CÁLCULO IV - Engenharia de Computação - PDF

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CÁLCULO 
DIFERENCIAL 
E 
INTEGRAL IV 
- Guia de Aulas - 
- Noções Gerais e Aplicações - 
- Engenharia de Computação - 
Elaborado pelo Prof. Arnaldo Stochiero 
226 Problemas Resolvidos 
 87 Problemas Propostos 
2014 
- Olá, pessoal ! Nós 
 somos os netos do 
 Prof. Arnaldo : 
 Alexa, Diego, Caio, 
 e Pedro . 
 Quando chegar a 
 nossa vez, iremos 
 aprender Cálculo 
 neste livro . 
O Curso de Engenharia de Computação 
Com o curso, você será capaz de projetar e construir computadores, periféricos e outros sistemas 
que integrem hardware e software. O engenheiro de computação atua aplicando as tecnologias da 
computação na solução de problemas da sociedade. Apesar do foco na computação, o curso 
contempla uma formação básica dos aspectos físicos, suficiente para que o engenheiro de 
computação possa trabalhar harmoniosamente em equipe com outros profissionais da engenharia. 
De uma forma geral, o profissional egresso do curso será capaz de desempenhar as seguintes 
tarefas: concepção de novas formas de aplicação das tecnologias, bem como a incorporação 
destas às estratégias organizacionais; planejamento e gerência dos serviços e recursos de 
tecnologia da informação; projeto e desenvolvimento de sistemas integrados de hardware e 
software. 
 
O que você irá estudar 
Você irá estudar como utilizar a Matemática, a Ciência da Computação, a Física e as tecnologias 
modernas no apoio à construção de produtos e serviços seguros, confiáveis e de relevância à 
sociedade. Além disso, sua formação irá torná-lo capaz de projetar, construir, testar e manter 
software no apoio à construção ou incorporado a produtos e serviços, principalmente os que, além 
do próprio sistema computacional, requeiram a interação com o ambiente ou com dispositivos 
físicos. Os conteúdos mais relevantes estudados ao longo do curso são: matemática discreta e 
contínua; mecânica, termodinâmica, eletromagnetismo, óptica e suas aplicações à Engenharia de 
Computação; técnicas de programação de computadores; sistemas lógicos e arquiteturas de 
ambientes computacionais; abstração, representação, organização e recuperação da informação; 
metodologia de desenvolvimento de sistemas; sistemas dinâmicos, controle e automação; ciências 
do ambiente; aspectos éticos e sociais relacionados à Engenharia de Computação. 
 
Campo de pesquisa 
Arquitetura de Ambientes Computacionais. Computação Paralela e Distribuída. Computação 
Móvel e Redes Sem Fio. Inteligência Artificial. Jogos Digitais. Otimização de Sistemas. 
Processamento Digital de Sinais/Imagens/Vídeo. Redes de Computadores. Sistemas Distribuídos. 
Automação. Telecomunicações. 
VISÃO PANORÂMICA DA ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 
 Os primeiros indícios rudimentares do Cálculo Diferencial e Integral têm suas origens na Antiguidade, 
porém, somente a partir de Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), esse monumental capí-
tulo da Matemática conseguiu deflagrar seu processo evolutivo. A genialidade desses dois baluartes da ciência moderna 
trouxe à baila tão maravilhosa obra que por si mesma já seria suficiente para consagrar indelevelmente a capacidade cria-
dora do gênero humano. 
 
 Nos últimos trezentos anos, muitos matemáticos trabalharam e vêm trabalhando no aprimoramento da 
estruturação teórica do Cálculo, perseguindo sempre os atalhos inteligentes da sistematização. As brilhantes contribui-
ções de Leonhard Euler (1707-1783), Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Pierre 
Simon Laplace (1749-1827), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Nikolai Ivanovitch 
Lobatchevski (1793-1856) , Bernhard Riemann (1826-1866) , Richard Dedekind (1831-1916), Oliver Heaviside (1850-
1925), bem como as de vários outros luminares, vêm promovendo esse ordenamento sistêmico tão importante para o de-
senvolvimento desse campo científico e suas ressonâncias em todas as ramificações da atividade tecnológica e social . 
 
 Os objetivos que nos levam a realizar este trabalho visam tão somente a torná-lo um compêndio utilitá-
rio, contemplando nossos alunos com um acessório matemático funcional que, acoplado à bibliografia recomendada, se-
guramente irá robustecer os pré-requisitos indispensáveis às disciplinas de Cálculo, Física, Estatística, Eletricidade, Me-
cânica e demais outras das áreas profissionalizantes. 
 
 Para formatá-lo, empenhamo-nos na utilização de uma linguagem clara, sucinta e elucidativa, capaz de 
levar o aluno a consolidar um aproveitamento desejável . Considerando que a própria gênese das engenharias nos reco-
menda navegar numa órbita pragmatista do conhecimento, o desenvolvimento teórico destas lições de cálculo desprende-
se de rigorismos e formalismos muitas vezes incômodos e fastidiosos para o iniciante. Em contrapartida, já nas primei-
ras páginas das explanações, o leitor perceberá nossa insistente recorrência aos apelos geométricos como legítimos teste-
munhos visuais de cada afirmativa apresentada, configurando-se aí a indisfarçável intenção de buscar no harmonioso aca-
salamento da álgebra com a geometria a argamassa ideal para a fixação duradoura do aprendizado . 
 
 Diante da profusão de gráficos e figuras, ainda que sejamos censurados pelo uso abusivo desses recur-
sos geométricos, sentimo-nos bem mais próximos da legítima finalidade de esclarecer e dirimir as dúvidas mais frequen-
tes dos alunos, confiando aos detalhes visuais aqueles lances sigilosamente guardados nas entrelinhas da maioria dos 
textos didáticos. Para garantir uma nitidez mais apurada nessas ilustrações, bem como as posições mais adequadas das 
figuras, utilizamos com providencial frequência o sistema algébrico computacional Maple e, eventualmente, o sistema 
Matlab R12, aprimorando significativamente a assimilação dos espaços bi e tridimensionais. Tal estratégia harmoniza-se 
com os preceitos básicos de uma aprendizagem segura e consistente, desde que sincronizada nas ações de construir as 
resoluções e discutir os resultados encontrados . 
 
 Como recomendação final, sugerimos ter sempre presente a magistral observação formulada por Carl 
Friedrich Gauss : “Em verdade, o que proporciona o máximo prazer àqueles que estudam seriamente esta ciência não é 
o conhecimento e sim a aprendizagem; não é a posse, mas a aquisição; não é a meta alcançada, mas o ato de atingi-la.” 
 
 Tenhamos ainda sempre em conta o nobre e paternal aconselhamento formulado por Albert Einstein 
em suas costumeiras palestras dirigidas aos jovens estudantes : “ Jamais considerem seus estudos como uma obrigação, 
mas como uma oportunidade invejável para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito, 
para seu próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer . ” 
 
 
 
 O autor . 
P R E Â M B U L O 
S u m á r i o 
 Unidade 3 - CURVAS PARAMETRIZADAS 
 3.1. Funções escalares, funções vetoriais e curvas parametrizadas ... 39 
 3.2. Aplicações ao movimento ........................................................... 49 
 3.3. Movimento no espaço : vetor tangente unitário e vetor normal .... 58 
 Unidade 2 - INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
 2.1. Definição e interpretação geométrica da integral dupla ............. 9 
 2.2. Integral dupla em coordenadas cartesianas ............................... 12 
 2.3. Integral dupla em coordenadas polares...................................... 19 
 2.4. Aplicações : centro de massa e momento de inércia .................... 24 
 2.5. Integral tripla em coordenadas cartesianas ............................... 27 
 2.6. Coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas ....................... 29 
 Unidade 4 - INTEGRAIS DE LINHA 
 4.1. Campos escalares e campos vetoriais. Operadores diferenciais ... 63 
 4.2. Integral de linha ou integral curvilínea de uma função escalar .. 75 
 4.3. Integral de linha ou integral curvilínea de uma função vetorial . 
 Trabalho realizado por um campo vetorial .................................. 78 
 4.4. Teorema de Green ........................................................................ 80 
 4.5. Campos vetoriais conservativos . Independência do caminho ..... 87 
 Unidade 5 - INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE 
 5.1. Integral de superfície de uma função escalar .............................. 97 
 5.2. Integral de superfície de uma função vetorial ............................. 102 
 5.3. Teorema de Gauss ....................................................................... 108 
 5.4. Teorema de Stokes ...................................................................... 118 
 Unidade 1 - CURVAS EM COORDENADAS POLARES 
 1.1. Conversão das coordenadas retangulares em polares ................. 1 
 1.2. Equações polares da reta, do círculo e outras curvas clássicas .. 1 
 Referências Bibliográficas ........................................................................ 129 
 Coordenadas polares . Constitui um sistema referencial criado por Isaac Newton , dotado de dois elementos 
bem simples : um ponto fixo O denominado polo e uma reta fixa OX denominada eixo polar . 
 A cada par de números reais ( r ,  ) podemos associar um único ponto P de um plano . A recíproca não é verda-
deira, pois, conforme veremos adiante, um ponto P do plano pode associar-se a mais de um par de valores reais ( r ,  ) : 
 
 r : medida algébrica do segmento OP ( raio vetor de P) 
  : medida do ângulo XOP , geralmente dada em radianos (argumento de P) 
Coordenadas polares do ponto P 
0 X
P

r
Notações : P ( r ,  ) ou P = ( r ,  ) . 
 Alguns autores costumam inverter a ordem : P (  , r ) 
Advertência : Existem várias situações nas quais é conveniente admi- 
 tir a variação da coordenada angular  no intervalo 
 ( 0 , + ∞ ) ou mesmo em ( - ∞ , + ∞ ) , como, por 
 exemplo, no tratamento de curvas espiraladas . 
Exemplos : 
0 X
P
M
N

