Folhas Estruturas de Betão Armado II-2014

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ESTRUTURAS DE BETÃO II 
 
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordenação: António Costa 
 
 
Ano Lectivo 2013/2014
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Estas folhas de apoio às aulas têm como objectivo facilitar o seu acompanhamento e 
correspondem, em geral, à sequência e organização da exposição incluindo, ainda, a 
resolução de problemas. São apontamentos de síntese que não dispensam a consulta de 
restantes apontamentos da disciplina e da bibliografia proposta, onde deve ser realçado o 
recente livro sobre Estruturas de Betão da autoria do Prof. Júlio Appleton. 
 
Estes apontamentos resultaram da experiência de ensino e de textos anteriores da 
disciplina para os quais contribuíram os docentes que têm vindo a leccionar o Betão 
Estrutural, sob a orientação do Prof. Júlio Appleton, que foi, nesta escola, nos últimos 30 
anos e até ao ano lectivo 2010/2011, o responsável por esta área da engenharia de 
estruturas. 
 
Durante o ano lectivo 2003/2004 o Prof. Júlio Appleton com a Engª Carla Marchão, 
organizaram a 1ª versão destas folhas de apoio às aulas. A estas foram sendo 
introduzidas várias contribuições, mais directamente, dos Profs. José Camara, António 
Costa, João Almeida, e Sérgio Cruz. 
 
Deve-se realçar que o essencial do ensino do betão estrutural é a transmissão do 
conhecimento sobre as características do comportamento estrutural e fundamentação 
dos modelos de cálculo, aspectos que se repercutem depois, naturalmente, nas 
prescrições normativas, com algumas variações. 
 
Ao longo destes últimos anos têm sido referidas na disciplina, em geral, as normas 
europeias (Eurocódigos), já aprovadas na versão definitiva (EN) tendo algumas sido já 
implementadas como normas portuguesas. Refira-se que, no entanto, não houve ainda 
uma implementação formal a nível legislativo, sendo possível utilizar, no âmbito 
profissional, em alternativa, a regulamentação nacional (REBAP – Regulamento de 
Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado) ou a regulamentação europeia 
(Eurocódigo 2 – Projecto de Estruturas de Betão). 
 
 
IST, Fevereiro de 2014 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
1. ELEMENTOS PRÉ-ESFORÇADOS.................................................................................................... 1 
1.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 1 
VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................. 3 
1.2. TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO ........................................................................................... 3 
1.2.1. Pré-esforço por pré-tensão ...................................................................................................... 3 
1.2.2. Pré-esforço por pós-tensão ...................................................................................................... 4 
1.3. COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO ............................................................................. 5 
1.3.1. Armaduras de pré-esforço ....................................................................................................... 5 
1.3.2. Ancoragens de pré-esforço ...................................................................................................... 8 
1.3.3. Bainhas de pré-esforço ............................................................................................................ 8 
1.3.4. Sistemas de Injecção ............................................................................................................... 9 
1.4. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO ................................................................................................................. 9 
1.4.1. Razão da utilização de aços de alta resistência para aplicação do pré-esforço ...................... 11 
1.4.2. Comparação entre o comportamento em serviço e capacidade resistente de estruturas de 
betão armado e de betão pré-esforçado ................................................................................................... 12 
1.5. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO ......................................................... 15 
1.5.1. Pré-dimensionamento da secção ........................................................................................... 15 
1.5.2. Traçado do cabo .................................................................................................................... 15 
1.5.3. Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço .................................. 15 
1.5.4. Pré-dimensionamento da força de pré-esforço útil ................................................................ 16 
1.6. VALOR DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO. DEFINIÇÃO DOS CABOS .......................................................... 17 
1.6.1. Força máxima de tensionamento ........................................................................................... 17 
1.6.2. Perdas de pré-esforço ............................................................................................................ 17 
1.6.3. Definição dos cabos .............................................................................................................. 18 
1.7. CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS .......................................................................... 24 
1.7.1. Equação da parábola.............................................................................................................. 24 
1.7.2. Determinação do ponto de inflexão entre dois troços parabólicos ........................................ 25 
1.7.3. Determinação do ponto de concordância troço parabólico – troço recto .............................. 25 
1.8. CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO ...................................................................................... 25 
1.8.1. Acções exercidas sobre o cabo (situação em que se aplica a tensão nos cabos 
simultaneamente nas duas extremidades) ............................................................................................... 25 
1.8.2. Acções exercidas sobre o betão ............................................................................................. 25 
1.8.3. Determinação das cargas equivalentes .................................................................................. 26 
1.9. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS ..................................................... 33 
1.9.1. Estado limite último de flexão............................................................................................... 33 
1.9.2. Estado limite último de esforço transverso ........................................................................... 35 
1.10. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................................... 41 
 
 
 
 
 
1.10.1. Perdas por Atrito ................................................................................................................... 41 
1.10.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos).................................................................... 42 
1.10.3. Perdas por deformação instantânea do betão ......................................................................... 43 
1.10.4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço ................................................... 43 
1.10.5. Perdas por retracção do betão ................................................................................................ 47 
1.10.6. Perdas por fluência do betão .................................................................................................47 
1.10.7. Perdas por relaxação da armadura ......................................................................................... 47 
1.11. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS ........................................................ 50 
1.11.1. Verificação da segurança ao esmagamento do betão ............................................................ 50 
1.11.2. Determinação das Armaduras de Reforço na Zona das Ancoragens ..................................... 51 
1.12. PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS COM SECÇÃO VARIÁVEL ........................................................................... 60 
1.12.1. Consideração do efeito do pré-esforço .................................................................................. 60 
1.13. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS .......................................................... 62 
2. INTRODUÇÃO AO DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO ....................... 70 
2.1. CLASSIFICAÇÃO DE LAJES ............................................................................................................... 70 
2.1.1. Tipo de Apoio ....................................................................................................................... 70 
2.1.2. Constituição........................................................................................................................... 71 
2.1.3. Modo de flexão dominante .................................................................................................... 71 
2.1.4. Modo de fabrico .................................................................................................................... 71 
2.2. PRÉ-DIMENSIONAMENTO ................................................................................................................ 72 
2.3. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA ....................................................................................................... 72 
2.3.1. Estados Limites Últimos ....................................................................................................... 72 
2.3.2. Estados Limites de Utilização ............................................................................................... 75 
2.3.3. Deformação ........................................................................................................................... 76 
2.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS ............................................................................................ 78 
2.4.1. Recobrimento das armaduras ................................................................................................ 78 
2.4.2. Distâncias entre armaduras .................................................................................................... 79 
2.4.3. Quantidades mínima e máxima de armadura ........................................................................ 79 
2.4.4. Posicionamento das armaduras ............................................................................................. 80 
2.5. MEDIÇÕES E ORÇAMENTOS ............................................................................................................ 80 
2.6. LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA DIRECÇÃO .................................................................................. 81 
2.6.1. Definição ............................................................................................................................... 81 
2.6.2. Pré-dimensionamento ............................................................................................................ 82 
2.6.3. Pormenorização de armaduras............................................................................................... 82 
2.7. LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS DIRECÇÕES ............................................................................ 88 
2.7.1. Métodos de Análise e Dimensionamento .............................................................................. 88 
2.7.2. Método das bandas ................................................................................................................ 96 
2.8. PRÉ-DIMENSIONAMENTO .............................................................................................................. 101 
2.9. PORMENORIZAÇÃO DE ARMADURAS............................................................................................. 102 
2.9.1. Disposição de armaduras ..................................................................................................... 102 
 
 
 
 
 
2.9.2. Exemplos da disposição das armaduras principais e de distribuição ................................... 102 
2.10. DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS EM LAJES ...................................................................................... 102 
2.11. ARMADURAS DE CANTO ............................................................................................................... 107 
2.12. SISTEMAS DE PAINÉIS CONTÍNUOS DE LAJES – COMPATIBILIZAÇÃO DE ESFORÇOS NOS APOIOS DE 
CONTINUIDADE .......................................................................................................................................... 108 
2.13. ALTERNÂNCIA DE SOBRECARGAS ................................................................................................. 110 
2.14. COMPARAÇÃO DOS ESFORÇOS DOS MODELOS ELÁSTICO E PLÁSTICO .......................................... 122 
2.15. ABERTURAS EM LAJES .................................................................................................................. 130 
2.16. DISCUSSÃO DO MODELO DE CÁLCULO DE LAJES COM GEOMETRIAS DIVERSAS .............................. 133 
2.17. PORMENORIZAÇÃO COM MALHAS ELECTROSSOLDADAS ............................................................... 137 
2.17.1. Representação gráfica das malhas ....................................................................................... 137 
2.17.2. Exemplo de aplicação de malhas electrossoldadas .............................................................. 137 
2.18. LAJES FUNGIFORMES .................................................................................................................... 140 
2.18.1. Vantagens da utilização de lajes fungiformes ..................................................................... 140 
2.18.2. Problemas resultantes da utilização de lajes fungiformes ................................................... 140 
2.18.3. Tipos de lajes fungiformes .................................................................................................. 140 
2.18.4. Principais características do comportamento para acções verticais ..................................... 141 
2.18.5. Análise qualitativa do cálculo de esforços numa laje fungiforme ....................................... 141 
2.18.6. Concepção e pré-dimensionamento de lajes fungiformes ................................................... 142 
2.18.7. Modelos de análise de lajes fungiformes............................................................................. 143 
2.18.8. Método dos Pórticos Equivalentes (EC2 - Anexo I) ........................................................... 143 
2.18.9. Modelo de grelha ................................................................................................................. 148 
2.18.10. Modelos de elementos finitos de laje .................................................................................. 149 
2.19. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO ................................................................................ 157 
2.19.1. Mecanismos de rotura de punçoamento .............................................................................. 157 
2.19.2. Mecanismos de resistência ao punçoamento .......................................................................157 
2.19.3. Verificação da segurança ao punçoamento ......................................................................... 158 
2.19.4. Cálculo do esforço de corte solicitante ................................................................................ 158 
2.19.5. Perímetro básico de controlo ............................................................................................... 159 
2.19.6. Resistência ao punçoamento de lajes sem armadura específica de punçoamento ............... 160 
2.19.7. Verificação ao punçoamento em lajes com capiteis ............................................................ 160 
2.19.8. Armaduras de punçoamento ................................................................................................ 161 
2.19.9. Valor de cálculo do máximo esforço de corte ..................................................................... 162 
2.19.10. Punçoamento excêntrico ..................................................................................................... 162 
3. DIMENSIONAMENTO DE ZONAS DE DESCONTINUIDADE ................................................. 173 
3.1 TIPOS DE FUNDAÇÕES ................................................................................................................... 181 
3.1.1 Fundações directas (sapatas) ............................................................................................... 181 
3.1.2 Sapatas ligadas por um lintel de fundação .......................................................................... 190 
3.1.3 Dimensionamento de maciços de encabeçamento de estacas .............................................. 195 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas de Betão II 
 
