Matem Financ Complementar 2010

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
COMPLEMENTAR
Rio de Janeiro
2010
2a edição
REALIZAÇÃO
Escola Nacional de Seguros – FUNENSEG
SUPERVISÃO E COORDENAÇÃO METODOLÓGICA
Diretoria de Ensino e Produtos
ASSESSORIA TÉCNICA
Hugo César Said Amazonas – 2010
Marcos Antonio Simões Peres – 2009
CAPA
Gerência de Mercado
DIAGRAMAÇÃO
Info Action Editoração Eletrônica
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da FUNENSEG.
E73m Escola Nacional de Seguros. Diretoria de Ensino e Produtos.
Matemática financeira complementar/Coordenação metodológica da Diretoria de Ensino e Produtos;
assessoria técnica de Hugo César Said Amazonas. – 2. ed. – Rio de Janeiro: FUNENSEG, 2010.
56 p.; 28 cm
A assessoria técnica do presente material contou com a colaboração de Marcos Antonio Simões
Peres em 2009.
1. Matemática financeira. I. Amazonas, Hugo César Said. II. Título.
09-0871 CDU 511(072)
É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou de partes dele,
sob quaisquer formas ou meios, sem permissão expressa da Escola.
aseada nos princípios que a regem desde sua criação, em 1971, a Escola Nacional de
Seguros promove diversas iniciativas no âmbito educacional, que contribuem para um mercado
de seguros, previdência complementar, capitalização e resseguro cada vez mais qualificado.
Essa é a filosofia presente em nossas ações, que compreendem a elaboração de cursos, exames,
pesquisas, publicações e eventos, e que confirmam nossa condição de principal provedora de serviços
voltados à educação continuada dos profissionais dessa indústria.
Em um mercado globalizado, mudanças de paradigmas são constantes e, para seguir esse movimento,
o investimento em treinamento e atualização é apontado por especialistas como essencial.
A Escola Nacional de Seguros, que nasceu de uma proposta do próprio mercado, está à sua disposição
para compartilhar todo nosso conhecimento e experiência, bens intangíveis e inestimáveis, que o
acompanharão em sua jornada.
Todo o acervo de conhecimentos e maturidade na formação de profissionais e gestores de alto nível se
reflete na qualidade do material didático elaborado pela equipe da Escola. Formada por especialistas
em seguros com sólida trajetória acadêmica, o saber disponível em nosso material didático é um
grande aliado para o voo profissional de cada um de nós.
B
Su
m
ár
io
SUMÁRIO 5
1 SÉRIES UNIFORMES, 7
Séries de Pagamentos, 7
Classificação das Séries, 8
Sistema Francês de Amortização ou CDC, 9
Metodologia de Cálculo das Prestações no CDC, 9
Fixando Conceitos, 13
2 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES, 17
Valor Atual de uma Anuidade, 17
Anuidade Temporária por “n” Anos, 18
Anuidade Perpétua, 23
Valor do Montante ou Valor Futuro de uma Anuidade, 25
Montante das Anuidades por Prazo Certo de “n” Anos, 25
Fixando Conceitos, 27
TESTANDO CONHECIMENTOS, 31
ANEXO – Convenções/Notações, 35
GABARITO, 37
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA, 55
Sé
ri
es
 U
n
if
o
rm
es
UNIDADE 1 7
Séries de Pagamentos
É o nome dado à sequência finita ou infinita de “pagamentos”, em datas previamente estipuladas,sendo cada ocorrência denominada termo da série ou ainda termo da anuidade. De ummodo geral, as séries têm por objetivo a quitação de empréstimo (amortização) de forma parcelada,
ou a formação de um montante (capitalização) para utilização futura.
Exemplo
Determinada instituição financeira concede, hoje, um empréstimo a uma empresa no
valor de R$ 100,00, o qual deve ser pago em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas
no valor de R$ 25,00, vencendo a primeira dentro de um mês. A representação do
DFC (Diagrama de Fluxo de Caixa) tem duas óticas:
• a da instituição que empresta; e
• a da empresa.
SÉRIES UNIFORMES1
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR8
Neste caso, tanto para a amortização quanto para a capitalização, as prestações ou as
amortizações estão pagando/rendendo juros a cada período. Para as séries de
pagamento, cada período terá uma entrada ou saída de caixa, diferentemente
das unidades anteriores, quando considerávamos o capital “parado” por “n” períodos,
sendo movimentado apenas no final do prazo.
Classificação das Séries
As séries de pagamento podem ter características diversas, de acordo com a forma negociada:
• Quanto ao número de termos:
– finitas: no caso de existir uma última prestação. Existe um número limitado de prestações; e
– infinitas: quando não existir uma última prestação. Neste caso, a série chama-se perpetuidade.
• Quanto à natureza:
– uniformes: quando todos os termos forem iguais. Também chamadas de constante ou, ainda, de
renda fixa; e
– não uniformes: quando os termos forem diferentes. Também chamadas de renda variável.
• Quanto ao intervalo entre os seus termos:
– periódicas: quando o intervalo entre seus termos for constante; e
– não periódicas: quando o intervalo não for constante.
R$ 25R$ 25 R$ 25 R$ 25 R$ 25
0 1 2 3 4 5 mesesR$ 100
R$ 25 R$ 25 R$ 25 R$ 25 R$ 25
 0 1 2 3 4 5 meses
R$ 100
Instituição
Empresa
UNIDADE 1 9
• Quanto ao vencimento de seus termos:
– postecipadas: quando os termos posicionam-se no final de cada período; e
– antecipadas: quando os termos posicionam-se no início de cada período.
• Quanto à ocorrência do primeiro termo:
– imediata: quando o primeiro termo ocorrer no primeiro período; e
– diferidas: quando o primeiro termo só ocorrer após alguns períodos, ou seja, quando houver uma
carência. A este prazo chama-se: diferimento da anuidade, ou prazo de diferimento, ou, ainda,
prazo de carência.
A modalidade aqui apresentada reflete o sistema de amortização mais utilizado no Brasil. É caracterizado
por ter as prestações uniformes (iguais), sem diferimento (carência) e com o intervalo de tempo constante.
Isso significa que o primeiro pagamento ocorre na data da contratação (antecipada) ou ao final do período
(postecipada).
Sistema Francês de Amortização ou CDC
Nesse tipo de amortização, à medida que o financiamento é amortizado (pago), a composição entre valor
amortizado e quantidade de juros, inclusa em cada prestação, vai se alterando. Com o correr do tempo,
vai se amortizando mais e pagando-se menos juros. Uma das modalidades que adota este tipo de pagamento
é o chamado crédito direto ao consumidor (CDC).
Um caso particular do Sistema Francês de Amortização é a Tabela Price. Neste sistema, no cálculo das
prestações utiliza-se a taxa proporcional no lugar da taxa equivalente.
O Sistema Francês de Amortização ou CDC é o mais utilizado pelas instituições financeiras e o comércio
em geral.
Metodologia de Cálculo das Prestações no CDC
Onde:
P = valor a ser financiado, ou seja o Valor Presente
i = taxa de juros do período
n = períodos de capitalização
PMT = valor das prestações uniformes (iguais)
PMT = P ××××× i × (1 + i)n ÷÷÷÷÷ [(1 + i)n – 1]
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR10
Aplicação prática
1. Um empréstimo de R$ 12.000,00 foi pago em 8 prestações mensais, a primeira
daqui a 1 mês, a uma taxa de 4,5% ao mês. O valor das prestações é de:
P = 12.000
i = 4,5 ÷ 100 = 0,045 ao mês
n = 8 meses
PMT = ?
PMT = P × i ( (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
Então:
PMT = 12.000 × 0,045 × (1 + 0,045)8 ÷ [(1 + 0,045)8 – 1]
PMT = 767,9343309 ÷ 0,422100611
PMT = 1.819,32
Resposta: O valor de cada uma das 8 prestações é de R$ 1.819,32.
Solução utilizando a calculadora financeira HP 12C®:
Digitar Valor Clicar Tecla Aparece no Visor Entendimento
f CLx Limpar Pilha
f X<
>
Y Limpar Registros Financeiros
12000 CHS -12.000,00 Trocar sinal do Valor Presente
PV -12.000,00 Armazenar Valor Presente
4,5 i 4,50 Armazenar Taxa
8 n 8,00 Armazenar Número de Períodos
PMT 1.819,32 Apresentar Valor Prestação
2. Um terreno foi comprado por R$ 28.000,00, dando o novo proprietário uma entrada
de R$ 8.000,00 e o restante em 10prestações mensais a uma taxa de 4% ao mês.
O valor das prestações é de:
Apenas uma parte do valor total do terreno será financiada. O cálculo da prestação
incidirá apenas sobre essa parte:
P = 28.000 – 8.000 = 20.000
i = 4% ÷ 100 = 0,04 ao mês
n = 10 meses
PMT = ?
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 20.000 × 0,04 × (1 + 0,04)10 ÷ [(1 + 0,04)10 – 1]
PMT = 1.184,195728 ÷ 0,480244
PMT = 2.465,82
Resposta: O valor das prestações é de R$ 2.465,82.
UNIDADE 1 11
3. Um apartamento foi financiado em 20 prestações mensais de R$ 1.824,00, a uma
taxa de 6% ao mês. O valor do apartamento à vista é de:
Nesse caso, como já se conhece o valor das prestações, basta substituí-lo, na fórmula,
pelo valor conhecido.
P = ?
i = 6 ÷ 100 = 0,06 a.m.
n = 20 meses
PMT = 1.824
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
1.824 = P × 0,06 × (1 + 0,06)20 ÷ [(1 + 0,06)20 – 1]
