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Mecânica dos Solos Acréscimos de tensões Tensões normais e de cisalhamento em um plano A figura abaixo mostra um elemento bidimensional do solo que está sendo submetido a esforços normais e de cisalhamento (𝜎𝑦 > 𝜎𝑥). Tensões normais e de cisalhamento em um plano Para determinar estas tensões em um plano EF, que forma um ângulo 𝜃 com o plano AB, precisamos considerar o diagrama de corpo livre de EFB (b). Tensões normais e de cisalhamento em um plano Sejam 𝜎𝑛 e 𝜏𝑛 as tensões normal e de cisalhamento, respectivamente, no plano EF. Temos: 𝜎𝑛 = 𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 2 + 𝜎𝑦 − 𝜎𝑥 2 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 . 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (𝐼) 𝜏𝑛 = 𝜎𝑦 − 𝜎𝑥 2 . 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃 (𝐼𝐼) 𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝐼𝐼 , 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 é 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝜃 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑙 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝜏𝑛 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑧𝑒𝑟𝑜, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝑡𝑔2𝜃 = 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 − 𝜎𝑥 (𝐼𝐼𝐼) Tensões normais e de cisalhamento em um plano Para os valores fornecidos 𝜏𝑥𝑦, 𝜎𝑦 e 𝜎𝑥 , a equação (III) fornece valores de 𝜃, distintos de 90º um do outro. Isso significa que existem dois planos que são perpendiculares entre si, nos quais a tensão de cisalhamento é igual a zero, chamados de planos principais. Tensões normais e de cisalhamento em um plano As tensões principais podem são obtidos por: 𝜎𝑛 = 𝜎1 = 𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 2 + (𝜎𝑦 − 𝜎𝑥) 2 2 + 𝜏𝑥𝑦² 𝜎𝑛 = 𝜎3 = 𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 2 − (𝜎𝑦 − 𝜎𝑥) 2 2 + 𝜏𝑥𝑦² Tensão principal maior Tensão principal menor Tensões normais e de cisalhamento em um plano Obs: • Os sinais são adotadas como positivos para as tensões em X ou Y que estejam comprimindo (seta em direção ao centro do solo) o elemento de solo. • Os sinais da tensão de cisalhamento é adotado como positivo quando as componentes verticais, dos mesmo, tendem a rotacional o bloco no sentido anti-horário. Tensões normais e de cisalhamento em um planoExemplo: Um elemento do solo é mostrado conforma abaixo. As magnitudes das tensões são 𝜎𝑥 = 96 𝑘𝑁/𝑚², 𝜎𝑦 = 120 𝑘𝑁/𝑚², τ = 38 𝑘𝑁/𝑚² e 𝜃 = 20º. A)Determine as magnitudes das tensões principais. B) As tensões normais e de cisalhamento no plano AB. C)E qual o ângulo do plano principal. Tensões normais e de cisalhamento em um plano 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎1 = 𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 2 + (𝜎𝑦 − 𝜎𝑥) 2 2 + 𝜏𝑥𝑦² 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎3 = 𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 2 − (𝜎𝑦 − 𝜎𝑥) 2 2 + 𝜏𝑥𝑦² Exemplo: Um elemento do solo é mostrado conforma abaixo. As magnitudes das tensões são 𝜎𝑥 = 96 𝑘𝑁/𝑚², 𝜎𝑦 = 120 𝑘𝑁/𝑚², τ = 38 𝑘𝑁/𝑚² e 𝜃 = 20º. A)Determine as magnitudes das tensões principais. B) As tensões normais e de cisalhamento no plano AB. C)E qual o ângulo do plano principal. Tensões normais e de cisalhamento em um plano 𝜎𝑛 = 𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 2 + 𝜎𝑦 − 𝜎𝑥 2 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 . 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (𝐼) 𝜏𝑛 = 𝜎𝑦 − 𝜎𝑥 2 . 