Cálculo 1 - Limite

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Cálculo I – Limite de uma função Sartori, C. S. 01 
1 
 Revisão - Funções: 
 
 - Definição: 
 
 Lembrando que uma função é uma relação 
entre dois conjuntos que obedecem às restrições: 
 
 1) Esta relação envolve um elemento do 
primeiro conjunto, chamado domínio da função f em 
apenas um elemento do outro conjunto denominado 
contra-domínio. 
 2) Uma vez definido o conjunto X (domínio) 
todos elementos deste devem ser relacionados. 
 
 Notação: 
f X Y:
 
 
 Classificação: 
 
 Sobrejetora: Uma função é sobrejetora, 
quando seu conjunto imagem é igual ao seu contra 
domínio. 
 Injetora: Uma função é injetora quando todos 
os elementos de seu domínio possuem imagens 
distintas. 
{ x1,x2 Dom f(x) (x1 x2) f(x1) f(x2)} 
 
 Bijetora: Quando for injetora e sobrejetora. 
 
 Classificação quanto á Paridade: 
 
 Função Par: 
 
 Uma função é quando f(+x)=f(-x) 
 O gráfico da função par é simétrico em 
relação ao eixo Oy. 
 
 Exemplo 1 - Esboce o gráfico de f(x) = 1/x
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Função Ímpar 
 
Uma função é quando f(+x)=-f(-x) 
 O gráfico da função ímpar é simétrico em 
relação à origem. 
 
 Exemplo 2 - Esboce o gráfico da função: 
 f(x) = 1/x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I - Funções Elementares: 
 
 I.a - A Função Linear: 
 
 A função linear é definida, em sua forma reduzida, por: 
y = ax + b. 
 O valor de a é denominado de coeficiente angular e 
relaciona-se com a inclinação da reta com o eixo x. Já o valor de 
b é a interceção da reta com o eixo Oy, ou seja o ponto de 
coordenadas (0,b). Sejam dois pontos por onde a reta passa: 
P x y P x y1 1 1 0 0 0( , ); ( , )
 
 
 
y ax b
a
y
x
y y
x x
1 0
1 0
 
 É útil também sabermos a equação do feixe de retas que 
passa pelo ponto 
P x y0 0 0( , )
: 
 
)()()( 00 xxaxfxf
 
 
 Graficamente, quando a > 0, a reta tem inclinação 
aguda com o eixo x, quando a < 0, a reta possui inclinação 
obtusa: 
 
a) a > 0 
b) a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
 
-3 -2 -1 1 2 3
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
 
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 2 
 2 
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tente encontrar, a partir do gráfico, as 
equações destas retas. Observe que o domínio é o 
conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem 
(Im f = R). 
 
 I.b. Função módulo. 
 
 A função módulo é definida por: 
 
y x
x x
x x
;
;
0
0
 
 a) Domínio: R; conjunto imagem: y [ 0 , ). 
 b) Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) Propriedades: 
i) ii) 
iii) 
iv) 
v) 
x x R x y x y
x a a R x a x a
x a a R a x a
x x
0
2
; ;
;
 
 I.c - A Função Quadrática: 
 
 A função quadrática é toda expressão do tipo: 
F A B f x ax bx c a: ; ( ) ;2 0
 
 Raízes: Ao resolvermos a equação:
f x ax bx c( ) 2 0
; teremos como solução: 
x
b b ac
a
b
a
b ac
2
2
4
2 2
4
 
(Equação de Báscara) 
 Dependendo do valor do delta teremos os 
seguintes casos: 
 I. > 0 f(x) possui 2 raízes reais e distintas. 
 II. = 0 f(x) possui 1 única raiz real. 
 III. < 0 f(x ) Nenhuma raiz real. 
 A função quadrática, ou parábola, poderá ter um ponto 
de máximo ou de mínimo, conforme o sinal de a: 
 IV. a > 0 Concavidade para cima - Ponto de 
mínimo em yv. 
 V. a < 0 Concavidade para baixo - Ponto de 
máximo em yv. 
 VI. f(x) = ax
2
+bx+c = a(x-x1)(x-x2) 
 Onde x1 e x2 são raízes de f(x) 
 As coordenadas do vértice da parábola são dadas por: 
V x y x
b
a
y
a
v v v v( , ); ;
2 4
 
 VI. Conjunto Imagem: 
 
 Se a > 0 Im f = [ yv , ) 
 Se a < 0 Im f = (- , yv ] 
- VII. Relação entre coeficientes e raízes: Soma e 
Produto 
 :
S x x
b
a
P x x
c
a
1 2
1 2.
 
 
 VIII. Gráficos: 
a > 0 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a < 0 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-3 -2 -1 1 2 3
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
 
-2 2 4 6
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
 
-2 2 4 6
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 3 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.d - A Função exponencial: 
 
 A função exponencial é definida 
nida por: 
f R R f x a a ax: ; ( ) , ;0 1
. 
Quando a for maior que 1 , a função é crescente; 
quando 0 < a < 1 a função é dita decrescente. O 
Domínio da função exponencial é o conjunto dos 
números reais (Dom f = R). Já o conjunto imagem é o 
intervalo: {y R y > 0} , ou seja, a função 
exponencial é extritamente positiva, tanto a crescente 
como a decrescente. 
 
 I. Gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Note que a reta y = 0 nunca intercepta o 
gráfico da função exponencial; ela é dita uma assíntota 
à função. 
 II. Conjunto Imagem: {y R y > 0} 
 
 III. Domínio: x R . 
 
 IV - Propriedades: Seja a > 0 e a 1. Sejam 
x e y R. As seguintes propriedades são válidas: 
yxaaa
yxaaa
a
aa
aaa
a
a
aaaaa
yx
yx
x
x
x
y
x yyx
y
x
yxyxyxyx
 1<0 e Se viii)
 1 e Se vii)
1
 ) vi 1 v)
 iv) ii)
)( iii) . i)
0
.
 
 
I.e - A Função logarítmica: 
 
A função logarítmica é definida por : 
f R y x x a
x a a
a
y:( , ) ; log
,
0
0 0 1
Condições de Existência:
 e 
 . 
 Assim, temos para que a função logarítmica seja 
definida, deve-se satisfazer sempre as condições de existência. x 
é chamado de logaritmando e a de base. 
 