 1 
1. ELEMENTOS PRÉ-ESFORÇADOS 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
O pré-esforço é uma tecnologia que permite introduzir numa estrutura um estado de 
tensão e deformação por meio de cabos de aço de alta resistência que possibilita o 
controlo do seu comportamento no que se refere à fendilhação e à deformação. 
Como é sabido o menor desempenho das estruturas de betão no que se refere ao 
comportamento em serviço resulta, em grande parte, da fraca resistência do betão à 
tracção. Portanto se, em serviço, as tensões de tracção no betão forem controladas a 
nível reduzido o desempenho das estruturas melhorará substancialmente. 
Os efeitos do pré-esforço podem ser entendidos recorrendo aos exemplos a seguir 
apresentados que traduzem o comportamento de vigas submetidas à acção de cargas no 
vão. 
A actuação das cargas gera na viga um estado de tensão indicado na figura. Na zona 
inferior as tensões de tracção originam a fendilhação do betão e a consequente perda de 
rigidez da viga e aumento das flechas. 
 
compressão 
tracção 
 
Este comportamento pode ser melhorado se for introduzida uma força de compressão 
que vai originar uma redução das tensões de tracção e consequentemente uma menor 
fendilhação e perda de rigidez da viga. 
Essa força de compressão pode ser conseguida por meio de um cabo de aço tensionado 
que transmite a força de tensionamento ao betão nas extremidades da viga. 
A figura seguinte ilustra o efeito da força de compressão introduzida no betão por cabo de 
pré-esforço colocado segundo o eixo da viga. O estado de tensão associado a esta força 
de compressão é, portanto, uniforme. 
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 2 
 
compressão 
tracção 
efeito do pré-esforço 
P 
P 
P 
 
O cabo de aço pode ter diferentes posicionamentos na secção da viga e diferente 
geometria os quais têm consequências ao nível do comportamento da viga conforme 
ilustrado na figura seguinte onde se representam as tensões na secção de meio vão 
devidas ao pré-esforço P e à carga actuante q. 
 
 
esforço axial centrado 
esforço axial com excentricidade 
esforço axial e transversal 
 
No primeiro caso, em que o cabo está centrado na secção, o pré-esforço necessário para 
anular a tensão de tracção provocada pela carga q é elevado, conduzindo a um estado 
de tensão resultante com elevadas tensões de compressão na fibra superior. 
No segundo caso, com um cabo recto localizado junto à face inferior da viga, o estado de 
tensão introduzido pelo pré-esforço é mais eficiente para contrariar as tensões 
provocadas pela carga q e as tensões resultantes são mais baixas. Neste caso importa 
salientar que o pré-esforço introduz um estado de deformação contrário ao da carga q 
pelo que se consegue controlar melhor a deformação da viga. 
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 3 
No terceiro caso a forma do cabo faz com que para além do esforço axial do pré-esforço 
seja introduzida na viga uma carga distribuída com sentido contrário ao da carga exterior 
q. Com este traçado, para além dos efeitos referidos no caso anterior, existe também o 
efeito de contrariar o esforço transverso provocado pela carga q. Refira-se que esta carga 
distribuída no vão (carga equivalente ao pré-esforço no vão) gera efeitos, iguais mas de 
sinal contrário, ao de um carregamento uniforme. Por exemplo, se esta carga equivalente 
for igual às aplicadas a deformação da viga é nula. 
A definição do valor do pré-esforço a introduzir na estrutura depende do objectivo que se 
pretende atingir: controlo da fendilhação, controlo da deformação ou ambos. 
Em geral, pretende-se que em serviço o nível das tensões de tracção na secção seja nulo 
ou muito reduzido. Este nível de tensões é também condicionado por questões de 
durabilidade pois os aços de alta resistência, por estarem fortemente tensionados, são 
muito sensíveis à corrosão pelo que se deve evitar a formação de fendas ou, caso estas 
venham a ocorrer, a sua abertura deve ser muito reduzida. 
Importa ainda referir que a utilização e a exploração total dos aços de alta resistência na 
capacidade resistente dos elementos estruturais só é viável se for introduzida uma 
extensão inicial na armadura. Caso contrário não só a tensão resistente da armadura 
dificilmente seria atingida por destruição prematura da aderência, como o comportamento 
em serviço não seria aceitável devido à elevada abertura de fendas induzida pelas muito 
altas extensões na armadura. 
VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO 
 Vencer vãos maiores 
 Maiores esbeltezas para vãos equivalentes 
 Diminuição do peso próprio 
 Melhoria do comportamento em serviço 
 Utilização racional dos betões e aços de alta resistência 
1.2. TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO 
1.2.1. Pré-esforço por pré-tensão 
 As armaduras são tensionadas antes da colocação do betão; 
 A transferência de força é realizada por aderência; 
 É realizado em fábrica (tensão aplicada contra cofragens ou contra maciços de 
amarração). 
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 4 
 
Neste sistema de pré-esforço os cabos são rectos. 
1.2.2. Pré-esforço por pós-tensão 
 As armaduras são tensionadas depois do betão ter adquirido a resistência 
necessária; 
 A transferência de força é realizada quer nas extremidades, através de 
dispositivos mecânicos de fixação das armaduras (ancoragens), quer ao longo 
das armaduras. 
 
Nos sistemas de pós-tensão o cabo de pré-esforço pode ter uma geometria curva a qual 
é mais adequada para vigas contínuas. 
Nos sistemas de pós-tensão aderentes as bainhas dos cabos são injectadas com calda 
de cimento. 
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 5 
 
Bainha 
Fios ou cordões 
Calda de cimento 
Cabo de pré - esforço Secção A-A 
 
1.3. COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO 
1.3.1.Armaduras de pré-esforço 
As armaduras de pré-esforço são constituídas por aço de alta resistência, e podem ter as 
seguintes formas: 
 fios Diâmetros usuais: 3 mm, 4 mm, 5 mm e 6 mm 
 cordões (compostos por 7 fios) 
 
 
Designação 
Secção 
nominal 
[cm
2
] 
Diâmetro 
[mm] 
0.5” 0.987 12.7 
0.6”N 1.4 15.2 
0.6”S 1.5 15.7 
 varões 
 
Diâmetros usuais: 25 mm a 36 mm 
(podem ser lisos ou roscados) 
Os cordões são compostos por fios, sendo os mais correntes os cordões de 7 fios obtidos 
por 6 fios enrolados em torno de um fio central recto. 
Na figura seguinte apresentam-se diagramas tensão-deformação de fios, cordões e 
varões de pré-esforço e comparam-se com os diagramas de varões de aço corrente. 
Verifica-se que a resistência dos aços de pré-esforço é significativamente superior à dos 
aços correntes. Esta elevada resistência é conseguida à custa de um maior teor em 
carbono, de processos de tratamento térmico e, também, no caso dos fios, por um 
processo de trefilagem. 
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 6 
A composição do aço e o processo de fabrico dos fios de pré-esforço penalizam a sua 
capacidade de deformação constatando-se que a sua ductilidade é significativamente 
inferior à dos varões de aço laminados a quente. 
 
Uma vez que os aços de resistência mais elevada não apresentam patamar de cedência, 
a tensão de cedência é caracterizada pelo valor característico da tensão limite 
convencional de proporcionalidade a 0,1%, fp0,1k. 
 
7 
varão de pré-esforço  32 mm 
7 
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 7 
No quadro seguinte apresentam-se algumas características de aços de alta resistência 
correntemente utilizados em armaduras de pré-esforço: 
 
 fp0,1k [Mpa] fpk [Mpa] Ep [Gpa] 
fios e cordões 1670 1860 195  10 
varões 835 1030 170 
 
O diagrama idealizado e de cálculo para os aços de pré-esforço é o definido na figura 
seguinte. 
 