1.824 = P × 0,192428 ÷ 2,207135
1.824 = P × 0,087185
P = 20.921,15
Resposta: O valor à vista do apartamento é de R$ 20.921,14.
4. Um curso de inglês a distância custa R$ 8.000,00 à vista, podendo, também, ser
pago em 12 prestações mensais, a uma taxa de juros de 3,2% ao mês. O valor de
cada mensalidade do curso é de:
P = 8.000
i = 3,2 ÷ 100 = 0,032 ao mês
n = 12 meses
PMT = ?
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 8.000 × 0,032 × (1 + 0,032)12 ÷ [(1 + 0,032)12 – 1]
PMT = 373,590938 ÷ 0,459340
PMT = 813,32
Resposta: O valor da mensalidade é de R$ 813,32.
12 MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR
5. Um empréstimo de R$ 14.000,00 foi pago em 6 prestações mensais, a uma taxa de
18% ao ano. Qual o valor pago por mês?
P = 14.000
Usando a fórmula para equalizar as taxas de juros compostos:
Menor: mês – maior: Ano – Relação conversão = 12
1 + I = (1 + i)n
1 + 18 = (1 + i)12
 100
(1,18)1/12 = 1 + i
i = 0,013888
i = 1,388843% a.m.
n = 6 meses
PMT = ?
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 14.000 × 0,013888 × (1 + 0,013888)6 ÷ [(1 + 0,013888)6 – 1]
PMT = 211,20 ÷ 0,086275
PMT= 2.448,06
Resposta: O valor da prestação é de R$ 2.448,06.
Observação
Nos problemas de séries uniformes, precisamos, necessariamente, encontrar a taxa
equivalente à unidade de tempo, do período de capitalização, dada pelo problema.
Fi
xa
n
d
o
 C
o
n
ce
it
o
s
FIXANDO CONCEITOS 1 13
[1] Um empréstimo de R$ 20.000,00 vai ser pago, sem carência, pelo CDC, em 6 parcelas à taxa de 4%
a.m. O valor da prestação será de:
(a) R$ 3.720,15 (b) R$ 3.781,12 (c) R$ 3.815,24 (d) R$ 3.920,18 (e) R$ 3.980,26
[2] Ao comprar uma casa no valor de R$ 32.000,00, à vista, uma pessoa deu R$ 20.000,00 de entrada e
pagou o restante, financiado pelo CDC, em 10 parcelas fixas mensais a uma taxa de 30% ao ano. O valor
da prestação foi de:
(a) R$ 1.350,64 (b) R$ 1.392,80 (c) R$ 1.412,40 (d) R$ 1.451,20 (e) R$ 1.482,30
[3] Uma TV 29 polegadas custa R$ 1.325,00 à vista ou em 6 prestações mensais, pelo CDC, a uma taxa
de 5,2% ao mês. O valor das prestações é de:
(a) R$ 260,20 (b) R$ 262,72 (c) R$ 271,20 (d) R$ 278,30 (e) R$ 281,32
[4] O seguro de um carro foi pago em 8 prestações mensais de R$ 112,30. Sabendo-se que a taxa de juros
foi de 7% ao mês, o valor do seguro, se fosse pago à vista, seria de:
(a) R$ 650,12 (b) R$ 670,58 (c) R$ 678,18 (d) R$ 689,41 (e) R$ 698,12
[5] Uma escola cobra de anuidade, para um aluno de ensino médio, o valor de R$ 3.250,00 à vista ou
parcelado em 12 mensalidades, a uma taxa de juros de 4,2% ao mês. Neste caso, o valor da
mensalidade é de:
(a) R$ 329,12 (b) R$ 331,14 (c) R$ 341,15 (d) R$ 346,12 (e) R$ 350,33
14 MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR
[6] Um telefone celular foi comprado da seguinte forma: R$ 300,00 de entrada e o restante em 6
prestações mensais de R$ 188,00. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 5,75% ao mês, o preço à
vista do telefone era de:
(a) R$ 957,42 (b) R$ 1.083,24 (c) R$ 1.150,11 (d) R$ 1.231,76 (e) R$ 1.391,63
[7] Uma casa, no valor de R$ 60.000,00, foi comprada com 30% de entrada e o restante em 10 prestações
mensais a uma taxa de 2,5% ao mês. O valor das prestações foi de:
(a) R$ 4.679,32 (b) R$ 4.798,87 (c) R$ 4.871,12 (d) R$ 4.912,24 (e) R$ 4.980,28
[8] O seguro de um carro custa R$ 1.500,00 à vista ou parcelado, pelo CDC, a uma taxa de 2,75% ao
mês. O valor da prestação desse seguro, pago em 6 parcelas mensais, será de:
(a) R$ 250,47 (b) R$ 262,30 (c) R$ 274,61 (d) R$ 288,30 (e) R$ 291,18
[9] Um Palio custa à vista aproximadamente R$ 12.900,00. Se uma pessoa pagar 20% de entrada e o
restante em 12 parcelas fixas, a uma taxa de 2,5% ao mês, o valor dessas prestações será de:
(a) R$ 972,13 (b) R$ 981,12 (c) R$ 990,14 (d) R$ 998,12 (e) R$ 1.006,07
[10] Um plano de saúde tem custo anual de R$ 15.000,00 para uma família de 4 pessoas. Se a família
puder pagar o plano em 6 prestações bimestrais, à taxa de 2,6% ao mês, o valor da prestação será de:
(a) R$ 2.882,21 (b) R$ 2.974,19 (c) R$ 2.980,60 (d) R$ 3.002,20 (e) R$ 3.008,24
[11] O uniforme do maior clube do Brasil, autografado pelo maior artilheiro do mundo na atualidade, custa
R$ 400,00 à vista ou pode ser financiado, pelo CDC, em 5 parcelas fixas, à taxa de juros de 1,2% ao mês.
O valor da prestação que o torcedor pagará pelo uniforme é de:
(a) R$ 82,90 (b) R$ 88,30 (c) R$ 92,30 (d) R$ 95,40 (e) R$ 101,12
FIXANDO CONCEITOS 1 15
[12] O preço de uma geladeira é de R$ 820,00 à vista ou pode ser a prazo, pelo CDC, em 5 prestações
mensais, a uma taxa de juros de 132% ao ano. Se o comprador der de entrada 23% do valor, qual o valor
de cada prestação?
(a) R$ 155,09 (b) R$ 162,13 (c) R$ 170,83 (d) R$ 180,12 (e) R$ 191,15
[13] Uma televisão foi comprada, pelo CDC, em 6 prestações mensais de R$ 102,28. Sabendo-se que a
taxa de juros foi de 156% ao ano, o preço à vista era de:
(a) R$ 401,15 (b) R$ 408,86 (c) R$ 409,24 (d) R$ 431,12 (e) R$ 470,71
[14] Um fogão foi comprado, pelo CDC, em 5 prestações mensais de R$ 72,57. Sabendo-se que a taxa de
juros foi de 252% ao ano, e que foi dada uma entrada de 12% do valor, o preço à vista do fogão era de:
(a) R$ 212,33 (b) R$ 222,30 (c) R$ 239,40 (d) R$ 241,29 (e) R$ 304,35
[15] Um empréstimo de R$ 2.100,00 foi pago em 15 prestações mensais, a uma taxa de 9% ao
mês. O valor das prestações foi de:
(a) R$ 260,52 (b) R$ 290,32 (c) R$ 297,49 (d) R$ 301,90 (e) R$ 320,57
[16] Um empréstimo de R$ 20.000,00 vai ser pago, sem carência, pelo CDC, em 5 parcelas à taxa de
3% a.m. O valor da prestação será de:
(a) R$ 3.825,20 (b) R$ 3.974,12 (c) R$ 4,016,24 (d) R$ 4.220,18 (e) R$ 4.367,09
[17] Ao comprar um carro no valor de R$ 55.000,00, à vista, uma pessoa deu 20% de entrada e pagou o
restante, financiado pelo CDC, em 8 parcelas fixas mensais a uma taxa de 4% ao mês. O valor da
prestação foi de:
(a) R$ 5.517,58 (b) R$ 5.987,64 (c) R$ 6.200,06 (d) R$ 6.535,22 (e) R$ 6.879,30
[18] O seguro de um carro foi pago em 7 prestações mensais de R$ 1.728,20. Sabendo-se que a taxa de
juros foi de 5% ao mês, o valor do seguro, se fosse pago à vista, seria de:
(a) R$ 9.500,00 (b) R$ 10.000,00 (c) R$ 11.000,00 (d) R$ 12.000,00 (e) R$ 12.500,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR16
[19] Um curso cobra cada parcela de R$ 2.000,00, em 9 vezes, a uma taxa de juros de 2% ao mês.
Sabendo que no pagamento à vista há um desconto de 30%, o valor do desconto seria de:
(a) R$ 3.849,12 (b) R$ 4.331,14 (c) R$ 4.897,34 (d) R$ 5.256,12 (e) R$ 5.550,33
[20] Um telefone celular foi comprado, pelo CDC, em 3 prestações mensais de R$ 1.000,00. Sabendo-se
que a taxa de juros anual foi de 34,49%, o preço à vista do telefone era de:
(a) R$ 1.964,56 (b) R$ 2.856,02 (c) R$ 3.450,11 (d) R$ 3.689,12 (e) R$ 4.000,00
Re
n
d
as
 C
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ta
so
u
 A
n
u
id
ad
es
UNIDADE 2 17
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES
C hamamos de renda certa ou anuidade uma sucessão, finita ou infinita de pagamentosG1, G2, ..., pagamentos estes chamados de termos da anuidade e que devem ocorrer emdatas preestabelecidas, t1, t2...
Quando o número de termos da série for finito, chama-se anuidade temporária. Porém, se o número de
termos da anuidade for infinito, chama-se anuidade perpétua.
Valor Atual de uma Anuidade
Entendemos o valor atual de uma anuidade como sendo a soma dos valores atuais dos seus termos, em
uma mesma data focal (Data 0), e a uma mesma taxa de juros.
Chamaremos v = 1/(1 + i) de Desconto Financeiro.
G1 Gn
2
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR18
Digitar Valor Clicar Tecla Aparece no Visor Entendimento
f CLx 0,00 Limpar Pilha
f X<
>
Y 0,00 Limpar Registros Financeiros
200 CHS -200,00 Trocar sinal do Termo
PMT -200,00 Armazenar o Termo da Série
(Pagamento)
2 i 2,00 Armazenar Taxa
4 n 4,00 Armazenar Número Períodos
PV 761,55 Apresentar Valor Atual da Série
Anuidade Temporária por “n” Anos
• Imediata e Postecipada – série de pagamentos em que o 1o ocorre um período após a compra.
Usa-se a fórmula:
Ap =
1 – vn
 × (R ou G) ou PMT = P × (1 + i)n × i
 i (1 + i)n – 1
Onde: ou
Ap = valor atual da série P = PMT ×
(1 + i)n – 1
v = desconto financeiro (1 + i)n × i
n = número de termos (fórmula apresentada em cálculo
i = taxa de juros das prestações no CDC)
R = recebimento
G = pagamento
Exemplo
Uma pessoa compra um televisor de 20 polegadas que irá pagar em quatro prestações
de R$ 200,00, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do final do mês da
compra (Pagamento Postecipado) e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa
de juros compostos de 2,0% a.m. O preço do objeto à vista é?
n = 4
G = 200,00
i = 2% a.m. = 0,02
Ap = ?
Ap = 
1 – vn
 × (R ou G)
 
