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Construções Geométricas - AP1 - 2017.1 - Cederj - Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas – 2017/1
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis.
Po´lo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • Se a questa˜o apresenta figura, a soluc¸a˜o da questa˜o deve
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- ser feita utilizando a figura fornecida, no espac¸o para
ponsa´vel; ela reservado.
Questa˜o 1 [2,0 pt]Construa o triaˆngulo ABC sabendo que AD e´ bissetriz do aˆngulo Aˆ, com
D ∈ BC, Aˆ = 60◦ e Bˆ = 45◦.
Soluc¸a˜o Construa os aˆngulos de 30◦ utilizando AD como lado do aˆngulo (para os dois lados do
segmento). Sobre um ponto qualquer de um dos lados dos aˆngulos constru´ıdos, trace uma trace
um aˆngulo de 45◦. Pelo ponto D trace uma paralela ao lado do aˆngulo de 45◦, que interceptara´
os lados dos aˆngulos de 30◦ nos pontos B e C. O triaˆngulo ABC e´ a soluc¸a˜o do problema.
Questa˜o 2 [2,0 pt]Construa o pol´ıgono estrelado inscrito na circunfereˆncia de raio 4 cm, de
15 pontas, pulando de 3 em 3 pontas.
Soluc¸a˜o
Divida uma circunfereˆncia de raio 4cm em 15 partes iguais pelo processo utilizado no problema
8 da aula 8. Em seguida, construa o pol´ıgono partindo de um desses pontos e prosseguindo para
o pro´ximo pulando 3 pontos a cada passo.
Construc¸o˜es Geome´tricas AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas – 2017/1 2
Questa˜o 3 [2,0 pt]Construa as circunfereˆncias, de raio R, tangentes a` reta r e que tambe´m
tangenciam, internamente, a circunfereˆncia λ.
Sugesta˜o: A distaˆncia entre os centros de duas circunfereˆncias tangentes internamente e´ igual
a` diferenc¸a entre os raios.
Soluc¸a˜o O centro da circunfereˆncias procuradas devem estar a uma distaˆncia de r igual ao raio
dado, ja´ que sa˜o tangentes. Assim, marque numa perpendicular a r um segmento igual ao raio
dado e, pela extremidade do segmento, trace uma reta s, paralela a r. Os centros estara˜o sobre
s. Como as circunfereˆncia pedidas sa˜o tangentes, internamente, a λ, enta˜o o centro das dessas
circunfereˆncias devem estar a uma distaˆncia de C igual a` diferenc¸a entre o raio da circunfereˆncia
dada e o raio da circunfereˆncia pedida. Dessa forma, os centro das circunfereˆncias dadas sa˜o
obtidas pela intersec¸a˜o entre s e a circunfereˆncia de centro em C e raio igual a` diferenc¸a dos
raios. Indicamos por C1 e C2 os centros das circunfereˆncias os pontos tangeˆncias, T1 e T2, esta˜o
alinhados com C e os centros C1 e C2, respectivamente.
Questa˜o 4 [2,0 pt]Construa um segmento de comprimento igual
√
21 cm, sem utilizar apro-
ximac¸o˜es. Em seguida, construa um triaˆngulo equ¨ila´tero de lado igual 2
√
7 cm.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Construc¸o˜es Geome´tricas AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas – 2017/1 3
Sugesta˜o: Utilize me´dia geome´trica para encontrar o segmento pedido. Calcule a altura do
triaˆngulo equ¨ila´tero pedido.
Soluc¸a˜o Primeira Construc¸a˜o: Encontre a me´dia geome´trica dos segmentos AB e BC, de
comprimentos, respectivamente, 3cm e 7cm. Na construc¸a˜o feita, utilizamos o segundo me´todo
para encontrar a me´dia geome´trica. O segmento BD obtido mede
√
21 cm.
Segunda construc¸a˜o: O triaˆngulo equ¨ila´tero de lado igual a 2
√
7 cm tem altura de comprimento
√
21 cm =
2
√
7 · √3
2
cm. Assim, o segmento BD e´ a altura do triaˆngulo equ¨ila´tero. Construindo
30◦ para cada lado do segmento BD encontramos os pontos E e F sobre a reta suporte do
segmento AC. O triaˆngulo DEF e´ soluc¸a˜o para o problema.
Questa˜o 5 [2,0 pt]Encontre os pontos A ∈ r e B ∈ s que estejam alinhados com o ponto C,
tal que AC tenha o dobro do comprimento de CB.
Sugesta˜o: Trace uma paralela por C em relac¸a˜o a s e lembre que retas paralelas cortadas por
transversais determinam segmentos proporcionais.
Soluc¸a˜o Trace pelo ponto C uma reta paralela interceptando a reta r no ponto D. Indique por
O a intersec¸a˜o entre as retas r e s. Construa sobre r ao segmento AD de comprimento igual ao
dobro do comprimento de OD. Ligue os pontos A e C obtendo no prolongamento sobre a reta
s o ponto B. Pelo Teoremas de Tales se AD = 2OD, enta˜o AC = 2CB.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

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