 I. Domínio: x (0, ) 
 
 II. Imagem: y R. 
 
 III. Propriedades: A função logarítmica é a função 
inversa da função exponencial de mesma base. 
i) ii) 
iii) 
iv) 
v) 
vi) Se e 
vii) Se 0 < e 
vii) Seja e 
viii) 
log log
log log log ( . )
log ( ) log log
log log
log log
log log
, , log
log
log
log
a
y
a
a a a
a a a
a
n
a
a a
a a
b
a
a
x
x y x a a
x x x x
x
x
x x
x n x
a x x x x
a x x x x
a b a b x
x
b
a xa
1 0
1
1
0 0 1
1 2 1 2
1
2
1 2
2 1 2 1
2 1 2 1
 
 iv) Gráficos: 
 
 A função logarítmica pode ser crescente (a > 1) ou 
decrescente (0 < a < 1). 
 O gráfico abaixo ilustra cada caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Notar que a assíntota à função logarítmica é a reta x=0 
 
 -4 -2 0 2 4
-7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
 -4 -2 0 2 4
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 4 
 4 
II - Funções TrigonométricasII.a - Triângulo Retângulo: Relações 
Métricas: 
 
 a 
 b 
 
 
 c 
 
tgc
b
tg
sen
a
c
a
b
sen
1
cos
cos
 
tgb
c
ctg
senb
a
c
a
1
1
seccos
cos
1
sec
 
 
 Estudo de sinais: Círculo Trigonométrico: 
 
cosx
senx
tgx
x
I QII Q
III Q IV Q
0
90
180
270


/2
3
 2
2
 
 
Quadrante senx cosx tgx 
I Q (0 < x < 90)0) + + + 
I IQ (900 < x < 1800) + - - 
I Q (1800 < x < 2700) - - - 
I Q (2700 < x < 3600) - + - 
 
 Tabela de Conversão: 
 
Seja x I quadrante e um ângulo qualquer: 
 Podemos encontrar as funções trigonométricas 
desse ângulo a partir do correspondente ângulo do 
primeiro quadrante, fazendo a chamada conversão ao 
primeiro quadrante. 
 
 
 
 
 Então: 
 
 Quadrante: sen cos tg 
II Q 
900< < 1800 
sen( - ) -cos ( - ) - tg ( -x) 
III Q 
1800< < 2700 
-sen ( - ) -cos ( - ) tg ( - ) 
IV Q 
900 < < 3600 
-sen (2 - ) cos (2 - ) -tg(2 - ) 
 
 II.b) Relações Fundamentais: 
 
 
sen x x
x tg x
x ctg x
2 2
2 2
2 2
1
1
1
cos
sec
cossec
 
 
 Observação: 
 
2
cos sen
 
 Valores particulares: 
 
 sen cos tg 
0 0 1 0 
6
 
2
1
 
2
3
 
3
3
 
4
 
2
2
 
2
2
 
1 
3
 
2
3
 
2
1
 
3
 
2
 
1 0 
 0 -1 0 
2
3
 
-1 0  
2 0 1 0 
 
 
 II.c) Gráficos: 
 
 IIc.1) Função seno: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 5 
 5 
Domínio: {x } 
Imagem: {y [-1.1]} 
Período: 2 
IIc.2) Função cosseno: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio: {x } 
Imagem: { y [-1.1]} 
Período: 2 
 
IIc.3) Função tangente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio: {x  x k + /2 ;k } 
Imagem: {y } 
Período: 
 
IIc.4) Função secante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio: {x  x k + /2 ;k } 
Imagem: {y (- ,-1)(1, )} 
Período: 
 
 
IIc.5) Função Cossecante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio: {x  x k ; k } 
Imagem: {y (- ,-1)(1, )} 
Período: 2 
 
IIc.3) Função Cotangente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio: {x  x k ; k } 
Imagem: {y } 
Período: 2 
 
 II.d) Relações: Soma e subtração de arcos, arco 
duplo, arco metade: 
 
 
1) Soma e Subtração: 
 
 
sen( ) sen .cos sen .cos
cos( ) cos .cos sen .sen
( )
.
a b a b b a
a b a b b a
tg a b
tga tgb
tga tgb

1
 
 -10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
 -6 -4 -2 0 2 4 6
-30
-20
-10
0
10
20
30
 -10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
 -10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5
-20
-10
0
10
20
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 6 
 6 
 
 2) Arcos Duplos: 
 
sen a sena a
a a sen a
tag a
tga
tg a
( ) .cos
cos( ) cos
( )
2 2
2
2
2
1
2 2
2
 
 
 
 3 ) Transformação Soma-Produto: 
 
sen A B sen A B A B
sen A B A B sen A B
A B A B A B
A B sen A B sen B A
( ) ( ) cos ( )
( ) cos ( ) ( )
cos( ) cos ( ) cos ( )
cos( ) ( ) ( )
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 II - Introdução à teoria de Limite 
 Vizinhança de um ponto: 
Como os números reais são representados por pontos de 
uma reta, através de suas abcissas, é costume utilizar a palavra 
“ponto” em lugar de número”. 
Dizemos que um número real x é ponto interior a um 
conjunto dado C se esse conjunto contém um intervalo (a,b), que 
por sua vez contém x, isto é : 
x  (a,b)  C 
 Segundo essa definição, todos os elementos de um 
intervalo aberto são pontos interiores desse intervalo. O interior 
de um conjunto C é o conjunto de todos seus pontos interiores. 
Logo, o intervalo (a,b) é seu próprio conjunto interior. Também 
é o interior do intervalo fechado [a,b]. 
 Dizemos que o conjunto C é aberto, se todo ponto de C 
é interior a C, isto é, se o conjunto coincide com seu interior. O 
conjunto vazio é aberto pois coincide com seu interior, que é 
vazio. 
 Denomina-se vizinhança de um número ou ponto a a 
qualquer conjunto que contenha a interiormente. Se esse 
conjunto estiver simetricamente distribuido, com a no centro, e à 
distância de + e - de a; dizemos que temos uma vizinhança 
de centro a e de raio . Podemos representar da seguinte 
maneira: 
V (a-,a+) 
 Representamos na reta real: 
 