Os aços de pré-esforço devem garantir um valor mínimo da extensão à força máxima uk 
de 3,5%. 
A norma prEN 10138 define as propriedades e requisitos dos aços de pré-esforço. A 
designação dos aços de pré-esforço segundo esta norma é a seguinte: Y fpk 
Exemplo: Y 1860 – aço de pré-esforço com valor nominal da tensão de rotura à tracção 
igual a 1860 MPa 
Em Portugal os requisitos relativos às características das armaduras de pré-esforço são 
definidos nas Especificações LNEC: E452 (fios); E453 (cordões); E459 (varões). 
Cabo de pré-esforço: conjunto de cordões (agrupados no interior de uma bainha) 
Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos “standard” dos sistemas de 
pré-esforço (número de cordões que preenchem na totalidade uma ancoragem). 
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 8 
1.3.2. Ancoragens de pré-esforço 
 Activas 
 
 
Permitem o tensionamento 
 
 
 Passivas 
 
 
Ficam embebidas no betão 
 
 De continuidade 
(acoplamentos) 
 
Parte passiva, parte activa 
 
1.3.3. Bainhas de pré-esforço 
 Metálicas 
 Plásticas 
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 9 
 
1.3.4. Sistemas de Injecção 
 Materiais rígidos (ex: calda de cimento) 
 Materiais flexíveis (ex: graxas ou ceras) 
 cera 
bainha plástica cordão 
1.4. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO 
O pré-esforço é, por definição, uma deformação imposta. Deste modo, a sua aplicação 
em estruturas isostáticas não introduz esforços adicionais. 
Embora o pré-esforço não introduza esforços em estruturas isostáticas surgem tensões 
nas secções dos elementos: tensões no betão e nas armaduras e tensões no cabo de 
pré-esforço. Essas tensões são autoequilibradas e, portanto, têm resultante nula. 
O mesmo não se passa nas estruturas hiperestáticas, situação em que as deformações 
estão restringidas. Nestes casos surgem esforços associados ao pré-esforço resultantes 
das forças que se desenvolvem nos apoio e que restringem a livre deformação do 
elemento. 
Para ilustrar o efeito do pré-esforço considere-se a seguinte viga pré-esforçada: 
pp
 
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 10 
Apresentam-se em seguida os diagramas de extensões na secção transversal indicada 
(secção de vão onde o cabo de pré-esforço tem excentricidade máxima), para as 
seguintes situações: 
A – acção do pré-esforço isolado 
B – acção das cargas mobilizadas na aplicação do pré-esforço (peso próprio) 
C – situação após a aplicação do pré-esforço 
e
P0
+
-
A
P0
+
B
-
+
+ Mpp = -
C
+
P0
 
 
Como se verifica, o estado de deformação induzido pelo pré-esforço é contrário ao 
estado de deformação provocado pelo peso próprio. 
Partindo de uma situação em que a viga está apoiada numa cofragem, a aplicação do 
pré-esforço irá originar uma deformação para cima da viga (diagrama A). Nessa altura é 
mobilizado o peso próprio da viga (diagrama B). O diagrama de deformação final C 
resulta da sobreposição dos diagramas A e B. 
O estado de tensão numa viga pré-esforçada é caracterizado pelos diagramas da figura 
seguinte em que P é o pré-esforço aplicado e M é o momento das cargas exteriores. 
 
As tensões actuantes nas fibras inferior e superior são: 
inf = - 
 P 
 A 
 - 
 P  e 
winf
 + 
 M 
winf
 
sup = - 
 P 
 A 
 + 
 P  e 
wsup
 - 
 M 
wsup
 
(-) 
P 
M 
P / A 
+ 
(+) 
(-) 
P x e 
 
(-) 
(+) 
M 
 
+ 
e 
diagramas de tensões 
diagramas de extensões 
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 11 
1.4.1. Razão da utilização de aços de alta resistência para aplicação do pré-esforço 
Considere o tirante de betão pré-esforçado, cuja secção transversal se apresenta. 
0.50
0.50
 
Materiais:C25/30 ( = 2.5) 
A400NR 
A1600/1800 
Para os dois tipos de aço indicados e admitindo que se pretende aplicar uma força de 
pré-esforço P0’ = 3000 kN, calcule a área de aço necessária, bem como a força que ficará 
instalada a longo prazo, considerando o efeito da fluência do betão. 
1. Determinação da área de aço necessária 
P0' = 0.75 fpk As  As = 
 P0' 
 0.75 fpk 
 
 Armadura ordinária: As = 
 3000 
 0.75  400103 
 104 = 100 cm2 
 Armadura de alta resistência: As = 
 3000 
 0.75  1800103 
 104 = 22.2 cm2 
2. Cálculo da perda de tensão nas armaduras, por efeito da fluência do betão 
(i) Cálculo do encurtamento instantâneo do betão devida à aplicação do pré-esforço 
c(t0) = 
 P 
 Ac 
 = 
 3000 
 0.5  0.5 
 = 12000 kN/m2 = 12 MPa  c(t0) = 
 c 
 Ec 
 = 
 12 
 31103 
 = 0.39 ‰ 
(ii) Determinação do encurtamento devido à fluência 
c(t,t0) = cc(t,t0) =   c(t0) = 2.5  0.39 = 0.975 ‰ 
 (iii) Perda de tensão nas armaduras 
s = c(t,t0)  Es = 0.97510
-3  200106 = 195 MPa 
3. Cálculo da força de pré-esforço a longo prazo 
 Armadura ordinária: P = s  As = 19510
3  10010-4 = 1950 kN  P=1050 kN 
 Armadura de alta resistência:P = 195103  22.210-4 = 432.9 kN  P = 2567 kN 
 
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 12 
1.4.2. Comparação entre o comportamento em serviço e capacidade resistente de 
estruturas de betão armado e de betão pré-esforçado 
Considere o tirante de betão, cuja secção transversal está representada na figura, e os 
seguintes casos: 
Caso 1 – tirante de betão armado (armadura ordinária) 
Caso 2 – tirante de betão pré-esforçado(aço de alta resistência e P = 500 kN) 
Caso 3 – tirante de betão pré-esforçado (aço de alta resistência e P = 1000 kN) 
0.40
0.40
 
Materiais:C25/30 
A400NR 
A1600/1800 
Para um esforço normal de dimensionamento Nsd = 1395 kN, calcule a área de armadura 
necessária para verificar o estado limite último de tracção. Para cada solução calcule o 
esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr). 
 Caso 1 
(i) Determinação da área de armadura necessária 
As = 
 Nsd 
 fyd 
 = 
 1395 
 348103 
  10-4 = 40 cm2 
(ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr) 
Ncr = Ah  fctm = (Ac +  As) fctm = 


0.42 + 
 200 
 31 
  4010-4  2.6103 = 483.1 kN 
 Caso 2 
(i) Determinação da área de armadura necessária 
Ap = 
 Nsd 
 fpyd 
 = 
 1395 
 1600103 / 1.15 
  10-4 = 10 cm2 
(ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr) 
 Ncr 
 Ah 
 - 
 P 
 Ac 
 = fctm  Ncr = Ah  fctm + P  
 Ah 
 Ac 
 
Ncr = 


0.42 + 
 200 
 31 
  1010-4  2.6103 + 500  
0.42 + 
 200 
 31 
  1010-4 
 0.42 
 = 952.9 kN 
 Caso 3 
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 13 
(i) Determinação da área de armadura necessária 
Ap = 
 Nsd 
 fpyd 
 = 
 1395 
 1600103 / 1.15 
  10-4 = 10 cm2 
(ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr). 
Ncr = 


0.42 + 
 200 
 31 
  1010-4  2.6103 + 1000  
0.42 + 
 200 
 31 
  1010-4 
 0.42 
 = 1473.1 kN 
Conclusão: A capacidade resistente do tirante é igual nos três casos. No que se refere à 
fendilhação, verifica-se um melhor comportamento dos tirantes pré-esforçados 
relativamente ao tirante de betão armado, e em particular no caso 3 em que a força de 
pré-esforço é maior. 
Os aços de pré-esforço por apresentarem elevada resistência permitem também uma 
pormenorização de armaduras mais compacta o que pode influenciar a geometria dos 
elementos como ilustrado na figura seguinte. 
 
Vigas em betão pré-esforçado e em betão armado com igual resistência à flexão 
 
Nas figuras seguintes compara-se o comportamento de uma viga de betão armado e de 
uma viga de betão pré-esforçado sujeita à flexão com a mesma capacidade última. 
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 14 
 
Diagrama momento-curvatura 
 
Diagrama carga deslocamento 
 
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 15 
 
Tensões no betão e nas armaduras 
 
1.5. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO 
1.5.1. Pré-dimensionamento da secção 
A altura de uma viga pré-esforçada pode ser estimada a partir da relação h  
L
15 a 20
Refira-se que esta estimativa é da ordem de 1.5 a 2 vezes superior ao corrente para uma 
viga de betão armado, devido ao melhor controlo das deformações e facilidade de 
pormenorização de armaduras, como atrás já referido. 
1.5.2. Traçado do cabo 
A escolha do traçado dos cabos deve ser feita com base no diagrama de esforços das 
cargas permanentes. Em geral o cabo de pré-esforço deve estar situado na zona 
traccionada das secções ao longo da viga. 
1.5.3. Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço 
0.35L a 0.5L
L
0.05L a 0.15L
1.5 Øbainha
1.5 Øbainha
 
