Exercicios modulo2 1 GABARITORS

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Universidade de Bras´ılia – Departamento de Matema´tica
Exerc´ıcios 2.1 - GABARITO - IAL - Turma: G
1. Considere o subconjunto
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x− y = z e x− 3y + t = 0}
de R4.
a) Mostre que W e´ um subespac¸o de R4.
1a Resoluc¸a˜o: (Pela definic¸a˜o de subespac¸o.)
Sejam u = (x1, y1, z1, t1), v = (x2, y2, z2, t2) ∈ W e r ∈ R
Enta˜o u e v satisfazem as equac¸o˜es x− y = z e x− 3y + t = 0 . Assim
(i) u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) ∈ W , pois
(x1 + x2)− (y1 + y2) = x1 − y1 + x2 − y2 = z1 + z2 e
(x1 + x2)− 3(y1 + y2) + (t1 + t2) = x1 − 3y1 + t1 + x2 − 3y2 + t2 = 0 + 0 = 0.
Logo u + v satisfaz as equac¸o˜es.
(ii) ru = (rx1, ry1, rz1, rt1) ∈ W , pois
rx1− ry1 = r(x1− y1) = rz1 e rx1− 3ry1 + rt1 = r(x1− 3ry1 + t1) = r.0 = 0,
assim ru satisfaz as equac¸o˜es.
2a Resoluc¸a˜o: Como as equac¸o˜es em W formam um sistema linear homogeˆneo{
x− y − z = 0
x− 3y + t = 0 e o conjunto soluc¸a˜o de um tal sistema e´ subespac¸o de R
4,
segue que W e´ subespac¸o de R4
3a Resoluc¸a˜o : Fazer junto com o item b). Veja a seguir.
b) Encontre uma base para W .
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x− y = z e x− 3y + t = 0}
Resolvendo o sistema linear homogeˆneo{
x− y − z = 0
x− 3y + t = 0
tomamos (por escolha) x, y ∈ R como varia´veis livres, assim z = x−y e t = −x+3y
W = {(x, y, x− y,−x + 3y)|x, y ∈ R}
= {x(1, 0, 1,−1) + y(0, 1,−1, 3)|x, y ∈ R}
= [(1, 0, 1,−1), (0, 1,−1, 3)]
3a Resoluc¸a˜o do item a): Para resolver a item a), note que como W e´ o
subespac¸o gerado por (1, 0, 1,−1) e (0, 1,−1, 3) , temos que W e´ subespac¸o de
R4.
Temos que (1, 0, 1,−1) e (1, 1,−1, 3) sa˜o L.I , pois sa˜o 2 vetores e um na˜o e´
mu´ltiplo do outro , segue que (1, 0, 1,−1), (1, 1,−1, 3) e´ uma base para W .
c) Determine a dimensa˜o de W .
dim W = 2 , pois sua base tem 2 vetores.
2. Sejam u = (−1, 1, 3) e v = (1, 1,−1) vetores em R3 e considere o plano Π gerado por
u e v.
a) Encontre a projec¸a˜o ortogonal do vetor (2,−2, 2) sobre Π.
b) Determine a distaˆncia entre o ponto (2,−2, 2) e o plano Π.
Soluc¸a˜o:
a) 1o Passo: Ortogonalizar a base do plano.
u˜ = u = (−1, 1, 3)
v˜ = v − projuv = v − <v.u>‖u‖2 .u = (1, 1,−1)− (−3)11 (−1, 1, 3) =
= (1− 3
11
, 1 + 3
11
,−1 + 9
11
) = ( 8
11
, 14
11
, −2
11
)
Protanto u˜ = (−1, 1, 3) e v˜ = ( 8
11
, 14
11
, −2
11
) formam uma base ortogonal do plano.
(*) Aqui podemos simplificar nosso vetor v˜ :
v˜ = 2
11
(4, 7,−1) , assim podemos usar v˜ = (4, 7,−1) que u˜ e v˜ ainda esta˜o no plano e sa˜o
ortogonais.
2o Passo: Calcular a projec¸a˜o.
proj[u,v](2,−2, 2) = <u˜,(2,−2,2)>‖u˜‖2 .u˜ + <v˜,(2,−2,2)>‖v˜‖2 .v˜
= −2−2+6
11
.(−1, 1, 3) + 1611− 2811− 411
( 8
11
)2+( 14
11
)2+(−2
11
)2
.( 8
11
, 14
11
, −2
11
)
= (−2
11
, 2
11
, 6
11
) +
−16
11
264
121
( 8
11
, 14
11
, −2
11
)
= (−2
11
, 2
11
, 6
11
) + (−16
33
, −28
33
, 4
33
)
= (−22
33
, −22
33
, 22
33
) = (−2
3
, −2
3
, 2
3
)
Se usarmos v˜ = (4, 7,−1)
proj[u,v](2,−2, 2) = <(−1,1,3),(2,−2,2)>11 .(−1, 1, 3) + <(4,7,−1),(2,−2,2)>66 .(4, 7,−1)
= −2−2+6
11
.(−1, 1, 3) + 8−14−2
66
.(4, 7,−1)
= (−2
11
, 2
11
, 6
11
) + (−32
66
, −56
66
, 8
66
)
= (−44
66
, −44
66
, 44
66
) = (−2
3
, −2
3
, 2
3
)
b) A distaˆncia do ponto P = (2,−2, 2) ao plano Π e´ dada por :
‖P − proj[u,v](2,−2, 2)‖ =
√
[2− (−2
3
)]2 + [(−2)− (−2
3
)]2 + (2− 2
3
)2
=
√
64
9
+ 16
9
+ 16
9
=
√
96
9
= 4
√
6
3
.