7 4 2 5
P : 4, ou 4, ou 4, ou 4, ou 4, ou ...
3 3 3 3 3
             
            
         
5 3 3
M : 3, ou 3, ou 3, ou 3, ou 3, ou ...
2 2 2 2 2
             
            
         
           N : 2, 0 ou 2, 2 ou 2, ou 2, ou 2, 3 ou 2, 3 ou ...         
a cada par ( r ,  ) um único ponto P 
a cada ponto P um único par ( r ,  ) 
Conclusão : 
- Apesar da inexistência da biunivocidade, em muitas ocasiões a utilização do sistema polar apresenta inúmeras vanta- 
 gens sobre o sistema cartesiano, sobretudo na simplificação de equações de grande importância na área da engenha- 
 ria, no estudo de equações paramétricas de trajetórias, no enxugamento de expressões voltadas para as leis e fenôme- 
 nos físicos que, tratados pelos processos elementares da álgebra, tornam os cálculos extremamente fastidiosos e, não 
 raramente, impraticáveis . 
Sistema polar associado ao sistema cartesiano . Consideremos o polo coincidente com a origem do sistema car- 
 tesiano e o eixo polar coincidente com o semieixo positivo OX : 
0
X
Y

   P x, y P r,
r
A
2 2 2 2 2
x r cos
x y r r x y
y r sen



      

Das relações trigonométricas do triângulo retângulo AOP , tiramos : 
Portanto, sendo a equação cartesiana de uma curva do 
plano, sua equação no sistema polar será 
 f x, y 0
 f r cos , r sen 0 .  
Equação polar da reta . 
0
X
 P r,
 Q d,
d


r
d : distância do polo à reta dada 
 : ângulo da normal com o eixo polar 
P ( r,  ) : ponto genérico da reta 
Como o triângulo QOP é retângulo, resulta : 
 r cos d  
Isaac Newton 
 (1643-1727) 
x 
 y 
x r cos y r sen y
tg arctg
y r sen x r cos x
    

    

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 
 - Roteiro Sinóptico - 
- Cursos de Engenharia - 
1.1. Conversão das coordenadas retangulares em coordenadas polares . 
Unidade 1 - CURVAS EM COORDENADAS POLARES 
1 
( não verdadeira ) 
1.2. Equações polares da reta , 
 do círculo e outras curvas 
 clássicas . 
 À guisa de ilustração, mediante o MATLAB R12 , analisemos algumas retas e confrontemos os dois 
 sistemas de coordenadas : 
 
1. 
 x 5 r cos d    
 x 5 : r cos d r cos 5:      Sistema polar 
2. 
y 3 r sen 3  
 Sintaxe : 
t = linspace (-7*pi/18,7*pi/18,100) ; 
r = 5*sec(t); 
polar ( t, r) 
 0d 5 
r cos 3 r sen 3
2
      
 
2
d 3








 Sintaxe : 
t=linspace(pi/10,9*pi/10,100); 
r=3*csc(t); 
polar(t,r) 
3. 
y 3 r sen 3    r cos 3 r sen 3
2
       
 
2
d 3



 




 Sintaxe : 
t=linspace(-pi/10,-9*pi/10,100); 
r=-3*csc(t); 
polar(t,r) 
Sistema cartesiano 
(lugar geométrico dos pontos 
 de abscissa constante 5) 
3,
2
 
 
 
3,
2
 
 
 
2 
a 0
0
r R ,
r R





   
 
Equação polar do círculo . 
 a) Caso geral : 
0
X
 P r,
 C a,
a


r
 a : raio vetor do centro do círculo dado 
 : argumento do centro 
 R : raio do círculo 
 P ( r,  ) : ponto genérico do círculo 
A equação polar do círculo será obtida mediante a aplicação da 
lei dos cossenos no triângulo COP : 
 2 2 2R r a 2r a cos     
R
b) O círculo passa pelo polo : 
0
X
 P r,
 C a,
a


r
R
 
 
 
2 2 2
2
a R R r R 2 r R cos
r 2 r R cos
r 2 R cos
 
 
 
     
 
  
c) O círculo passa pelo polo e tem centro no eixo polar : 
0
X
 P r,
 C R, 0

r
R
 
a R
r 2 R cos 0
0
r 2 R cos




  

 
d) O círculo tem centro no polo : 
 0 C 0, 0
X
 P r,
r R

Equação polar do caracol de Pascal . Alguns autores mantêm a denominação limaçon , palavra francesa que sig- 
 nifica caracol. Trata-se do lugar geométrico dos pontos M e M ’ de um plano cujas distâncias a um ponto móvel P 
 é constante : 
 a) Caso geral : Seja um círculo que contém o polo, centro C e diâmetro OA = a . 
O triângulo retângulo POA nos permite escrever 
OP OA cos acos  
ponto M : r OP PM r a cos b
ponto M ' : r OP PM ' r a cos b


    

    
Portanto, a equação polar do caracol de Pascal é 
r acos b , sendo a b .  
P
A
M '
C
M

3 
 a) Caso particular : A equação polar da cardioide pode ser obtida como uma particularidade do caracol, bastando 
 fazer a = b e a curva deixa de apresentar o laço característico, assumindo a forma de coração : 
- Vale ainda ressaltar o caso em que a < b 
 e o caracol toma a forma 
Equação polar da lemniscata . Trata-se do lugar geométrico dos pontos P tais que 
2PA . PB a .
 P r,
 A a, 0 B a, X
2 a 
De acordo com a lei dos cossenos , podemos escrever : 
 
   
2 2 2
2 2 2 2 2
PA r a 2 r a cos
PB r a 2 r a cos r a 2 r a cos

  
   

      
Multiplicando, membro a membro, as duas igualdades : 
       
 
 
 
22 2 22 2 4
4 4 2 2 2 2 2 4
4 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
PA . PB r a 2 r a cos a
r a 2 r a 4 r a cos a
r 2 r a 1 2cos 0
r 2 a 2cos 1
r 2 a cos sen
r 2 a cos 2




 

   
   
  
 
 
 
“ laço de fitas ” 
 Sintaxe : 
 t = linspace(-pi/4,pi/4,100); 
r = sqrt(8*cos(2*t)); 
polar(t,r) 
hold on; 
linspace(3*pi/4,5*pi/4,100); 
r = sqrt(8*cos(2*t)); 
polar(t,r) 
 A 2, 0 B 2,
45135
45225
2r 8cos 2t
t=linspace(0,2*pi,100); 
r=2+4*cos(t); 
polar(t,r); 
hold on; 
O X 
4 
OM OP . cos
OM PQ . sen .cos
OP PQ . sen
ou
r 2 a .sen .cos
r a sen 2

 

 


 


 
Equação polar da rosácea . Tal curva é o lugar geométrico dos pontos M , pés das perpendiculares traçadas do 
 ponto O ao segmento móvel PQ de comprimento 2 a , que desliza sobre os dois 
 eixos perpendiculares . 
rosácea de 4 folhas 
 M r,
Observações : 1ª.) Se tivermos a equação , 
 a rosácea assume a posição 
r a cos 2
2ª.) O gráfico de uma equação da forma 
 é uma rosácea tendo : 
 2 n folhas , se n é par 
 n folhas , se n é ímpar . 
 
 Por exemplo, o gráfico da rosácea é 
r a senn ou r acos n , n 2 ,   
r a cos3
3ª.) Em qualquer desses casos vistos acima, o comprimento da folha é dado pelo valor a . 
4ª.) Construção prática da cardioide . Seja um círculo de raio a e consideremos dois ou- 
 tros com o diâmetro igual a essa medida a . Consideremos ainda o raio vetor OC , ob- 
 tido quando acrescentamos ao raio OB um prolongamento BC = OA : 
OA BC
OB' B' C'
OM DP



 
Por construção, podemos escrever : 
 
: OC OB BC OB OA r a a cos
2
: OM OP OD r a a cos
2
 
  

       

       

Portanto, em qualquer dos dois casos, teremos : 
 r a 1 cos 
a 2 r 2 sen2  
a 2 r 2 cos 2  
a 2 r 2 cos 3  
O X 
A 
B 
C 
B’ 
P 
D 
M 

5 
Problemas ilustrativos 
1. Escrever a equação polar de cada uma das curvas expressas no sistema cartesiano : 
 Resolução : Basta aplicar as relações trigonométricas correspondentes : 
a ) x 3 0 
x 3 0 r cos 3 .   
2 2 2b) x y 2x 0 r 2r cos 0 ou r 2cos       
     
2
2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2c ) x y 2a x y r 2a r cos sen ou r 2a cos 2        
( lemniscata ) 
2 2d ) 2 x y 1 2r cos sen 1 ou r sen2 1     
( reta vertical ) 
( círculo ) 
( hipérbole ) 
2. Escrever a equação cartesiana de cada uma das curvas expressas no sistema polar : 
 Resolução : Basta aplicar as relações trigonométricas correspondentes : 
a ) r 3
2 2 2 2x y 3 x y 9    
b) r sen 4 0 y 4    
 
 
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
c ) r 1 cos r r r cos x y x y x
x y x x y
          
    
( cardioide ) 
   