 i
Ap = 
1 – [1/(1+0,02)4]
 × 200 = 1 – [1 / 1,082432] × 200
 
0,02 0,02
Ap = 761,55
Solução utilizando a calculadora financeira HP-12C©
A
0
G ........................ G
n1
UNIDADE 2 19
• Imediata e Antecipada – série de pagamentos em que o 1o ocorre no momento da compra. Usa-se a
fórmula:
Ap = 
 (1 + i)n – 1
 × (R ou G)
 i × (1 + i)n-1
Onde:
Ap = valor atual da série
n = número de termos
i = taxa de juros
R = recebimento
G = pagamento
Exemplo
Uma pessoa compra um televisor de 20 polegadas, que irá pagar em 4 prestações de
R$ 196,08. As prestações serão pagas a partir do momento da compra (Pagamento
Antecipado) e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de
2,0% a.m. O preço do objeto à vista é?
n = 4
G = 196,08
i = 2% a.m. = 0,02
Ap = ?
Ap = 
(1 + i)n – 1
 × (R ou G)
 
i × (1 + i)n-1
Ap = 
 (1 + 0,02)4 – 1
 × 196,08 = 1,082432 – 1 × 196,08
 
0,02 × (1 + 0,02)4-1 0,02 × 1,061208
Ap = 761,55
Solução utilizando a calculadora financeira HP-12C©
Digitar Valor Clicar Tecla Aparece no Visor Entendimento
f CLx 0,00 Limpar Pilha
f X<
>
Y 0,00 Limpar Registros Financeiros
g 7 Begin Ativar Função BEGIN
196,08 CHS -196,08 Trocar sinal do Termo
PMT -196,08 Armazenar Termo da Série
2 i 2,00 Armazenar Taxa
4 n 4,00 Armazenar Número Períodos
PV 761,55 Apresentar Valor Atual da Série
A
G ................................. G
n1
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR20
Solução 1:
G = 2.626,24
n = 4 meses
m = 4 meses (tempo de carência)
i = 2,0% a.m.
Ap = ?
Ap = 
1
 × 
1 – vn
 × (R ou G)
 
(1 + i)m-1 i
Observação
Note que, nos dois exemplos anteriores, um televisor de 20 polegadas, apesar de ter o
mesmo valor à vista, as parcelas não são iguais, devido às formas diferentes dos
financiamentos contratados.
• Diferida por “m” anos – nesse caso, o 1o pagamento só ocorre em prazos superiores a um período,
ou seja, a carência deve ser superior a um período. Usa-se a fórmula:
Ap = 
 1
 
 
 × 
1 – vn
 × (R ou G)
 (1 + i)m – 1 i
Onde:
Ap = valor atual da série
n = número de termos
m =
 
prazo de carência
i = taxa de juros
v = desconto financeiro
R = recebimento
G = pagamento
Exemplo
Uma pessoa compra um automóvel e irá pagá-lo em quatro prestações mensais de
R$ 2.626,24. As prestações serão pagas a partir do quarto mês da compra (4 meses
de carência). O vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de
2,0% a.m. Qual é o preço do automóvel à vista?
Ap
0
G ........................ G
71 2 3 4 5 6
UNIDADE 2 21
vn = 
 1 
= 
 1 
= 
 1 
 = 0,923845
 
(1 + i)n (1 + 0,02)4 1,082432
Ap = 
 1 
 × 
1 – 0,923845 
× 2626,24
 
(1 + 0,02)4-1 0,02
Ap = 0,942322 × 3,80775 × 2626,24 = 9.423,23
Solução 2:
Após observarmos o fluxo de caixa, podemos resolver este problema trazendo os
pagamentos para o terceiro mês, utilizando a fórmula da Anuidade Temporária por
“n” anos imediata e postecipada:
Ap = ( 1 – v
n) × (R ou G)
 
 i
 
 1
Ap = ( 1 – v
n) × G = ( 1 – (1,02)4) × 2.626,24
 
 i 0,02
Ap = 3,8077 × 2.626,24 = 10.000
Posteriormente, traremos o valor obtido no terceiro mês para a data focal zero, mas
nos valendo da fórmula: F = P (1 + i)n.
Sabemos que: P = F , logo:
 
(1 + i)n
P = 10.000 = 9.423,23
 
(1,02)3
Veja o fluxo de caixa pronto deste exemplo:
Ap2 = 9.423,23
0
G ........................ G
71 2 3 4 5 6
{ {Ap1 = 10.000,01
4 meses de carência
3 meses de
desconto
G = 2.626,24
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR22
Solução utilizando a calculadora financeira HP-12C©
A solução de problemas ligados a prazos de carência deve ser realizada em duas
etapas. Primeiramente, resolvemos a área que contém os termos da série e, depois,
a área do prazo de carência. Vejamos como:
Digitar Valor Clicar Tecla Aparece no Visor Entendimento
1a Parte
f CLx 0,00 Limpar Pilha
f X<
>
Y 0,00 Limpar Registros Financeiros
g 8 Desativar Função BEGIN
2.626,24 CHS -2.626,24 Trocar sinal do Termo
PMT -2.626,24 Armazenar Termo da Série
2 i 2,00 Armazenar Taxa
4 n 4,00 Armazenar Número Períodos
PV 10.000,01 Apresentar Valor Atual da Série
no terceiro mês
f X<
>
Y 10.000,01 Limpar Registros Financeiros
CHS -10.000,01 Trocar o sinal do valor
encontrado na 1a parte
FV -10.000,01 Armazenar o valor encontrado
na 1a parte do problema na
Função Valor Futuro
2 i 2,00 Armazenar Taxa
3 n 3,00 Armazenar no Períodos
relativos a antecipação
PV 9.423,23 Aparece o Valor Atual da Série
no início do investimento
UNIDADE 2 23
Anuidade Perpétua
• Imediata Postecipada – somatório de um número infinito de termos de uma série cujos pagamentos
acontecem no final do período. Usa-se a fórmula:
Ap = 
(1) 
 ×
 (R ou G)
 i
Onde:
Ap = valor atual da série
i = taxa de juros
R = recebimento
G = pagamento
Exemplo
Se um apartamento está rendendo um aluguel de R$ 600,00 ao mês e se a melhor
aplicação no mercado financeiro é de 2% a.m., a primeira estimativa do valor do
imóvel, considerando o recebimento do aluguel no final do período é de?
R = 600,00
i = 2% a.m. = 0,02
Ap = ?
Ap =
 (1) 
 ×
 (R ou G)
 i
Ap =
 (1)
 × 600 = 1 × 600
 0,02 0,02
Ap = 30.000,00
Solução utilizando a calculadora financeira HP-12C©
Digitar Valor Clicar Tecla Aparece no Visor Entendimento
f CLx 0,00 Limpar Pilha
f X<
>
Y 0,00 Limpar Registros Financeiros
g 8 Desativar Função BEGIN
600CHS -600,00 Trocar sinal do Termo
PMT -600,00 Armazenar Termo da Série
2 i 2,00 Armazenar Taxa
999999999 n 99999999 Armazenar Número Períodos
PV 30.000,00 Apresentar Valor Atual da Série
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR24
• Imediata e Antecipada – somatório de um número infinito de termos de uma série cujos pagamentos
acontecem no início do período. Usa-se a fórmula:
Ap = 
(1 + i)
 × (R ou G)
 i
Onde:
Ap = valor atual da série
n = número de termos
i = taxa de juros
R = recebimento
G = pagamento
Exemplo
Se um apartamento está rendendo um aluguel de R$ 600,00 ao mês e se a melhor
aplicação no mercado financeiro é de 2% a.m., qual seria a primeira estimativa do
valor do imóvel, considerando o recebimento do aluguel no início do período?
n = infinito
R = 600,00
i = 2% a.m. = 0,02
Ap = ?
Ap = 
(1 + i)
 × (R ou G)
 