 
 a- a a+ x 
 
   
 Podemos considerar uma vizinhança de a excluindo o 
próprio valor de a:Denominamos V’(a): 
V’(a)= V(a)-{a}={x  0 < 
ax0
} 
 Diz-se que o número a é ponto de acumulação de um 
conjunto C se toda vizinhança de a contém infinitos elementos 
de C. Equivale-se dizer que: toda vizinhança de a contém algum 
elemento de C diferente de a. Ou: Dado  > 0 :V’(a) contém 
algum elemento de C. 
 Um ponto de acumulação de um conjunto pode ou não 
pertencer ao conjunto. Exemplo: os pontos a e b de um intervalo 
aberto (a,b) são pontos de acumulação desse conjunto, mas não 
pertencem a ele. Todos os pontos do intervalo também são seus 
pontos de acumulação e pertencem a ele. 
 Dizemos que um ponto x é ponto de aderência de um 
conjunto C, ou ponto aderente a um conjunto C, se qualquer 
vizinhança de x contém algum elemento de C. Isso significa que 
x pode ser um elemento de C ou não, se não for será ponto de 
acumulação de C. O conjunto dos pontos aderentes a C é 
chamado de fecho ou aderência de C, denotado pelo símbolo 
C
. Observe que 
C
 é a união de C com o conjunto C’de seus 
pontos de acumulação. 
CCC 
 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 7 
 7 
 Diz-se que um conjunto é fechado quando ele 
coincide com sua aderência: 
CCCC 
, ou 
seja, quando ele contém todos seus pontos de 
acumulação: 
CC
. Esse é o caso de um intervalo 
[a,b], do tipo que já se conhecia como “fechado”. 
 Como exemplo citamos o conjunto: 
,...},...,,,{
14
3
3
2
2
1
n
nA
 
 discreto, pois seus pontos são todos isolados, e 
seu único ponto de acumulação é o número 1, que não 
pertence ao conjunto. Se o incluirmos ao conjunto A, 
teremos a aderência de A, que é o conjunto: 
,...},...,,,,1{}1{
14
3
3
2
2
1
n
nAB 
 
 Observamos que esse conjunto C é fechado. 
Isso acontece sempre que juntarmos o conjunto C com 
o C’ de seus pontos de acumulação, a aderência 
CCC 
não terá outros pontos de acumulação 
além dos quejá estavam em C’. Assim veremos alguns 
teoremas que confirmam isso: 
 
 Teorema: A aderência 
C
 de qualquer 
conjunto C é um conjunto fechado. 
 
 Teorema: 
a) A interseção de um número finito de 
conjuntos abertos é um conjunto aberto. 
a) A união de uma família qualquer de 
conjuntos abertos é um conjunto aberto. 
 
Teorema: Um conjunto F é fechado se e 
somente se seu complementar A = F
C
=R-F é aberto. 
 
Teorema: A união de um conjunto finito de u 
conjuntos fechados é um conjunto fechado. 
 
 
 
 Exercícios: 
 
1. Dada o centro a e o raio , represente na 
reta as vizinhanças dadas V (a-,a+): 
 
a)  = 0,1 e a =1 
b)  = 0,2 e a =2 
c)  = 0,1 e a =-2 
d)  = 0,1 e a =1/2 
e)  = 0,03 e a =1/5 
f)  = 0,025 e a =4 
g)  = 0,005 e a =-5 
 
2. Escreva na forma de intervalo aberto as vizinhanças 
do problema anterior. 
 
 3. Dê 2 pontos de acumulação das vizinhanças do 
problema 2. 
 
 
II.q - O Limite de uma Função: 
 
 Significação intuitiva: 
 
 No cálculo e suas aplicações, é importante explorar 
valores e comportamento de funções próximos a determinados 
números a de seu domínio, ou de valores que não estão 
definidos em seu domínio. 
 Considere a função : 
 
63
2
)(
23
x
xx
xf
 
 Vamos explorar seu comportamento em torno de a = 2. 
Veja que ela não é definida em x = 2 pois torna-se nulo o 
denominador. Cuidado! Divisão por zero não é definida! 
 Com o auxílio do programa Excel construimos a tabela 
(x,f(x)) .( Faça: Coluna A1 idêntica à mostrada e digite na 
B1:= (A1^3-2*A1^2)/(3*A1-6)) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parece que quanto mais próximo de 2 está x, mais 
próximo de 4/3 está f(x); entretanto não podemos ter certeza 
disto pois calculamos apenas alguns valores da função para x 
próximos de 2. Para obtermos um valor mais convincente 
fatoramos o numerador e o denominador de f(x): 
)2(3
)2(
)(
2
x
xx
xf
 
Se x2 podemos simplificar e vemos que: 
3
)(
2x
xf
 
 Veja que o ponto 
)
3
4
,2(
deve ser omitido para essa 
função. Assim, quanto mais próximo de 2 estiver x, mais 
próximo de 4/3 estará f(x). 
 Em geral, se uma função f é definida em todo um 
intervalo aberto contendo um número real a, exceto 
possivelmente no próprio a podemos perguntar: 
1,9000000000 1,2033333333 
1,9900000000 1,3200333333 
1,9990000000 1,3320003333 
1,9999000000 1,3332000033 
1,9999900000 1,3333200000 
1,9999990000 1,3333320000 
1,9999999000 1,3333332011 
1,9999999900 1,3333333333 
1,9999999990 1,3333333333 
1,9999999999 1,3333333333 
 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 8 
 8 
1. A medida que x está cada vez mais 
próximo de a (mas x a) o valor de f(x) 
tende para um número real L? 
2. Podemos tornar o valor da função f(x) tão 
próximo de L quanto queiramos, 
escolhendo x suficientemente próximo de 
a (mas x a)? 
Caso seja possível isso escrevemos: 
Lxf
ax
)(lim
 
Dizemos que o limite de f(x), quando x tende 
para a é L, ou que f(x) se aproxima de L quando x se 
aproxima de a. 
Exemplo 1 - Outro comportamento 
interessante ocorre com a função: 
x
senx
xf )(
 
Veja a tabela abaixo: (Construa no Excel). 
 
x 
x
senx
xf )(
 
2,0000000000 0,4546487134 
1,0000000000 0,8414709848 
0,5000000000 0,9588510772 
0,4000000000 0,9735458558 
0,3000000000 0,9850673555 
0,2000000000 0,9933466540 
0,1000000000 0,9983341665 
0,0100000000 0,9999833334 
0,0010000000 0,9999998333 
0,0001000000 0,9999999983 
0,0000100000 1,0000000000 
0,0000010000 1,0000000000 
 
 Observe que quanto mais x se aproxima de 0, 
tanto atravéz de valores positivos como através de 
valores negativos, o valor de 
x
senx
xf )(
se aproxima 
de 1. Assim dizemos que esse limite, denominado de 
limite trigonométrico fundamental, vale: 
 
1lim
0 x
senx
x
 
 
Mais tarde demonstraremos tal relação. 
 