3
3
3
2 2 2 2 2 22
d ) r sen 2 r 2 cos sen ou r 2r sen r cos
x y 2xy ou x y 4x y
       
    
( círculo ) 
( reta horizontal ) 
( rosácea de 4 folhas ) 
 
2 2
22 2 2
2
4
e ) r r r cos 4 x y x 4
1 cos
x y 4 x 16 8x x
y 8x 16
       
     
   
( parábola ) 
3. Escrever a equação polar do círculo de centro C (2, 0) , contendo o ponto 
 Resolução : 
5 , .
3
 
 
 
 2 2 2 2 2
a 2
R r a 2racos : R r 4 4r cos
0
           
Como o círculo passa pelo ponto , teremos e , então, 
5 , .
3
 
 
 
2 1R 25 4 20 19
2
    
2 2r 4 4r cos 19 r 4r cos 15 .      
4. Determinar as coordenadas polares dos pontos de interseções de cada par de curvas abaixo : 
r 1
a )
r 1 cos


 
Resolução : 
r 1
1 cos 1 cos 0
r 1 cos 2
  

       
 
Então, os pontos são 
1, e 1,
2 2
    
   
   
r 3cos 1 3
b ) 3cos 1 cos cos : ,
r 1 cos 2 3 2 3
                    
6 
r 1
a )
r 1 cos


 
r 3cos
b )
r 1 cos




 
 Analisemos, graficamente, as resoluções a e b do problema 4 da página anterior : 
>> t=linspace(0,2*pi,100); 
>> r=1+cos(t); 
>> polar(t,r) 
>> hold on; 
>> r=1*cos(t-t); 
>> polar(t,r) 
1,
2
 
 
 
1,
2
 
 
 
3
,
2 3
 
 
 
3
,
2 3
 
 
 
>> t=linspace(0,2*pi,100); 
>> r=3*cos(t); 
>> polar(t,r) 
>> hold on; 
>> r=1+cos(t); 
>> polar(t,r) 
5. Determinar, graficamente, as interseções 
 das curvas 
 r 2 1 sent
r 4 sent
 

 
>> t=linspace(0,2*pi,100); 
>> r=2*(1+sin(t)); 
>> polar(t,r) 
>> hold on; 
>> r=-4*sin(t); 
>> polar(t,r) 
7 
> with(plots):polarplot ([sin(t),cos(t), t=-Pi..Pi], title='lemniscata') ; 
 
 
> polarplot (theta, theta=0..4*Pi, title='espiral') ; 
 
 
 
 
> polarplot (1+cos(t), t=-Pi..Pi, title='cardioide') ; 
 
 
 
> polarplot (cos(9*t/4), t=0..8*Pi, title='rosácea') ; 
Linguagem Simples para a Construção de Gráficos em Coordenadas Polares (MAPLE) : 
cardioide 
> polarplot ({ [2*cos(t), t, t = -Pi/2..Pi/2], [4*cos(t), t, t = -Pi/2..Pi/2] }, 
 color = [red, blue] ) ; 
Círculo de 
raio R = 2 
Círculo de 
raio R = 1 
 M r,
Problemas propostos 
1. Em cada item abaixo, calcular a distância AB : 
5
a ) A 3, e B 4 , Resp. : 5
3 6
b ) A 4, e B 2, 28
6 6
 
 
   
   
   
   
    
   
2. Escrever a equação polar da reta que passa pelo pontosendo perpendicular ao raio vetor do ponto A . 
 Determinar o ponto onde a reta corta o eixo polar . 
A 4, ,
4
 
 
 
3. Escrever a equação polar da reta que contém o ponto sendo perpendicular ao eixo polar . 
4. Determinar as interseções da reta com 
 a) o eixo polar 
 b) a reta 

(círculo de raio a) 
O 
Sugestão : Utilizar a lei dos cossenos . 
 Resp. : r . cos 4 ; 4 2 , 0
4
   
 
2
6, ,
3
 
 
 
Resp.: r . cos 3 0  
2r . cos r . sen 4 0   
 Resp. : 2, 0
4,
2
 
 
 
2

 
5. Escrever a equação polar do círculo cujo centro é sendo o raio R = 5 . 
C 3, ,
6
 
 
 
2Resp. : r 6 r cos 16 0
6
     
 
6. Escrever a equação polar do círculo de centro passando pelo polo . 
C 5, ,
4
 
 
 
Resp. : r 10 cos
4
    
 
7. Determinar a equação polar do círculo de centro sendo tangente ao eixo polar . 
C 4, ,
2
 
 
 
Resp. : r 8 sen 
8. Pelo ponto fixo O de um círculo de diâmetro a , traça-se uma secante variável s que corta o círculo num segun- 
 do ponto P . Sobre a secante s , considera-se PM = OP . Determinar o lugar geométrico do ponto M . 
A X 
 s P Resp. : r 2a cos
9. Sejam O e A os extremos de um diâmetro fixo do círculo, tal que AO = 2a . Seja t a tangente ao círculo no 
 ponto A . Pelo ponto O traçamos uma secante móvel s que determina os pontos B e C no círculo e na reta t , 
 respectivamente . Consideremos D o pé da perpendicular de B a AO . Determinar o lugar geométrico do ponto 
 M ( r ,  ) tal que : a) OM = MB ; b) OM = BD . 
A X 
B 
O 
D 
 s 
Resp. : a ) r a cos
b ) r a sen 2




: círculo 
: rosácea de 4 folhas 
 M r,
8 
2.1. Integral dupla : definição , interpretação geométrica e cálculo . 
 
 Tal como já ocorrera no capítulo das funções de várias variáveis independentes, o estudo das inte-
grais múltiplas (duplas e triplas) também busca, como objetivo maior, a ampliação dos conceitos e aplicações das integrais 
simples, trazendo-os para o espaço tridimensional . Portanto, toda esta Unidade acabará por constituir uma simples extensão 
daqueles malabarismos já executados nos Cálculos I, II e III, tanto no aspecto conceitual quanto no operacional . 
D 
X 
Y 
Z 
0 
 i i iP x , y
ix
iy
Seja uma função z = f (x, y) , definida e con- 
tínua num dado domínio fechado D e conside-
remos o produto 
 i i i iV f P . x . y  
( volume do paralelepípedo elementar ) 
Consideremos ainda a soma desses produtos 
 
 
 
 
denominada soma integral de Riemann da 
função f , no domínio D . 
 
i
n
i i i
i 1
A
f P . x . y ,


 
 i i iP x , y , z
Definição . A integral dupla da função f , no domínio D , é o limite da soma 
 integral , quando se tal limite existir : 
i ix 0 e y 0 ,      
 
i
n
i i i i
n
i 1D
n
i i
A 0
i 1
f x, y .dx .dy lim f x , y . x . y
ou
lim f P . A ,


 

  



sendo n o número de retângulos do domínio e a área do 
retângulo elementar (genérico) desse domínio . 
iA
Propriedades : Analogamente ao que foi feito no estudo das integrais simples, demonstram-se : 
 
 1ª.) 
 
 
 2ª.) 
 
 
 3ª.) 
 
 
 4ª.) Se então 
   
D D
k . f x, y .dx .dy k f x, y .dx .dy . 
       
D D D
f x, y g x, y . dx .dy f x, y .dx .dy g x, y .dx .dy .      
     
1 2D D D
f x, y . dx .dy f x, y .dx .dy f x, y .dx .dy .   
     f x, y g x, y , x, y D ,  
   
D D
f x, y . dx .dy g x, y .dx .dy . 
z = f (x, y) 
Unidade 2 - INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 
 - Roteiro Sinóptico - 
- Cursos de Engenharia - 
9 
 Cálculo de uma integral dupla . É feito mediante as execuções sucessivas de duas integrais simples . 
Analisemos os três casos corriqueiros, considerando uma função genérica z = F (x, y) : 
 
1°. Caso : Limites de integração constantes . Se o domínio for uma região retangular regular , ou seja, tem os lados pa- 
 ralelos aos eixos cartesianos, dois a dois, estaremos diante do caso trivial : 
X
Y
0 a b
c
d
x: a b
D
y: c d



Os valores assumidos pelas variáveis x e y são cons-
tantes, isto é, as variáveis são independentes entre si : 
 a variação horizontal x se dá entre duas retas pa-
ralelas verticais x = a e x = b ; 
 a variação vertical y ocorre entre duas retas hori-
zontais y = c e y = d . 
A integral dupla da função z = F (x, y) se escreve 
     
b d d b
D a c c a
F x, y .dx .dy F x, y .dy .dx ou F x, y .dx .dy
   
    
   
    
integral iterada integral iterada 
e a resolução é feita, inicialmente, pela integral interna e o resultado encontrado nesta é operado pela integral 
resultante . Usualmente, omitimos os colchetes e escrevemos 
     
b d d b
D a c c a
F x, y .dx .dy F x, y .dy .dx ou F x, y .dx .dy    
integral iterada integral iterada 
Observemos que, neste caso trivial, a ordem das integrações parciais é optativa : não existe interação entre os 
comportamentos das duas variáveis, desde que cada uma delas apresenta uma variação numérica independen-
te dos valores assumidos pela outra . Não existe subordinação de uma variável em relação à outra . 
Exemplo 1 . Calcular a integral dupla 
 
 Resolução : O domínio de integração é dado por 
 
1 2
2 2
0 1
x y .dx .dy . 
x: 1 2
D
y: 0 1



 
21 2 1 13
2 2 2 2 2
0 1 0 01
1
2
0
1
3
0
8 1x
x y .dx .dy y x .dy 2y y .dy
3 3 3
7
y .dy
3
7 y
y
3 3
8
3
     
