Análise Combinatória com a resolução dos problemas

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Dada uma palavra qualquer, chamamos de anagrama qualquer palavra obtida permutando-se as letras da palavra original. Com base nessa noção, analise as afirmativas:
I. O número de anagramas da palavra TEORIA é igual a 720. P=6x5x4x3x2x1=720 V
II. O número de anagramas da palavra TEORIA que começam com a letra T e terminam com a letra A é igual a 24. Tx4x3x2x1xA=24 ou 1x4x3x2x1x1=24 V
III. O número de anagramas da palavra TEORIA que começam com uma vogal é igual a 360.4x5x4x3x2x1=480 F
Assinale a alternativa com a sequência correta:
	
	A
	Apenas a afirmativa I está correta.
	
	B
	Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
	
	C
	Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
	
	D
	Apenas a afirmativa II está correta.
	
	E
	Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
Uma bandeira é formada por quatro listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores amarela, branca e cinza, não devendo as listras adjacentes ter a mesma cor. Assinale a alternativa que contém o número de modos da bandeira ser colorida:
	
	A
	81 3x2x2x2=24
	
	B
	54
	
	C
	36
	
	D
	24
	
	E
	16
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x3x3 no desenvolvimento de (x+3)5:
	
	A
	60 Para= (x+3)^5= N – P =3 ou seja 5 – P= 3 referente ao coeficiente x^3 P=2
	
	B
	70 C(5,2) x 3^2 x X^5-2= 5x4/2 x 9 x X^3= 10 x 9 x X^3 =90X^3
	
	C
	80
	
	D
	90
	
	E
	100
Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo:
1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:1331
Com base nesse triângulo, analise as afirmativas: 
I. A segunda linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com n=1,n=1, isto é, (10)(10) e (11).(11).
II. A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 5, 4 e 1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
III. A sétima linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 6, 15, 20, 15, 6 e 1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
São corretas as afirmativas:
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
A tabela abaixo indica as quantidades de médicos de duas especialidades, alergologistas e dermatologistas, em uma certa região, agrupados também de acordo com suas nacionalidades.
	
	Alergologista
	Dermatologistas
	Total
	Brasileiros
	50
	70
	120
	Cubanos
	60
	40
	100
	Total
	110
	110
	220
Com base nessa tabela, analise as afirmativas: 
 
I. Escolhendo ao acaso um médico desse grupo, a probabilidade dele ser dermatologista é igual a 50%.
MD—110 /220 = ½ = 50% V
II. Escolhendo ao acaso um médico desse grupo, a probabilidade dele ser dermatologista, sabendo que é cubano é igual a 40%. P(DERM./CUB)= P(D ∩ C)/ P(C) =40 / 220 / 100 /220 = 40 /100 = 4/ 10 = 40% V.
III. Escolhendo ao acaso um médico desse grupo, a probabilidade dele ser alergologista, dado que é brasileiro, é 45%.P(ALER./BRASIL) = P(A ∩ B ) / P(B) = 50 / 220 / 120 /220 = 50/120 = 5/12 = 41% F
São corretas as afirmativas:
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Três moedas são lançadas simultaneamente. A respeito desse experimento aleatório, analise as afirmativas:
I. O espaço amostral associado a esse experimento é formado por 6 eventos elementares. 
(C,C,C);(K,K,K);(C,C,K);(C,KC);(K,C,C);(K,K,C);(K,C,K);(C,K,K) = #Ώ8
II. A probabilidade de obter exatamente duas caras é 3/8.
P(2C)= 3/8 
III.  A probabilidade de obter pelo menos duas caras é 1/2. 
4/8 =1/2
São corretas as afirmativas:
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
1Uma urna contém 10 bolas brancas, 5 bolas amarelas e 10 bolas pretas. Uma bola é 
escolhida ao acaso da urna e verifica-se que não é preta. Assinale a alternativa que 
apresenta a probabilidade da bola ser amarela. 
 