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 16 
 Traçados simples: troços rectos ou troços parabólicos (2º grau) 
 Aproveitar a excentricidade máxima nas zonas de maiores momentos (ver nota) 
 Sempre que possível, nas extremidades, os cabos deverão situar-se dentro do núcleo 
central da secção 
 O traçado do cabo (ou resultante dos cabos) deverá cruzar o centro de gravidade da 
secção numa secção próxima da de momentos nulos das cargas permanentes (mas 
só de uma forma qualitativa) 
 Devem respeitar-se as restrições de ordem prática da construção e os limites 
correspondentes às dimensões das ancoragens e resistência do betão, necessários 
para resistir às forças de ancoragem 
Notas: 
i) A excentricidade máxima dos cabos depende do recobrimento a adoptar para as 
bainhas dos cabos de pré-esforço, deve ter em consideração que em vigas, o 
recobrimento mínimo das bainhas é : cmin = min (bainha; 8 cm); 
ii) o ponto de inflexão do traçado está sobre a recta que une os pontos de 
excentricidade máxima; 
iii) O raio de curvatura dos cabos deve ser superior ao raio mínimo que, 
simplificadamente pode ser obtido pela expressão Rmin [m]= 3 Pu (onde Pu 
representa a força última em MN). 
1.5.4. Pré-dimensionamento da força de pré-esforço útil 
O valor da força útil de pré-esforço pode ser estimado através dos seguintes critérios: 
 Critério do balanceamento das cargas 
qeq  (0.8 a 0.9) qcqp 
ou, de uma forma mais rigorosa, 
 Critério da limitação da deformação 
pe = (0.8 a 0.9) cqp, tal que no final total = (1 + ) (cqp – pe)  admissível 
com admissível  
 L 
 500 
 a 
 L 
 1000 
 (dependente da utilização da obra) 
 Critério da limitação da fendilhação 
EC2 – parágrafo 7.3.1(5): Estados Limites de Fendilhação a considerar 
 
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 17 
Tabela 7.1N Valores recomendados para wmáx (mm) 
Classe de 
exposição 
Elementos de betão armado ou pré-
esforçado (p.e. não aderente) 
Elementos de betão pré-esforçado 
(p.e. aderente) 
 Comb. quase-permanente de acções Combinação frequente de acções 
X0, XC1 0.4 0.2 
XC2, XC3, XC4 
0.3 
0.2
(1)
 
XD1, XD2, 
XS1, XS2, XS3 
Descompressão 
(1)
 Deverá também verificar-se a descompressão para a combinação quase-permanente de acções 
 
A segurança em relação ao estado limite de descompressão considera-se satisfeita se, nas 
secções do elemento, a totalidade dos cabos de pré-esforço se situar no interior da zona 
comprimida e a uma distância de, pelo menos, 0.025 m ou 0.10 m relativamente à zona 
traccionada, para estruturas de edifícios ou pontes, respectivamente. 
Na prática, será preferível assegurar que nas secções do elemento não existem tracções 
ao nível da fibra extrema que ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por efeito 
dos esforços actuantes, com exclusão do pré-esforço. 
1.6. VALOR DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO. DEFINIÇÃO DOS CABOS 
1.6.1. Força máxima de tensionamento 
De acordo com o EC2, a força máxima a aplicar num cabo de pré-esforço é dada pela 
seguinte expressão 
Pmáx = Ap  p,máx 
onde, 
p,máx = min (0.8 fpk; 0.9 fp0,1k) e representa a tensão máxima a aplicar aos cordões 
na altura da aplicação do pré-esforço. 
Após a transmissão da força para a ancoragem as tensões admissíveis são as seguintes: 
p,máx = min (0.75 fpk; 0.85 fp0,1k) 
1.6.2. Perdas de pré-esforço 
 Perdas instantâneas (8% – 15%) 
Pós-tensão 
 Perdas por atrito 
 Perdas por reentrada de cabos 
 Perdas por deformação instantânea do betão 
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 18 
Pré-tensão 
 Relaxação da armadura até à betonagem 
 Escorregamento nas zonas de amarração 
 Deformação instantânea do betão 
 Perdas diferidas (12% – 15%) 
 Perdas por retracção do betão 
 Perdas por fluência do betão 
 Perdas por relaxação da armadura 
P0’ (força de tensionamento) 
8% – 15%
 P0 
12% – 15%
 P 
P0 – força de pré-esforço após perdas imediatas 
P – força de pré-esforço útil ou a tempo infinito 
1.6.3. Definição dos cabos 
Realizado o pré-dimensionamento da força útil de pré-esforço é possível estimar oscabos a adoptar assumindo valores correntes das perdas de pré-esforço. 
Este cálculo tem interesse, por exemplo, para aferir se as dimensões adoptadas para as 
secções são suficientes para conduzir a uma pormenorização adequada das armaduras de 
pré-esforço. 
Supondo que para um determinado traçado de cabo se assumia na secção condicionante 
para as perdas diferidas um valor de 14% e para as perdas imediatas um valor de 10%, o 
valor da força de tensionamento dos cabos seria o seguinte: 
P0 = 
 P 
 0.86 
 
P0’ = 
 P0 
 0.9 
 
Considerando que os cabos eram tensionados a 75% da força de rotura, a área de 
armadura de pré-esforço necessária e o número de cordões seria: 
P0' = 0.75 Fpk  Ap = 
P0' 
 0.75  1860  103
 
nº de cordões = 
Ap 
 Acordão
 
Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos standard dos sistemas de 
pré-esforço. 
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 19 
EXERCÍCIO PE1 
 
Considere a viga indicada na figura seguinte. 
e1 = 0.15 e2 = 0.38 e5e3 e4 = -0.22 e6 = -0.10
8.00 8.00 4.00 1.00 4.00
Parábola Parábola ParábolaParábola Recta
A B C D
 
Secção Transversal da Viga: 
1.50
0.20
0.50
0.20
0.30
0.80
0.53
0.37
 
 
Propriedades geométricas da secção: 
A = 0.61 m
2
 
I = 0.0524 m
4
 
 
Materiais:C30/37 
 A400NR 
 A1670/1860 (baixa relaxação) 
 
Considere que a viga se encontra submetida às seguintes acções: 
Q
q
pp + rcp
 
- Cargas permanentes (g = 1.35): pp = 15.25 kN/m; rcp = 14.75 kN/m 
- sobrecargas (q = 1.5; 1 = 0.6; 2 = 0.4): q = 20 kN/m e Q = 100 kN 
Nota: q e Q actuam em simultâneo 
 
a) Determine o diagrama de tensões na secção B para a combinação de acções quase 
permanentes e para uma força de pré-esforço de 1000 kN. 
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 20 
b) Qual o valor de P que seria necessário para garantir a descompressão para a 
combinação quase permanentes de acções, nas secções B e C? 
c) Qual o valor de P que seria necessário para garantir a condição c < fctk para 
combinação frequente de acções nas secções B e C? 
d) Determine as equações que definem o traçado do cabo representado na figura. 
e) Represente as cargas equivalentes do pré-esforço para uma força de pré-esforço de 
1000 kN. 
f) Qual o valor de P que seria necessário para contrariar 80% de deformação máxima 
para a combinação de acções quase-permanentes? 
g) Defina que tipo de cabo adopta e qual a força de puxe. Admita: P = 0.86 P0 e 
P0 = 0.90 P’0. Admita que os cabos são tensionados a 0.75 fpk. 
h) Calcule a área de armadura ordinária longitudinal de modo a garantir a segurança em 
relação ao estado limite último de flexão. 
i) Calcule a área de armadura transversal. 
j) Calcule o valor das perdas instantâneas (atrito, reentrada de cunhas e deformação 
instantânea do betão) e o alongamento previsto dos cabos. 
l) Calcule as perdas diferidas (fluência e retracção do betão, e relaxação das 
armaduras). 
m) Verifique a segurança na zona das ancoragens. 
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 21 
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 
 
ALÍNEA A) 
1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanentes 
pcqp = cp + 2 sc = 15.25 + 14.75 + 0.4  20 = 38 kN/m 
Qcpq = 2 Q = 0.4  100 = 40 kN 
pcqp
Qcqp
R1 R2
20.00 5.00
DEV
[kN]
DMF
[kNm] 8.00
(+)
1554.0
(-)
675.0
(+) (+)
(-)
346.3
413.8
230.0
40.0
 
 MC = 0  – R1  20 + 38  20  10 – 40  5 – 38  5  2.5 = 0  R1 = 346.3 kN 
 R2 = 38  (20 + 5) + 40 – 346.3 = 643.8 kN 
2. Cálculo das tensões na secção B 
(i) Características geométricas da secção B 
0.37
0.53
0.38
1.50
G
 
A = 0.61 m
2
 
I = 0.0524 m
2
 
winf = 
I
 vinf 
 = 
 0.0524 
0.53
 = 0.09886m
3
 
wsup = 
I
 vsup 
 = 
 0.0524 
0.37
 = 0.1416m
3 
 
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 22 
(ii) Diagramas de tensões na secção B devidas à cqp e ao pré-esforço 
(-)
P
M cqp
P / A
+
(+)
(-)
P x e

(-)
(+)
Mcqp 

+
 
inf = - 
 P 
 A 
 - 
 P  e 
winf
 + 
 Mcqp 
winf
 = - 
 1000 
 0.61
 - 
 1000  0.38 
0.09886
 + 
1554
 0.09886 
 = 10.2MPa 
sup = - 
 P 
 A 
 + 
 P  e 
wsup
 - 
 Mcqp 
wsup
 = - 
 1000 
0.61
 + 
 1000  0.38 
0.1416
 - 
 1554 
 0.1416 
 = - 9.9MPa 
 
ALÍNEA B) 
1. Secção B 
(+)
+

(-)

(-)
(+)
+
P / A
MB
P
(-)
MB P x e



 
inf < 0  - 
 P 
 A 
 - 
 P  e 
w
 + 
 MB 
w
 < 0  - 
 P 
 0.61 
 - 
 P  0.38 
0.09886
 + 
1554
 0.09886 
 < 0  
 P > 2866.8 kN 
2. Secção C MC (-) + +
(+)
P
(-)
MC 

P x e
P / A
(+)

(-)

 
sup < 0  - 
 P 
 A 
 - 
 P  e 
w
 + 
 MC 
w
 < 0  - 
 P 
 0.61 
 - 
 P  0.22 
0.1416
 + 
675
 0.1416 
 < 0  
 P > 1492.9 kN 
 P > 2866.8 kN 
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 23 
ALÍNEA C) 
 