Exemplo 2 – Considere agora a função: 
 
x
x
xf )1()( 1
 
 
Vamos tomar valores bastante grandes de x. 
De novo construa uma tabela no Excel, nos tempos de 
hoje isso é facil e barato. 
x 
x
x
xf )1()( 1
 
1 2,0000000000 
10 2,5937424601 
100 2,7048138294 
1000 2,7169239322 
10000 2,7181459268 
100000 2,7182682372 
1000000 2,7182804692 
10000000 2,7182816940 
100000000 2,7182817864 
1000000000 2,7182820308 
 
Veja que há uma certa convergência nas casas decimais. 
Provaremos mais tarde que esse limite dessa função, quando x 
torna-se incrivelmente grande; diz-se x tende a infinito, 
aproxima-se do número de Napier e 2.71828, que é um 
número irracional. 
 
1) Definição: 
 
 Seja f uma funçãoError! Bookmark not defined. 
definida em todo número de algum intervaloError! 
Bookmark not defined. aberto I, contendo a, exceto 
possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x 
aproxima-seError! Bookmark not defined. Error! 
Bookmark not defined.de a é L, que pode ser escrito por: 
lim ( )
x a
f x L
 
 se para qualquer > 0 , mesmo pequeno, existir um > 
0 tal que: 
f x L x a( ) sempre que 0
 
 Isto significa que os valores da função f se aproximam-
se de um limite Error! Bookmark not defined.L quando x 
aproxima-se de um número a se o valor absoluto da diferença 
entre f(x) e L puder ser tão pequeno quanto desejarmos, 
tomando x suficientemente próximo a a mas não igual a a. 
 É importante notar que nada é mencionado sobre o 
valor da função quando x=a. Isto é, não é necesssário que a 
função seja definida em a para que exista o limite. 
 
 Exemplo 3: Seja a função definida por :f(x)=4x-1. 
dado que 
lim ( ) .
( ) .
x
f x
f x x
3
11 0 01
11 0 01 0 3
 encontre um para tal
que sempre que 
 
 Solução: f x x x x
x x
x x
x
x
( ) ( )
.
.
. ( ) .
.
11 4 1 11 4 12 4 3
4 3 0 01 0 3
3 0 0025 0 3
0 0025 4 1 11 0 01
0 3 0 0025
 sempre que ou
 sempre que 
 sempre que
 
 
 Teorema 1: Se m e b são constantes quaisquer: 
lim( )
x a
mx b ma b
 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 9 
 9 
 
 Teorema 2: Se c é uma constante, então: 
lim ;
x a
c c a
 
 
 Teorema 3: Se: 
lim ( ) ;lim ( ) lim( ( ) ( ))
x a x a x a
f x L g x M f x g x L M
 
 Teorema 4: Se: 
MLxgxf
MxgLxf
ax
axax
.))().((lim
)(lim;)(lim 
 
 Teorema 5: 
Se: 
lim ( ) ; ; lim[ ( )]
x a x a
n nf x L n Z f x L
 
 Teorema 6: 
Se: 
lim ( ) ; ; lim[ ]
x a x a
n nf x L n Z Lf (x)
 
Teorema7: 
Se
MLxgxf
MMxgLxf
ax
axax
/))(/)((lim
0,)(lim;)(lim 
 
 Exemplo 4: Encontre os limites: 
 
 a) 
lim
)
lim
)( )
( )
lim( )
x x x
x
x
x x x
x
x x
3
3
3
2
3
227
3
3 3 9
3
3 9 27
( (
 
 
 b) Seja a função definida por: 
0 se 2
0 sex 
)(
x
x
xf
 determine 
x
f x
0
lim ( )
 
 
x
f x
0
0lim ( )
 
 
 2) Limites Unilaterais: 
 
 Ao considerarmos o valor de 
x a
f x Llim ( )
 
estamos interessados nos valores de x num intervalo 
aberto contendo a , mas não no próprio, isto é, em 
valores de x maiores ou menores do que a. Supomos 
que x se aproxima de a pela direita e pela esquerda, 
respectivamente.e denotamos por: 
x a
f x Llim ( )
;
x a
f x Llim ( )
. 
 
 Teorema:x a
f x Llim ( )
 se e somente se 
existirem 
x a
f xlim ( )
;
x a
f xlim ( )
e: 
x a x a x a
f x f x f xlim ( ) lim ( ) lim ( )
 
 Exemplo 5 : Seja h definida por: 
1 se 2
1 se 4
)(
2
2
xx
xx
xh
 Encontre os limites unilaterais: 
 
lim ( ) lim ( )
x x
h x x
1 1
24 3
 
 
 
lim ( ) lim ( )
x x
h x x
1 1
22 3
; 
Portanto:
lim ( )
x
h x
1
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 6 : Calcule os limites unilaterais em torno de 0 para a 
função: 
x
x
xf )(
 
 
 Observe, lembrando da definição da função módulo, 
que quando x tende a zero pela esquerda: 
 
11limlimlim
000 xxx x
x
x
x 
 
11limlimlim
000 xxx x
x
x
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 7: Determine os limites : 
0lim)(limlim 2
000
xxxxx
xxx
 
0lim)(limlim 2
000
xxxxx
xxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4 -2 2 4
-20
-10
10
20
 
-4 -2 2 4
-1
-0.5
0.5
1
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 10 
 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Limites no infinito 
 
 Definição: Seja f uma função definida em todo número 
 de um intervalo aberto (a,+ ) , o limite de f(x), quando 
 x cresce ilimitadamente é L, que pode ser transcrito como: 
lim ( )f x L
x
 