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃 (𝐼𝐼) Exemplo: Um elemento do solo é mostrado conforma abaixo. As magnitudes das tensões são 𝜎𝑥 = 96 𝑘𝑁/𝑚², 𝜎𝑦 = 120 𝑘𝑁/𝑚², τ = 38 𝑘𝑁/𝑚² e 𝜃 = 20º. A)Determine as magnitudes das tensões principais. B) As tensões normais e de cisalhamento no plano AB. C)E qual o ângulo do plano principal. Tensões normais e de cisalhamento em um planoExemplo: Um elemento do solo é mostrado conforma abaixo. As magnitudes das tensões são 𝜎𝑥 = 96 𝑘𝑁/𝑚², 𝜎𝑦 = 120 𝑘𝑁/𝑚², τ = 38 𝑘𝑁/𝑚² e 𝜃 = 20º. A)Determine as magnitudes das tensões principais. B) As tensões normais e de cisalhamento no plano AB. C)E qual o ângulo do plano principal. 𝑡𝑔2𝜃 = 2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 − 𝜎𝑥 Mecânica dos Solos Acréscimos de tensões Acréscimos de tensões Acréscimos de tensões s0 Distribuição das tensões a diferentes profundidades Distribuição de tensões no solo • A determinação das tensões devido a cargas externas e sua distribuição no subsolo é muito importante na avaliação de deformações e da capacidade de carga dos terrenos onde são instaladas obras de engenharia. • Experiências realizadas nos primeiros tempos da Mecânica dos Solos mostram que: • os acréscimos de tensões a uma certa profundidade excedem a área de projeção da área carregada. Nas laterais da área carregada também ocorrem aumentos de tensão; • o somatório dos acréscimos de tensões verticais é constante em qualquer profundidade; Acréscimos de tensões Distribuição de tensões no solo • A determinação das tensões devido a cargas externas e sua distribuição no subsolo é muito importante na avaliação de deformações e da capacidade de carga dos terrenos onde são instaladas obras de engenharia. • Experiências realizadas nos primeiros tempos da Mecânica dos Solos mostram que: • os acréscimos de tensões a uma certa profundidade excedem a área de projeção da área carregada. Nas laterais da área carregada também ocorrem aumentos de tensão; • o somatório dos acréscimos de tensões verticais é constante em qualquer profundidade; • como a área de atuação aumenta, o valor das tensões verticais diminui com a profundidade. sv Variação dos acréscimos da tensão vertical ao longo do eixo de simetria vertical da área carregada s0 Acréscimos de tensões P 1,00 P 0,50 P 0,10 P s0 0,8s0 0,5s0 0,2s0 0,1s0 Bulbo de tensões • Ao se unir os pontos em que os acréscimos de tensão no interior do subsolo são de mesmo valor percentual aplicado na superfície, têm-se linhas chamadas de isóbaras. • Desta forma, isóbaras são superfícies unindo pontos de mesmo acréscimo de tensões. Acréscimos de tensões Bulbo de tensões • Ao se unir os pontos em que os acréscimos de tensão no interior do subsolo são de mesmo valor percentual aplicado na superfície, têm-se linhas chamadas de isóbaras. • Desta forma, isóbaras são superfícies unindo pontos de mesmo acréscimo de tensões. P Pontos de igual tensão Isóbaras Acréscimos de tensões Índice Métodos de cálculo Métodos de cálculo º. . 30tgz2L2 L2 0v ss Entretanto, o método do espraiamento não satisfaz o princípio da superposição dos efeitos. 2L 30°30° 2Lz.tg30° z.tg30° Determinação das tensões verticais Alguns métodos foram desenvolvidos para a determinação das tensões verticais, tais como: • Método do espraiamento das tensões • Simplificadamente, o método considera as tensões verticais uniformemente distribuídas com a profundidade, com um ângulo de espraiamento de 30º. Métodos de cálculo º. . 30tgz2L2 L2 0v ss Entretanto, o método do espraiamento não satisfaz o princípio da superposição dos efeitos. 