Axiomas da Probabilidade ● Se E1 ⊂ E2, o que podemos dizer sobre P(E1) e P(E2)? Podemos escrever E2 da seguinte maneira E2 = E1 (E∪ 2 ∩ E1') E1 E2 S = E1 S ∪ E1 E2 S Axiomas da Probabilidade ● Se E1 ⊂ E2, o que podemos dizer sobre P(E1) e P(E2)? Podemos escrever E2 da seguinte maneira E2 = E1 (E∪ 2 ∩ E1') E1 e (E2 ∩ E1') são disjuntos E1 E2 S = E1 S ∪ E1 E2 S Axiomas da Probabilidade ● Se E1 ⊂ E2, o que podemos dizer sobre P(E1) e P(E2)? Podemos escrever E2 da seguinte maneira E2 = E1 (E∪ 2 ∩ E1') E1 e (E2 ∩ E1') são disjuntos ● Pelo terceiro axioma: P(E2) = P(E1) + P(E2 ∩ E1') E1 E2 S = E1 S ∪ E1 E2 S Axiomas da Probabilidade ● Se E1 ⊂ E2, o que podemos dizer sobre P(E1) e P(E2)? Podemos escrever E2 da seguinte maneira E2 = E1 (E∪ 2 ∩ E1') E1 e (E2 ∩ E1') são disjuntos ● Pelo terceiro axioma: P(E2) = P(E1) + P(E2 ∩ E1') ● Porém, pelo segundo axioma 0 ≤ P(E2 ∩ E1') ≤ 1, e, logo: P(E1) ≤ P(E2) E1 E2 S = E1 S ∪ E1 E2 S Exercício ● Considere o experimento aleatório referente à análise da qualidade de um produto em relação a dois atributos (resistência ao choque e durabilidade) ● Qual o espaço amostral deste experimento? ● Assumindo que E1 é o evento no qual a durabilidade é boa, e E2 é o evento no qual a resistência é boa, estime P(E1), P(E2), P(E1 ∩ E2), P(E1 ∪ E2), P(E1'), P(E2'), P(E1' ∪ E2) Durabilidade Boa Ruim Resistência Boa 102 76 Ruim 111 212 Probabilidade: Lei da adição ● Dados dois eventos (não necessariamente disjuntos) E1 e E2, como calcular P(E1 ∪ E2)? Probabilidade: Lei da adição ● Dados dois eventos (não necessariamente disjuntos) E1 e E2, como calcular P(E1 ∪ E2)? Lei da adição: P(E1 ∪ E2 ) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2) Probabilidade: Lei da adição ● Dados dois eventos (não necessariamente disjuntos) E1 e E2, como calcular P(E1 ∪ E2)? Lei da adição: P(E1 ∪ E2 ) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2) ● Intuição pelo diagrama de Venn: no caso de eventos que não são disjuntos, se simplesmente somarmos P(E1) + P(E2), estaremos somando duas vezes o termo P(E1 ∩ E2) E1 E2 S Probabilidade: Lei da adição ● Lei da adição: como mostrar? A C S B Probabilidade: Lei da adição ● Lei da adição: como mostrar? ● Escrevendo E1 ∪ E2 como A ∪ B ∪ C, como no diagrama ao lado; A C S B ● A, B e C são eventos disjuntos. Logo P(E1 ∪ E2 ) = P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) Probabilidade: Lei da adição ● Lei da adição: como mostrar? ● Escrevendo E1 ∪ E2 como A ∪ B ∪ C, como no diagrama ao lado; A C S B ● A, B e C são eventos disjuntos. Logo P(E1 ∪ E2 ) = P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) ● Além disso P(E1) = P(A ∪ B ) = P(A) + P(B), pois A e B são disjuntos P(E2) = P(B ∪ C ) = P(B) + P(C), pois B e C são disjuntos Probabilidade: Lei da adição ● Lei da adição: como mostrar? ● Escrevendo E1 ∪ E2 como A ∪ B ∪ C, como no diagrama ao lado; A C S B ● A, B e C são eventos disjuntos. Logo P(E1 ∪ E2 ) = P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) ● Além disso P(E1) = P(A ∪ B ) = P(A) + P(B), pois A e B são disjuntos P(E2) = P(B ∪ C ) = P(B) + P(C), pois B e C são disjuntos ● Portanto P(E1) + P(E2) = P(A) + P(B) + P(B) + P(C) = P(E1 ∪ E2 ) + P(B) Probabilidade: Lei da adição ● Lei da adição: como mostrar? ● Escrevendo E1 ∪ E2 como A ∪ B ∪ C, como no diagrama ao lado; A C S B ● A, B e C são eventos