 
 Da mesma forma, se x tende a um número 
negativo que cresce em módulo e possui no limite o 
valor L, denotamos por: 
lim ( )f x L
x
 
 Teorema: Se r é um número inteiro e positivo, 
então: 
i
x
ii
xx r x r
) lim ) lim
1
0
1
0 
 
 
 Exemplo 8 : Encontre o limite abaixo: 
 
lim lim
( ) /
( ) /x x
x x
x x
x x x
x x x
2 5
3 5
2 5
3 5
2
2
2 2
2 2
 
lim
lim
limx
x
x
x x
x
x x
x
2
1 5
3
5
2
1 5
3
5
2
3
2 2 
 
 4) Limites Infinitos: 
 
 Definição: Seja f uma função definida em todo 
número do intervalo aberto I contendo um número a, 
exceto, possivelmente no próprio número a. Quando x 
se aproxima de a, f cresce ilimitadamente, o que é 
escrito como: 
lim ( )f x
x a
 
 Caso x se aproxime de a e f(x) decresce 
ilimitadamente, escrevemos como: 
lim ( )f x
x a
 
 Definição: 
lim ( )f x
x a
 é equivalente a 
lim ( )
x a x a
f x
 
 
 Teorema: Se r é um número inteiro positivo 
qualquer, então: 
 
 i) 
lim
x rx0
1
 ii) 
lim
x rx0
1
 iii) 
ímpar ér se 
par ér se 1
lim
0
r
x x
 
 
 Teorema: Se a é um número real qualquer e se 
lim ( )f x
x a
0
 e 
lim ( )g x c
x a
 , onde c é uma constante não nula, 
então: 
 
 (i) Se c > 0 e se f(x) 0, através de valores positivos de 
x, 
lim
( )
( )x a
g x
f x
 
 (ii) Se c > 0 e se f(x) 0, através de valores negativos 
de x, 
lim
( )
( )x a
g x
f x
 
 (iii) Se c <0 e se f(x) 0, através de valores positivos 
de x, 
lim
( )
( )x a
g x
f x
 
 (iv) Se c <0 e se f(x) 0, através de valores negativos 
de x, 
lim
( )
( )x a
g x
f x
 
 O teorema também é valido se "x a" for substituído 
por 
x a x a x x; , ;
. 
 
 Exemplo 9: Encontre: 
 a)
lim lim
( )( )x x
x x
x x
x x
x x3
2
2 3
22
2 3
2
3 1
 
 O limite do numerador é 14 e no denominador é 0, o 
que pode ser verificado por: 
 
lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) .
x x x
x x x x
3 3 3
3 1 3 1 0 4 0
 
 Verificamos que o denominador está se aproximando 
de 0 através de valores positivos. Aplicando o terorema de 
limite (i), teremos: 
 
lim
x
x x
x x3
2
2
2
2 3
 
 b)
lim lim
( )( )x x
x x
x x
x x
x x3
2
2 3
22
2 3
2
3 1
 
 O limite do numerador é 14 e no denominador é 0, o 
que pode ser verificado por: 
 
lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) .
x x x
x x x x
3 3 3
3 1 3 1 0 4 0
 
 Verificamos que o denominador está se aproximando 
de 0 através de valores negativos. Aplicando o terorema de 
limite (ii), teremos: 
 
lim
x
x x
x x3
2
2
2
2 3
 
 c)
lim
x
x x
x x3
2
2
2
2 3
 pois 
lim
x
x x
x x3
2
2
2
2 3
 
 
-4 -2 2 4
-6
-4
-2
2
4
6
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 11 
 11 
 
 Teorema: 
 Se 
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x g x c e 
 , onde c é 
uma constante qualquer, então: 
 
lim [ ( ) ( )]
x a
f x g x
 
 
 Teorema: 
 Se 
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x g x c e 
, onde c é 
uma constante qualquer, exceto 0, então: 
 
 (i) Se c > 0 
lim [ ( ). ( )]
x a
f x g x
 
 (ii) Se c < 0 
lim [ ( ). ( )]
x a
f x g x
 
 
 Teorema: 
 Se 
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x g x c e 
 onde c é 
uma constante qualquer, exceto 0, então: 
 
 (i) Se c > 0 
lim [ ( ). ( )]
x a
f x g x
 
 (ii) Se c < 0 
lim [ ( ). ( )]
x a
f x g x
 
 
 O teorema também é valido se "x a" for 
substituído por 
x a x a x x; , ;
. 
 
 5) Assíntotas: 
 
 Definição: Diz-se que a reta x=a é uma 
assíntota vertical do gráfico de uma função f se pelo 
menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: 
(i) 
x a
f xlim ( )
 
(ii) (ii) 
x a
f xlim ( )
 
(iii) 
x a
f xlim ( )
 
(iv) 
x a
f xlim ( )
 
 
 Definição: Diz-se que a reta y=b é uma 
assíntota horizontal do gráfico de uma função f se 
pelo menos uma das afirmações seguintes for 
verdadeira: 
 (i) 
lim ( )
x
f x b
 (ii) 
lim ( )
x
f x b
 
 Exemplo 10 : Encontre as assíntotas verticais 
e horizontais da equação 
xy y x2 22 4 0
 e trace 
um esboço do gráfico: 
 
 Resolvendo a equação:
y
x
x
2
2
 
 Vemos que: 
f x
x
x
1 2
2
( )
 e 
f x
x
x
2 2
2
( )
 
 Assíntotas verticais: 
lim
x
x
x2
2
2
 
 e 
lim
x
x
x2
2
2
 
 
 
 Assíntotas horizontais:
lim lim
x x
x
x
x
x
2
2
2 2
2
2 
 
lim lim
x x
x
x
x
x
2
2
2 2
2
2 
 
A seguir representamos os gráficos de 
f x
x
x
1 2
2
( )
 e 
f x
x
x
2 2
2
( )
, observando suas assíntotas para:
f x
x
x
1 2
2
( )
: y = 2 e x = 2 e para 
f x
x
x
2 2
2
( )
: y 
= - 2 e x = 2 
 
 
 
 
 6) Continuidade de uma função: 
 
 Continuidade em um número: 
 
 Definição: Diz-se que uma função é contínua em um 
número se, e somente se as seguintes condições são satisfeitas: 
 
(i) Existe f(a) 
 (ii) Existe 
lim ( )
x a
f x
 
 (iii)
lim ( ) ( )
x a
f x f a
 
 Se uma ou mais destas condições não for verificada em 
a, dizemos que a função é descontínua em a. 
 
