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Exerc Calculo II AV2

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LISTA p/ AV2 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Prof. Castañon 
 
1) Calcule as coordenadas (x, y) do centro de massa de uma chapa 
homogênea D com o formato de um triângulo isósceles com base 10 cm e altura 5 
cm. 
Dicas: Considere o eixo x passando pela base e o eixo y coincidindo com a 
mediatriz relativa à base do triângulo, conforme a figura abaixo: 
 
 
2) Uma lâmina delgada tem a forma da região D que é interior à 
circunferência 4)2( 22 =−+ yx , e exterior à circunferência 422 =+ yx
Calcule a massa da lâmina se a densidade é dada por 2
122 )(),( −+=∂ yxyx . 
 
3) Calcule a integral de linha ∫ +−+
C
dszyx )1( , onde C é o segmento 
de reta de A(2, 1, -1) até B(4, 7, 8). 
 
4) Calcule a integral de linha ∫ +
C
dsyx )( , onde C consiste no menor arco 
de circunferência 122 =+ yx de (1, 0) a (0, 1) e o segmento de reta de (0, 1) a 
(4, 3). 
5) Calcule a integral ∫∫∫ −
W
dVy )1( , onde W é a região delimitada por x = 
0, z = 0, x + z = 2 e z = 1 – y2. 
Dica: 
 
6) Calcule, utilizando coordenadas polares, a área sobre a região que está 
dentro da curva )cos1(2 θ+=r (cardioide), e fora da circunferência de raio 
= 2. 
Dicas: formas de curvas cardioides: 
 
4
)2(
cos2
xsen
xdx =∫ 
7) Calcule ∫∫ +
D
dxdyyx 222 )( : Sendo D a região dada por 
422 ≤+ yx
 , e 0≥x . 
 
8) Calcule a área da região do primeiro quadrante, fora da circunferência 
422 =+ yx
 , e dentro da circunferência 4)2( 22 =+− yx 
Dica: ∫ ++= C
xsen
xdxx )
2
)2((
2
1)(cos2
 
 
9) Calcule o volume do sólido W delimitado pelas superfícies y = x2, y = 4, 
z = 0 e z = 4 
Dica: resolva por integral tripla, iniciando a primeira integral em relação a dy. 
 
10) Calcule o Centro de Gravidade da região limitada pelas curvas y = x2, 
x + y = 2, e y = 0, conforme figura abaixo: 
 
11) Calcule a massa e as coordenadas do Centro de Gravidade da lamina 
que tem densidade ρ(x,y)= x, e forma dada pela região limitada pela parábola 
x = y2, e pela reta x = 4. 
Dica: Limite de integração semelhantes aos limites do problema 5. 
12) Calcule o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações z = -y; 
y = x2 – 1; e z = 0. 
Dica: resolva por integral tripla, iniciando a primeira integral em relação a dz. 
13) Calcule ∫∫∫
D
zdxdydz24 , onde D é definido pelas equações abaixo: x + y 
+ z = 2, x = 0; y = 0; z = 0 e z = 1

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