disjuntos. Logo P(E1 ∪ E2 ) = P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) ● Além disso P(E1) = P(A ∪ B ) = P(A) + P(B), pois A e B são disjuntos P(E2) = P(B ∪ C ) = P(B) + P(C), pois B e C são disjuntos ● Portanto P(E1) + P(E2) = P(A) + P(B) + P(B) + P(C) = P(E1 ∪ E2 ) + P(B) ● Dado que P(B) = P(E1 ∩ E2), temos que P(E1 ∪ E2 ) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2)Lei da adição: exemplo ● Considere um dado de seis faces não-viciado, isto é, P({1}) = P({2}) = … = P({6}) = 1/6 ● Calcule a probabilidade do evento E = {1,2} Lei da adição: exemplo ● Considere um dado de seis faces não-viciado, isto é, P({1}) = P({2}) = … = P({6}) = 1/6 ● Calcule a probabilidade do evento E = {1,2} ● Como E = { {1} {2}∪ } (união de dois eventos disjuntos) P(E) = P({1}) + P({2}) = 1/3 Lei da adição: exemplo ● Considere um dado de seis faces não-viciado, isto é, P({1}) = P({2}) = … = P({6}) = 1/6 ● Calcule a probabilidade do evento E = {1,2} ● Como E = { {1} {2}∪ } (união de dois eventos disjuntos) P(E) = P({1}) + P({2}) = 1/3 ● Calcule a probabilidade do evento E = {{1} {2}}∪ {∪ {1} ∪ {2} {3∪ }} Lei da adição: exemplo ● Considere um dado de seis faces não-viciado, isto é, P({1}) = P({2}) = … = P({6}) = 1/6 ● Calcule a probabilidade do evento E = {1,2} ● Como E = { {1} {2}∪ } (união de dois eventos disjuntos) P(E) = P({1}) + P({2}) = 1/3 ● Calcule a probabilidade do evento E = {{1} {2}}∪ {∪ {1} ∪ {2} {3∪ }} ● Neste caso, não temos eventos disjuntos. Logo P({{1} {2}∪ } ∪ {{1} {2∪ } {3∪ }} ) = P({{1} {2}∪ }) + P({{1} ∪ {2} {3∪ }}) - P({1,2}) = 1/3 + 1/2 – 1/3 = 1/2 Lei da adição: exemplo 2 ● (Walpole et al. 2007) João vai se formar na FCA no fim do semestre. Depois de ter sido entrevistado por duas empresas que ele gostaria de ir trabalhar, ele acredita que a probabilidade de ser contratado pela empresa A é 0.8, e que a probabilidade contratado pela empresa B é 0.6. Se, por outro lado, ele acredita que receberá uma proposta das duas empresas com probabilidade 0.5, qual a probabilidade de receber ao menos uma proposta? Lei da adição: exemplo 2 ● (Walpole et al. 2007) João vai se formar na FCA no fim do semestre. Depois de ter sido entrevistado por duas empresas que ele gostaria de ir trabalhar, ele acredita que a probabilidade de ser contratado pela empresa A é 0.8, e que a probabilidade contratado pela empresa B é 0.6. Se, por outro lado, ele acredita que receberá uma proposta das duas empresas com probabilidade 0.5, qual a probabilidade de receber ao menos uma proposta? Espaço amostral S = {A,B,Nada} P(A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.8 + 0.6 – 0.5 = 0.9 ● Qual a probabilidade de ele ficar sem emprego? Lei da adição: exemplo 2 ● (Walpole et al. 2007) João vai se formar na FCA no fim do semestre. Depois de ter sido entrevistado por duas empresas que ele gostaria de ir trabalhar, ele acredita que a probabilidade de ser contratado pela empresa A é 0.8, e que a probabilidade contratado pela empresa B é 0.6. Se, por outro lado, ele acredita que receberá uma proposta das duas empresas com probabilidade 0.5, qual a probabilidade de receber ao menos uma proposta? Espaço amostral S = {A,B,Nada} P(A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.8 + 0.6 – 0.5 = 0.9 ● Qual a probabilidade de ele ficar sem emprego? Nada = (A ∪ B )' Logo P(Nada) = 1 - (A ∪ B ) = 0.1 Lei da adição: caso de três eventos ● No caso de três eventos A, B e C, temos P(A ∪ B C ∪ ) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C ) Probabilidade condicional ● Considere o jogar de uma dado de 6 faces não-viciado. O espaço amostral pode ser definido: S = {1,2,3,4,5,6} Probabilidade condicional ● Considere o jogar de uma dado de 6 faces não-viciado. O espaço amostral pode ser definido: S = {1,2,3,4,5,6} ● Vamos definir os seguintes eventos F 1 = {1}, F 2 = {2}, F 3 = {3}, F 4 = {4},F 5 = {5}, F 6 = {6} Im = {1,3,5} (ímpar) e Pa = {2, 4, 6} (par) Probabilidade condicional ● Considere o jogar de uma dado de 6 faces não-viciado. O espaço amostral pode ser definido: S = {1,2,3,4,5,6} ● Vamos definir os seguintes eventos F 1 = {1}, F 2 = {2}, F 3 = {3}, F 4 = {4},F 5 = {5}, F 6 = {6} Im = {1,3,5} (ímpar) e Pa = {2, 4, 6} (par) ● É fácil obter as probabilidades de cada um desses eventos P(F i ) = 1/6, i = 1,...,6 P(Pa) = P(Im) = 1/2. Probabilidade condicional ● Considere o jogar de uma dado de 6 faces não-viciado. O espaço amostral pode ser definido: S = {1,2,3,4,5,6} ● Vamos definir os seguintes eventos F 1 = {1}, F 2 = {2}, F 3 = {3}, F 4 = {4},F 5 = {5}, F 6 = {6} Im = {1,3,5} (ímpar) e Pa = {2, 4, 6} (par) ● É fácil obter as probabilidades de cada um desses eventos P(F i ) = 1/6, i = 1,...,6 P(Pa) = P(Im) = 1/2. ● Agora, considere que sabemos de antemão que o evento Pa ocorreu (i.e. saiu um número par), quais seriam as probabilidade de sair uma dada face do dado? Probabilidade condicional ● Se sabemos que a saída do experimento foi par, então as probabilidades condicionadas ao evento Pa são dadas por: P(F 1 | Pa) = P(F 3 | Pa) = P(F 5 | Pa) = 0 P(F 2 | Pa) = P(F 4 | Pa) = P(F 6 | Pa) = 1/3 Probabilidade condicional ● Se sabemos que a saída do experimento foi par, então as probabilidades condicionadas ao evento Pa são dadas por: P(F 1 | Pa) = P(F 3 | Pa) = P(F 5 | Pa) = 0 P(F 2 | Pa) = P(F 4 | Pa) = P(F 6 | Pa) = 1/3 ● Caso evento Im tivesse sido observado, teríamos P(F 1 | Im) = P(F 3 | Im) = P(F 5 | Im) = 1/3 P(F 2 | Im) = P(F 4 | Im) = P(F 6 | Im) = 0 Probabilidade condicional ● Exemplo Montgomery Probabilidade condicional ● Definição: Dados dois eventos A e B, com P(B) ≠ 0, a probabilidade condicional de A dado B é definida como Probabilidade condicional ● Definição: Dados dois eventos A e B, com P(B) ≠ 0, a probabilidade condicional de A dado B é definida como ● Interpretando pelo diagrama de Venn Se B foi observado, o evento está necessariamente na área cinza Logo, o evento A ocorrerá somente se o evento estiver na área vermelha Probabilidade condicional ● Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 1 azul. Duas bolas são retiradas sem reposição. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas vermelhas? Probabilidade condicional ● Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 1 azul. Duas bolas são retiradas sem reposição. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas vermelhas? Espaço Amostral = {V A, A V, V V} Definindo dois eventos ● Primeira bola ser vermelha E1 = {V A, VV} ● Segunda bola ser vermelha E2 = {A V, V V} Probabilidade condicional ● Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 1 azul. Duas bolas são retiradas sem reposição. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas vermelhas? Espaço Amostral = {V A, A V, V V} Definindo dois eventos ● Primeira bola ser vermelha E1 = {V A, VV} ● Segunda bola ser vermelha E2 = {A V, V V} ● Quero calcular P (E2 ∩ E1) P (E2 ∩ E1) = P (E2|E1)P(E1) P(E1) = 3/4 ; P (E2|E1) = 2/3 Probabilidade condicional ● Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 1 azul. Duas bolas são retiradas sem reposição. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas vermelhas? Espaço Amostral = {V A, A V, V V} Definindo dois eventos ● Primeira bola ser vermelha E1 = {V A, VV} ● Segunda bola ser vermelha E2 = {A V, V V} ● Quero calcular P (E2 ∩ E1) P (E2 ∩ E1) = P (E2|E1)P(E1) P(E1) = 3/4 ; P (E2|E1) = 2/3 ● Logo P (E2 ∩ E1) = 1/2 Probabilidade condicional ● Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas vermelhas quando há reposição? Probabilidade condicional ● Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas vermelhas quando há reposição? Espaço Amostral = {V A, A V, V V, AA} Definindo dois eventos ● Primeira bola ser vermelha E1 = {V A, VV} ● Segunda bola ser vermelha E2 = {A V, V V} Probabilidadecondicional ● Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas vermelhas quando há reposição? Espaço Amostral = {V A, A V, V V, AA} Definindo dois eventos ● Primeira bola ser vermelha E1 = {V A, VV} ● Segunda bola ser vermelha E2 = {A V, V V} ● Quero calcular P (E2 ∩ E1) P (E2 ∩ E1) = P (E2|E1)P(E1) P(E1) = ¾ Qual o valor de P (E2|E1)? Probabilidade condicional ● Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas vermelhas quando há reposição? Espaço Amostral = {V A, A V, V V, AA} Definindo dois eventos ● Primeira bola ser vermelha E1 = {V A, VV} ● Segunda bola ser vermelha E2 = {A V, V V} ● Quero calcular P (E2 ∩ E1) P (E2 ∩ E1) = P (E2|E1)P(E1) P(E1) = ¾ Qual o valor de P (E2|E1)? P (E2|E1) = P(E2)= 3/4 ● Logo P (E2 ∩ E1) = (¾)2 = 9/16 Lei da multiplicação ● Dados dois eventos E1 e E2, como calcular P(E1 ∩ E2)? Lei da multiplicação: P(E1 ∩ E2) = P(E1 | E2) P(E2) = P(E2 | E1) P(E1) Lei da multiplicação ● Dados dois eventos E1 e E2, como calcular P(E1 ∩ E2)? Lei da multiplicação: P(E1 ∩ E2) = P(E1 | E2) P(E2) = P(E2 | E1) P(E1) ● Exemplo: Suponha que se estiver nublado (evento A), então a probabilidade de chover (evento B) é 0.3. Assumindo que a probabilidade de ficar nublado é 0.2, qual é a probabilidade de chover e ficar nublado? Lei da multiplicação ● Dados dois eventos E1 e E2, como calcular P(E1 ∩ E2)? Lei da multiplicação: P(E1 ∩ E2) = P(E1 | E2) P(E2) = P(E2 | E1) P(E1) ● Exemplo: Suponha que se estiver nublado (evento A), então a probabilidade de chover (evento B) é 0.3. Assumindo que a probabilidade de ficar nublado é 0.2, qual é a probabilidade de chover e ficar nublado? Queremos P(A ∩ B) P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(B|A) P(A) = 0.3*0.2 = 0.06 Teorema da Probabilidade Total ● Um evento B (azul) pode ser escrito utilizando um conjunto uma partição formada por eventos disjuntos. Teorema da Probabilidade Total ● Um evento B (azul) pode ser escrito utilizando um conjunto uma partição formada por eventos disjuntos. ● Dado que B ∩ Ei (i = 1,...,N) são mutualmente disjuntos ● P(B) = P( (B ∩ E1) ∪ (B ∩ E2) … ∪ ∪ (B ∩ EN) = P( (B ∩ E1) ) + P( (B ∩ E2) ) + … + P( (B ∩ EN) ) Teorema da Probabilidade Total ● Um evento B (azul) pode ser escrito utilizando um conjunto uma partição