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LISTA p/ AV2 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Prof. Castañon 1) Calcule as coordenadas (x, y) do centro de massa de uma chapa homogênea D com o formato de um triângulo isósceles com base 10 cm e altura 5 cm. Dicas: Considere o eixo x passando pela base e o eixo y coincidindo com a mediatriz relativa à base do triângulo, conforme a figura abaixo: 2) Uma lâmina delgada tem a forma da região D que é interior à circunferência 4)2( 22 =−+ yx , e exterior à circunferência 422 =+ yx Calcule a massa da lâmina se a densidade é dada por 2 122 )(),( −+=∂ yxyx . 3) Calcule a integral de linha ∫ +−+ C dszyx )1( , onde C é o segmento de reta de A(2, 1, -1) até B(4, 7, 8). 4) Calcule a integral de linha ∫ + C dsyx )( , onde C consiste no menor arco de circunferência 122 =+ yx de (1, 0) a (0, 1) e o segmento de reta de (0, 1) a (4, 3). 5) Calcule a integral ∫∫∫ − W dVy )1( , onde W é a região delimitada por x = 0, z = 0, x + z = 2 e z = 1 – y2. Dica: 6) Calcule, utilizando coordenadas polares, a área sobre a região que está dentro da curva )cos1(2 θ+=r (cardioide), e fora da circunferência de raio = 2. Dicas: formas de curvas cardioides: 4 )2( cos2 xsen xdx =∫ 7) Calcule ∫∫ + D dxdyyx 222 )( : Sendo D a região dada por 422 ≤+ yx , e 0≥x . 8) Calcule a área da região do primeiro quadrante, fora da circunferência 422 =+ yx , e dentro da circunferência 4)2( 22 =+− yx Dica: ∫ ++= C xsen xdxx ) 2 )2(( 2 1)(cos2 9) Calcule o volume do sólido W delimitado pelas superfícies y = x2, y = 4, z = 0 e z = 4 Dica: resolva por integral tripla, iniciando a primeira integral em relação a dy. 10) Calcule o Centro de Gravidade da região limitada pelas curvas y = x2, x + y = 2, e y = 0, conforme figura abaixo: 11) Calcule a massa e as coordenadas do Centro de Gravidade da lamina que tem densidade ρ(x,y)= x, e forma dada pela região limitada pela parábola x = y2, e pela reta x = 4. Dica: Limite de integração semelhantes aos limites do problema 5. 12) Calcule o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações z = -y; y = x2 – 1; e z = 0. Dica: resolva por integral tripla, iniciando a primeira integral em relação a dz. 13) Calcule ∫∫∫ D zdxdydz24 , onde D é definido pelas equações abaixo: x + y + z = 2, x = 0; y = 0; z = 0 e z = 1
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