          
   
 
  
 
 

   

Interpretação geométrica : Volume do 
tronco do paralelepípedo de base inferior 
no plano XOY e base superior na interse-
ção com o paraboloide de revolução . 
D 
Para resolver uma integral dupla em coordenadas cartesianas, o aplicativo 
Maple nos oferece duas opções sintáticas : 
> Int (Int (x^2+y^2, x=1..2), y=0..1) ; d




0
1
d




1
2
x
2
y
2
x y
> value (%) ; 
> int (int (x^2+y^2, x=1..2), y=0..1) ; 
8
3
8
3
- grafamos com a letra I (maiúscula), obtendo a expressão da integral e, em 
 seguida, calculamos seu valor numérico (value) 
- ou grafamos com a letra i (minúscula), obtendo de imediato o seu valor 
> with (plots) : implicitplot3d ( [z=x^2+y^2, x-1=0, x-2=0, 
 y=0, y-1=0 ], x=0..2, y=0..1, z=0..4, numpoints=5000) ; 
10 
D 
Exemplo 2 . Calcular a área S do retângulo de dimensões 2 e 3 . 
 Resolução : O domínio de integração é dado por . Para calcularmos a área do retângulo,basta fazer z = 1, pois, estaremos calculando o volume do paralelepípedo de altura unitária que, 
 numericamente, é igual à área da base : 
S 
X
Y
0 3
2
x: 0 3
S :
y: 0 2



3 2 2 3 2
0 0 0 0 0
V z .dA S dx .dy 3.dy 6 .        
volume do paralelepípedo 
de altura unitária 
> Int (Int (1, x=0..3), y=0..2) ; 
> value(%) ; 
 ou 
> int (int (1, x=0..3), y=0..2) ; 
d



0
2
d



0
3
1 x y
6
6
> plot3d (0.1, x=0..3, y=0..2) ; 
2°. Caso : Limites de integração variáveis . O domínio é uma região fechada conforme ilustra a figura abaixo : 
X
Y
0 a b
   
x: a b
D
y: f x g x



Os valores assumidos pela variável x são constantes, 
isto é, a variação horizontal x se dá entre duas retas 
paralelas verticais x = a e x = b . 
 
Ao contrário, a variação vertical y ocorre entre duas 
curvas y = f (x) e y = g (x) : os valores assumidos pe-
la variável y são dependentes dos valores de x 
Neste segundo caso, a ordem das integrações parciais já não é optativa, pois, a subordinação da variável y nos 
impõe um rígido ordenamento das integrações parciais: a integral relativa à variável x deve ser executada por 
último para imprimir um resultado numérico nas operações . Se, porventura, invertermos essa ordem de inte-
gração, ao final das operações teremos chegado a uma expressão literal, resultado da prevalência da variação 
literal de y . 
Exemplo 1 . Calcular a área A do triângulo da figura abaixo . 
 
 Resolução : O domínio de integração é dado por . 
X
Y
0
 b, 0
h
x: 0 b
D: h
y: 0 x
b




h h
x x bb b b 2b b
0 0 0 0 0 0
h h x bh
V z .dA A dy .dx x . dx A .
b b 2 2
          
f (x) 
 g (x) 
 D 
h
y x
b

(reta que contém a origem) 
volume do prisma de base 
triangular e altura unitária 
Outra resolução : Mudemos a posição da figura e busquemos um raciocínio alternativo : 
X
Y
0
x y h
1 y x h
b h b
     
 b, 0
 0, h
A equação segmentária da reta nos dá 
x: 0 b
D: h
y: 0 x h
b



  
h
x h bb b 2b
0 0 0 0
h h x bh
A dy .dx x h . dx hx A .
b b 2 2
 
 
         
 
  
Exemplo 2 . Calcular a área compreendida entre as curvas y = x² e y = x + 2 . 
 Resolução : Os pontos de interseção das curvas são 
 e o domínio ficará 
2
2
x' 1y x
x x 2 0
x" 2y x 2
   
     
  
2
x: 1 2
D:
y: x x 2
 

 
 
2
2x 22 2 3 2
2
1 1x 1
x x 9
A dy .dx x 2 x . dx 2x A
3 2 2

  
            
D 
> plot ( {x^2, x+2}, x = -2..3, y = -1..5, color = [red, blue] ) ; 
> A=int (int (1, y=0..h/b*x), x=0..b) ; 
A
h b
2
> A=int (int (1, y=0..-h/b*x+h), x=0..b) ; 
A
h b
2
A
9
2
> A=int (int (1, y=x^2..x+2), x=-1..2) ; 
D 
11 
área da base 
área da base 
Houve uma simples inversão de papéis entre as duas 
variáveis . Mutatis mutandis : 
 a variação horizontal x se dá entre duas curvas 
x = f (y) e x = g (y) : os valores assumidos pela va-
riável x estão subordinados aos valores de y . 
 
 a variação vertical y ocorre entre duas retas ho-
rizontais y = c e y = d : 
3°. Caso : Limites de integração variáveis . Este caso constitui uma alternativa do anterior : 
X
Y
0
c
d
   
y: c d
D
x: f y g y



f (y) g (y) 
D 
Exemplo 1 . Calcular a área da região plana limitada pelas curvas y = x , y = 2 e xy = 1 . 
 Resolução : As equações dadas representam duas retas e uma hipérbole. Calculemos a interseção da hipér- 
 bole e a bissetriz y = x : 
X
2y2 2 2
11 1 1
y
1 y 3
A dx .dy y . dy n y A n 2 .
y 2 2
 
        
 
  
Y
0
D 
2
y x
x 1
x 11
y 1y
x

 
   
  
 - Utilizamos somente os valores positivos, pois, a região que nos interessa está situada no 1º. quadrante . 
y 1
y : 1 2
D: 1
x : y
y





Então, a área da região hachurada será obtida por 
Exemplo 2 . Calcular a integral dupla 
 Resolução : Seguindo as instruções já ensaiadas, teremos : 
y1 e
1 1
1
dx .dy .
xy

 
 
y
y e1 e 1 1 1
y
1 1 1 1 11
1 1 11
dx .dy n x . dy ne n1 .dy y .dy 2 .
xy y y y
   
         
1. Calcular a integral 
 
 Resolução : 
2 2x
3
1 0
xy . dy . dx . 
2 x2 2x 2 24
2
3 5 6
1
1 0 1 10
y 4
xy . dy . dx x . dx 4 x . dx x 42 .
4 6
       
> plot ({x, 2, 1/x}, x=0..4, y=0..3, 
 numpoints=1000, 
 color = [blue, red, green] ) ; 
> A=int (int (1, x=1/y..y), y=1..2) ; 
A 
3
2
( )ln 2
> int (int (1/(x*y), x=1..exp(y)), y=-1..1) ; 
2
> with (plots): implicitplot3d ( [1/(x*y), x-1 = 0, x = exp(y), y = -1, y = 1], 
 x = 0.5..5, y = -1.5..1.5, z = 0..3 ) ; 
> int (int (x*y^3, y=0..2*x), x=1..2) ; 42
> plot3d (x*y^3, y = 0..2*x, x = 1..2) ; 
D 
D 
12 
2.2. Integral dupla em coordenadas cartesianas . 
2. Calcular o volume do tetraedro limitado pelos três planos cartesianos e o plano 4x + 2y + z – 4 = 0 . 
 Resolução : Se escrevermos a equação do plano relativo à face inclinada, na forma segmentária, teremos condições 
 mais favoráveis para analisar a região do domínio e visualizar o tetraedro : 
 
x y z
1 z f x, y 4 4x 2y
1 2 4
       
 1, 0, 0
 0, 2, 0
 0, 0, 4
X
Y
Z
D X
Y
D 
0
 1, 0, 0
 0, 2, 0
função face inclinada do tetraedro 
visão frontal do domínio 
Zi 
0
x: x 0 x 1
D x y
y: y 0 1 ou y 2x 2
1 2
  


      
x y
r : 1
1 2
 
eq. segmentária 
 da reta r 
Então, o volume do tetraedro será calculado como segue 
 
   
1
2x 2
i
0
D 0
1 1
2x 2
2 2
o
0 0
1
3
2
0
V z . dA 4 4x 2y .dy .dx
4 y 4xy y . dx 4 x 2x 1 .dx
x
4 x x
3
4
V u.v. ,
3
 
 
   
     
 
   
 
 
  
 
resultado já esperado, pois, o volume do tetraedro é 
 
volume do
paralelepipedo
1 4
V 1 2 4
6 3
     
> V=int (int (4-4*x-2*y, y=0..-2*x+2), x=0..1) ; 
V
4
3
> with (plots) : implicitplot3d 
 (z=4-4*x-2*y, x=0..1, y=0..2, z=0..4) ; 
3. Calcular a integral onde R é a região plana limitada pelas retas 
 Resolução : 
X
Y
0
x
y
2

x 
y 2x
R 
x : 0
R : x
y : 2x
2




 
2
2
4 x2
2
i
D 0 0
2 4 x
2
0
0
2
2
0
2
3
0
V z . dA 4 x . dy . dx
y 4 x . dx
4 x . dx
16x
4x V u.v.
3 3


  
  
 
 
    
 
  


R
sen x .dA,
x
y 2x , y e x .
2
  
4. Determinar, no primeiro octante, o volume do sólido limitado pelos dois cilindros x² + y² = 4 e x² + z² = 4 . 
 Resolução: Observemos que o sólido proposto representa a oitava porção do joelho 
 de uma calha construída com a interseção de dois cilindros perpendicu- 
 lares e de mesmo raio 2 : 
 2, 0, 0
 0, 2, 0
 0, 0, 2
Z
X
Y
0
2
x : 0 2
D :
y : 0 4 x