1. Determinação dos esforços para a combinação de acções frequente 
pfr = cp + 1 sc = 15.25 + 14.75 + 0.6  20 = 42 kN/m 
Qfr = 1 Q = 0.6  100 = 60 kN 
pfr
20.00
DMF
[kNm] 8.00
1686.0
(+)
R1
825.0
(-)
5.00
R2
Qfr
 
 MB = 0  – R1  20 + 42  20  10 – 60  5 – 42  5  2.5 = 0  R1 = 378.8 kN 
 R2 = 42  (20 + 5) + 60 – 378.8 = 731.3 kN 
2. Secção B 
inf < fctk  - 
 P 
A
 - 
 P  e 
w
 + 
 MB 
w
 < fctk  - 
 P 
 0.61 
 - 
 P  0.38 
 0.09886 
 + 
 1686 
 0.09886 
 < 2  103  
 P > 2745.6 kN 
3. Secção C 
sup < fctk  - 
 P 
 A 
 - 
 P  e 
w
 + 
 MC 
w
 < fctk  - 
 P 
 0.61 
 - 
 P  0.22 
 0.1416 
 + 
 825 
 0.01416 
 < 2  103  
 P > 1198.3 kN 
 P > 2745.6 kN 
 
 
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 24 
1.7. CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS 
1.7.1. Equação da parábola 
Equação geral da parábola: y = ax2 + bx + c 
(para determinar os parâmetros a, b e c é necessário conhecer 3 pontos) 
x1 x3 x2
y1
y2
y3
 
Caso se utilize um referencial local: 
1) 
x
y
 
y = ax2 + c 
(y’ (0) = 0  b = 0) 
2) 
x
y
 
y = ax2 
(y’ (0) = 0  b = 0 e y (0) = 0  c = 0) 
Determinação do parâmetro a 
f
f

L/2L/2
 
tg  = 
 2f 
 L/2
 = 
 4f 
 L 
 
i) y’ (L/2) = 2a  L/2 = tg   a = 
 4f 
 L2 
 ou 
ii) y (L/2) = f  a  



 L 
 2 
2
 = f  a = 
 4f 
 L2 
 
Determinação da curvatura da parábola 
 1 
 R 
 = y" (x) = 2a = 
 8f 
 L2 
 
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 25 
1.7.2. Determinação do ponto de inflexão entre dois troços parabólicos 
e1 f1
L1 L2
e2f2
 
O ponto de inflexão do traçado encontra-se na linha que une os extremos. Deste modo, 
 f1 
 L1 
 = 
 e1 + e2 
 L1 + L2 
  f1 = 
L1
 L1 + L2 
 (e1 + e2) e f2 = (e2 + e1) – f1 
1.7.3. Determinação do ponto de concordância troço parabólico – troço recto 
L1
f
f
e

L2
 
tg  = 
 e - f 
L1
 = 
 e + f 
L2
  (e – f) L2 = (e + f) L1  e L2 – f L2 = e L1 + f L1  
 f L1 + f L2 = e L2 – e L1  f (L1 + L2) = e (L2 – L1)  f = 
 e (L2 - L1) 
L1 + L2
 
1.8. CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO 
A acção do pré-esforçopode ser simulada através de cargas – cargas equivalentes de 
pré-esforço. 
1.8.1. Acções exercidas sobre o cabo (situação em que se aplica a tensão nos 
cabos simultaneamente nas duas extremidades) 
 
 Forças nas ancoragens; 
 Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas, exercidas pelo betão. 
1.8.2. Acções exercidas sobre o betão 
 
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 26 
 Forças nas ancoragens; 
 Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas iguais e directamente 
opostas às que o betão exerce sobre o cabo. 
1.8.3. Determinação das cargas equivalentes 
1.8.3.1. Zona das ancoragens 
P P

P tg
P e

e
 
Nota: tg   sen  e cos   1 
1.8.3.2. Traçado parabólico 
Considere-se o seguinte troço infinitesimal de cabo de pré-esforço, e as acções que o 
betão exerce sobre este, 
R
P+dPP
d
q* ds
ds
d/2
 
 
 
ds = R d  
 d 
 ds 
 = 
 1 
 R 
 
P 
 d 
2
 + (P + dP) 
 d 
2
 = q* ds 
P d = q* ds  q* = P 
 d 
ds
 ou q* = 
 P 
 R 
 
 
Notas: 
 - ângulo muito pequeno  sen 
 d 
 2 
  
 d 
2
 



 tg 
 d 
2
 e cos 
 d 
2
  1; 
 - consideram-se desprezáveis as componentes horizontais das forças de desvio. 
Para um cabo com o traçado parabólico ilustrado, 
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 27 
f
f
L/2

L/2
 
tg  = 
 d 
 2 = 
 2 f 
 L/2 
 = 
 4 f 
L
  d = 
 8 f 
L
 (1) 
ds  L (2) 
A partir de (1) e (2), obtém-se 
 d 
 ds 
 = 
 8 f 
L2
  q* = 
 8 f P 
L2
 
 
1.8.3.3. Traçado poligonal 
L1
f

Q*
Q*
q*
s
 
tg  = 
 f 
 L1 
 
Q* = P tg  = P 
 f 
 L1 
 
 
q* = Q* / s 
 
Nas figuras seguintes apresentam-se as cargas e os esforços equivalentes para dois 
traçados de cabo diferentes. 
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 28 
 
Cabo com traçado parabólico 
Cabo com traçado rectilíneo 
 
O pré-esforço introduz no elemento um conjunto de esforços em cada secção designados 
por esforços isostáticos definidos da seguinte forma: 
Esforços 
equivalentes 
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 29 
 
 
 
 
 
 
N = - P 
M = - P e 
V = - P tg  
 
Ilustra-se seguidamente um exemplo interessante que mostra as potencialidades do pré-
esforço e o modo como o engenheiro pode explorar essas potencialidades para controlar 
o comportamento estrutural. 
No exemplo mostra-se uma forma de anular a flexão, esforço transverso e torção 
induzidos por uma carga exterior na extremidade de uma consola com as forças 
equivalentes ao pré-esforço. 
 
 
A resultante dos esforços é apenas o esforço axial com valor igual a 2P 
P.tg  = Q 
P 
P e 
P tg 
P  
G 
e 
x 
y 
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 30 
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONTINUAÇÃO) 
ALÍNEA D) 
8.008.00
Parábola 1
e2 = 0.38
Parábola 3
4.00
Parábola 2 RectaParábola 4
4.001.00
e4 = -0.22 e6 = -0.10e1 = 0.15
 
(i) Parábola 1 
8.00
0.23
x
y
 
y = ax2 
y(8) = 0.23  a  82 = 0.23 
 a = 3.59375  10-3 
y(x) = 3.59375  10-3 x2 
 (ii) Parábola 2 
1. Determinação das coordenadas do ponto de inflexão 
12.00
0.6
8.00
x
 
 12 
 8 
 = 
 0.6 
x
  x = 0.4 
2. Determinação da equação da parábola 
8.00
x
y
0.4
 
y = ax2 
y (8) = 0.4  a = 6.25  10-3 
y (x) = 6.25  10-3 x2 
 (iii) Parábola 3 
x
y
4.00
0.2
 
y = ax2 
y (4) = 0.2  a = 0.0125 
y (x) = 0.0125 x2 
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 31 
(iv) Parábola 4 e troço recto 
x
yx
y 1.00 4.00
0.12
 
1. Determinação das coordenadas do ponto de concordância 
f
f
1.0

 
y’ (1) = tg  = 2 f 
tg  = 
 0.12 + f 
5
 
 2 f = 
 0.12 + f 
5
  10 f = 0.12 + f  f = 0.01333 m 
2. Determinação das equações da parábola e do troço recto 
Parábola 4: y (1) = 0.01333  y (x) = 0.01333 x2 
Troço recto: y = mx + b = 2  0.01333 x  y (x) = 0.02667 x 
ALÍNEA E) 
1. Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas (considerando P = 1000 
kN) 
q = 
 8 f P 
L2
 
Parábola f (m) L (m) q (kN/m) 
1 0.23 16 7.2 
2 0.4 16 12.5 
3 0.2 8.0 25.0 
4 0.0133 2.0 26.6 
2. Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo 
Extremidade Esquerda 
tg  = y’ (8) = 2  3.59375  10-3  8 = 0.0575 
P  tg  = 57.5 kN 
P  e = 1000  0.15 = 150.0 kNm 
Extremidade Direita 
tg  = y’ (1) = 0.02667 
P  tg  = 26.7 kN 
P  e = 1000  0.10 = 100.0 kNm 
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 32 
1.008.00
26.6 kN/m
8.00
25.0 kN/m
12.5 kN/m7.2 kN/m
4.00 4.00
57.5 kN
1000 kN
150.0 kNm
1000 kN
26.7 kN
100.0 kNm
 
Repare-se que o somatório das cargas verticais é nulo 
 Feq = - 57.5 + 7.2  8 + 12.5  8 - 25.0  4 - 26.6  1 + 26.7  0 
ALÍNEA F) 
1. Determinação da flecha elástica na viga para a combinação de acções quase-
permanentes 
Através de tabelas de flechas elásticas de vigas contínuas, a deformação a meio vão do 
tramo apoiado é dada por: 
 = 
 1 
 EI 
 



 5pL
4 
 384 
 + 
 L2 
 16 
 ( )M1 + M2 
onde M1 e M2 representam os momentos flectores nas extremidades do tramo e entram 
na expressão com o sinal de acordo com a convenção da resistência de materiais. 
Deste modo, 
 = 
 1 
 33106  0.0524 
 



