Unidade 06 ConcretoI Flechas

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CONCRETO ARMADO I 
Profª. HENRIETTE MANFREDINI BARONI - UCS 
 
 UCS 
ENGENHARIA CIVIL 
UNIDADE 07 
Profª. HENRIETTE MANFREDINI BARONI - UCS 
 
 FLECHAS 
 
MUITOS PROBLEMAS PATOLÓGICOS QUE OCORREM 
NAS EDIFICAÇÕES TEM COMO ORIGEM DEFORMAÇÕES 
DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS. 
Por exemplo, vigas sob carregamentos perpendiculares ao 
seu eixo sofrem deformações, isto é, ocorre o giro de uma 
seção em relação a outra, dando origem a uma modificação 
da forma geométrica: EFEITO DE ENCURVAMENTO. 
CONCRETO I 
 
 
VIGAS APOIADAS: 
CONCRETO I 
 
 
Fissuras na alvenaria devido à deflexão da viga 
EXEMPLO: 
CONCRETO I 
 
 
VIGAS APOIADAS: 
f
A medida do deslocamento transversal recebe o nome de flecha. 
 
f l e c h a 
CONCRETO I 
 
 
f l e c h a 
VIGAS EM BALANÇO: 
f
CONCRETO I 
 
 
Fissuras na alvenaria devido à deflexão da viga 
EXEMPLO: 
CONCRETO I 
 
 
Vigas em balanço: 
 
 
 
f
CONCRETO I 
 
 
1. TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS 
APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS A CORPOS 
ELÁSTICOS 
 
DETERMINAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES SOFRIDAS PELAS ESTRUTURAS 
ISOSTÁTICAS DEVIDAS A CADA UM DOS AGENTES DEFORMANTES A 
QUE PODEM ESTAR SUBMETIDAS. 
 
JEAN D’ALEMBERT INTRODUZIU NA MECÂNICA RACIONAL OS 
CONCEITOS DE DESLOCAMENTO E TRABALHO VIRTUAL. 
CONCRETO I 
 
 
EXTRAPOLANDO PARA A MECÂNICA: 
 
 COMO CORPOS RÍGIDOS E CORPOS ELÁSTICOS NADA MAIS SÃO DO 
QUE UM SOMATÓRIO INFINITO DE PONTOS MATERIAIS, 
PODE-SE ENUNCIAR O TTV A ELES APLICÁVEIS: 
0W
CORPOS RÍGIDOS – trabalho virtual: 
CORPOS ELÁSTICOS – trabalho virtual: 
INTEXT WW 
CONCRETO I 
 
 
 
 V 
 
 
 
 
 
 
q 
L 
ESFORÇOS: 
 M, N, Q 
 
DEFORMAÇÕES: 
 d, ds, dh 
 ESTADO DE DEFORMAÇÃO 
 ESTADO DE CARREGAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 
ESFORÇOS: 
 Q,N,M 
 
DEFORMAÇÕES: 
 d, ds, dh 
y 
m 
D
V
1P
CONCRETO I 
 
 
Apliquemos, então, sobre esta viga V o Teorema dos Trabalhos Virtuais 
(aplicados a corpos elásticos): 
intext
WW 
DDDPWext  .1. 
  dTdhQdsNdMW LLL ..int
IE
dsM
d
.
.
 .
.
.
AG
dsQ
dh 
tJG
dsT
d
.
.

FORMA GERAL: 
CONCRETO I 
 
 
Para estruturas compostas de barras retas de inércia constante: 
  L
t
LLL
GJ
dsTT
GA
dsQQ
EA
dsNN
EI
dsMM
D

CONCRETO I 
 
 
Portanto para determinar o deslocamento no ponto m, traçam-se os 
diagramas de esforços internos correspondentes de ambas as vigas 
(com carregamento real e com carregamento virtual). 
A integração desses diagramas dá o valor do deslocamento 
procurado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
q 
L 
y 
m 
2
2qx
M  
D 
 
 
 
 
 
 
 
 
P=1 
L 
y 
m 
xM  
D 
MdsM
IE
D
L
.
1
   dxx
IE
q
dxx
qx
IE
D
L
3
2
.22.
1
 






IE
qL
dx
x
IE
q
D
L
..84.2
4
0
4









CONCRETO I 
 
 
AS EXPRESSÕES DAS FLECHAS TAMBÉM PODEM SER OBTIDAS 
PELO MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DUPLA: 
TENDO : 
EXPRESSÃO DA CURVATURA: 
 
 COMO: 
 
 
EQ DA LINHA ELÁSTICA SIMPLIFICADA: 
 
 
 
1ª INTEGRAL – FORNECE A EQUAÇÃO DAS ROTAÇÕES 
2ª INTEGRAL – FORNECE A AQUAÇÃO DA CURVA ELÁSTICA 
CONCRETO I 
 
 
EI
ME 





1
2
21
dx
yd


EI
M
dx
yd

2
2
CONCRETO ARMADO - PRESCRIÇÕES NORMATIVAS: 
 
DESLOCAMENTOS LIMITES – VALORES PRÁTICOS UTILIZADOS 
PARA VERIFICAÇÃO EM SERVIÇO DO ESTADO LIMITE DE 
DEFORMAÇÕES EXCESSIVAS DA ESTRUTURA. 
 