 
D 
Zi 
2y 4 x 
2z 4 x 
> with (plots) : implicitplot3d 
 ({2*x-y=0, x-2*y=0, x=Pi, z=sin(x)}, 
 x=0..4, y=0..8, z=0..1.2, numpoints=3000) ; 
> with (plots) : implicitplot3d 
 ({x^2+y^2=4, x^2+z^2=4, x=0, y=0, z=0}, x=0..2, y=0..2, z=0..2) ; 
> int (int (sin(x), y=x/2..2*x), x=0..Pi) ; 
3 
2
> int (int (sqrt(4-x^2), y=0..sqrt(4-x^2)), x=0..2) ; 
16
3
13 
 
2 x
2 x
x
xR 0 0 2
2
0
integrando por partes
0
sen x .dA sen x .dy .dx y sen x . dx
3
x . sen x .dx
2
3
x .cos x sen x
2
3
2
 



 

  

   

6. Inverter a ordem de integração para resolver a integral 
 Resolução : Existem algumas funções transcendentes que não são integráveis pelos 
 métodos convencionais do Cálculo, exigindo outros caminhos de resolução mais 
 específicos . Essa função bem como a função e 
 outras mais fazem parte desse grupo de funções rebeldes . Para resolver o pro- 
 blema, façamos a inversão da ordem 
 
 e a integral dada pode ser escrita na forma 
5. Calcular a área da região plana limitada pelas duas parábolas y = x² - 9 e y = 9 – x² . 
 Resolução : 
 3, 0, 0
 3, 0, 0
X
Y
Z
D 0  
2 2
2
3 3
9 x 9 x
x 9 0
D 3 0
3
2
0
3
3
0
A dA dy .dx 4 dy .dx
4 9 x .dx
x
4 9x
3
A 72 u.a.
 


  
 
 
  
 
 
    

2 2
x : 3 3
D :
y : x 9 x 9
 

  
Como a região do domínio guarda 
uma simetria em relação aos eixos 
OX e OY , podemos tratar o domí-
nio em apenas um quadrante, mul-
tiplicando o resultado encontrado 
por 4 : 
2
x : 0 3
D :
y : 0 9 x


 
2y 9 x 
2y x 9 
> plot ( [x^2-9, 9-x^2], x = -3..3, y = -9..9, 
 color = [red, blue] ) ; > int (int (1, y=x^2-9..9-x^2), x=-3..3) ; 72
X
Y
0
y x
D 
x : 0 1 y : 0 1
D D
y : x 1 x : 0 y
  
 
  
1 1
0 x
sen y
dy . dx .
y
 
 1, 0
 
sen u
f u ,
u
  
2tg t e
 0, 1
y1 1 1 1
y
0
0 x 0 0 0
1
0
1
0
sen y sen y sen y
dy . dx dx . dy x . dy
y y y
sen y . dy
cos y
1 cos1 0,46 .
   

 
  
    

7. Inverter a ordem de integração para resolver a integral 
 Resolução : Tal como foi feito no problema anterior, podemos escrever 
2
1 1
x
0 y
e . dx . dy . 
X
Y
0
x y
D 
 1, 0
 0, 1
y : 0 1 x : 0 1
D D
x : y 1 y : 0 x
  
 
  
 
2 2 2
2
2
1 x 1 1
xx x x
0
0 0 0 0
1
x
0
1
x
0
e . dy . dx e . y . dx x .e . dx
1
2x .e . dx
2
1
e
2
1
e 1 0,86 .
2
 


  
   

> int (int (sin(y)/y, x=0..y), y=0..1) ; 
1 ( )cos 1
> evalf (%, 2) ; 
> plot3d (sin(y)/y, x=0..y, y=0..1, 
 numpoints=1000) ; 
> plot3d (exp(x^2), y=0..x, x=0..1, 
 numpoints=3000) ; 
> int (int (exp(x^2), y=0..x), x=0..1) ; 
 
1
2
1
2
e
> evalf (%, 2) ; 
0.86
14 
 0, 3, 0
8. Escrever a integral representativa do volume do sólido limitado pelo paraboloide z = 9 – x² - 3y² e os planos cartesia- 
 nos z = 0 , y = 0 e x = 0 . 
 0, 0, 9
X
Y
Z
0
Resolução : Para analisarmos o domínio D , basta fazer z = 0 : 
 3, 0, 0
2 2
2 2 x yz 9 x 3y 0 1 :
9 3
      
elipse 
2
2
x : 0 3
y : 0 3
D ou Dx
y : 0 3 x : 0 9 3y
3
   
 
    
Uma qualquer das alternativas pode ser utilizada : 
 
 
2
2
3 x
3
2 23
i
0
D 0
3
9 3 y
2 2
0
0
V z . dA 9 x 3y . dy . dx
ou 9 x 3y . dx . dy .


   
  
  
 
Zi 
> with (plots) : implicitplot3d 
 ({z=9-x^2-3*y^2, x=0, y=0, z=0}, 
 x=0..3, y=0..sqrt(3), z=0..9) ; 
- Atentemos para a rapidez do resultado obtido por meio do sistema algébrico Maple : 
> V = int (int (9-x^2-3*y^2, y=0..sqrt(3-x^2/3)), x=0..3) ; 
V
27 3 
8> evalf (%, 3) ; 
V 18.4
ou 
> V = int (int (9-x^2-3*y^2, x=0..sqrt(9-3*y^2)), y=0..sqrt(3)) ; 
> evalf (%, 3) ; 
V
27 3 
8
V 18.4
Obviamente, o cálculo dessa integral pelos métodos convencionais nos exigiria alguns ma- 
labarismos algébricos e geométricos mais cansativos . Todavia, convém ressaltar que o di-
reito à utilização dos recursos computacionais torna-se legítimo e necessário na medida 
em que o aluno já tenha logrado um satisfatório domínio dos procedimentos usuais na 
manipulação dos conceitos e técnicas vivenciadas num seguro aprendizado de Cálculo . 
9. Problema 6, página 1000 do livro-texto JS : Calcular a integral iterada 
 Resolução : 
1 v
2
0 0
1 v du dv . 
 
1 v 1 1v
2 2 2
0
0 0 0 0
2
0
1
0
3
10 2
2
1
1
1 v du dv u 1 v dv v 1 v dv
faz se: w 1 v dw 2v dv
v: 0 1
w: 1 0
dw
w .
2
1 1 w 1 1
w dw 0 1 .
32 2 3 3
2
    
     



 
  
 
       
   


> plot3d (sqrt(1-v^2), u=0..v, v=0..1, 
 numpoints=5000) ; 
> int (int (sqrt(1-v^2), u=0..v), v=0..1) ; 
1
3
15 
x
D
y e dA ,
X
Y
 0 0, 0  6, 0
 2, 4
y
x : 6 y
D 2
y : 0 4

 

  6 y4 4
6 y
x x x
y
2yD 0 0
2
y4
6 y 2
0
y e dA y e dx dy y e dy
y e e dy



    
 
  
 
   

6 2e 9e 4 .  
y : 0 2
D
x : 0 2y



2 y2 2
2 y2 2
i 0
D 0 0 0
12 0
2 2
0 4v d v
0
3
4
V z . dA 4 y dx dy 4 y x dy
4 y 2y dy v dv
y: 0 2
v: 4 0
2
v
3
16
V u.v.
3
 
    
 
      
 
 



 
 
   
 
10. Problema 18, página 988 (4ª. edição) do livro-texto JS : Calcular a integral sendo D a região 
 triangular com vértices (0, 0) , (2, 4) e (6, 0) . 
 Resolução : A região plana do domínio nos sugere a variação 
 0, 4
: a variável x depende de y 
: a variável y é independente 
executando duas integrações por partes, teremos : 
11. Problema 26, página 1000 do livro-texto JS : Determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro y²+ z² = 4 e 
 pelos planos x = 2y , x = 0 e z = 0 , no primeiro octante . 
 Resolução : A região plana do domínio deve ser estruturada como sugere a figura . 
Y
Zi 
D 
D 
> int (int (y*exp(x), x=y/2..6-y), y=0..4) ; 
  4 e
6
9 e
2
> plot3d (y*exp(x), x=y/2..6-y, y=0..4, numpoints=3000) ; 
> plot3d (sqrt(4-y^2), x=0..2*y, y=0..2, 
 numpoints = 5000) ; 
> with (plots) : implicitplot3d 
 ({y^2+z^2=4, x=2*y, x=0, z=0}, 
 x=0..4, y=0..2, z=0..2) ; 
> V=int (int (sqrt(4-y^2), x=0..2*y), y=0..2) ; 
V
16
3
16 
12. Problema 26, página 988 (4ª. edição) do livro-texto JS : Determinar o volume do sólido limitado pelos planos 
 y = 0, z = 0, y = x e 6x +2y +3z = 6 . 
 Resolução : 
 1, 0, 0
 0, 3, 0
 0, 0, 2
0
Y
X
Z
D 
3
y : 0
4
D
y
x : y 1
3



  

X
Y
0
D 
 1, 0, 0
3
y
4

Zi 
3 y
1
4 3
i
D 0 y
2
V z dA 2 2x y dx dy
3

 
    
 
  
Resolvendo tal integral dupla, encontramos 
1
V u.v.
4

 
sen x2
0 0
f x, y dy dx .