2L 30°30° 2Lz.tg30° z.tg30° Determinação das tensões verticais Alguns métodos foram desenvolvidos para a determinação das tensões verticais, tais como: • Método do espraiamento das tensões • Simplificadamente, o método considera as tensões verticais uniformemente distribuídas com a profundidade, com um ângulo de espraiamento de 30º. Métodos de cálculo • Se a área carregada for quadrada ou circular, os cálculos serão semelhantes, considerando-se o espraiamento em todas as direções. Exemplo: Calcule os acréscimos de tensão pela prática do “espraiamento das tensões” de uma construção industrial que apresenta uma planta retangular, com 12 m de largura e 48 m de comprimento, e vai aplicar ao terreno uma pressão uniformemente distribuída de 50kPa. Calcule o valor da tensão para z= 0 m, 2 m, 4 m, 10 m, 20 m. Determinação das tensões verticais espraiada vv A A tgzL L 0 00 . º30.22 2 . ssss Determinação das tensões verticais• Teoria da Elasticidade Métodos de cálculo Teoria da Elasticidade • Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade (relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke - material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo). • Um solo é dito isotrópico se os parâmetros definidos em um ponto são os mesmos em qualquer direção • A isotropia reduz as constantes elásticas dom solo as apenas duas: módulo de elasticidade (E) e coeficiente de Poisson () • Se as constantes elásticas são as mesmas em todos os pontos de uma massa de solo então ele pode ser considerado homogêneo Métodos de cálculo Teoria da Elasticidade • Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade (relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke - material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo). Métodos de cálculo e s Ds De eD sD E Teoria da Elasticidade • Entretanto, a aplicação de soluções mais simples da Teoria da Elasticidade aos solos é questionável, pois os mesmos podem não satisfazer as hipóteses: • Comportamento linear e elástico Para que seja válida, os acréscimos de tensão devem ser pequenos (pequenas deformações), tal que o estado de tensões seja muito distante da ruptura • Homogeneidade Foge da realidade na maioria dos casos. O solo é heterogêneo pela sua natureza e também apresenta relações tensão-deformação variáveis com a tensão de confinamento, logo variável com a profundidade • Isotropia O solo é, em muitos casos, anisotrópico pela natureza e arranjo de suas partículas. Entretanto, a condição de isotropia é válida para terrenos onde o solo mantém constituição uniforme por distâncias da ordem de algumas vezes a menor dimensão da área carregada Métodos de cálculo Teoria da Elasticidade • Como ainda não há melhor alternativa para a análise do comportamento das obras e também porque tem tido uma avaliação satisfatória das tensões atuantes no solo, a Teoria da Elasticidade é aplicada como base de várias soluções desenvolvidas. Métodos de cálculo Soluções com base na Teoria da Elasticidade • Boussinesq - carga concentrada; • Flamant - carga ao longo de uma linha de extensão infinita; • Carothers-Terzaghi - carga uniformemente distribuída ao longo de uma faixa de extensão infinita; • Osterberg - carga distribuída na forma de trapézio retangular em uma faixa de extensão infinita; • Carothers - carga distribuída na forma de triângulo em uma faixa de extensão infinita; • Love - carga uniforme sobre superfície circular; • Soluções para carga uniforme sobre superfície retangular: • Newmark • Steinbrenner • Solução para carga uniforme sobre superfície qualquer - Método das superposição de áreas (Ábaco circular de Newmark). Métodos de cálculo 2 5 22 3 v zr2 zQ3 σ Sendo r e z definidos como: r z Q sv Solução de Boussinesq - Carga concentrada • Nesta solução foram determinadas as tensões, deformações e deslocamentos no interior de uma massa elástica, homogênea e isotrópica, num semi-espaço infinito de superfície horizontal, devido a uma carga pontual aplicada na superfície deste semi-espaço. • A equação de Boussinesq para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga Q na