i
Ap = 
(1 + 0,02)
 × 600 = 1,02 × 600
 
0,02 0,02
Ap = 30.600,00
Solução utilizando a calculadora financeira HP-12C©
Digitar Valor Clicar Tecla Aparece no Visor Entendimento
f CLx 0,00 Limpar Pilha
f X<
>
Y 0,00 Limpar Registros Financeiros
g 7 Begin Ativar Função BEGIN
600 CHS -600,00 Trocar sinal do Termo
PMT -600,00 Armazenar Termo da Série
2 i 2,00 Armazenar Taxa
999999999 n 99999999 Armazenar Número Períodos
PV 30.600,00 Apresentar Valor Atual da Série
UNIDADE 2 25
Valor do Montante ou Valor Futuro
de uma Anuidade
Chamamos de montante da anuidade a soma dos valores dos montantes de seus termos, considerando
uma taxa de juros e uma data focal.
 t1 tn t
Montante das Anuidades por Prazo Certo de “n” Anos
• Postecipada – somatório do número finito dos montantes dos termos de uma série cujos pagamentos
acontecem no final do período. Usa-se a fórmula:
SF = 
[(1 + i)n – 1]
 × (R ou G)
 i
Onde:
SF = montante da série
n = número de termos
i = taxa de juros
R = recebimento
G = pagamento
Exemplo
Calcular o montante de uma anuidade postecipada de R$ 5.000,00, a uma taxa de
2% a.m., durante 24 meses.
n = 24 meses
R = 5.000,00
i = 2% a.m. = 0,02
SF = ?
SF =
 [(1 + i)n – 1]
 × (R ou G)
 
i
SF =
 [(1 + 0,02)24 – 1]
 × 5.000,00
 
0,02
SF =
 0,608437
 × 5.000,00
 
0,02
SF = 152.109,31
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR26
Solução utilizando a calculadora financeira HP-12C©
Digitar Valor Clicar Tecla Aparece no Visor Entendimento
f CLx 0,00 Limpar Pilha
f X<
>
Y 0,00 Limpar Registros Financeiros
g 8 Desativar Função BEGIN
5000 CHS -5.000,00 Trocar sinal do Termo
PMT -5.000,00 Armazenar Termo da Série
2 i 2,00 Armazenar Taxa
24 n 24 Armazenar Número Períodos
FV 152.109,31 Apresentar Valor do Montante da Série
• Antecipada – somatório do número finito dos montantes dos termos de uma série cujos pagamentos
acontecem no início do período. Usa-se a fórmula:
SF = (1+ i) × [(1 + i)
n
 – 1]
 × (R ou G)
 i
Onde:
SF = montante da série
n = número de termos
i = taxa de juros
R = recebimento
G = pagamento
Exemplo
Calcular o montante de uma anuidade antecipada de R$ 5.000,00, a uma taxa de
2% a.m., durante 24 meses.
n = 24 meses
R = 5.000,00
i = 2% a.m. = 0,02
SF = ?
SF = (1 + i) × [(1 + i)
n
 – 1]
 × (R ou G)
 