 5  38  20
4 
 384 
 + 
 202 
 16 
 ( )0 - 675.0 = 0.036 m 
2. Determinação da flecha elástica na viga para o efeito do pré-esforço 
A flecha elástica para o efeito de pré-esforço pode ser obtida considerando a actuação 
das cargas equivalentes ao pré-esforço na viga. Deste modo, para P = 1000 kN (cargas 
equivalentes calculadas na alínea anterior), obteve-se a seguinte deformada: 
 = 0.010 m
 
3. Determinação da força útil de pré-esforço necessária para contrariar 80% da 
deformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes 
pe = 0.8 cqp = 0.8  0.036 = 0.029 m 
 P = 1000  0.029/0.010 = 2900 kN 
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 33 
1.9. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS 
1.9.1. Estado limite último de flexão 
1.9.1.1. Pré-esforço do lado da resistência 
Pelo método do diagrama rectangular simplificado, 
Msd = g Mg + q Mq 
x
Msd
LN
Ap
As
Fp
Fs
0.8x
0.85fcd
Fc
b
 
 
Fc = 0.85 fcd  0.8 x  b 
Fp = Ap  fpd = Ap  
 fp0,1k 
 1.15 
 
Fs = As  fyd 
Através das equações de equilíbrio, 
(i) Equilíbrio de momentos ( MAs = Msd  x = ...) 
Forças exteriores: Msd 
Forças interiores:  MAs = Fc (ds – 0.4x) - Fp (ds - dp) 
(ii) Equilíbrio de forças ( F = 0  Fc = Fp + Fs  As = ...) 
Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) fpd = p = 
 P 
 Ap 
 
1.9.1.2. Pré-esforço do lado da acção 
Pelo método do diagrama rectangular simplificado, 
Msd = g Mg + q Mq + Mpe 
b
Fc
0.85fcd
0.8x
Fs
Fp
As
Ap
LN
Msd
x
e
P
 
 
Fc = 0.85 fcd  0.8 x  b 
Fp = Ap  (fpd - p) = Ap  



fpd - 
 P 
 Ap 
 
Fs = As  fyd 
 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO – Ano lectivo 2013/2014 Estruturas deBetão II 
 
 34 
Através das equações de equilíbrio, 
(i) Equilíbrio de momentos (MAs) 
Forças exteriores:  MAs = Msd + P  (ds - h/2) 
Forças interiores:  MAs = Fc (ds - 0.4x) - Fp (ds - dp) 
Msd + P  (ds - h/2) = Fc (ds - 0.4x) - Fp (ds - dp) x = ... 
(ii) Equilíbrio de forças ( F = P  Fc = Fp + Fs + P  As = ...) 
Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) (fpd - p) = 0  Fp = 0 
Determinada a posição da linha neutra (x), é necessário definir o diagrama de extensões 
na rotura e verificar se as tensões nas armaduras ordinárias e de pré-esforço são as de 
cálculo. 
Msd
Fp
Fs
0.8x
0.85fcd
Fc
As
Ap
LN
b
x
c
s
p0p
 
p = p + p0, com p0 = 
 P 
 Ap  Ep 
 
Se algum cabo não atingir a tensão de cálculo fpd, será necessário adoptar um método 
iterativo (método geral) 
As
Ap
LN
b
x
p (p0 + p)
M
c
s
p0p
c (c)
s (s)
N
 
Por exemplo, determina-se x tal que N  0. Então M = MRd. 
 
 
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 35 
1.9.2. Estado limite último de esforço transverso 
O efeito do pré-esforço na resistência ao esforço transverso da viga é traduzido pela 
componente vertical da força do cabo conforme esquematizado na figura seguinte. 
 
Em geral, considera-se o pré-esforço do lado da acção. A verificação da segurança é 
realizada de acordo com o seguinte formato. 
VRd  VSd - P tg  
(i) Cálculo da armadura transversal: 
 Asw 
s
 = 
VSd - P tg  
 z  cotg   fyd 
 
(ii) Verificação da tensão de compressão: c = 
 Vsd - P tg  
 z  bw  sen  cos 
  0.6 



1 - 
 fck 
 250 
 fcd 
(iii) Consideração do efeito do esforço transverso nas armaduras longitudinais (no apoio 
As fyd  (Vsd - P tg ) cotg 1) 
Notas: 
 Para elementos comprimidos (caso de elementos pré-esforçados)   22 a 26; 
 Caso o somatório do diâmetro das bainhas de pré-esforço existentes num 
determinado nível seja superior a 1/8 da largura da secção a esse nível, deve 
considerar-se a largura a esse nível reduzida de metade da soma dos diâmetros 
das bainhas. 
Bainhas metálicas injectadas: 
 bw,nom = bw – 0.5 Ø 
Bainhas não injectadas, bainhas plásticas injectadas e armaduras não aderentes: 
 bw,nom = bw – 1.2 Ø 
Estes requisitos resultam do efeito do cabo na redução da resistência à compressão da 
alma. A figura seguinte ilustra o esmagamento da alma de uma viga ao longo do cabo de 
pré-esforço por acção do esforço transverso. 
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 36 
 
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 37 
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.) 
ALÍNEA G) 
P = 2866.8 kN (valor resultante da verificação da descompressão) 
P0 = 
 P 
 0.86 
 = 
 2866.8 
 0.86 
 = 3333.5 kN 
P0’ = 
 P0 
 0.9 
 = 
 3333.5 
 0.9 
 = 3703.9 kN 
P0' = 0.75 Fpk  Ap = 
P0' 
 0.75  1860  103
  104 = 26.6 cm2 
nº de cordões = 
Ap 
 Acordão
 = 
 26.6 
 1.4 
 = 19 cordões  2 cabos de 10 cordões de 0.6" 
P0’ = 10  2  1.4  10
-4  1860  103  0.75 = 3906 kN 
ALÍNEA H) 
psd = 1.35  (15.25 + 14.75) + 1.5  20 = 70.5 kN/m 
Qsd = 100  1.5 = 150 kN 
20.00
R1
5.00
R2
150
70.5
CA
 
 MC = 0  - R1  20 + 70.5  25  7.5 – 150  5 = 0  R1 = 623.4 kN 
 MB = 2731.5 kNm 
 Secção B 
1. Cálculo da armadura de flexão pelo método do diagrama rectangular 
Hipótese: LN no banzo da secção 
Fs
Fp
Fc
0.85fcd
0.8x
Msd
1.50
LN
 
Fp = Ap  
 fp0,1k 
 1.15 
 = 28  10-4  
 1670 
 1.15 
  103 = 4066.1 kN 
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 38 
Fs = As  fyd = As  348  10
3 
Fc = 1.5  0.8x  0.85  20  10
3 = 20400x 
(i) Equilíbrio de momentos ( MAs = Msd) 
Fc  (0.85 - 0.4x) - Fp  0.10 = Msd  20400x  (0.85 - 0.4x) = 2731.5 + 4066.1  0.10  
x = 0.20 m 
Fc = 20400  0.20 = 4080 kN 
(ii) Equilíbrio de forças ( F = 0) 
Fc – Fp – Fs = 0  4080 – 4066.1 – As  348  10
3 = 0  As = 0.4 cm
2 
 (iii) Verificação da hipótese de cedência das armaduras 
LN
p p0
s
c
0.20
 
Hipótese: c = 3.5‰ 
 Determinação da extensão ao nível das armaduras ordinárias 
 s 
 0.85 - 0.20 
 = 
 3.5‰ 
 0.20 
  s = 11.4‰ 
 Determinação da extensão ao nível das armaduras de pré-esforço 
 p 
 0.75 - 0.20 
 = 
 3.5‰ 
 0.20 
  p = 9.6‰ 
p0 = 
 P 
 Ap Ep 
 = 
 3050 
 2810-4  195106 
 = 5.6‰ 
p = p0 + p = 15.2‰ > pyd = 
 fpyd 
 Ep 
 = 
 1670 / 1.15 
 195103 
 = 7.4‰ 
2. Cálculo da armadura pelas tabelas de flexão simples (método aproximado) 
Hipótese: deq  dp = 0.75 m 
 = 
 Msd 
 b d2 fcd 
 = 
 2731.5 
 1.5  0.752  20  103 
 = 0.162   = 0.181 ; As,tot = 117.3 cm
2 
As = As,tot – Asp, eq = 117.3 - 28  
 1670 
 400 
 = 0.4 cm2 
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 39 
deq  
 0.75  20  1.4  1670 + 0.4  0.85  400 
 20  1.4  1670 + 0.4  400 
 = 0.75 m 
ALÍNEA I) 
20.00
DEV
[kN]
623.4
(+)
623.4
(-)
786.6
5.00
502.5
(+)
1289.1
150
150
70.5
DEVp
 [kN]
164.8
286.4
76.5 76.5
(-)
(+)
(-)
786.6
502.5DEVtotal 
[kN]
(+)
458.6
(-)
73.5
(+)
355.5
 
Notas: 
- O diagrama de esforço transverso devido ao pré-esforço foi obtido considerando 
P = 2866.8 kN; 
- Para a verificação da segurança ao esforço transverso utiliza-se DEVtotal 
 Apoio A 
 = 25  z cotg  = 0.9  0.85  cotg 25 = 1.64m 
Vsd (z cotg ) = 458.6 – 49.9  1.64 = 376.8 kN 
Considerando dois cabos de 10 cordões cujas bainhas têm 80 mm de diâmetro cada, 
bainha  
 balma 
 8 
 = 
 0.30 
 8 
 = 0.038 m  bw =0.30 - 0.08 / 2 = 0.26 m 
 