superfície é: r z Q sv 2v z .Q48,0 σ Solução de Boussinesq - Carga concentrada • Na vertical abaixo do ponto de aplicação da carga (r = 0), as tensões são iguais a: 2 5 22 3 v zr2 zQ3 σ 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 20 40 60 80 100 120 Tensão vertical Q P ro fu n d id a d e Métodos de cálculo Solução de Boussinesq - carga concentrada • As tensões variam inversamente com o quadrado da profundidade, sendo infinita no ponto de aplicação. Exemplo: Considere uma carga pontual, P=5 kN. Calcule o aumento da tensão vertical a z=0, 2 m, 4 m, 6 m, 10 m e 20 m. Dados: x=3m e y=4m. Solução de Boussinesq - carga concentrada 2 5 22 3 v zr2 zQ3 σ Solução de Flamant - Carga distribuída • Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga Q linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao infinito • Exemplos 222 3 v zr zQ2 σ Sendo r e z definidos como: r z Q sv Solução de Flamant - Carga distribuída • Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga Q linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao infinito Exemplo: Conforme a figura abaixo, tem-se duas linhas de carga na superfície do solo. Determine o aumento de tensão no ponto A. Solução de Flamant - Carga distribuída 222 3 v zr zQ2 σ Tensão vertical causada por um linha de carga horizontal A figura abaixo mostra uma linha de carga flexível horizontal na superfície de uma massa de solo semi-infinita. O aumento da tensão vertical no ponto A, nessa massa, pode ser dada como: 𝜎𝑣 = 2 𝑞 𝜋 𝑥 𝑧² 𝑥2 + 𝑧2 ² Tensão vertical causada por um linha de carga horizontal Exemplo: Uma carga de linha inclinada com magnitude de 14,6kN/m é mostrada conforme a figura abaixo. Determine o aumento da tensão vertical no ponto A decorrente da linha de carga. 𝜎𝑣 = 2 𝑞 𝜋 𝑥 𝑧² 𝑥2 + 𝑧2 ² 𝜎𝑣 = 2 𝑞 𝜋 𝑧³ 𝑥2 + 𝑧2 ² Devido a carga vertical: Devido a carga horizontal: Tensão vertical devida ao carregamento de um aterro • A figura abaixo mostra a seção transversal de um aterro de altura H. Para esta condição de carregamento bidimensional, o aumento da tensão vertical pode ser expresso como: 𝜎𝑣 = 𝑞𝑜 𝜋 . 𝐵1 + 𝐵2 𝐵2 . 𝛼1 + 𝛼2 − 𝐵1 𝐵2 . 𝛼2 𝑂𝑛𝑑𝑒: 𝑞𝑜 = 𝛾 .𝐻 𝛾 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑜 𝐻 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑜 𝛼1 𝑟𝑎𝑑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐵1 + 𝐵2 𝑧 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐵1 𝑧 𝛼2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐵1 𝑧 Tensão vertical devida ao carregamento de um aterro • Uma forma simplificada da Equação é: 𝜎𝑣 = 𝑞𝑜 . 𝐼2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐼2 = 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝐵1 𝑧 𝑒 𝐵2 𝑧 . 𝐴 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐼2 é 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑠𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑟𝑔, 1957 . Tensão vertical devida ao carregamento de um aterro 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑂𝑠𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑟𝑔 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑎𝑡𝑒𝑟𝑟𝑜 Tensão vertical devida ao carregamento de um aterro Exemplo: Um aterro é mostrado conforme abaixo. Determine o aumento da tensão sob o aterro no ponto A. 𝜎𝑣 = 𝑞𝑜 . 𝐼2𝜎𝑣 = 𝑞𝑜 𝜋 . 𝐵1 + 𝐵2 𝐵2 . 𝛼1 + 𝛼2 − 𝐵1 𝐵2 . 