 Exemplo 6) A função do exemplo 5 é descontínua em 
x=2, pois não é definida neste x. 
 
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x=2
y=-2
y=2
x
y
y=-[x/(x-2)]
1/ 2
y=[(x/(x-2)]
1 /2
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 12 
 12 
 Exemplo 11: Seja a função definida por: 
 
3 se 2
3 se 3
)(
x
xx
xf
 Discuta sua 
continuidade em x=3. 
 
 Observe que: 
lim ( ) lim ( )
x x
f x x f
3 3
3 0 3 2
. Portantoa 
condição (iii) não é satisfeita; a função é descontínua 
em x=3. 
 
 Exemplo 12: Discutir a continuidade da 
função:
f x
x
( )
1
2
 
 Esta função não é contínua em x=2 pois seu 
valor não é definido. 
 
II.r - Teoremas sobre continuidade: 
 
 Teorema 1. Se f e g são funções contínuas em 
um número a, então: 
 I) f+g é contínua em a II) f-g é contínua 
em a 
 III) f.g é continua em a IV) f/g é contínua 
em a desde que g(a) 0 
 
 
 Teorema 2. Uma função polinomial é 
contínua em todo número. 
 
 Teorema 3. Uma função racional é contínua 
em todo número do seu domínio. 
 
 Teorema 4. Se 
lim ( )
x a
g x b
 e se a função f 
é contínua em b, 
lim ( ( )) ( ) lim ( ( ( ))) ( lim ( ))
x a x a x a
fog x f b f g x f g x
 
 
 
 
 Continuidade em um intervalo 
 
Definição: Diz-se que uma função é contínua em 
um intervalo aberto se e somente se ela for contínua em 
todo número do intervalo aberto. 
 
Definição: Dizemos que uma função cujo 
domínio inclui o intervalo fechado [a,b] é contínua em 
[a,b], se e somente se for contínua para todo c (a,b) e 
se ela for contínua em a à direita e em b à esquerda e 
também, para c (a,b) as condições abaixo forem 
satisfeitas: 
 
(i) Existe f(c) 
 (ii) Existe 
lim ( )
x c
f x
 
 (iii)
lim ( ) ( )
x c
f x f c
 
Definição: Dizemos que uma função f é contínua no 
número a à direita se e somente se as três condições abaixo 
forem satisfeitas: 
 
(i) Existe f(a) 
 (ii) Existe 
lim ( )
x a
f x
 
 (iii)
lim ( ) ( )
x a
f x f a
 
 
 
 Definição: Dizemos que uma função f é contínua no 
número a à direita se e somente se as três condições abaixo 
forem satisfeitas: 
 
(i) Existe f(a) 
 (ii) Existe 
lim ( )
x a
f x
 
 (iii)
lim ( ) ( )
x a
f x f a
 
 
 Observação: dizemos que a descontinuidade de uma 
função é essencial quando não existir o limite da função no 
ponto; é removível quando existir o limite da função. 
 Trataremos agora a descontinuidade com um puco de 
rigor. 
 Seja a um ponto de acumulação do domínio D de uma 
função f; dizemos que f é descontínua em x = a se, ou f não tem 
limite unilateral em a, ou esse limite existe e é diferente de f(a) 
ou f não está definida em a. Analogamente define-se 
descontinuidade à esquerda e descontinuidade à direita. De 
acordo com essa definição, estamos admitindo que um ponto 
possa ser descontinuidade de uma função mesmo que ele não 
pertença ao domínio de f. A rigor, não deveríamos assim admitir, 
só deveríamos aceitar descontinuidades em pontos pertencentes 
ao domínio de f. Mas é natural considerar o que se passa nas 
proximidades de pontos de acumulação do domínio de uma 
função, mesmo que tais pontos não pertençam ao domínio. 
 Como exemplo observe que as funções: 
x
senxt
x
xh
x
x
xg
x
senx
xf
1
)(;
1
)(;)(;)(
 
 são todas contínuas em seu domínio: x -{0} e 
embora x = 0 não pertença a esse domínio é natural considerar o 
que acontece com essas funções quando x tende a zero, tanto 
pela esquerda como pela direita. Identifique as curvas nos 
gráficos abaixo: 
 
 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 13 
 13 
 
 
 
 De acordo com a nossa definição, a primeira 
funçáão f(x) seria classificada como descontínua em x = 
0 simplesmente por não estar aí definida. Atribuindo o 
valor 1 em x = 0 ela será definida e será contínua em 
todo x. Por isso dizemos que sua descontinuidade é 
removível. A segunda, g(x), tem limites laterais 
diferentes quando x tende a 0. Ela será contínua à 
direita se impusermos g(0)=1 e contínua à esquerda se 
impusermos g(0)=-1. A terceira função tende a 
quando x tende a 0.Não há pois, como remover a 
descontinuidade, o que acontece com a função t(x) por 
não apresentar limite. 
 A descontinuidade é de primeira espécie ou do 
tipo salto quando a função possui, no ponto 
considerado, limites à direita e à esquerda porém 
distintos. É o caso da função g(x). A descontinuidade é 
de segunda espécie quando, a função tende a no 
ponto considerado (caso da função h(x)), ou não tem 
limite neste ponto (caso da função t(x)). 
 
 Teorema – Os pontos de descontinuidade de 
uma função monótona f num intervalo I (limitado ou 
não) só podem ser do tipo salto; e formam um conjunto 
no máximo enumerável. 
 
 Definição: 
 Chama-se conjunto compacto a todo 
conjunto C que seja limitado e fechado. 
 Um conjunto C diz-se compacto se toda 
sequência xn C possui uma 
subsequência convergindo para um ponto 
de C. 
Teorema: Todo conjunto compacto C possui 
máximo e mínimo. 
Teorema : Se f é uma função contínua num 
domínio compacto D, então f(D) é um conjunto 
compacto. 
Teorema (de Weierstrass): 
 
 Seja f uma função com domínio compacto D. 
Então f assume valores máximo e mínimo em D, isto é, 
existem pontos a e b em D tais que: 
f(a) f(x) f(b) 
 Para todo x D. 
 