A 1/3 X P(A/PC) =P(A∩PC) /P (PC)= 5/25 / 15/25 = 5/15 = 1/3 
 
B1/5 
 
C 3/25
 
D 2/25 
 
E 1/25
2 Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo: 
Com base nesse triângulo, coloque V quando a afirm ativa for verdadeira e 
F quando falsa. 
1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:1331
Com base nesse triângulo, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. ( ) A terceira linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com
n=2n=2, isto é, (20),(21)(20),(21) e (22).(22).
II. ( ) A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 6, 4 e 1,
dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem.
III. ( ) Os coeficientes que aparecem no desenvolvimento do binômio
(x+a)5 com a∈R,a≠0a∈R,a≠0 são 1, 5 e 10.
Agora, marque a sequência correta:
A -V – V – V X
B- V – F – V
C -V – V – F
D -V – F – F
E -F – V – V
3Marcam-se 5 pontos sobre uma reta rr e 8 pontos sobre uma reta ss paralela a rr. 
Assinale a alternativa que apresenta o número exato de triângulos que existem com 
vértices em 3 desses 13 pontos. 
 
A -38 
 
B -80 
 
C -144 
 
D-220 X 5 x C(8,2) = 5 x 8x7/2 =5x28 = 140 + 8 x C(5,2) = 8 x 5x4/2 = 8x10 = 80 == 140 + 80 = 220
 
E -448
4 De um total de 120 alunos que se destinam aos cursos de Matemática, Física e
4 De um total de 120 alunos que se destinam aos cursos de Matemática, Física e 
Química sabe-se que: 
 
I. 40 destinam-se à Matemática e, destes, 20 são do sexo masculino. 
II. O total de alunos do sexo masculino é 60, dos quais 10 destinam-se à Química. 
III. Existem 30 moças que se destinam ao curso de Química. 
 
Nessas condições, sorteando um aluno ao acaso do grupo total e sabendo que é do sexo 
feminino, assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de que esse aluno destine 
ao curso de Matemática. 
 
 
A -1/3 X P(FEMINI/ MAT.) = P(FEM. ∩ MAT.) / P(MAT) = 20/120 / 60/120 = 20/60 = 1/3 
 
B -1/6 
 
C -1/12 
 
 D -1/4 
 
E -5/12
5 Muito além do estudo das combinações, dos arranjos e das permutações, a Análise 
Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas. Com base nesses conceitos, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
I. ( ) Os anagramas formados da palavra AMOR foram colocados em ordem alfabética. 
A posição correspondente à palavra ROMA é a 23ª. 
R 1ª POSIÇÃO = 1x3x2x1= 6-- RO = 1x2x1=2 – ROM = 1x1=1 SOMNDO 6+2+1 = 9ª POSIÇÃO 
II. ( ) Em um torneio, no qual cada time enfrenta todos os demais uma única vez, são 
jogadas 28 partidas. Ao todo, participaram 8 times. 
C(8,2)= 8/2(8-2)= 8x7/2= 28 
III. ( ) Em um grupo de 7 homens e 4 mulheres, podemos formar exatamente 371comissões de 6 pessoas incluindo pelo menos duas mulheres em cada comissão. 
C(4,2)x(7,4)+(4,3)x(7,3)+(4,4)x(7,2)= 6x35+4x35+1x21= 210+140+21= 371
Agora, marque a sequência correta. 
 
E -F – V – V X
O número do cartão de crédito é com posto de 16 algarismos. Eduardo teve seu cartão quebrado, perdendo a parte que contém os quatro últimos dígitos. Apenas consegue lembrar que o número formado por eles é par, começa com 3 e tem todos os algar ismos distintos. Assinale a alternativa que apresenta a quantidade exata de números satisfazendo essas condições. 
 
A -120 
 
B -280 X Resolve primeiro o zero no final= 1º nº é 3 então = 1x8x7x1= 56 o restante dos nº pares
Não esqueça 1º nº é o 3 = 1x8x7x4= 224 soma 224+56= 280
 
C -420 
 
D -580 
 
E -840
Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas ( AA, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros - ♢♢, copas - ♡♡, paus -♣♣ e espadas - ♠♠). Com base nesse experimento, analise as afirmativas 
♣♣ e espadas - ♠♠). Com base nesse experimento, ana lise as afirmativas:I. O espaço amostral ΩΩ associado a esse experimento possui exatamente 52 eventos elementares. V
II. A probabilidade de que a carta sorteada seja um AA é 1/52. 4/52=1/13
III. Sabendo que a carta sorteada é de copas, a probabilidade de que ela seja um AA é 1/13.P(A/C)= 1/13 
 
São corretas as afirmativas: 
 
A -I, apenas. 
 