 
 i
SF = (1 + 0,02) × [(1 + 0,02)
24
 – 1]
 × 5.000,00
 
 0,02
SF = 1,02 × 30,421862 × 5.000,00
SF = 155.151,50
Solução utilizando a calculadora financeira HP-12C©
Digitar Valor Clicar Tecla Aparece no Visor Entendimento
f CLx 0,00 Limpar Pilha
f X<
>
Y 0,00 Limpar Registros Financeiros
g 7 Begin Ativar Função BEGIN
5000 CHS -5.000,00 Trocar sinal do Termo
PMT -5.000,00 Armazenar Termo da Série
2 i 2,00 Armazenar Taxa
24 n 24 Armazenar Número Períodos
FV 155.151,50 Apresentar Valor do Montante da Série
Fi
xa
n
d
o
 C
o
n
ce
it
o
s
FIXANDO CONCEITOS 2 27
[1] As rendas certas ou anuidades obedecem a um conjunto de critérios de classificação. Quanto ao
número de termos, elas podem ser:
(a) Periódicas e não periódicas
(b) Antecipada ou postecipada
(c) Uniformes ou não uniformes
(d) Temporárias ou perpétuas
(e) Temporárias e não periódicas
[2] Uma pessoa compra um carro e irá pagá-lo em 36 prestações mensais de R$ 450,00, sem entrada.
A primeira prestação será paga um mês após a compra, e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa
de juros compostos de 3,5% a.m.. O preço do automóvel à vista, desprezando-se os centavos é?
(a) R$ 8.000,00
(b) R$ 9.000,00
(c) R$ 9.130,00
(d) R$ 15.652,00
(e) R$ 16.200,00
[3] Uma pessoa compra um automóvel e paga, à vista, aproximadamente R$ 15.650,00. Suponha que tal
pessoa desejasse pagar o automóvel em 36 parcelas mensais, a uma taxa de juros compostos de
2,95% a.m., sendo a primeira parcela paga no momento da compra. O valor da prestação a ser paga é de?
(a) R$ 430,72
(b) R$ 434,72
(c) R$ 440,00
(d) R$ 441,00
(e) R$ 691,10
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR28
[4] Um empresário de sucesso adquiriu um conjunto de salas que rende um aluguel de R$ 80.000,00 ao
mês. Se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro é de 2,35% a.m., o valor estimado do conjunto
de salas, admitindo-se que o aluguel é pago no final do mês, é de?
(a) R$ 3.000.000,00
(b) R$ 3.200.000,15
(c) R$ 3.404.255,32
(d) R$ 3.600.255,64
(e) R$ 3.604.255,30
[5] Calcular o montante de uma anuidade postecipada de R$ 1.000,00, a uma taxa de juros de 2,5% a.m.,
durante 36 meses:
(a) R$ 36.078,01
(b) R$ 36.902,36
(c) R$ 40.315,25
(d) R$ 50.316,43
(e) R$ 57.301,41
[6] Flavia comprou um computador em 6 prestações mensais de R$ 600,00. A 1a prestação será paga 1
mês após a compra. O vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m.. O
preço do computador à vista é:
(a) R$ 2.900,45
(b) R$ 3.100,47
(c) R$ 3.304,88
(d) R$ 3.512,20
(e) R$ 6.600,00
[7] Calcular o montante de uma anuidade antecipada de R$ 500,00, a uma taxa de juros de 1,5% a.m.,
durante 20 meses:
(a) R$ 7.450,99
(b) R$ 8.220,30
(c) R$ 9.550,28
(d) R$ 10.000,00
(e) R$ 11.735,26
FIXANDO CONCEITOS 2 29
[8] Mariana deseja receber uma renda mensal de R$ 3.000,00. Supondo que a renda não seja extinta com
sua morte e que a taxa da melhor aplicação é de 1% a.m., a primeira estimativa do valor necessário para
gerar a renda desejada, considerando aquele recebimento no final de cada mês é de:
(a) R$ 250.000,00
(b) R$ 280.000,00
(c) R$ 300.000,00
(d) R$ 310.000,00
(e) R$ 350.000,00
[9] Sabendo-se que a primeira estimativa do valor de um determinado imóvel é de R$ 30.600,00, para que
se possa obter um aluguel mensal de R$ 600,00, a taxa desse investimento, se o aluguel for recebido no
início de cada mês, será de:
(a) 1,52% a.m.
(b) 1,86% a.m.
(c) 1,96% a.m.
(d) 2,00% a.m.
(e) 2,50% a.m.
[10] Um investidor fez 12 aplicações consecutivas de valor unitário e de periodicidade mensal (Série
Antecipada), capitalizando integralmente cada um desses valores. Sabendo que a taxa de juros compostos
utilizados nas aplicações foi de 2,35% a.m., calcule o montante obtido pelo investidor:
(a) R$ 9,73
(b) R$ 9,90
(c) R$ 10,16
(d) R$ 14,00
(e) R$ 16,00
[11] Uma pessoa compra um computador e irá pagá-lo em 8 prestações mensais de R$ 534,34, sem
entrada. A primeira prestação será paga 1 mês após a compra, e o vendedor afirmou estar cobrando uma
taxa de juros compostos de 1,5% a.m.. O preço do computador à vista é:
(a) R$ 4.000,00 (b) R$ 5.000,00 (c) R$ 5.500,00 (d) R$ 6.000,00 (e) R$ 6.500,00
[12] Uma pessoa adquire um automóvel e paga, à vista, R$ 12.000,00. Suponha que tal pessoa desejasse
pagar o automóvel em 5 parcelas mensais, a 1taxa de juros compostos de 3% a.m., sendo a primeiraparcela paga no momento da compra. O valor da prestação a ser paga seria de:
(a) R$ 2.400,00 (b) R$ 2.543,94 (c) R$ 2.749,12 (d) R$ 3.445,04 (e) R$ 3.664,77
30 MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR
[13] Uma ação paga, de dividendos, R$ 20.000,00 todo final de ano. Admitindo-se uma taxa de retorno
de 4% a.a., o valor teórico do preço atual dessa ação é de:
(a) R$ 300.000,00 (b) R$ 400.000,00 (c) R$ 500.000,00 (d) R$ 502.000,00 (e) R$ 600.000,00
[14] Calcular o montante de uma anuidade postecipada de R$ 2.000,00, a uma taxa de juros de 1% a.m.,
durante 12 meses:
(a) R$ 16.109,02 (b) R$ 25.365,01 (c) R$ 30.548,22 (d) R$ 42.558,64 (e) R$ 44.025,36
[15] Calcular o montante de uma anuidade antecipada de R$ 1.000,00, a uma taxa de juros de 2% a.m.,
durante 24 meses:
(a) R$ 28.215,69 (b) R$ 30.002,58 (c) R$ 31.030,30 (d) R$ 40.301,22 (e) R$ 42.039,03
[16] Você deseja adquirir um plano de Previdência que deva lhe proporcionar uma renda anual para a vida
inteira, começando daqui a 1 ano, no valor de R$ 5.000,00. Admitindo-se uma taxa anual de 10%, calcule
quanto você deve depositar hoje:
(a) R$ 38.500,00 (b) R$ 40.000,00 (c) R$ 45.500,00 (d) R$ 50.000,00 (e) R$ 50.500,00
[17] Uma pessoa adquire um bem parcelado em 6 vezes de R$ 1.400,20, a uma taxa de juros compostos
de 2% a.m., sendo a primeira parcela paga no momento da compra. O valor do bem à vista é de:
(a) R$ 4.000,00 (b) R$ 5.000,00 (c) R$ 6.000,00 (d) R$ 7.000,00 (e) R$ 8.000,00
[18] Mario deseja viajar em dezembro do corrente ano e, desde janeiro desse mesmo ano, deposita
mensalmente R$ 1.800,00. Supondo que a retirada ocorra em dezembro e a taxa de juros seja de
1,5% a.m., determine de quanto será o resgate:
(a) R$ 23.474,18 (b) R$ 28.002,36 (c) R$ 30.418,25 (d) R$ 32.749,11 (e) R$ 35.000,35
[19] Angela deseja viajar em janeiro do próximo ano e o valor da viagem será de R$ 30.000,00, o qual será
retirado em janeiro. Admitamos que foram feitos 15 depósitos mensais e iguais, antecipadamente, isto é,
o último ocorrerá em dezembro do corrente ano, a uma taxa de 1% ao mês. Determine o valor dos depósitos:
(a) R$ 1.485,21 (b) R$ 1.845,26 (c) R$ 2.005,21 (d) R$ 2.410,25 (e) R$ 3.152,44
[20] Um investidor fez 10 aplicações consecutivas obtendo, postecipadamente, o montante de R$ 15.981,16.
Sabendo que a taxa de juros compostos utilizados nas aplicações foi de 1,4% a.m., calcule o valor das
aplicações:
(a) R$ 1.000,00 (b) R$ 1.500,00 (c) R$ 2.000,00 (d) R$ 2.500,00 (e) R$ 3.000,00
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TESTANDO CONHECIMENTOS 31
[1] Um automóvel, no valor de R$ 25.000,00, é vendido com uma entrada de 20% e o restante é financiado
pelo crédito direto ao consumidor (CDC), em 6 prestações mensais e iguais, a uma taxa de juros mensal
de 2,5%. A prestação mensal desse financiamento é igual a:
(a) R$ 3.620,00 (b) R$ 3.625,00 (c) R$ 3.631,00 (d) R$ 3.634,00 (e) R$ 3.640,00
[2] Alberto quer comprar um veículo que custa, à vista, R$ 19.000,00. A concessionária utiliza uma taxa
de 6,00% ao mês, no regime de CDC, e parcela o veículo em 12 meses. O valor de cada prestação desse
veículo será de:
(a) R$ 1.633,27 (b) R$ 1.678,34 (c) R$ 1.740,00 (d) R$ 2.266,26 (e) R$ 2.436,33
[3] A taxa semestral, equivalente a 3% ao bimestre, é:
(a) 6% (b) 7,12% (c) 9,27% (d) 9,84% (e) 10%
[4] Carlos adquire uma televisão parcelada em 10 vezes de R$ 300,00, a uma taxa de juros compostos de
2% a.m., sendo a primeira parcela paga no momento da compra. Qual seria o valor do bem à vista?
(a) R$ 2.410,26 (b) R$ 2.748,67 (c) R$ 3.000,00 (d) R$ 3.569,22 (e) R$ 3.958,10
[5] Uma pessoa adquire um automóvel e paga, à vista, R$ 30.000,00. Admitamos que a outra opção seria
pagar o automóvel em 36 parcelas mensais, a uma taxa de juros compostos de 1,5% a.m., sendo a
primeira parcela paga 1 mês após a compra. Determine o valor das parcelas:
(a) R$ 859,47 (b) R$ 943,94 (c) R$ 949,12 (d) R$ 1.084,57 (e) R$ 1.264,77
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR32
[6] A taxa quadrimestral, equivalente a 20% ao semestre, é:
(a) 11,54% (b) 12,92% (c) 13,07% (d) 13,79% (e) 14%
[7] Carlos adquiriu um eletrodoméstico pagando, durante 1 ano, R$ 500,00 por mês. Se ele se
comprometesse a pagar esta dívida exatamente 12 meses após a aquisição do bem, a uma taxa mensal de
2%, de quanto seria esse valor?
(a) R$ 3.301,56 (b) R$ 4.558,10 (c) R$ 5.489,27 (d) R$ 6.706,04 (e) R$ 7.537,98
[8] Um financiamento foi concedido a uma taxa de juros de 3% ao mês, para ser pago em 12 parcelas
mensais iguais de R$ 1.000,00, sendo a primeira paga um mês após a concessão do financiamento.
O valor do financiamento é de:
(a) R$ 5.900,23 (b) R$ 6.786,02 (c) R$ 7.456,00 (d) R$ 8.732,46 (e) R$ 9.954,00
[9] Qual o investimento que devemos fazer hoje, a uma taxa de 10% ao ano, para podermos receber
R$ 10.000,00 no final de cada um dos próximos 8 anos?
(a) R$ 48.786,30 (b) R$ 49.124,23 (c) R$ 53.349,26 (d) R$ 55.689,34 (e) R$ 59.954,00
[10] Uma determinada empresa financia eletrodomésticos em 6 prestações mensais iguais, com pagamento
antecipado, com uma taxa de juros de 2,5% ao mês. Qual o valor dessas prestações para um financiamento
de R$ 3.000,00?
(a) R$ 531,37 (b) R$ 544,65 (c) R$ 605,32 (d) R$ 690,90 (e) R$ 710,30
[11] Qual o montante de um fluxo de caixa que tem recebimentos de R$ 1.000,00 por ano, no final de cada
período, a uma taxa de juros de 1,6% ao bimestre, durante 5 anos?
(a) R$ 4.758,33 (b) R$ 5.015,01 (c) R$ 5.658,12 (d) R$ 6.104,16 (e) R$ 6.710,30
[12] Determine o valor dos quatro depósitos trimestrais que devem ser feitos, no início de cada período,