 
 Teorema (Do valor intermediário) 
 
Seja f uma função contínua num intervalo I=[a,b], com 
f(a) f(b). Então, dado qualquer número d compreendido entre 
f(a) e f(b), existe c (a,b) tal que f(c) = d. Em outras palavras, 
f(x) assume todos os valores compreendidos entre f(a) e f(b), 
com x variando entre (a,b). 
 
 Teorema : 
 
 Se f é uma função contínua num intervalo I = [a,b] , 
então f(I) é também um intervalo [m,M] , onde m e M são os 
valores mínimo e máximo respectivamente, da função f. 
 
 Teorema : 
 
 A imagem de qualquer intervalo por uma função 
contínua f é um intervalo. 
 
 Teorema : 
 Toda função f , contínua e injetiva num intervalo I é 
crescente ou decrescente. Sua inversa também é contínua. 
 
 Teorema do Confronto ou Sanduíche: 
 
 Suponhamos que f(x) h(x) g(x) para todo x em um 
intervalo aberto contendo a , exceto possivelmente para o 
próprio a . Se: 
 
)(lim)(lim xgLxf
axax
 
 
 Então: 
Lxh
ax
)(lim
 
 
 Como aplicação desse teorema vamos demonstrar que 
1lim
0 x
senx
x
, que é o limite trigonométrico fundamental. 
 É possível mostrar que, para x pequeno ocorre uma 
ordem entre algumas funções de acordo com: 
 
Senx<x <Tgx 
 
 Isso é ilustrado no gráfico a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-10 -5 0 5 10
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 14 
 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
senx
tgx
senx
x
senx
senx
 
 Simplificando, invertendo e trocando a 
ordenação, consequentemente obteremos: 
1cos
x
senx
x
 
 Observamos que: 
11limcoslim
00 xx
x
 
 e portanto, aplicando o teorema do confronto, 
teremos: 
 
1lim
0 x
senx
x
 
 
 Aplicações: 
 
A velocidade média é definida como sendo a 
razão entre a variação da posição num certo intervalo de 
tempo: 
 
t
s
v
 
Para definirmos velocidade instantânea 
necessitamos que o intervalo de tempo tenda a zero, ou 
seja a velocidade instantânea é o limite quando o 
intervalo de tempo vai a zero da razão entre a variação 
da posição e o intervalo de tempo: 
 
t
s
v
t 0
lim
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios: 
 
 1) Encontrar os limites indicados: 
a) 
lim
x
x x
x x3
2
2
5 6
12b) 
lim
x
x x
x x1
2
2
2
2
 
c) 
lim
x
x
x1 2
1
1
 d) 
lim
x
x
x1
3 1
1
 
e)
lim
x
x
x2
3 8
2
 f)
lim
x
x
x x3
2
2
9
2 7 3
 
g) 
lim
x
x
x0
2 2
 h) 
lim
t
t
t0
2 4
 
 i) 
lim
x
x
x0
3 1 1
 j)
lim
x
x x x
x x x3
3 2
3 2
2 5 2 3
4 13 4 3
 
 
 2) Se 
x
x
xF
39
)(
 encontre seu limite quando 
x tende a 0. 
 3) Dada 
2 se 3
2 se 3
)(
xx
xx
xf
 Encontre: 
 a) 
lim ( )
x
f x
2
 
 b) 
lim ( )
x
f x
2
 
 
 4) Dada 
1 se 1
1 se
)(
2
xx
xx
xf
 
Encontre: a) 
lim ( )
x
f x
1
 b) 
)(lim
1
xf
x
 
 
 5) Dada 
f x x( ) 3 2 4
 encontre: 
 a)
lim ( )
x
f x
2
 b)
lim ( )
x
f x
2
 c)
lim ( )
x
f x
2
 
 
 6) Dada 
f x
x
x
( )
 encontre: 
 
a)
lim ( )
x
f x
0
 b)
lim ( )
x
f x
0
 c)
lim ( )
x
f x
0
 
 
 7) Discutir a continuidade das funções dos problemas 
4), 5) e 6). 
 
 8) Determine os limites: 
 
a)
lim
x
x
x
2 1
5 2
 b) 
lim
x
x
x
4 3
2 1
2
2
 
c) 
lim
x
x
x
2 4
4
 d) 
lim
x
x x
x x
4 2 5
8 2
3 2
3
 
 
 e) 
lim
x
x x2 1
 
 -3 -2 -1 0 1 2 3
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 15 
 15 
 f) 
lim
x
x
x4 4
 g)
lim
t
t
t2 2
2
4
 
h) 
lim
t
t
t2 2
2
4
 i) 
lim
t
t
t2 2
2
4
 
 j) 
lim
x
x
x0
23
 k) 
lim
x
x
x0
23
 
l) 
lim
x
x
x0
23
 m) 
lim
x
x
x3
2 9
3
 
 n)
lim
y
y
y
2 4
5 3
3 o) 
lim ( )
x x x0 2
1 1
 
 p) 
lim ( )
x x x2 2
1
2
3
4
 
 q) 
lim
x
x
x3
5
3
 
 
 9) Nos problemas abaixo, encontre as 
assíntotas verticais e horizontais e trace um esboço do 
gráfico. 
 