𝛼2 Solução para carga distribuída em placa • Solução de Carothers-Terzaghi, para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação de uma carga uniformemente distribuída, sobre uma placa corrida, onde uma das dimensões é predominante às demais, podendo ser considerada infinita s 2cos.sen Q v 2b z Q svOBS.: Ângulos em radianos. s 2sen b r 2 Q v z Q sv Solução carregamento triangular • Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação deum carregamento triangular linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao infinito 2b r OBS.: Ângulos em radianos. z a m z b n b a z x z sv a.b Q σ0 y Solução de Newmark - Superfície retangular • A partir da integração da equação de Boussinesq, Newmark (1933) desenvolveu uma solução para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaço infinito de superfície horizontal por carregamento uniformemente distribuído numa área retangular, numa vertical passando por um dos vértices da área. • Newmark verificou que a solução era a mesma para situações em que as relações entre os lados da área retangular e a profundidade fossem as mesmas e definiu as seguintes relações: z b m z a n ou ou b a Solução de Newmark para superfície retangular • Em função destes parâmetros, a solução de Newmark é expressa pela equação: • Trata-se uma solução muito trabalhosa, mas se considerarmos que a tensão num ponto qualquer é função só dos parâmetros m e n, a expressão pode ser reescrita como: sendo Is um coeficiente de influência que pode ser obtido a partir de um ábaco, em função de m e n. Com base no Princípio da Superposição dos Efeitos é possível determinar as tensões em qualquer outro ponto sob a placa ou fora dela. 2222 5,022 222222 225,022 0 1 12 11 212 . .4 nmnm nmmn artg nmnmnm nmnmmn v ss v 0I .ss s Métodos de cálculo 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,01 0,10 1,00 10,00 n Is 1,4 1,0 1,2 0,9 2,0m ≥ 10 1,6 0,8 m = 0,1 0,2 0,3 0,6 0,4 0,5 0,7 m = 0 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9Ábaco para a solução de Newmark para cargas uniformemente distribuídas em área retangular Métodos de cálculo z a m z b n z b m z a n ou ou b a z x z sv a.b Q σ0 y Solução de Newmark para superfície retangular Determine o acréscimo de tensões numa profundidade z para a área apresentada abaixo: + +- P a b c d d b a c P P P Exercícios Determine o acréscimo de tensões numa profundidade z = 10m para a área apresentada abaixo, considere so = 50 kPa: + + - P 7 3 5 10 10 3 7 5 P P P IsBIsA IsC IsA IsB IsC 3,0 10 3 m 5,0 10 5 n a = 3 b = 5 3,0 10 3 m 1 10 10 n a = 3 b = 10 70 10 7 m , 5,0 10 5 n a = 7 b = 5 Is 0,06 Is 0,08 Is 0,118 Ábaco Ábaco Ábaco Exercícios Is IsB IsC IsA= + - 0,060,08 0,118= + - = 0,138 + + - P 7 3 5 10 10 3 7 5 P P P IsBIsA IsC Is sv = • Determine o acréscimo de tensões numa profundidade z = 10m para a área apresentada abaixo, considere so = 50 kPa: 0,138 Is so = sv = 0,138 . 50 = 6,9 kPa Índice Exercícios Métodos de cálculo Tensão vertical em qualquer ponto abaixo de uma área circular uniformemente carregada • As soluções são apresentada em formas de bulbos de tensões, que apresenta os coeficientes de influência (coeficiente que, multiplicado pela tensão aplicada na superfície, fornece a tensão atuante no ponto), para o cálculo das tensões verticais no interior do solo devidas a carregamento uniformemente distribuído numa área circular, na superfície do terreno. • Segue o ábaco: Métodos de cálculo Tensão vertical em qualquer ponto abaixo de uma área circular uniformemente carregada Métodos de cálculo Tensão vertical em qualquer ponto abaixo de uma área circular uniformemente carregada Exemplo: Um tanque metálico circular, com 14m de diâmetro, foi construído com fundação direta na superfície, num terreno plano e horizontal, para estocagem de combustível. O tanque deverá transmitir ao terreno uma pressão de 50kPa. Para a previsão de eventuais recalques, desejam-se conhecer os acréscimos de tensão a 3,5 e a 7 m de profundidade, no centro e na periferia do tanque. Métodos de cálculo Solução de Love - carga circular z sv Q s 2/322 3 v zr z 1Q 2r
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