B -I e II, apenas. 
 
C -I e III, apenas. X
 
D -II, apenas. 
 
E -II e III, apenas
- Lança-se um dado perfeito (com seis faces, numeradas de 1 a 6, todas com a mesma probabilidade de serem obtidas) e verifica-se o número voltado para cima. Com base nesse experimento aleatório, coloque V ou F.
#Ώ= 6
I.  (   ) A probabilidade de tirar um 3 é 1/6.#E={3} 1/6
II. (   ) A probabilidade de tirar um número ímpar é 1/2.#E={1,3,5} 3/6=1/2 
III.  (   ) A probabilidade de tirar um 3 ou um 5 é 1/3. #E={3,5} 2/6=1/3
Agora, marque a sequência correta:
A	V – V – V 
Com base na palavra CAPÍTULO, analise as afirmativas:
I. O número de anagramas dessa palavra é igual a 5040.P8!=8x7x6x5x4x3x2x1=40320
II. O número de anagramas dessa palavra que começam por consoante e terminam por vogal é igual a 11520. 
4x6x5x4x3x2x1x4=11520
III. O número de anagramas dessa palavra que têm as letras C, A, P juntas nessa ordem é igual a 120. 
CAP=1 ENTÃO= 1x5x4x3x2x1=120
São corretas as afirmativas:
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.X
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente independente de xx no 
desenvolvimento de (x/2+1/√ x )9: -P/2+9-P= -P+9-P/2= -P+18-2P=
 = -3P+18= P=18/3= 6
 
A -192192 
 
 
B -21/2 X Tp +1=C(9,P).(X-1/2)P.(X/2)9-P=(9,6).(X-1/2)6.(X/2)9-6=84.X1/64.X3/8= 21/2.X1/64+3
 
C -232232 
 
 
D -252252 
 
 
E -292292
Dois eventos AA e BB são chamados in dependentes 
se P(A∩B)=P(A)⋅P(B).P(A∩B)=P(A) ⋅P(B). Considere o 
experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (com sei s 
faces, numeradas de 1 a 6, todas com a mesma probabilidade de ser em 
obtidas). Considere os e ventos: 
 
AA: "O resultado é par". #S={2,4,6} 3/6=1/2
 
BB: "O resultado é maior ou igual a 5 ". #S{5,6} 2/6=1/3
 
CC: "O resultado é múltiplo de 3". #S{3,6} 2/6=1/3
 
Com base nesse experimento e os e ventos listados acim a, assinale 
V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
 
I. ( ) Os eventos AA e BB sã o independentes. A ∩B={6} P(A ∩B)=1/6=P(A).P(B)=1/2 x1/3=1/6 
II. ( ) Os eventos AA e CC são independentes. A ∩C={6}- P(A∩C)=1/6=P(A)XP(C)=1/2x1/3=1/6
III. ( ) Os eventos BB e CC são independentes. B∩C={6} P 
 
Agora, marque a alternativa com a sequência correta: 
 
Nota: 50.0 
 
C- V – V – F 
Você acertou! 
Inicialmente, as probabilidades de ocorrerem os eventos AA, BB e CC são dadas, respectivamente, 
por P(A)=3/6=1/=12, P(B)=26=13 e.P(C)=2/6=1/3. Observamos que A∩B={6}. Assim, P(A∩B)=1/6=P(A)⋅P(B),P(A∩B)=1/6=P(A)⋅P(B), o que garante que os eventos A e B são Assim, independentes e a afirmativa I é verdadeira. Notamos agora que A∩C={6}.A∩C={6}. Logo, P(A∩C)=1/6=P(A)⋅P(C)P(A∩C)=1/6=P(A)⋅P(C) e a afirmativa II também é verdadeira. Além disso, B∩C={6}B∩C={6}, donde P(B∩C)=1/6≠P(B)⋅P(C),P(B∩C)=1/6≠P(B)⋅P(C), o que nos leva a concluir que B e C não são independentes. Portanto, a afirmativa III é falsa.
Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade de a 1ª a tingir o alvo é P(A)=1/3P(A)=13 e a probabilidade de a 2ª atingir o alvo é P(B)=2/3.P(B)=2/3. Admitindo A e B independentes, assinale a 
alternativa que apresenta a probabilidade de ao menos um atingir o alvo, 
se os dois atiram. 
Nota: 50.0 
 