para produzir um montante de R$ 10.000,00, com uma taxa de juros de 6% ao trimestre?
(a) R$ 2.156,52 (b) R$ 2.285,91 (c) R$ 2.722,56 (d) R$ 3.046,21 (e) R$ 3.546,30
TESTANDO CONHECIMENTOS 33
[13] Um eletrodoméstico é financiado pelo CDC em 4 parcelas mensais fixas de R$ 301,92, a uma taxa
de 8% ao mês. O valor à vista desse eletrodoméstico é de:
(a) R$ 890,01 (b) R$ 921,40 (c) R$ 1.000,00 (d) R$ 1.118,20 (e) R$ 1.211,68
[14] Davi tem um apartamento alugado por R$ 1.200,00 por mês. Se a melhor aplicação no mercado
financeiro é de 1,2% a.m., a melhor estimativa do valor do imóvel, considerando que o recebimento
do aluguel acontece sempre no início do período, é de:
(a) R$ 100.000,00 (b) R$ 101.200,00 (c) R$ 110.000,00 (d) R$ 110.200,00 (e) R$ 130.000,00
[15] Uma loja vende televisores de 32” em 12 parcelas mensais de R$ 150,00 sendo a primeira parcela
paga daqui a 60 dias. Se taxa de juros é de 7,25% a.m. o valor, à vista do televisor é de:
(a) R$ 1.096,21 (b) R$ 1.175,69 (c) R$ 1.325,69 (d) R$ 1.450,30 (e) R$ 1.567,32
[16] Um automóvel custa, à vista, R$ 62.000,00 e pode ser pago em 10 parcelas mensais iguais, com uma
carência de 4 meses. Sendo a taxa de juros de 1,5% ao mês, o valor das parcelas será de:
(a) R$ 4.942,85 (b) R$ 6.722,92 (c) R$ 7.030,00 (d) R$ 8.324,30 (e) R$ 8.945,32
[17] A primeira estimativa do valor de um apartamento é R$ 60.000,00. Para que se possa obter um
aluguel mensal de R$ 550,00, a taxa desse investimento, se o aluguel for pago no final de cada mês
será de:
(a) 0,92% a.m. (b) 1,05% a.m. (c) 2,01% a.m. (d) R$ 2,15% a.m. (e) 3,07% a.m.
34 MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR
A
n
ex
o
ANEXO 35
Convenções/Notações
 Descrição Nomenclatura Adotada Outras Nomenclaturas
Valor Presente, Principal ou Capital Inicial P PV, VP, A
Valor Futuro ou Montante F FV, VF, M
Juros Simples ou Compostos J –
Tempo n t
Prazo de Carência m c
Taxa de Juros i r, k
Taxa de Juros Anual aa ao ano
Taxa de Juros Semestral as ao semestre
Taxa de Juros Trimestralat ao trimestre
Taxa de Juros Mensal am ao mês
Desconto D –
Taxa de Desconto id forma decimal da taxa
Prestações Uniformes PMT A
Recebimento R rec
Pagamento G pg, P
Valor Atual de uma Série AP A
Montante de uma Anuidade SF S
36 MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR
G
ab
ar
it
o
GABARITO 37
Unidade 1
1) Dados:
P = 20.000
i = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês
n = 6 meses
PMT = ?
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 20.000 × 0,04 × (1 + 0,04)6 ÷ [(1 + 0,04)6 – 1]
PMT = 1012,255215 ÷ 0,265319
PMT = 3.815,24
Resposta: O valor da prestação é de R$ 3.815,24.
2) Dados:
P = 32.000 – 20.000 = 12.000
i = 30% a.a.
n = 10 meses
Conversão de períodos: Menor: mês – Maior: ano – Relação Conversão: 12
1 + I = (1 + i)n
1 + 0,3 = (1 + i)12
(1,30)1/12 – 1 = i
i = 0,022104 = 2,210445% a.m.
PMT = ?
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 12.000 × 0,022104 × (1 + 0,022104)10 ÷ [(1 + 0,022104)10 – 1]
PMT = 330,069132 ÷ 0,244379
PMT = 1.350,64
Resposta: O valor da prestação é de R$ 1.350,64.
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR38
3) Dados:
P = 1.325
i = 5,2 ÷ 100 = 0,052 ao mês
n = 6 meses
PMT = ?
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 1.325 × 0,052 × (1 + 0,052)6 ÷ [(1 + 0,052)6 – 1]
PMT = 93,392857 ÷ 0,355484
PMT = 262,72
Resposta: O valor da prestação é de R$ 262,72.
4) Dados:
P = ?
i = 7 ÷ 100 = 0,07 ao mês
n = 8 meses
PMT = 112,30
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
112,30 = P × 0,07 × (1 + 0,07)8 ÷ [(1 + 0,07)8 – 1]
112,30 = P × 0,120273 ÷ 0,718186
P = 112,30 ÷ 0,167468
P = 670,58
Resposta: O valor do seguro à vista seria de R$ 670,58.
5) Dados:
P = 3.250
i = 4,2 ÷ 100 = 0,042 ao mês
n = 12 meses
PMT = ?
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 3.250 × 0,042 × (1 + 0,042)12 ÷ [(1 + 0,042)12 – 1]
PMT = 223,637835 ÷ 0,638372
PMT = 350,33
Resposta: O valor da prestação é de R$ 350,33.
6) Dados:
Entrada = 300
P = ?
i = 5,75 ÷ 100 = 0,0575 ao mês
n = 6 meses
PMT = 188
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
188 = P × 0,0575 × (1 + 0,0575)6 ÷ [(1 + 0,0575)6 – 1]
188 = P × 0,080417 ÷ 0,398564
188 = P × 0,201768
P = 931,76
Resposta: O valor à vista é de 931,76 + 300 = R$ 1.231,76.
GABARITO 39
7) Dados:
P = 60.000 – 30% × 60.000 = 60.000 – 18.000 = 42.000
i = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês
n = 10 meses
PMT = ?
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 42.000 × 0,025 × (1 + 0,025)10 ÷ [(1 + 0,025)10 – 1]
PMT = 1.344,088771 ÷ 0,280085
PMT = 4.798,87
Resposta: O valor da prestação é de R$ 4.798,87.
8) Dados:
P = 1.500
i = 2,75 ÷ 100 = 0,0275 ao mês
n = 6 meses
PMT = ?
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 1.500 × 0,0275 × (1 + 0,0275)6 ÷ [(1 + 0,0275)6 – 1]
PMT = 48,541695 ÷ 0,176768
PMT = 274,61
Resposta: O valor da prestação é de R$ 274,61.
9) Dados:
P = 12.900 – 20% × 12.900 = 12.900 – 2.580 = 10.320
i = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês
n = 12 meses
PMT = ?
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 10.320 × 0,025 × (1 + 0,025)12 ÷ [(1 + 0,025)12 – 1]
PMT = 346,981317 ÷ 0,344889
PMT = 1.006,07
Resposta: O valor da prestação é de R$ 1.006,07.
10) Dados:
P = 15.000
i = 2,6 ÷ 100 = 0,026 ao mês
n = 6 bimestres
PMT = ?
Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: bimestre – Relação conversão: 2
1 + I = (1 + i)n
1 + I = (1 + 2,6 )2 → I = 1,052676 – 1
 100
I = 0,052676
I = 5,2676% a.b.
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n –1]
PMT = 15.000 × 0,052676 × (1 + 0,052676)6 ÷ [(1 + 0,052676)6 – 1]
PMT = 1.075,158214 ÷ 0,360719
PMT = 2.980,60
Resposta: O Valor da prestação será de R$ 2.980,60.
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR40
11) Dados:
P = 400
i = 1,2 ÷ 100 = 0,012 ao mês
n = 5 meses
PMT = ?
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
Então:
PMT = 400 × 0,012 × (1 + 0,012)5 ÷ [(1 + 0,012)5 – 1]
PMT = 5,094995 ÷ 0,061457
PMT = 82,90
Resposta: O valor da prestação é de R$ 82,90.
12) Dados:
P = 820 – 23% × 820 = 820 – 188,6 = 631,40
i = 132 ÷ 100 = 1,32 ao ano
n = 5 meses
PMT = ?
Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12
1 + I = (1 + i)n
1 + 132 = (1 + i)12
 100
(2,32)1÷12 = 1 + i
i = (2,32)1÷12 – 1
i = 1,072648 – 1
i = 0,072648
i = 7,264826% a.m.
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 631,40 × 0,072648 × (1 + 0,072648)5 ÷ [(1 + 0,072648)5 – 1]
PMT = 65,135304 ÷ 0,419994
PMT = 155,09
Resposta: O valor da prestação é de R$ 155,09.
13) Dados:
P = ?
i = 156 ÷ 100 = 1,56 ao ano
n = 6 meses
PMT = 102,28
Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12
1 + I = (1 + i)n
1 + 156 = (1 + i)12
 100
i = (2,56)1÷12 – 1
i = 0,081484
i = 8,148375% a.m.
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
102,28 = P × 0,081484 × (1 + 0,081484)6 ÷ [(1 + 0,081484)6 – 1]
102,28 = P × 0,130374 ÷ 0,600000
102,28 = P × 0,217291
P = 470,71
Resposta: O valor à vista é R$ 470,71.
GABARITO 41
14) Dados:
P = ?
i = 252 ÷ 100 = 2,52 a.a.
n = 5 meses
PMT = 72,57
Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12
1 + I = (1 + i)n
1 + 252 = (1 + i)12
 100
3,52 = (1 + i)12
i = (3,52)1÷12 – 1
i = 0,110568
i = 11,056817% a.m.
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
72,57 = P × 0,110568 × (1 + 0,110568)5 ÷ [(1 + 0,110568)5 – 1]
72,57 = P × 0,186791 ÷ 0,689575
72,57 = P × 0,270957
P = 72,57 ÷ 0,270957
P = 267,83
12% de entrada, então 267,83 equivale a 100% – 12% = 88%
Então, 267,83 = 0,88x
x = 267,83 ÷ 0,88 = 304,35
Resposta: O valor à vista é R$ 304,35.
15) Dados:
P = 2.100
i = 9 ÷ 100 = 0,09 ao mês
n = 15 meses
PMT = ?
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 2.100 × 0,09 × (1 + 0,09)15 ÷ [(1 + 0,09)15 – 1]
PMT = 688,429185 ÷ 2,642482
PMT = 260,52
Resposta: O valor da prestação é de R$ 260,52.
16) Dados:
P = 20.000
i = 3% = 0,03 ao mês
n = 5 meses
PMT = ?
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 20.000 × 0,03 × (1 + 0,03)5 ÷ [(1 + 0,03)5 – 1]
PMT = 695,564444 ÷ 0,159274
PMT = 4.367,09
Resposta: O valor da prestação é de R$ 4.367,09.
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR42
17) Temos 20% de entrada, logo, foram financiadas 80%.
P = 55.000 × 0,80 = 44.000
i = 4% = 0,04 ao mês
n = 8 meses
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 44.000 × 0,04 × (1 + 0,04)8 ÷ [(1 + 0,04)8 – 1]
PMT = 2.408,681528 ÷ 0,368569
PMT = 6.535,22
Resposta: O valor da prestação é de R$ 6.535,22.
18) Dados:
PMT = 1.728,20
i = 5% = 0,05 ao mês
n = 7 meses
PMT = [P × i × (1 + i)n] ÷ [(1 + i)n – 1]
P = PMT × [(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n]
P = 1.728,20 × [(1 + 0,05)7 – 1] ÷ [0,05 × (1 + 0,05)7]
P = 703,550951 ÷ 0,070355
P = 10.000,00
Resposta: O valor à vista é de R$ 10.000,00.
19) Dados:
PMT = 2.000,00
i = 2% = 0,02 ao mês
n = 9 meses
PMT = [P × i × (1 + i)n] ÷ [(1 + i)n – 1]
P = PMT × [(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n]
P = 2.000 × [(1 + 0,02)9 – 1] ÷ [0,02 × (1 + 0,02)9]
P = 390,185138 ÷ 0,023902
P = 16.324,47
Desconto = 30% × 16.324,47 = 0,30 × 16.324,47 = 4.897,34
Resposta: O valor do desconto é de R$ 4.897,34.
20) Dados:
PMT = 1.000,00
i = 34,49% ao ano
n = 3 meses
Dados: Conversão de períodos: Menor: mês – Maior: ano – Relação Conversão: 12
1 + I = (1 + i)n
1 + 0,3449 = (1 + i)12
(1,3449)1÷12 – 1 = i
i = 0,025001 = 2,25% a.m.
PV = PMT × [(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n]
PV = 1.000 × [(1 + 0,025)3 – 1] ÷ [0,025 × (1 + 0,025)3]
PV = 76,890625 ÷ 0,026922
PV = 2.856,02
Resposta: O valor à vista é de R$ 2.856,02.
GABARITO 43
Unidade 2
1) Letra D
2) Dados:
n = 36 meses
i = 3,5% a.m. = 0,035
G = R$ 450,00 (pagas no final do mês) – Temporária Imediata e Postecipada
Ap = ? (Valor atual do veículo quando pago à vista)
Sabemos que, para calcular o valor atual de uma série Temporária Imediata e Postecipada, devemos
utilizar a fórmula:
Ap =
1 – vn
 × (R ouG)
 i
Onde v = 1 ÷ (1 + i)
Então:
Ap = 
1 – [1 ÷ (1 + 0,035)36]
 × 450,00
 
