GABARITO AP1 CÁLCULO 1 - 2017.1 - CEDERJ

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO – AP1 – CA´LCULO 1 – 02/04/2017
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [1 ponto]
Considere a func¸a˜o f : [0,+∞)→ R definida por: f(x) =

x
cos(
√
x)− 1 , se x 6= 0
−4, se x = 0
.
Calcule lim
x→0+
f(x).
Soluc¸a˜o:
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
x
cos(
√
x)− 1 = limx→0+
x [cos(
√
x) + 1]
[cos(
√
x)− 1][cos(√x) + 1] = limx→0+
x [cos(
√
x) + 1]
cos2(
√
x)− 1 =
= lim
x→0+
√
x
√
x [cos(
√
x) + 1]
−sen2(√x) = limx→0+−
[ √
x
sen(
√
x)
·
√
x
sen(
√
x)
· [cos(√x) + 1]
]
= −2.
Questa˜o 2 [1 ponto]
Considere a func¸a˜o f : R→ R definida por: f(x) =

√
1 + 4x2
x− 2 , se x 6= 2
√
5, se x = 2
.
Calcule lim
x→−∞
f(x).
Soluc¸a˜o:
lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
√
1 + 4x2
x− 2 = limx→−∞
√
4x2
x
= lim
x→−∞
2 |x|
x
= lim
x→−∞
−2x
x
= −2.
Questa˜o 3 [2 pontos]
Sejam a, b ∈ R e f : R→ R a func¸a˜o definida por:
f(x) =
{
x2 − x+ 4, se x ≤ 2
b− ax, se x > 2
Determine os valores de a e b para que a func¸a˜o f seja diferencia´vel em R.
Soluc¸a˜o:
CA´LCULO 1 AP1 2
Para que f seja diferencia´vel em R, e´ necessa´rio, primeiramente, que f seja cont´ınua em R, ou seja,
f tem que ser cont´ınua em x = 2. Para tal,
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x) = f(2).
Temos que:
(i) f(2) = 6;
(ii) lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
b− ax = b− 2a;
(iii) lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
x2 − x+ 4 = 6.
De (i) = (ii) = (iii), obtemos a equac¸a˜o −2a + b = 6. Logo, para que f seja cont´ınua em x = 2,
as constantes a e b devem satisfazer a equac¸a˜o −2a+ b = 6.
Por outro lado, para que f seja diferencia´vel em R, f tem que ser diferencia´vel em x = 2, ou seja,
f ′−(2) = f
′
+(2) = f
′(2).
Como f ′+(2) = −a e f ′−(2) = 22−1 = 3, segue que a = −3. Da´ı, da equac¸a˜o anterior −2a+ b = 6,
obtemos b = 0. Portanto, para que f seja diferencia´vel em x = 2, devemos ter a = −3 e b = 0.
Questa˜o 4 [1 ponto]
Se f(x) =
x− ex2+1
1 + x4
, x ∈ R, determine a derivada f ′(x).
Soluc¸a˜o:
f ′(x) =
(1− 2x ex2+1)(1 + x4)− (x− ex2+1)(4x3)
(1 + x4)2
=
−2x ex2+1(1− 2x2 + x4)− 3x4 + 1
1 + 2x4 + x8
Questa˜o 5 [1 ponto]
Se f(x) = (2x3 − x2 + 5) cos(1− 4x), x ∈ R, determine a derivada f ′(x).
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = (6x2 − 2x) cos(1− 4x) + 4(2x3 − x2 + 5) sen(1− 4x) =
= (6x2 − 2x) cos(1− 4x) + (8x3 − 4x2 + 20) sen(1− 4x)
Questa˜o 6 [2 pontos]
Seja r a reta tangente ao gra´fico de f(x) =
−2
x+ 1
no ponto P = (a, f(a)), com a > 0. Se m =
1
2
e´ o coeficiente angular de r, determine o ponto P e, em seguida, a equac¸a˜o da reta r.
Soluc¸a˜o:
Como m = f ′(a) e f ′(x) =
2
(x+ 1)2
, para todo x ∈ R− {−1}, segue que:
f ′(a) =
1
2
⇔ 2
(a+ 1)2
=
1
2
⇔ a2 + 2a+ 1 = 4 ⇔ a2 + 2a− 3 = 0.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 3
Logo, a = −3 ou a = 1. Como, por hipo´tese, a > 0, segue que a = 1. Da´ı, P = (a, f(a)) = (1,−1).
Ainda, como P (1,−1) ∈ r e m = 1
2
e´ o coeficiente angular de r, segue que a equac¸a˜o de r e´ dada
por:
y = f(a) +m(x− a) = −1 + 1
2
(x− 1), ou seja, y = 1
2
x− 3
2
=
x− 3
2
.
Questa˜o 7 [2 pontos]
Sejam α, β ∈ R e y = f(x) uma func¸a˜o deriva´vel definida implicitamente pela equac¸a˜o
x2 − α y2 + β cos(4x)− xy + 16 = 0.
Sabendo que
−1
6
e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (0,−2), determine
α e β.
Soluc¸a˜o:
Como P = (0,−2) e´ um ponto do gra´fico de f , substituimos na equac¸a˜o e obtemos:
02 − α (−2)2 + β cos(4 · 0)− 0 · (−2) + 16 = 0.
Da´ı,
−4α + β = −16. (∗)
Por outro lado, derivando implicitamente, obtemos:
2x− 2α y y′ − 4β sen(4x)− y − xy′ = 0 ⇒ y′ = −2x+ 4β sen(4x) + y−2α y − x .
Como
−1
6
e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (0,−2), segue que
−1
6
=
−2 · 0 + 4β sen(4 · 0)− 2
−2α (−2)− 0 ⇒ α = 3.
Logo, substituindo em (∗), β = −4.
Portanto, α = 3 e β = −4.
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