A -2/9 
 
B -3/9 
 
C -5/9 
 
D -7/9 
Você acertou! 
Essa probabilidade é dada por P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Como os eventos AA e BB são independentes, temos P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=2/9. Portanto, P(A∪B) 1/3+2/3−2/9=7/9.
Considere o binômio ( x−1 x)8. . Com base nele, assinale V para as afirmativas verdadeira e 
F para as falsas. 
 
I. ( ) O termo geral do desenvolvimento deste binômio é 
Tp+1 =(8 p)( −1) px8 −2 p . P-(+8)+P=2P/8=4
 
II . ( ) O coeficiente independente de xx vale 70. C(8,4)=70
 
III. ( ) O desenvolvimento deste binômio não apresenta parcela com o monômio x5. V 
 
Agora, marque a alternativa com a sequência correta: 
 
 
A -V – V – V 
 
Analise o triângulo de Pascal abaixo e assinale a alternativa que apresenta o desenvolvimento de 
( x +a)4(x +a) 4 com a∈R, a≠0. a∈R, a≠ 0. 
 
111 12 11331 14 64 111 11 21 133 11 46 41 
 
 
A -x4+4ax 3+6a2x2+4a3x +a4 
 
 
B -x4+4a3x+6a2x2+4a3x +a4x 4+4a 3x +6a2x 2+ 4a3x +a4 
 
C -x4+6ax 3+4a2x2+4a3x +a4x4+6ax3+4a2x 2+4a3x +a4 
 
 
D -a4+4a3x3+6a2x2+4ax 3+x 4a4+ 4a3x 3+ 6a2x 2+ 4ax3+x 4 
 
 
E -a4+4ax 3+6a2x2+4a3x +ax a4+ 4ax3+6a 2x 2+4a 3x +ax
 
Um arranjo simples de nn elementos (distintos) , tomado s pp a pp , é qual que r maneira de li s tar 
ordenadamente pp elementos , tomados dentre os nn elementos dados. Se An,pAn, p indica a 
quantidade de arranjos simples de nn elementos , tomados pp a pp , assinale a alternativa que 
contém o conjunto solução para a equação An,4=12 ⋅An,2 . 
 
A {3 n!/(n-4) . n!/(n-2) = 12 — n.(n-1).(n-2).(n-3).(n-4)/(n-4).n.(n-1).(n-2)/(n-2)=12 — (n-2).(n-3)=12 — n2 -3n-2n+6=12
 — n2 -5n-6=0 — ∆=49 X’=+5+7/2=6 X’’=+5-7/2= -1
 
B{4 
 
C {5 
 
D {6 
E {7
Uma combinação simples de nn elementos (distintos), tomados p p a pp , é qual que r escolha de pp 
 elementos dentre os nn elemento s d ados. Escrevemos Cn,pCn, p para indicar a quanti d ade de 
combinações de nn elementos, tomado s pp a pp . Com base nesta noção, coloque V quando a 
afirmativa for verdadeira e F quando f alsa. 
 
I. ( ) De seja-se formar uma equipe de três membros e dispõe -se de sete funcionários. O número de 
equipe s que podem se r formadas é 35. C(7,3)=35 
 
II. ( ) Na primeira fase de um campeonato de futebol com 6 ti me s, cada ti me jogou exatamente 
uma v e z contra cada um dos outros. Nesta f ase, f oram realizados 15 jogos. C(6,2)=15 
 
III. ( ) A equação Cn, 2=28 é satisfeita para n=8. C(8,2)=28 OU n!/2!(n!-2!)=28 — n.(n-1).(n-2)/2.(n-1)=28
— n(n-1)/2=28 — n2 – n/2=28 — n2 – n=56 — n2 – n – 56=0 — ∆=225 — X’= 1 +15/2= 8 — X’’= 1 – 15 /2 = -7 
Agora, marque a sequência correta: 
 
 
A V , V, V