ITEM 13.3 _NBR6118/14 - CLASSIFICAÇÃO TABELA 13.3: 
A) ACEITABILIDADE SENSORIAL 
B) ESFEITOS ESPECÍFICOS – PARA O USO DA CONSTRUÇÃO 
C) EFEITOS EM ELEMENTOS NÃO ESTRUTURAIS 
D) EFEITOS NO COMPORTAMENTO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
 
CONCRETO I 
 
 
CONCRETO I 
 
 TABELA 13.3 _ NBR 6118/2014 
CONCRETO I 
 
 
TABELA 13.3 
CONCRETO I 
 
 
CONCRETO I 
 
 
ITEM 17.3.2 NBR 6118 – ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO 
 
A VERIFICAÇÃO DOS VALORES LIMITES, TABELA 13.3 
DEVE SER REALIZADA ATRAVÉS DE MODELOS QUE CONSIDEREM A RIGIDEZ 
EFETIVA DAS SEÇÕES DO ELEMENTO ESTRUTURAL, 
OU SEJA, 
 LEVEM EM CONSIDERAÇÃO A PRESENÇA DA ARMADURA, 
 A EXISTÊNCIA DE FISSURAS NO CONCRETO AO LONGO DESSA ARMADURA 
E AS DEFORMAÇÕES DIFERIDAS NO TEMPO. 
CONCRETO I 
 
 
)()()( diferidaimediatatotal
fff 
ITEM 17.3.2.1.1 - NBR 6118 : 
 FLECHA IMEDIATA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
PODE-SE UTILIZAR A EXPRESSÃO DA RIGIDEZ EQUIVALENTE: 
CONCRETO I 
 
 
ccsII
a
r
c
a
r
cseq
IEI
M
M
I
M
M
EIE 




























 .1.).(
33
ONDE: 
Ic - MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO BRUTA DE CONCRETO 
III - MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO FISSURADA 
Ma – MOMENTO MÁXIMO 
Mr - MOMENTO DE FISSURAÇÃO 
Ecs – MÓDULO DE ELASTICIDADE SECANTE DO CONCRETO 
CONCRETO I 
 
 
2
3
)(.
3
.
xdA
xb
I
seII
 
ONDE: 
αe - relação entre o módulo de elasticidade longitudinal do aço e o módulo 
de deformação do concreto; 
x - altura da linha neutra. 









se
s
e
A
db
b
A
x
.
.2
11..


III - MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO FISSURADA 
cs
s
e
E
E

CONCRETO I 
 
 
t
ct
r
y
If
M 1
..

ONDE: 
α = 1,5, para seções retangulares; 
yt = distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada; 
I1 = momento de inércia da seção bruta de concreto; 
fct = resistência à tração direta do concreto . 
3/2).(30,0 fckf
ctm

Mr - MOMENTO DE FISSURAÇÃO - NBR 6118 /14 – item 17.3.1 
ctmctmct fff .7,0inf, 
ITEM 17.3.2.1.2 - NBR 6118/14 : 
 FLECHA DIFERIDA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
DECORRENTE DAS CARGAS DE LONGA DURAÇÃO EM FUNÇÃO DA 
FLUÊNCIA, PODE SER CALCULADA DE FORMA APROXIMADA PELA 
EXPRESSÃO: 
CONCRETO I 
 
 
timediatadiferida
ff .
)()(

ONDE, coeficiente de fluência: 












db
sA
tt
p
t
.
'
501
)()(
'501
0

tempodofunçãoemecoeficient
comprimidaarmaduradetaxa'
SENDO: para t <ou = 70 meses 
CONCRETO I 
 
 
32,0).996,0(68,0)( tt t
SENDO: para t > 70 meses 
 
t - TEMPO, EM MESES, QUANDO SE DESEJA O VALOR DA FLECHA 
t0 – IDADE, EM MESES, DATA APLICAÇÃO DA CARGA DE LONGA DURAÇÃO 
 
SE, IDADES DIFERENTES: 
 
Pi - REPRESENTA AS PARCELAS DE CARGA 
t0i - IDADE EM QUE SE APLICOU A CARGA Pi 
2)( t
i
ii
P
tP
t


 0
0
.
CONCRETO I 
 
 
PODENDO TAMBÉM SER EXTRAIDOS DA TABELA 17.1 – NBR 6118 
)()()( diferidaimediatatotal
fff 
Profª. HENRIETTE MANFREDINI BARONI - UCS 
CONCRETO I 
 
 
EXERCÍCIO 3: Fazer uma previsão da flecha para t=70 meses para a viga 
abaixo, admitindo-se os parâmetros apresentados a seguir: 
40 KN/m 
3,5 m 15 
3
4
 c
m
 
Data carregamento: 
t0=28 dias 
 
Concreto: 
fck = 30 Mpa 
Agregado basalto 
 
Aços: 
CA 50 
 
Armadura de tração = 4 Φ16.0 
Armadura de compressão = 2Φ10.0 
 
Agressividade II 
 
Critério: 
 250)( Limitef
Profª. HENRIETTE MANFREDINI BARONI - UCS 
CONCRETO I