1. Cálculo da armadura transversal 
 Asw 
s
 = 
 Vsd 
 z  cotg  fyd 
 = 
 376.8 
 1.64  348  103 
  104 = 6.6 cm2/m 
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 40 
2. Verificação da tensão de compressão nas bielas inclinadas 
c = 
 Vsd 
 z  bw  sen  cos 
 = 
 376.8 
 0.90.850.26sen 25cos 25
 = 4946 kN/m2  4.9 MPa 
0.6 



1 - 
 fck 
 250 
 fcd = 0.6 


1 - 
 30 
 250 
  20  103 = 10560 kN/m2 = 10.6MPa 
3. Cálculo da armadura longitudinal no apoio de extremidade 
As fyd = V cotg 1  As = 
 Vsd  cotg 1 
 fyd 
 = 
 458.6  cotg 37 
 348  103 
  104 = 17.6 cm2 
cotg 1 = 
b
2
 + 
z
2
 cotg 
z
 = 0.5 
b
z
 + 0.5 cotg  
b = 0.4  cotg 1 = 0.5 x 0.4/(0.9x0.85) + 0.5 x 2 =1.333 (1 = 37º) 
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 41 
1.10. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO 
1.10.1. Perdas por Atrito 
d/2
P
q* ds
d
P+dP
q* ds = P d
ds
 
 
 
 
 
 
 
(Fa = N) 
q* ds = P d 
Por equilíbrio de forças horizontais, 
P - P - dP –  P d = 0  dP = –  P d  
 dP 
 P 
 = –  d  
 


P0'
P0
 
 1 
 P 
 dP = 
0

 -  d  Log P0 - Log P0' = -     Log 
 P0 
 P0' 
 = –   
 
 P0 
 P0'
 = e-  P0 = P0’  e
- 
Para uma secção genérica à distância x da extremidade de tensionamento, 
P0 (x) = P0’ e
-(+kx) 
onde, 
 representa o coeficiente de atrito (usualmente toma valores entre 0.18 e 0.20); 
 representa a soma dos ângulos de desvio; 
k representa o desvio angular parasita (valor máximo0.01 m-1; geralmente 0.004 a 
0.005m-1), que tem em consideração eventuais desvios no posicionamento dos 
cabos de pré-esforço. 
Esta expressão também pode aparecer com a forma, 
P0 (x) = P0’ e
-( + k’x) (neste caso k’ = k e representa o coeficiente de atrito em recta) 
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 42 
1.10.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos) 
P
P0'
P0(x)
x
P

L
 
L – comprimento de reentrada das cunhas ( 6mm) 
 – comprimento até onde se faz sentir as perdas por reentrada das cunhas 
Admitindo que o diagrama de perdas por atrito é aproximadamente linear (cabo com 
curvatura aproximadamente constante), 
L = 
0
  dx = 


0

 
  
 Ep 
 dx = 
1
 Ep  Ap 
 
0
 P dx  Adiagrama = L  Ep  Ap 
 
 P  
 2
 = L  Ep  Ap 
 (1) 
Como 
 P 
 2
 = p    P = 2 p  
 (2) 
onde p representa a perda de pré-esforço por atrito, por metro (declive do diagrama) 
Substituindo (2) em (1) obtém-se, 
 2 p   
 2
 = L  Ep  Ap   = 
 L  Ep  Ap 
 p
 
1.10.2.1. Casos particulares 
(i) Cabo sem perdas por atrito, (em pré-esforço exterior, p.ex.) 
x
P
P0'
P
L  Ep  Ap
L 
 
P  L = L  Ep  Ap  
 P = 
 L  Ep  Ap 
L
 
L – comprimento do cabo 
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 43 
(ii) Se  > L (verifica-se em cabos muito curtos, sendo nesse caso a perda de pré-esforço 
mais condicionante) 
P
P0'
P
L x
p  L
L  Ep  Ap
 
 
PL–pLL=LEpAp  
 P = 
L 
 L 
  Ep Ap + pL 
L – comprimento do cabo 
1.10.3. Perdas por deformação instantânea do betão 
A perda de força de pré-esforço média por deformação instantânea (ou elástica) do 
betão, em cada cabo, pode ser calculada através da seguinte expressão: 
Pel = Ap  Ep    
 j  c(t) 
 Ecm(t) 
 
onde, 
Ecm(t) representa o módulo de elasticidade do betão à data da aplicação do pré-
esforço; 
j = (n-1) / 2n , onde n representa o nº de cabos de pré-esforço idênticos, 
tensionados sucessivamente, existentes na mesma secção transversal; 
c(t) representa a variação de tensão no betão, ao nível do centro de gravidade 
dos cabos de pré-esforço, devida ao efeito do pré-esforço (após perdas por atrito e 
reentrada das cunhas) e de outras acções permanentes actuantes. 
1.10.4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço 
L = 
0
 L dz = 


0
 L
 
P
 Ap Ep 
 dz = 
1
 Ap Ep 
 
0
 L P dz 
Papós atrito 
[kN]
P0'
L x [m]
Papós at. (L)
 
L  
 P0' + Papós atrito (L) 
 2 Ap Ep
 L 
Este valor permite um controlo eficaz, em obra, da tensão instalada nos cabos. 
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 44 
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.) 
 
ALÍNEA J) 
1. Cálculo das perdas por atrito 
P0 (x) = P0’ e
- ( + kx) (Adopta-se  = 0.20 e k = 0.004/m) 
4.008.00
e1 = 0.15
8.00
e2 = 0.38 e4 = -0.22
4.00 1.00
e6 = -0.10
21 3 4 5 6
Parábola 1 Parábola 2 Parábola 3 Par. 4 Recta
e3 = -0.02 e5 = -0.21
 
Cálculo dos ângulos de desvio 
(i) Parábola 1 
y’(8) = 2  3.59375  10-3  8 = 0.0575 
(ii) Parábola 2 
y’(8) = 6.25  10-3  2  8 = 0.1 
(iii) Parábola 3 
y’(4) = 2  0.0125  4 = 0.1 
 (iv) Parábola 4 
y’(1) = 2  0.01333 = 0.02666 
 
Secção 
x 
(m) 

(rad) 
Papós atrito 
(kN) 
% perdas 
1 0 0 3906.0 0 
2 8 0.0575 3836.7 1.8 
3 16 0.1575 3736.7 4.3 
4 20 0.2575 3651.0 6.5 
5 21 0.2842 3628.7 7.1 
6 25 0.2842 3617.1 7.4 
 
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 45 
2. Cálculo das perdas por reentrada das cunhas 
(i) Determinação do comprimento de reentrada das cunhas () 
1ª Iteração 
3000
3200
3400
3600
3800
4000
0 5 10 15 20 25 
Força de pré-esforço ao longo do cabo, após perdas por atrito 
x = 8.0m  p = 
 3906 - 3836.7 
 8 
 = 8.66 kN/m 
 = 
L  Ep  Ap 
 p 
 = 
 0.006  195  106  20  1.4  10-4 
 8.66 
 = 19.4 m 
2ª Iteração 
3000
3200
3400
3600
3800
4000
0 5 10 15 20 25 
x = 20.0m  p = 
 3906 - 3651 
 20 
 = 12.75 kN/m (admitindo que a perda por atrito é 
aproximadamente linear) 
 = 
 0.006  195  106  20  1.4  10-4 
12.75
 = 16.03 m 
(ii) Determinação das perdas por reentrada das cunhas 
P = 2p = 2  12.75  16.03 = 408.8 kN 
408.8
0 8 16.0316
204.8
0.8
 
 408.8 
x
 = 
 16.03 
8.03
  x = 204.8 kN 
 408.8 
 x 
 = 
 16.03 
 0.03 
  x = 0.8 kN 
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 46 
Secção 
x 
(m) 
Papós atrito 
(kN) 
Preentrada 
(kN) 
Papós reentrada 
(kN) 
% perdas 
1 0 3906.0 408.8 3497.2 10.5 
2 8 3836.7 204.8 3631.9 7.0 
3 16 3736.7 0.8 3735.9 4.4 
4 20 3651.0 0 3651.0 6.5 
5 21 3628.7 0 3628.7 7.1 
6 25 3617.1 0 3617.1 7.4 
 
3. Cálculo das perdas por deformação instantânea do betão 
Admitindo que o pré-esforço é aplicado aos 28 dias, 
Ecm(t = 28) = 33 GPa ; Ep = 195 GPa 
Pel = Ap  Ep    
 j  c(t) 
 Ecm(t) 
 = Ap  Ep  
 n - 1 
 2n 
  
 c(t) 
 Ecm(t) 
 
 Secção 2 
8.00
143.0
Mpp
15.25
 
 
Mpp = 656 kNm 
Mpe = P  e = 3631.9  0.38 = 1380.1 kNm 
+
P / A
(-)+
I
Mpp v
(+)
(-)
(-)
(+)
Mpe v
I
 
c = 
 Mpp  v 
I
 - 
 P 
 A 
 - 
 Mpe  v 
I
 = 
 656  0.38 
0.0524
 - 
 3631.9 
0.61
 - 
 1380.1  0.38 
0.0524
 = - 11.2 MPa 
Pel = 20  1.410
-4  195106  
 2 - 1 
 2  2 
  
 11.2 
 33103 
 =46.3 kN 
P0 (secção 2) = 3631.9 – 46.3 = 3585.6 kN  % perdas  8.2% 
4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos 
L = 
1
 Ap Ep 
 0
L
 P dx  
 1 
 28  10-4  195  106 
  
 3906 + 3617.1 
2
  25 = 0.172m 
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 47 
1.10.5. Perdas por retracção do betão 
 = Ep  cs  
P 
 Ap 
 = Ep  cs  P = – Ep  Ap  cs 
cs – extensão de retracção do betão ( 3.0  10
-4) 
1.10.6. Perdas por fluência do betão 
c = 
 c  c 
Ecm
 