 
0
Y
X
y sen x
x
2


D 
x: 0
D 2
y: 0 sen x



 
y: 0 1
D
x: arc sen y
2





 Então, é válido escrever a igualdade 
   
sen x 12
2
arc sen y
0 0 0
f x, y dy dx f x, y dx dy .


   
4
3
8 2
x
0 y
e dx dy 
0
Y
X
3y x
x 2
D 
y 8
 2, 8
3
y: 0 8
D
x: y 2



3
x: 0 2
D
y: 0 x



Calculando a integral dupla, com a ordem de integração trocada, teremos : 
3
34 4 4
3
4
4
8 2 2 x 2
xx x x
0
0 0 0 0y
2
3 x
0
162
x
0
e dx dy e dy dx e y dx
1
4x e dx
4
1 e 1
e
4 4
 


  
    

> V=int (int (2-2*x-2/3*y, x=y..1-y/3), y=0..3/4) ; 
V
1
4
> with (plots) : implicitplot3d 
 ({6*x+2*y+3*z=6, y=0, y=x, z=0}, 
 x=0..1, y=0..1, z=0..2) ; 
> int (int (exp(x^4), y=0..x^3), x=0..2) ; 
 
1
4
1
4
e
16> plot3d (exp(x^4), x=0..2, y=0..x^3) ; 
13. Problema 34, página 988 (4ª. edição) do livro-texto JS : Esboçar a região do domínio e inverter a ordem de inte- 
 gração da integral iterada 
 
 
 
 Resolução : ordem dada : 
 
 
 inversão da ordem : 
14. Problema 48, página 1001 do livro-texto JS : Calcular a integral, invertendo a ordem de integração : 
 
 
 
 Resolução : 
 ordem dada : 
 
 inversão da ordem : 
17 
15. Problema 50, página 1001 do livro-texto JS : Expressar D como a união de regiões e calcular a integral 
1 2 32 2
x : 0 1 x : 0 1x : 1 0
D , D e D
y : 1 1 x y : x 1 x y : 1 x
     
  
          
D
xy dA .
Resolução : A região D pode ser decomposta nas partes 
1D
2D
3D
2 2 x1 x 1 x0 1 1
D 1 1 0 0 1x
xy dA xy dy dx xy dy dx xy dy dx
 
  
        
Resolvendo as integrais e adicionando os resultados, encontramos 
D
xy dA 0 .
16. Problema 56, página 1001 do livro-texto JS : Utilizar a simetria para calcular onde D é 
 
 a região limitada pelo quadrado com vértices 
 
D
2 3x 4y dA , 
   5, 0 e 0, 5 . 
Resolução : De acordo com a propriedade distributiva, a integral dada escreve-se : 
 5, 0 5, 0
 0, 5
 0, 5
X
Y
0
 
D D D D
2 3x 4y dA 2dA 3x dA 4y dA       
Todavia, devemos levar em conta os detalhes : 
D
2 dA :
 volume do prisma reto de base quadrada D e altura z = 2 . 
 Como a base quadrada tem área 50 , o volume será 100 . 
D
3x dA :
A equação z = 3x representa um plano inclinado contendo o 
eixo OY e, como a função z = 3x é ímpar, a simetria do do-
mínio D produzirá duas porções simétricas dos volumes de 
dois prismas chanfrados de base triangular . Consequente-
mente, o valor da integral é zero . 
D
4 y dA :
A equação z = 4y representa um plano inclinado contendo o 
eixo OX e, como a função z = 4y também é ímpar, a sime-
tria do domínio D produzirá resultados inteiramente análo-
gos aos da integral anterior . Portanto, o valor final também 
será zero . 
Então, 
 
D
2 3x 4y dA 100 .  
D 
> int (int (x*y, y=-1..1+x^2), x=-1..0) + int (int (x*y, y=sqrt(x)..1+x^2), x=0..1) + int (int (x*y, y=-1..-sqrt(x)), x=0..1) ; 
0
> plot3d ({1-x-y, 4-x^2-y^2}, 
 x=-3..3, y=-3..3) ; 
17. Problema 58, página 1001 do livro-texto JS : Utilizando um CAS (Computer Algebraic System) – Sistema Algé- 
 brico Computacional, desenhar o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1 e o 
 paraboloide z = 4 – x² - y² , e calcular seu volume exato . 
Resolução : Deveremos determinar as equações das fronteiras da região espacial 
 de integração e calcular a integral dupla correspondente : 
Domínio D 
> solve (1-x-y = 4-x^2-y^2, y) ; 
,
1
2
 13 4 x 4 x
2
2

1
2
 13 4 x 4 x
2
2
curvas y = f(x) ao longo do eixo OY 
> solve (13+4*x-4*x^2 = 0) ; 
,
1
2
14
2

1
2
14
2
> V = int (int (4-x^2-y^2-(1-x-y), y=(1-sqrt(13+4*x-4*x^2))/2..(1+sqrt(13+4*x-4*x^2))/2), 
 x=(1-sqrt(14))/2..(1+sqrt(14))/2) ; 
V
49 
8
ou 19,2 u.v. 
O ’ 
balizamentos numéricos de D ao longo do eixo OX 
18 
2.3. Integral dupla em coordenadas polares . 
 
 O estudo das integrais duplas em coordenadas polares é feito nos mesmos moldes que acabamos de 
mostrar nas coordenadas retangulares cartesianas . Obviamente, a utilização deste ou daquele sistema será ditada pela con-
veniência e praticidade de cada um deles diante da natureza das dificuldades que as múltiplas situações oferecem . 
 
 Por analogia ao que já fizemos no estudo das integrais duplas em coordenadas cartesianas, podemos 
definir a integral dupla de uma função num domínio fechado do plano polar . Seja z = f (r, ) uma função definida e contí-
nua num domínio polar fechado D e analisemos tal domínio : 
X 
Z 
0 a 
b 


 i i iP r ,
 i i iP r , , z
z = f (r, ) 
i i i 1     
 i ii i iV f P . r . r .   
( volume do paralelepípedo elementar ) 
Consideremos ainda a soma desses produtos 
 
 
 
denominada soma integral de Riemann da 
função f , no domínio polar D . 
 
n
i i i i
i 1
f P . r . r . ,

 
D 
 
i i i 1
i i i 1
r
r : a b
D , sendo
:
r r r
 
  
   

 
 
   
 
  
ir
i ir . 
iA
i i i iA r . r .    
( área do quadrilátero 
 curvilíneo genérico ) 
Definição . A integral dupla da função f , no domínio polar D , é o limite da 
 soma integral , quando se tal limite existir : 
i i0 e r 0 ,      
 
i
n
i i i i i
n
i 1D
n
i i
A 0
i 1
f r , . dA lim f r , . r . r .
ou
lim f P . A ,
  


 

  



sendo n o número de retângulos do domínio e a área do retân-
gulo curvilíneo (polar) genérico desse domínio . 
iA
Em tempo : Para poupar o prezado leitor de discursos cansativos e desnecessários, afirmamos que o raciocínio desen- 
 volvido simplesmente executou uma conversão da integral dupla, em coordenadas cartesianas, para as 
 coordenadas polares, fazendo surgir naturalmente o fator de correção r , resultado de um determinante 
 denominado jacobiano da transformação, homenageando o matemático e filósofo alemão Carl Gustav 
 Jacob Jacobi (1804 - 1851) . Ver maiores detalhes nas páginas 1041 e 1042 do livro-texto JS, 5ª. edição . 
 Seguindo os caminhos trilhados no item anterior, se quisermos calcular a área da região plana limitada 
 pelo domínio polar D , basta fazer z = f ( r,  ) = 1 : 
 Jacobi 
(1804-1851) 
 
 
 2
1D D1
f r, . dA dA r . dr . d .
 
  
 

    
19 
> Int ( Int ( (r^2*(cos(theta)+sin(theta) )+r^3 ), r = 0..2), theta = 0..2*Pi ) ; 
 Conversões de sistemas de coordenadas . 
 
 No Sistema Algébrico Computacional MAPLE , tais conversões se operam mediante os comandos 
 > with (linalg) 
> with (linalg) ; #Álgebra Linear: Cálculo da matriz jacobiana e seu determinante : 
Coordenadas retangulares Coordenadas polares 
0 X
Y

   P x, y P r,
r
A
2 2 2 2 2
x r cos
x y r r x y
y r sen



      

x 
 y 
x r cos y r sen y
tg arctg
y r sen x r cos x
    

    

> J:= jacobian ( [r*cos(theta), r*sin(theta)], [r, theta] ) ; #Expressa a matriz jacobiana : 
 := J








( )cos  r ( )sin 
( )sin  r ( )cos 
> `det(J)`:= simplify (det(J)) ; #Calcula seu determinante : 
 := det(J) r
Exemplo ilustrativo . Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco x² + y² ≤ 4 , de modo que a densidade de 
 carga em cada ponto do disco seja  (x, y) = x + y + x² + y² , medida em coulombs por metro quadrado . 
 Determinar a carga total no disco . - Problema 2, página 1016 do James Stewart . 
 Resolução : Tal como operamos o cálculo da massa total, a distribuição de uma carga elétrica sobre uma 
 região plana R é obtida por meios análogos . Sua carga elétrica total é dada pela expressão 
 
 
 
 
 mostrando inequívocos sinais da conveniência de convertê-la em coordenadas polares : 
   
 
22 4 x
2 2
0 0
R dA
x, y
Q x, y dA Q 4 x y x y dy dx ,

        
0
X
Y

r
 
 
 