a) 
f x
x
( )
4
5
 b) 
f x
x
( )
( )
3
2 2
 
c) 
f x
x x
( )
1
5 62
 d) 
f x
x
x
( )
4
9
2
2
 
e) 
f x
x
( )
2
42
 f) 
f x
x
x
( )
3
32
 
 g) 
f x
x
x
( )
4
2
2
2
 h) 
f x
x
x
( )
2 9
 
 
 10) Nos exercícios abaixo, encontrar as 
assíntotas verticais e horizontais e faça um esboço do 
gráfico: 
 
a) 
3 2 4 3 0xy x y
 
b) 
x y x y2 2 2 24 0
 
c) 
( )( )y x2 1 3 6
 
 
 11) Determine se a função é contínua ou 
descontínua nos intervalos indicados: 
 
 a) 
f x
x
( ) ;( , );[ , ];( , )
2
5
3 7 6 4 0
 
 b) 
f x x( ) ;( , ),( , ],( , ),[ , )2 9 3 3 3 3 3
 
c) 
)1,2[);1,2();,2();1,(;
1 se 3
12 se 5
2 se 32
)(
xx
xx
xx
xf
 
d) 
f x
x
x
( ) ( , ),[ , ]; ( , );[ , )
2
2
2 2 2 2 2 2
 
 
 12) Nos exercícios abaixo determine o valor das 
constantes de k e c que fazem com que a função f seja 
contínua em (- ,+ ) e trace um esboço da função resultante: 
 
a) 
4 se 1
4 se 73
)(
xkx
xx
xf
 
b) 
2 se 
2 se 1
)(
2 xkx
xkx
xf
 
c) 
4 se 2
41 se 
1 se 
)(
xx
xkcx
xx
xf
 
 
 13) Trace um esboço do gráfico e discuta a 
continuidade das funções abaixo: 
 
 a) 
f x
x
x
( )
2 4
2
 b) 
h x x x( ) ( )( )3 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 16 
 16 
 
II - RESUMOS 
 
Y = Secx 
 
1. Áreas 
 
 
 A= r
2 
 A = bh/2 
 r h 
 
 b 
 
 A = b.h 
 
 
 A = r
2
/2 (s=r ) 
 r 
 s r 
 
 
)(
2
2
senA r
 
Funções trigonométricas e Identidades 
trigonométricas 
 
 
 sen =y/r cos =x/r y 
 tg =y/x cotg =x/y 
 csc =r/y sec = r/x 
 
 x 
cos)
2
(sen
 
sen)
2
cos(
 
cos
sen
tg
 
1cos 22 sen
 
22 1sec tg
 
22 cot1sec gc
 
cos22 sensen
 
121cos2cos2cos 2222 sensen
 
sensensen coscos)(
 
sensencoscos)cos(
 
tgtg
tgtg
tg
1
)(
 
)(cos)(2
2
1
2
1 sensensen
 
)(cos)(cos2coscos
2
1
2
1
 
)()(2coscos
2
1
2
1 sensen
 
 
 
 
 
Triângulos 
 
 C 
 
 b a 
 
 A B D 
 c 
c
senC
b
senB
a
senA
 
Cabbac cos2222
 
D=A+C 
 
Teorema Binomial 
)1...(
!2
)1(
!1
11 2
2
x
xnnnx
x
n
 
)1...(
!2
)1(
!1
11 2
2
x
xnnnx
x
n 
 
Expansões em séries 
0
32
!
...
!3!2
1
n
n
x
n
xxx
xe
 
)1...(
32
)1ln(
32
x
xx
xx
 
...
!5!3
53
sen
 
...
!4!2
1cos
42 
isenei cos
 
2
cos
ii ee
 
i
ee
sen
ii
2
 
Funções Hiperbólicas 
2
xx ee
senhx
 
2
cosh
xx ee
x
 
1cosh 22 xsenhx
 
 
x
senhx
tghx
cosh
 
senhx
hx
x
hx
tghx
ghx
1
seccos;
cosh
1
sec;
1
cot
 
 
 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 17 
 17 
 
 
Volumes 
 
 
 
 Cilindro: V= r
2
h Paralelepípedo: V=abc 
 
 
 
 
 Prisma: V = Sb.h 
 
 
 
 Pirâmide: V = Sb.h/3 
 
 
 Cone: 
 
 V= r
2
h/3 
 
 
 
 
Vetores 
 
1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii
 
0ˆˆˆˆˆˆ ikkjji
 
0ˆˆˆˆˆˆ kkjjii
 
jikikjkji ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ
 
Qualquer vetor pode ser escrito como CL de 
}ˆ,ˆ,ˆ{ kji
, 
que formam uma base ortonormal do R
3
 
kajaiaa zyx
ˆˆˆ
 
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
abba
ˆˆˆ
 
 
Produtos especiais e fatoração: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
( )
( )
( )( )
( )( )
( ) ...
x y x xy y
x y x x y xy y
x y x y x y
x y x y x xy y
x y x
n
x y
n
x y
n
n
yn n n n n
2 2 2
3 3 2 2 3
2 2
3 3 2 2
1 2 2
2
3 3
1 2
 
 
 
 
 
 
Números Binomiais: 
n
p
n
n p p
n n n
!
( )! !
; ! ! ( )... 0 1 1 1
 
 
Alfabeto Grego: 
 
 alfa ( , beta 
gama ( delta (
épsilon ( zeta (
 eta ( teta (
iota ( capa (
lambda ( mu (
nu ( csi (
ômicron ( pi (
 ro ( sigma (
tau ( upsilon (
fi ( chi (
psi ( omega (
Propriedades: FunçõesLogarítmicas e Exponenciais: 
 
xa
b
x
xbaba
xxxxa
xxxxa
xnx
xx
x
x
xxxx
aaxyx
x
a
a
b
aa
aa
a
n
a
aaa
aaa
a
y
a
alog
1212
1212
21
2
1
2121
 viii)
log
log
log1, e 0,0 Seja vii)
loglog e 1<0 Se vii)
loglog e 1 Se vi)
loglog v)
loglog)(log iv)
).(logloglog iii)
01log ii) log i)
 
 
 
i) iii ) (
ii ) iv ) 
 v) vi ) 
vii ) Se e 
viii ) Se e 0 < 
a a a a a
a
a
a a a
a a
a
a a a x y
a a a x y
x y x y x y x y
x
y
x y yx
y
x
x
x
x y
x y
. ) .
0 1
1
1
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 18 
 18 
Referências: 
“Matemática”, Astor e Remo, Volume 1, 
Volume 2 e Volume 3. Editora Scipione. 
 "O Cálculo com Geometria Analítica", 
Swokovski, Volume 1. 
 "O Cálculo com Geometria Analítica", L. 
Leithold, Volume I. 
 "Introdução à Análise Matemática", Geraldo 
Ávila. Editora Edgard Blücher 
 "Mathematica", Stephen Wolfram, A System 
for doing Mathematics by computer. Addison Wesley 
Publishing Company