 = Ep  c  
P 
 Ap 
 = 
 Ep  c c 
 Ecm
  P = – 
 Ap  Ep  c  c 
 Ecm
 
c – tensão ao nível do cabo de pré-esforço, devido às cargas permanentes e ao efeito 
do pré-esforço (considerando a força de pré-esforço após perdas imediatas). 
1.10.7. Perdas por relaxação da armadura 
Em armaduras de alta resistência, as perdas a longo prazo devidas à relaxação são da 
ordem de: 
 Aços de relaxação normal P < 15% 
 Aços de baixa relaxação P < 6% 
 Aços de muito baixa relaxação P = 2 a 4% 
Segundo o EC2 e para efeitos da caracterização da relaxação, as armaduras de alta 
resistência agrupam-se em três classes: 
 Classe 1: aço em fio ou cordão, com relaxação normal (1000 = 8%) 
 Classe 2: aço em fio ou cordão, com baixa relaxação (1000 = 2.5%) 
 Classe 3: aço em barra (1000 = 4%) 
O parâmetro 1000 representa a perda por relaxação às 1000 horas, de um provete 
tensionado a 70% da rotura e mantido a uma temperatura constante de 20C. 
A perda de tensão por relaxação pode ser calculada através das seguintes expressões, 
consoante a classe da armadura: 
(i) Classe 1: pr = 0.8  5.39 1000 e
6.7 



t
1000
 
0.75 (1-)
 pi  10
-5 
(ii) Classe 2: pr = 0.8  0.66 1000 e
9.1 



t
1000
 
0.75 (1-)pi  10
-5 
(iii) Classe 3: pr = 0.8  1.98 1000 e
8 



t
1000
 
0.75 (1-)
 pi  10
-5 
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 48 
onde, 
pi representa a tensão instalada nas armaduras de pré-esforço após perdas 
imediatas; 
t representa o tempo, em horas, para o qual se pretende calcular as perdas de pré-
esforço por relaxação (poderá considerar-se t = 500000 horas  57 anos); 
 = pi / fpk 
 
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 49 
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PE1 (CONT.) 
ALÍNEA L) 
1. Perdas por retracção do betão 
Considerando cs = - 3.0  10
-4, 
P = Ep  Ap  cs = 195  10
6  28  10-4  3.0  10-4 = 163.8 kN 
2. Perdas por fluência do betão 
 Secção 2 
Considerando c = 2.5 
P = 
 Ap  Ep  c  c 
Ecm
 = 
 28  10-4  195  106  6.4  103  2.5 
33  106
 = 264.7 kN 
Cálculo de c 8.00
281.3
15.25+14.75=30
Mcp
 
 
Mcp = 1290 kNm 
Mpe = 3585.6  0.38 = 1362.5 kNm 
c = 
 Mcp  v 
I
 - 
 P 
A
 - 
 Mpe  v 
I
 = 
 1290 0.38 
0.0524
 - 
 3585.6 
0.61
 - 
 1362.5  0.38 
0.0524
 = - 6.40 MPa 
3. Perdas por relaxação das armaduras 
 Secção 2 
Para aço em fio ou cordão com baixa relaxação, 1000 = 2.5%. 
pr = 0.8  0.66 1000 e
9.1 



t
1000
 
0.75 (1-)
 pi  10
-5 = 
 = 0.8  0.66  2.5  e9.1  0.69  



 500000 
1000
 
0.75 (1-0.69)
  1280.6  10-5 = 38.2MPa 
pi = 
 3585.6 
 28  10-4
 = 1280.6MPa 
 = 
 pi 
 fpk 
 = 
 1280.6 
1860
 = 0.69 
 Ppr = 38.2  10
3  28  10-4 = 107.0 kN 
Pp,r+s+c = 163.8 + 264.7 + 107.0 = 535.5 kN  P
secção 2 = 3585.6 - 535.5 = 3050 kN 
% perdas diferidas  14.9% 
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 50 
1.11. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS 
Nas zonas de vizinhança da actuação de cargas concentradas não são válidas as 
hipóteses da resistência de materiais para peças lineares: a força concentrada é 
transmitida ao betão sob a forma de tensões elevadas distribuídas na superfície da placa 
de distribuição da carga, existindo uma zona de regularização entre a secção de 
aplicação da carga e aquela em que as tensões se distribuem linearmente. Nesta zona, 
devido à trajectória das tensões principais de compressão, surgem forças de tracção nas 
direcções transversais. 
 
Trajectórias das tensões 
 Tracção 
 Compressão 
Deste modo, a verificação da segurança nas zonas das ancoragens consiste em limitar 
as tensões de compressão localizadas no betão e dimensionar armaduras para absorção 
das forças de tracção que surgem devido à acção da carga concentrada. 
1.11.1. Verificação da segurança ao esmagamento do betão 
Imediatamente sob a zona de aplicação da carga concentrada surgem tensões de 
compressão na direcção transversal. Este facto permite aumentar o valor das tensões 
admissíveis a considerar na verificação da pressão local no betão, desde que o mesmo 
esteja correctamente confinado. 
De acordo com o EC2 (parágrafo 6.7), o valor resistente da força concentrada, aplicada 
com uma distribuição uniforme numa determinada área Ac0, pode ser determinado 
através da expressão: 
FRdu = Ac0  fcd 
 Ac1 
 Ac0 
  3.0 fcd  Ac0 
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 51 
 
onde, 
Ac0 representa a área sobre a qual se exerce directamente a força (área da placa de 
ancoragem); 
Ac1 representa a maior área homotética a Ac0, contida no contorno da peça, com o 
mesmo centro de gravidade de Ac0 e cuja dimensão dos lados não pode exceder em 
três vezes a dimensão dos lados correspondentes de Ac0. No caso da existência de 
várias forças concentradas, as áreas correspondentes às várias forças não se 
devem sobrepor. 
Dado que, em geral, a aplicação do pré-esforço é efectuada antes do betão atingir a 
idade de 28 dias, o valor de fcd deve ser substituído por fck,j / c, representando fck,j o valor 
característico da tensão de rotura à compressão aos j dias. 
1.11.2. Determinação das Armaduras de Reforço na Zona das Ancoragens 
De acordo com o parágrafo 8.10.3 do EC2, a avaliação das forças de tracção que surgem 
devido à aplicação de forças concentradas deve ser efectuada recorrendo a modelos de 
escoras e tirantes. 
A armadura necessária deverá ser dimensionada considerando uma tensão máxima de 
300 MPa. Esta medida destina-se a garantir o controlo da fendilhação, e tem em conta a 
dificuldade de garantir uma boa amarração. 
1.11.2.1. Modelos de escoras e tirantes 
Os modelos de escoras e tirantes (“strut-and-tie models”) identificam os campos de 
tensões principais que equilibram as acções exteriores, correspondendo as escoras aos 
campos de tensões de compressão e os tirantes aos de tracção. 
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 52 
Estes modelos aplicam-se na análise e dimensionamento de zonas de descontinuidade, 
como é o caso das zonas de ancoragem de cabos pós-tensionados (zonas de aplicação 
de cargas localizadas). 
Para a sua elaboração torna-se necessário conhecer o comportamento elástico da zona 
estrutural em análise, por forma a escolher o sistema que corresponde à menor energia 
de deformação, ou seja, o sistema onde existem mais escoras que tirantes, sendo assim 
necessária menor quantidade de armadura. Há também que entrar em linha de conta 
com o facto de que, por as armaduras resistirem aos esforços de tracção e, 
consequentemente a sua orientação corresponder à dos tirantes, esta deverá ser a mais 
conveniente do ponto de vista construtivo. 
 
Trajectórias das tensões 
 Tracção 
 Compressão 
Modelo 
 Tirantes 
 Escoras 
 
 
 
1.11.2.2. Caso de uma só ancoragem 
Através do modelo de escoras e tirantes que se apresenta em seguida, é possível obter o 
valor da força de tracção. 
P/2
P/2
P/2
P/2
 
De acordo com o Eurocódigo 2, a força de tracção para a qual as armaduras devem ser 
dimensionadas, é dada pela expressão: 
Ft1sd = 0.25 Fsd 


1 - 
 a0 
 a1 
 (com Fsd = 1.35 P0’) 
onde, 
a1 = 2b, sendo b a dimensão, segundo a direcção considerada, da menor distância 
entre o eixo da ancoragem e a face exterior do betão; 
a0 representa a dimensão segundo a direcção considerada, da placa da ancoragem. 
a0 
a1 
Trajectórias das tensões 
 Tracção 
 Compressão 
Modelo 
 Tirantes 
 Escoras 
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 53 
1.11.2.3. Disposição das armaduras 
As armaduras devem, em cada direcção, ficar contidas num prisma de aresta a1 e ser 
repartidas em profundidade entre as cotas 0.1a1 e a1, tendo em consideração que a 
resultante se situa à cota 0.4a1 e devem ser convenientemente amarradas de forma a 
garantir o seu funcionamento eficiente ao longo do comprimento a1. 
F
0.1a1
a1
a0
a1
b
 
A cada nível, as armaduras devem distribuir-se numa largura igual à dimensão 
correspondente da maior área delimitada por um contorno fictício contido no contorno da 
peça, com o mesmo centro de gravidade da placa da ancoragem, na direcção normal à 
direcção considerada. 
No caso da ancoragem se encontrar fora do núcleo central da secção (ancoragem 
excêntrica), além das armaduras já indicadas, deve dispor-se uma armadura junto à 
superfície do elemento, destinada