formada por eventos disjuntos. ● Dado que B ∩ Ei (i = 1,...,N) são mutualmente disjuntos ● P(B) = P( (B ∩ E1) ∪ (B ∩ E2) … ∪ ∪ (B ∩ EN) = P( (B ∩ E1) ) + P( (B ∩ E2) ) + … + P( (B ∩ EN) ) = P(B|E1)P(E1) + P(B|E2)P(E2) + … + P(B|EN)P(EN) ● Teorema da Probabilidade Total Teorema da Probabilidade Total: exemplo ● Três máquinas (m1, m2 e m3) são responsáveis por 30%, 45% e 25% da produção, respectivamente. ● As taxas de produtos defeituosos são dadas por 2%, 3% e 2%, respectivamente. ● Um produto da linha de produção é escolhido aleatoriamente. Qual a probabilidade ser defeituoso? Teorema da Probabilidade Total: exemplo ● Três máquinas (m1, m2 e m3) são responsáveis por 30%, 45% e 25% da produção, respectivamente. ● As taxas de produtos defeituosos são dadas por 2%, 3% e 2%, respectivamente. ● Um produto da linha de produção é escolhido aleatoriamente. Qual a probabilidade ser defeituoso? S = {m1D,m2D,m3D,m1ND,m2ND,m3ND} Definindo B = {m1D, m2D, m3D} (produto defeituoso) E1 = {m1D,m1ND}, E2 = {m2D,m2ND}, E3 = {m3D,m3ND} Teorema da Probabilidade Total: exemplo ● Três máquinas (m1, m2 e m3) são responsáveis por 30%, 45% e 25% da produção, respectivamente. ● As taxas de produtos defeituosos são dadas por 2%, 3% e 2%, respectivamente. ● Um produto da linha de produção é escolhido aleatoriamente. Qual a probabilidade ser defeituoso? S = {m1D,m2D,m3D,m1ND,m2ND,m3ND} Definindo B = {m1D, m2D, m3D} (produto defeituoso) E1 = {m1D,m1ND}, E2 = {m2D,m2ND}, E3 = {m3D,m3ND} ● Podemos aplicar o teorema da probabilidade total? Teorema da Probabilidade Total: exemplo ● Três máquinas (m1, m2 e m3) são responsáveis por 30%, 45% e 25% da produção, respectivamente. ● As taxas de produtos defeituosos são dadas por 2%, 3% e 2%, respectivamente. ● Um produto da linha de produção é escolhido aleatoriamente. Qual a probabilidade ser defeituoso? S = {m1D,m2D,m3D,m1ND,m2ND,m3ND} Definindo B = {m1D, m2D, m3D} (produto defeituoso) E1 = {m1D,m1ND}, E2 = {m2D,m2ND}, E3 = {m3D,m3ND} ● Podemos aplicar o teorema da probabilidade total? Sim ● Ei (i = 1,...,N) são mutualmente disjuntos ● B = (B ∩ E1) ∪ (B ∩ E2) ∪ (B ∩ E3) Teorema da Probabilidade Total: exemplo ● Três máquinas (m1, m2 e m3) são responsáveis por 30%, 45% e 25% da produção, respectivamente. ● As taxas de produtos defeituosos são dadas por 2%, 3% e 2%, respectivamente. ● Logo P(B) = P(B|E1)P(E1) + P(B|E2)P(E2) + P(B|E3)P(E3) = 0.02*0.3 + 0.03*0.45 + 0.02*0.025 = 0.0245 Slide 1 Slide 2 Slide 3 Slide 4 Slide 5 Slide 6 Slide 7 Slide 8 Slide 9 Slide 10 Slide 11 Slide 12 Slide 13 Slide 14 Slide 15 Slide 16 Slide 17 Slide 18 Slide 19 Slide 20 Slide 21 Slide 22 Slide 23 Slide 24 Slide 25 Slide 26 Slide 27 Slide 28 Slide 29 Slide 30 Slide 31 Slide 32 Slide 33 Slide 34 Slide 35 Slide 36 Slide 37 Slide 38 Slide 39 Slide 40 Slide 41 Slide 42 Slide 43 Slide 44 Slide 45 Slide 46 Slide 47 Slide 48 Slide 49 Slide 50 Slide 51 Slide 52 Slide 53 Slide 54 Slide 55 Slide 56 Slide 57 Slide 58 Slide 59 Slide 60 Slide 61 Slide 62 Slide 63 Slide 64 Slide 65 Slide 66 Slide 67 Slide 68 Slide 69 Slide 70 Slide 71 Slide 72 Slide 73 Slide 74 Slide 75 Slide 76 Slide 77 Slide 78 Slide 79 Slide 80 Slide 81 Slide 82 Slide 83 Slide 84 Slide 85 Slide 86 Slide 87 Slide 88 Slide 89 Slide 90 Slide 91 Slide 92 Slide 93 Slide 94 Slide 95
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