2 2 2 2
2 2 3
0 0 0 0
dA
x, y
Q r cos r sen r r dr d r cos sen r dr d
 

               
> evalf (%, 3) ; 
> value (%) ; 
ou 
25,1coulombs
BlockDiagonal GramSchmidt JordanBlock LUdecomp QRdecomp Wronskian addcol addrow adj adjoint angle, , , , , , , , , , ,[
augment backsub band basis bezout blockmatrix charmat charpoly cholesky col coldim colspace colspan, , , , , , , , , , , , ,
companion concat cond copyinto crossprod curl definite delcols delrows det diag diverge dotprod eigenvals, , , , , , , , , , , , , ,
eigenvalues eigenvectors eigenvects entermatrix equal exponential extend ffgausselim fibonacci forwardsub, , , , , , , , , ,
frobenius gausselim gaussjord geneqns genmatrix grad hadamard hermite hessian hilbert htranspose ihermite, , , , , , , , , , , ,
indexfunc innerprod intbasis inverse ismith issimilar iszero jacobian jordan kernel laplacian leastsqrs linsolve, , , , , , , , , , , , ,
matadd matrix minor minpoly mulcol mulrow multiply norm normalize nullspace orthog permanent pivot potential, , , , , , , , , , , , , ,
randmatrix randvector rank ratform row rowdim rowspace rowspan rref scalarmul singularvals smith stackmatrix, , , , , , , , , , , , ,
submatrix subvector sumbasis swapcol swaprow sylvester toeplitz trace transpose vandermonde vecpotent vectdim, , , , , , , , , , , ,
vector wronskian, ]
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected 
> Int ( Int ((r^2)*(cos(t)+sin(t))+r^3), r = 0..2), t = 0..2*P i) = 
 int ( int ((r^2)*(cos(t)+sin(t))+r^3), r = 0..2), t = 0..2*Pi ) ; 
(2, 0) 
polar : 0 2D : r : 0 2 
> with (plots) : implicitplot (r = 2, r = 0..2, 
 theta = 0..2*Pi, coords = polar) ; 
20 
d




0
2 
d




0
2
r
2
( )( )cos  ( )sin  r
3
r 
8 
25.1
d




0
2 
d




0
2
r
2
( )( )cos t ( )sin t r
3
r t 8 
Problemas ilustrativos 
1. Calcular, por coordenadas polares, a integral sendo D a região plana do 1°. quadrante limitada 
 pelo círculo x² + y² = 1 . 
 
 Resolução : Lembrando que x = r cos  e y = r sen  , teremos 
2 2
D
x
dA ,
x y



X0
r

: 0
D 2
r : 0 1

 

 
12
2 2
D 0 0
1
22
0 0
2
0
2
0
r cosx
dA r dr d
rx y
r
cos d
2
1
cos .d
2
1 1
sen
2 2






 
 

 

 

  
  


2. Calcular, por coordenadas polares, a integral sendo D a região plana limitada pelos círculos 
 x² + y² = 1 e x² + y² = 9 . 
 
 Resolução : O domínio é uma coroa circular de raios 1 e 3 . 
2 2x y
D
e . dA,
D 
X
0
r

D 
 : 0 2D r : 1 3  
   
2 2 2 2
2
2 23 3
x y r r
D 0 1 0 1
2 2
3
r 9 9
1
0 0
1
e . dA e r dr d 2r e dr d
2
1 1
e d e e d e e .
2 2
 
 
 
  
   
    
    
 
3. Determinar a área plana limitada pelas curvas 
 
 Resolução : As equações representam dois círculos que contêm o polo, centros no eixo polar e raios 1 e 2 . 
r 2cos e r 4cos .  
X0
r

D 
4 cos2
2 cos
2
:
D A r dr d2 2
r : 2cos 4 cos


 
  
 

  
 
 
 
Podemos explorar a simetria existente, escrevendo : 
4 cos2 2 2
4 cos
2 2
2 cos
0 2 cos 0 0
2
0
A 2 r dr d r d 12cos . d
sen 2
12
2 4
A 3 9,42 u.a.
  





   
 

  
 
  
 
  
   
> plot ( [1, t, t=0..Pi/2], coords=polar ) ; 
> Int (Int (r*cos(t), r=0..1), t=0..Pi/2) = 
 int (int (r*cos(t), r=0..1), t=0..Pi/2) ; 
d



0

2
d



0
1
r ( )cos t r t
1
2
> Int (Int (r*exp(r^2), r=1..3), t=0..2*Pi) = 
 int (int (r*exp(r^2), r=0..3), t=0..2*Pi) ; 
d





0
2 
d





1
3
e
( )r
2
r r t  e  e
9

> plot ({[2*cos(t), t, t = -Pi/2..Pi/2], 
 [4*cos(t), t, t = -Pi/2..Pi/2]}, coords = polar) ; 
> Int (Int (r, r=2*cos(t)..4*cos(t)), t=-Pi/2..Pi/2) = 
 int (int (r, r=2*cos(t)..4*cos(t)), t=-Pi/2..Pi/2) ; 
d





2

2
d



2 ( )cos t
4 ( )cos t
r r t 3 
D 
r

> with(plots): implicitplot (r=1, r=0..1, theta=0..Pi/2, coords=polar) ; 
ou 
21 
> with(plots): implicitplot ([r=1, r=3], r=0..3.1, 
 theta=0..2*Pi, color=[blue,red], coords=polar) ; 
> with (plots): implicitplot3d ( {z=sqrt(x^2+y^2), x^2+y^2-3*y=0}, 
 x = -3..3, y = -3..4, z = 0..3, numpoints = 10000 ) ; 

r
D 
4. Determinar a área da região plana limitada pelo eixo polar, o círculo r = 4 e a cardioide r = 4 (1 + cos ) . 
 
 Resolução : 
 
: 0
D 2
r : 4 4 1 cos





  
 
 
4 4cos
22 2
4 4cos
4
D 0 0 4dA
2
2
0
2
0
r
r dr d r dr d d
2
1
32cos 16 cos .d
2
16 sen 4 2 sen 2
16 2 A 22,28 u.a.
 




  
  
  



  
 
  
   
   

5. Determinar o volume do sólido limitado pelo cone z = r e o cilindro r = 3 sen , no 1°. octante . 
 
 Resolução : 
0
r

2 2
2 2
coordenadas cartesianas
coordenadas polares
: 0 z x y
D: D:2
x y 3y 0r : 0 3 sen


    
 
   
3sen2
2
D 0 0
3sen
32
0 0
2
3
0
3 2
0
V z dA r dr d
r
d
3
9 sen .d
cos
9 cos
3
V 6 u.v.








 


 


 
   
 
 
  


> plot ( { [4*(1+cos(t)), t, t=0..Pi/2], 
 [4, t, t=0..Pi/2] }, coords=polar ) ; 
> Área:= Int (Int (r, r=4..4+4*cos(t)), t=0..Pi/2) = 
 int (int (r, r=4..4+4*cos(t)), t=0..Pi/2) ; := Área d



0

2
d



4
4 4 ( )cos t
r r t 16 2 
Z 
X 
X 
Y 
> Volume:= int (int (r^2, r = 0..3*sin(t)), t = 0..Pi/2) ; 
 := Volume 6
D 
ou 
> with (plots): implicitplot ([r=4, r=4*(1+cos(theta))], 
 r=4..4*(1+cos(theta)), theta=0..Pi/2, color = [blue,red], 
 coords = polar) ; 
Advertência . Se tentarmos utilizar as coordenadas polares na construção 
 gráfica da região abordada, seremos levados a trabalhar no espaço tri- 
 dimensional e, portanto, apelar para as coordenadas cilíndricas . Tal 
 assunto será tratado mais adiante, porém nada nos impede de mostrar 
 seu arcabouço geométrico e a respectiva formulação sintática : 
> with (plots): implicitplot3d ({z=r, r=3*sin(theta)}, r=0..3, theta=0..Pi/2, 
 z = 0..3, numpoints = 10000, coords = cylindrical) ; 
22 
7. Problema 17, página 994 do livro-texto : Determinar a área da região plana limitada pela lemniscata r² = 4 cos 2 . 
 
 Resolução : A equação polar genérica da curva é r² = 2a² cos 2 e o do- 
 mínio, em cada quadrante, é dado por 
: 0
D 4
r : 0 2 cos 2 .






 
2 cos 2
24 4
2 cos 2
0
D 0 0 0dA
4
4
0
0
r
A r dr d 4 r dr d 4 d
2
8 cos 2 d 4 sen 2 A 4 u.a.
 




  
  
   
   
   

8. Problema 30 , livro-texto, página 1006 : Calcular a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares 
 
 
 Resolução : A primeira busca a fazer é a interpretação algébrico-geométrica do domínio : 
 P r,
 A a, 0 B a, X
2 a 
“ laço de fitas ” 
Diante da generosa simetria apresentada pela curva, podemos 
calcular a área escrevendo 
2 2r 2a cos 2
 
2 2 3a a y
2 2 2
a 0
x y dx dy .