 0,035
Ap = 
1 – [1 ÷ (1,035)36]
 × 450,00
 
 0,035
Ap = 
1 – 0,289833
 × 450,00
 
 0,035
Ap = 9.130,72
Resposta: O preço à vista do automóvel, desprezando os centavos, será de R$ 9.130,00.
3) Dados:
Ap = R$ 15.650,00
n = 36 meses
i = 2,95% a.m. = 0,0295
G = ? (pagas no início do mês) – Temporária Imediata e Antecipada.
Sabemos que para calcular o valor atual de uma série Temporária Imediata e Antecipada devemos
utilizar a fórmula:
Ap =
 (1 + i)n – 1
 × (R ou G)
 i × (1 + i) n-1
Então:
15.650,00 = (1 + 0,0295)36 – 1 × G
 
 0,0295 × (1 + 0,0295)36-1
15.650,00 = (1,0295)36 – 1 × G
 
 0,0295 × (1,0295)35
15.650,00 = 2,848057
 
– 1
 × G
 
0,081610
15.650,00 = 22,644931 × G
G = 15.650,00 ÷ 22,644931
G = 691,10
Resposta: O valor da prestação a ser paga é de R$ 691,10.
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR44
4) Dados:
R = R$ 80.000,00 (pagas no final do período) – Perpétua Imediata e Postecipada
n = Infinito (Série Perpétua)
i = 2.35% a.m. = 0,0235
Ap =?
Sabemos que, para calcular o valor atual de uma série Perpétua Imediata e Postecipada, devemos
utilizar a fórmula:
Ap =
 1
 × (R ou G)
 i
Então:
Ap = 1 × (80.000)
0,0235
Ap = 42,553191 × (80.000)
Ap = 3.404.255,32
Resposta: O valor estimado do imóvel é de R$ 3.404.255,32.
5) Dados:
R = R$ 1.000,00
n = 36 meses
i = 2,5% a.m. = 0,025
Sf = ? (Montante de uma série com termos postecipados)
Sabemos que, para calcular o montante de uma anuidade postecipada, devemos usar a fórmula:
Sf =
[(1+ i)n – 1]
 × (R ou G)
 
 i
Sf =
[(1 + 0,025)36 – 1]
 × 1.000,00
 
 0,025
Sf =
[(1,025)36 – 1]
 × 1.000,00
 
 0,025
Sf =
[2,432535 – 1]
 × 1.000,00
 
 0,025
Sf =
[1,432535]
 × 1.000,00
 0,025
Sf = 57.301,41
Resposta: O montante será de R$ 57.301,41.
GABARITO 45
6) Dados:
n = 6 meses
i = 2,5% a.m. = 0,025
G = R$ 600,00 (pagas no final do mês) – Temporária Imediata e Postecipada
Ap = ? (Valor atual do computador quando pago à vista)
Sabemos que, para calcular o valor atual de uma série Temporária Imediata e Postecipada,
devemos utilizar a fórmula:
Ap =
1 – vn
 × (R ou G)
 i
Onde v = 1 ÷ (1 + i)
Então:
Ap = 
1 – [1 ÷ (1 + 0,025)6]
 × 600,00
 
 0,025
Ap = 
1 – [1 ÷ (1,025)6]
 × 600,00
 0,025
Ap =
1 – 0,862297
 × 600,00
 0,025
Ap = 3.304,88
Resposta: O preço à vista do computador será de R$ 3.304,88.
7) Dados:
R = R$ 500,00
n = 20 meses
i = 1,5% a.m. = 0,015
SF = ? (Montante de uma série com termos antecipados)
Sabemos que, para calcular o montante de uma anuidade antecipada, devemos usar a fórmula:
SF = (1+ i) × [(1 + i)
n
 – 1]
 × (R ou G)
 
 i
SF = (1+ i) × [(1 + i)
n
 – 1]
 × (R ou G)
 i
SF = (1+ 0,015) × [(1 + 0,015)
20
 – 1]
 × 500,00
 
 0,015
SF = (1,015) × [(1,015)
20
 – 1]
 × 500,00
 
 0,015
SF = (1,015) × 23,123667 × 500,00
SF = 11.735,26
Resposta: O montante será de R$ 11.735,26.
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR46
8) Dados:
R = R$ 3.000,00
n = Infinito (Renda Perpétua)
i = 1,0% a.m. = 0,01
Ap =? (Valor atual de uma série com termos postecipados)
Sabemos que, para calcular o valor atual de uma anuidade série perpétua imediata postecipada,
devemos usar a fórmula:
Ap = 
1
 × (R ou G)
 i
Ap = 
 1
 × 3.000,00
0,01
Ap = 100 × 3.000,00
Ap = 300.000,00
Resposta: O valor necessário é de R$ 300.000,00.
9) Dados:
R = 600,00 (Aluguel – Início mês – Perpétua Antecipada)
Ap = 30.600,00
i = ?
Sabemos que, para calcular o valor atual de uma anuidade perpétua antecipada, devemos usar a
fórmula:
Ap = 
(1 + i)
 × (R ou G)
 