 
2 2 2 2
y : a a
:
D Dx : 0 a y : x a y 2 2
r : 0 a
      
    
   semicírculo de 
centro na origem 
 e raio a 
X
Y
0
D 

r
Podemos ainda explorar a simetria e fazer 
 
2 2 3a a y a a
2 2 3 42 22
a 0 0 0 0 0
a
5 5 5
2 2
0 0
0
x y dx dy 2 r r dr d 2 r dr d
r 2 a a
2 d d .
5 5 5
 
 
 
 


   
  
     
 
 0, a
 0, a
( 4ª. edição) 
> with (plots) : 
 polarplot (sqrt (50*cos(2*theta) ), theta = 0..2*Pi ) ; 
> Área:= 4*int (int (r, r=0..2*sqrt(cos(2*t))), t=0..Pi/4) ; 
 := Área 4
> Int (Int (r^4, r=0..a), t=-Pi/2..Pi/2) = int (int (r^4, r=0..a), t=-Pi/2..Pi/2) ; 
d






2

2
d




0
a
r
4
r t
a
5

5
6. Problema 16 , livro-texto, página 1006 : Determinar a integral onde D é a região do primeiro quadrante 
 compreendida entre os círculos x² + y² = 4 e x² + y² = 2x . 
 
 Resolução : 
D
x dA ,
D 
0
 
2 2 cos
2 22 2
0 0 0 0
D
42 2
0 0
42
0
x dA r cos dr d r cos dr d
8 8
cos d cos d
3 3
8 8
cos cos d .
3 3 2
  
 

   
  
  
 
 
    
    
 

> int (int (r^2*cos(t), r=0..2), t=0..Pi/2) – 
 - int (int (r^2*cos(t), r=0..2*cos(t)), t=0..Pi/2) ; 

8
3

2
1
2
r : 0 2
D :
: 0
2
r : 0 2cos
D :
: 0
2















Ver James Stewart, Tabela de Integrais : 
4 31 3 sen 2cos .d cos .sen
4 4 2 4
         
 

23 
A massa total da lâmina será dada por sendo a 
função contínua em R . 
 As medidas dos momentos de massa da lâmina, em relação aos eixos cartesianos, são : 
2.4. Aplicações da integral dupla : centro de massa e momento de inércia . 
 
 Além das ilustrações do cálculo de áreas e volumes já estudadas, a integral dupla apresenta interes-
santes aplicações em diversas áreas da engenharia, da economia, da estatística e probabilidades . Sua utilidade nos cálculos 
de centro de massa e momento de inércia, por exemplo, é bastante explorada . Excetuando-se alguns casos especiais, as in-
tegrais simples permitem determinar essas grandezas somente para regiões planas homogêneas, ao passo que as integrais 
duplas são capazes de efetuar esses cálculos também paralâminas não homogêneas . 
 
 Suponhamos uma lâmina com a forma de uma região fechada R, no plano XOY , e seja 
 a medida da densidade de área da lâmina num ponto qualquer do i-ésimo retângulo de 
 área e massa 
 i ix , y
 i ix , y
A  i i im x , y . A . 
   
n
i i
n
i 1 R
M lim x , y A x , y .dA , 


   

   
   
n
x i i i
n
i 1 R
n
y i i i
n
i 1 R
M lim y x , y A y x , y .dA
M lim x x , y A x x , y .dA
 
 




  
  
 
 
As coordenadas do centro de massa da lâmina são dadas por 
 x , y
y xM M
x e y .
M M
 
X
Y
0
ix
iy
Momento de inércia de uma partícula de massa m , em relação a um eixo t : 
m
d
t  2 2tI m d kg m 
 sistema de n partículas : 
n
2
t i i
i 1
I m d

 
Então, os momentos de inércia da distribuição contínua de massa pela superfície da lâmina, em re-
lação aos eixos cartesianos, são : 
   
   
n
2 2
x i i i
n
i 1 R
n
2 2
y i i i
n
i 1 R
I lim y x , y A y x, y dA
I lim x x , y A x x, y dA
 
 




  
  
 
 
e o momento de inércia , em relação à origem (ou ao eixo OZ) , é 
       
n
2 2 2 2
0 i i i i
n
i 1 R
I lim x y x , y A x y x, y dA 


     
momento polar de inércia 
Em tempo : É fácil concluir que 
0 x yI I I . 
Exemplo 1 . Determinar a massa e o centro de massa da chapa cuja forma é a região plana limitada pela curva y = sen x 
 e o eixo OX, de x = 0 a x =  . A densidade de área varia com a distância ao eixo OX . 
 Resolução : 
0
X
Y
y sen x
R 
  x : 0R e x, y k yy: 0 sen x  
sen x
2
sen x
2
0 0 0 0
0
0
y k
M ky dy dx k dx sen x dx
2 2
k x sen 2x k
.
2 2 4 4
  
 
   
 
   
 
   

d : raio de rotação da partícula em torno do eixo t 
> M:= Int (Int (k*y, y=0..sin(x)), x=0..Pi) = int (int (k*y, y=0..sin(x)), x=0..Pi) ; 
 := M d



0

d



0
( )sin x
k y y x
k 
4
24 
sen x sen x
2 3 3
x 00 0 0 0
3
0
k k
M ky dy dx y dx sen x dx
3 3
k cos x 4 k
cos x .
3 3 9
  

   
 
   
 
   

sen x sen x
2 2
y 00 0 0 0
2
2 2 2
0
k k
M kxy dy dx xy dx x sen x dx
2 2
du dx
u x
x sen 2xpor partes:
vdv sen x dx
2 4
k x x sen 2x x cos 2x k
.
2 2 4 4 8 8
  


  
 
   

 
     
 
   
y
x
M
x
M 2
M 16
y
M 9



 

 

 

Observação : Como a densidade de área é simétrica, em relação ao eixo vertical 
 a abscissa do centro de massa poderia ter sido calculada imediatamente . 
x ,
2


x
2


16
,
2 9


 
 
 
Exemplo 2 . Dada uma chapa homogênea de densidade de área  , limitada pelas curvas 4y = 3x , x = 4 e o eixo OX , 
 determinar os momentos de inércia , em relação aos três eixos cartesianos . 
 Resolução : 
0
X
Y
3
y x
4

R 
x 4
 
x : 0 4
3R e x, y
y: 0 x
4
 


 

3 3
4 x 4 4x
2 3 34 4
x 00 0 0 0
4
4
0
27
I y dy dx y dx x dx
3 3 64
9 x
9 .
64 4
 
 
  
 
   
3 3
4 x 4 4x
2 2 34 4
y 00 0 0 0
4
4
0
3
I x dy dx x y dx x dx
4
3
x 48 .
16
 
 
  
 
   
0 x y 0I I I I 9 48 57 .       
Exemplo 3 . Problema 2, página 1004 do JS : Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco x² + y² ≤ 1 , de modo 
 que a densidade de carga em cada ponto do disco seja  (x, y) = 1 + x² + y² , medida em coulombs por 
 metro quadrado . Determinar a carga total no disco . (4ª. edição) 
 Resolução : Tal como operamos o cálculo da massa total, a distribuição de uma carga elétrica sobre uma 
 região plana R é obtida por meios análogos . Sua carga elétrica total é dada pela expressão 
 
 
 
 à feição do modelo já exibido na página 96 deste compêndio : 
   
 
21 1 x
2 2
0 0
R dA
x, y
Q x, y dA Q 4 1 x y dy dx ,

       
0 X
Y

r
 
 
1
2 4
2 1 2 2
2
0 0 0 0
0dA
x, y
r r 3 3
Q 1 r r dr d d d Q coulombs
2 4 4 2
  

          
 
   
> My:= int (int (k*x*y, y=0..sin(x)), 
 x=0..Pi) ; 
 := My
k 
2
8
> Mx:= int (int (k*y^2, y=0..sin(x)), 
 x=0..Pi) ; 
 := Mx
4 k
9
> Iy:= int (int (x^2*p, y=0..3/4*x), x=0..4) ; 
> Ix:= int (int (y^2*p, y=0..3/4*x), x=0..4) ; 
 := Ix 9 p
 := Iy 48 p
25 
Exemplo 4 . Problema 12, página 1016 do JS : Determinar o centro de massa da lâmina que ocupa o l°. quadrante do 
 disco x² + y² ≤ 1 , quando sua densidade, em qualquer ponto, for proporcional ao quadrado da distância do 
 ponto à origem . 
 Resolução : 
   
 
1
2 2 2 32
0 0
1
42 2
x
0 0 0
1
42 2
y
0 0 0
y x
k
x, y k x y k r M k r dr d
8
k k
M k r sen dr d sin d
5 5
k k
M k r cos dr d cos d
5 5
M M 8 8
x , y , ,
M M 5 5

 
 

 
   
   
 
     
  
  
   
      
  
 
  
  
0 X
Y

r
Exemplo 5 . Problema 18, página 1016 do JS : Considere um ventilador quadrado com pás de comprimento 2 e seja o 
 canto inferior esquerdo a origem . Se a densidade das pás for verificar o que é mais 
 difícil fazer : girar as pás em torno do eixo OX ou do eixo OY . 
 Resolução : O momento de inércia de uma partícula, num movimento de rotação, desempenha uma função 
 semelhante ao da massa dessa partícula num movimento linear : tais entidades nos permitem 
 calcular a grandeza da resistência ao movimento, tanto para iniciá-lo quanto para cessá-lo . 
 Portanto, no problema em tela, basta calcular os momentos de inércia em relação aos dois eixos 
 e verificar qual dos resultados é maior : 
 
x
x, y 1 ,
10
  
2
2
2 2 2
2
x
0 0 0
0
2
3 43
2 2 2
2 2
y
0 0 0
0
y x
8 8 x 88x x
I y 1 dy dx 1 dx x
10 3 10 3 20 15
x x 92x x
I x 1 dy dx 2 x dx 2
10 10 3 40 15
I I ,
    
          
     
   
         
     
 
  
  
sendo necessário, portanto, o empenho de uma força maior para girar as pás