i
30.600 = (1 + i) × 600
 
 i
30.600i = 600 + 600i
30.600i – 600i = 600
30.000i = 600
i = 600 ÷ 30.000
i = 2% a.m.
Resposta: O valor da taxa é 2%.
10) Solução:
SF = Montante
i = Taxa de juros
R = Valor aplicado mensalmente
n = No de meses
SF = (1 + i) × [(1 + i)n – 1] ÷ i × (R ou G)
SF = (1 + 0,0235) × [(1 + 0,0235)12 – 1] ÷ 0,0235 × (1)
SF = 1,0235 × 13,679167 × 1
SF = 14,00
Resposta: O montante do investimento é de R$ 14,00.
R = R$ 1,00
SF = ?
i = 2,35% a.m.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
GABARITO 47
11) Dados:
PMT = 534,34
i = 1,5% = 0,015 ao mês
n = 8 meses
P = ?
PMT = [P × i × (1 + i)n] ÷ [(1 + i)n – 1]
P = PMT × [(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n]
P = 534,34 × [(1 + 0,015)8 – 1] ÷ [0,015 × (1 + 0,015)8]
P = 67,590049 ÷ 0,016897
P = 4.000,00
Resposta: O valor à vista é de R$ 4.000,00.
12) Dados:
Ap = 12.000
i = 3% = 0,03 ao mês
n = 5 meses
G = ?
Ap = {[(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n – 1]} × (R ou G)
G = Ap × i × (1 + i)n – 1 ÷ [(1 + i)n – 1]
G = 12.000 × 0,03 × (1 + 0,03)4 ÷ [(1 + 0,03)5 – 1]
G = 405,183172 ÷ 0,159274
G = 2.543,94
Resposta: O valor da prestação é de R$ 2.543,94.
13) Dados:
Anuidade Perpétua Postecipada
R = 20.000
i = 4% = 0,04 ao ano
Ap = R ÷ i
Ap = 20.000 ÷ 0,04
Ap = 500.000,00
Resposta: O valor presente dessa ação é de R$ 500.000,00.
14) Dados:
R = 2.000
i = 1% = 0,01 ao mês
n = 12 meses
SF = ?
SF = {[(1 + i)n – 1] ÷ i} × (R ou G)
SF = (R ÷ i) × [(1 + i)n – 1]
SF = (2.000 ÷ 0,01) × [(1 + 0,01)12 – 1]
SF = 200.000 × 0,1268
SF = 25.365,01
Resposta: O montante será de R$ 25.365,01.
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR48
15) Dados:
R = 1.000
i = 2% = 0,02 ao mês
n = 24 meses
SF = ?
SF = (1 + i) × {[(1 + i)n – 1] ÷ i} × (R ou G)
SF = (R × (1 + i) ÷ i) ×[(1 + i)n – 1]
SF = (1.000 × 1,02 ÷ 0,02) × [(1 + 0,02)24 – 1]
SF = 51.000 × 0,608437
SF = 31.030,30
Resposta: O montante será de R$ 31.030,30.
16) Dados:
R = 5.000
i = 10% = 0,10 ao ano
n = vida inteira
Ap = ?
Ap = R ÷ i = 5000 ÷ 0,10 = 50.000,00
Resposta: Deverá depositar R$ 50.000,00.
17) Dados:
G = 1.400,20
i = 2% = 0,02 ao mês
n = 6 meses
Ap = ?
Ap = G × [(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n – 1]
Ap = 1.400,20 × [(1,02)6 – 1] ÷ [0,02 × (1,02)5]
Ap = 1.400,20 × 0,1262 ÷ 0,0221
Ap = 8.000,00
Resposta: O valor à vista é R$ 8.000,00.
18) Dados:
R = 1.800,00
i = 1,5% = 0,015 ao mês
n = 12 meses
SF = ?
SF = (R ÷ i) × [(1 + i)n – 1]
SF = (1.800 ÷ 0,015) × [(1 + 0,015)12 – 1]
SF = 120.000 × 0,195618
SF = 23.474,18
Resposta: O montante será de R$ 23.474,18.
GABARITO 49
19) Dados:
R = ?
i = 1% = 0,01 ao mês
n = 15 meses
SF = 30.000,00
SF = (1 + i) × {[(1 + i)n – 1] ÷ i} × (R ou G)
R = {[SF ÷ (1 + i)] × i} ÷ [(1 + i)n – 1]
R = (30000 ÷ 1,01 × 0,01) ÷ [(1 + 0,01)15 – 1]
R = 297,029703 ÷ 0,16100969
R = 1.845,26
Resposta: O valor das prestações será de R$ 1.845,26.
20) Dados:
G = ?
i = 1,4% = 0,014 ao mês
n = 10 meses
SF = R$ 15.981,16
SF = {[(1 + i)n – 1] ÷ i} × (R ou G)
G = (SF × i) ÷ [(1 + i)n – 1]
G = (15.981,16 × 0,014) ÷ [(1 + 0,014)10 – 1]
G = 223,73624 ÷ 0,149157
G = 1.500,00
Resposta: O valor das prestações será de R$ 1.500,00.
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR50
Testando Conhecimentos
1) Dados:
P = 25.000 – 20% de 25.000
P = 25.000 – 5.000 = 20.000
i = 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m.
n = 6 meses
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 20.000 × 0,025 × 1,0256 ÷ [1,0256 – 1]
PMT = 500 × 1,159693 ÷ [1,159693 – 1]
PMT = 579,846500 ÷ 0,159693
PMT = 3.631,00
Resposta: A prestação mensal do financiamento é de R$ 3.631,00.2) Dados:
P = 19.000,00
i = 6 ÷ 100 a.m. = 0,06
n = 12m
PMT = P × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
PMT = 19.000 × 0,06 × 1,0612 ÷ [(1,06)12 – 1]
PMT = 1.140 × 2,012196 ÷ [2,012196 – 1]
PMT = 2.293,903440 ÷ 1,012196
PMT = 2.266,26
Resposta: O valor de cada prestação será de R$ 2.266,26.
3) Dados:
Menor: bimestral = ib = 3%
Maior: semestral = is
Relação = 6/2 = 3
1 + I = (1 + i)n
(1 + is) = (1 + ib)3
1 + is = (1,03)3 = 1,0927
is = 9,27%
4) Dados:
G = R$ 300,00
i = 2% = 0,02 ao mês
n = 10 meses
AP = ?
AP = (R ou G) × [(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n – 1]
AP = 300 × [(1,02)10 – 1] ÷ [0,02 × (1,02)9]
AP = 300 × 0,2190 ÷ 0,029
AP = 2.748,67
Resposta: O valor à vista é R$ 2.748,67.
GABARITO 51
5) Dados:
AP = 30.000
i = 1,5% = 0,015 ao mês
n = 36 meses
G = ?
AP = {1 – [1 ÷ (1 + i)n] ÷ i}× (R ou G)
G = AP × i × (1 + i)n ÷ [(1 + i)n – 1]
G = 30.000 × 0,015 × (1 + 0,015)36 ÷ [(1 + 0,015)36 – 1]
G = 30.000 × 0,015 × 1,7091 ÷ 0,7091
G = 1.084,57
Resposta: O valor das parcelas é de R$ 1.084,57.
6) Dados:
Maior: semestral = is = 20%
Menor: quadrimestral = iq
Relação: 6 ÷ 4 = 1,5
1 + I = (1 + i)n
1 + 0,2 = (1 + iq)1,5
iq = 1,21÷1,5 – 1 = 0,129243
iq = 12,92% a.q.
7) Dados:
Trata-se de uma série postecipada.
R = R$ 500,00
i = 2% = 0,02 ao mês
n = 12 meses
SF = ?
SF = (R ÷ i) ×[(1 + i)n – 1]
SF = (500 ÷ 0,02) × [(1 + 0,02)12 – 1]
SF = 25.000 ÷ 0,2682
SF = 6.706,04
Resposta: O montante será de R$ 6.706,04.
8) Dados:
i = 3% a.m. ÷ 100 = 0,03 a.m.
n = 12 meses
G = 1.000 (pagamento no final do mês, portanto postecipado)
Ap = ?
Ap = [(1 – vn) ÷ i] × (R ou G)
vn = 1 ÷ (1 + i)n = 1 ÷ (1 + 0,03)12 = 0,701380
Ap = [(1 – 0, 701380) ÷ 0,03] × 1.000
Ap = 9,954004 × 1.000 = 9.954,00
Resposta: O valor do financiamento é de R$ 9.954,00.
MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR52
9) Dados:
i = 10% a.a. ÷ 100 = 0,1 a.a.
R = 10.000 (recebimento postecipado, ao final de cada ano)
n = 8 anos
Ap = ?
Ap = [(1 – vn) ÷ i] × (R ou G)
vn = 1 ÷ (1 + i)n = 1 ÷ (1 + 0,1)8 = 0,466507
Ap = [(1 – 0, 466507) ÷ 0,1] × 10.000
Ap = 5,334926 × 10.000 = 53.349,26
Resposta: O investimento será de R$ 53.349,26.
10) Dados:
i = 2,5% a.m. ÷ 100 = 0,025 a.m.
G = ? (pagamento antecipado)
n = 6 meses
Ap = 3.000
Ap = {[(1 + i)n – 1] ÷ [i × (1 + i)n-1]} × (R ou G)
3.000 = {[(1 + 0,025)6 – 1] ÷ [0,025 × (1 + 0,025)6-1]} × G
3.000 = {[(1 + 0,025)6 – 1] ÷ [0,025 × (1 + 0,025)6-1]} × G
3.000 = 0,159693 ÷ 0,028285 × G
3.000 = 5,645814 × G
G = 3.000 ÷ 5,645814 = 531,37
Resposta: O valor de cada prestação será de R$ 531,37.
11) Dados:
SF = ?
R = 1.000 (no final de cada período, pagamento postecipado)
i = 1,6% a.b.
n = 5 anos
Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: bimestre – Maior: ano – Relação conversão: 6
1 + I = (1 + i)n
1 + I = (1 + 0,016)6
1 + I = (1,016)6
I = (1,016)6 – 1
I = 1,099923 – 1 = 0,099923 = 9,992291 % a.a.
SF = {[(1 + i)n – 1] ÷ i} × (R ou G)
SF = {[(1 + 0,099923)5 – 1] ÷ 0,099923} × 1.000
SF = 6,104164 × 1.000 = 6.104,16
Resposta: O montante será de R$ 6.104,16.
GABARITO 53
12) Dados:
SF = 10.000
G = ? (no início de cada período, pagamento antecipado)
i = 6% a.t. ÷ 100 = 0,06
n = 4 trimestres
SF = (1 + i) × {[(1 + i)n – 1] ÷ i} × (R ou G)
10.000 = (1 + 0,06) × {[(1 + 0,06)4 – 1] ÷ 0,06} × G
10.000 = 1,06 × 4,374616 × G
10.000 = 4,637093 × G
G = 10.000 ÷ 4,637093 = 2.156,52
Resposta: Os depósitos serão de R$ 2.156,52.
13) Dados:
PMT = 301,92
n = 4 meses
i = 8% a.m. ÷ 100 = 0,08 a.m.
P = ?
PMT = [P × i × (1 + i)n] ÷ [(1 + i)n – 1]
301,92 = [P × 0,08 × (1 + 0,08)4] ÷ [(1 + 0,08)4 – 1]
301,92 = P × 0,108839 ÷ 0,360489
301,92 = P × 0,301920
P = 301,92 ÷ 0,301920 = 1.000,00
Resposta: O valor à vista é de R$ 1.000,00.
14) Dados:
Ap = ?
i = 1,2% a.m. ÷ 100 = 0,012 a.m.
R = 1.200
n = infinito (Série perpétua)
Ap = [(1 + i) ÷ i] × (R ou G)
Ap = [(1 + 0,012) ÷ 0,012] × 1.200
Ap = 101.200,00
Resposta: A melhor estimativa é de R$ 101.200,00.
54 MATEMÁTICA FINANCEIRA COMPLEMENTAR
15) Dados:
Ap = ?
i = 7,25% a.m. ÷ 100 = 0,0725 a.m.
G = 150,00
n = 12 meses
m = 60 dias = 2 meses (Anuidade temporária diferida)
Ap = [1 ÷ (1 + i)m – 1] × [(1 – vn) ÷ i] × (R ou G)
vn = 1 ÷ (1 + i)n = 1 ÷ (1 + 0,0725)12 = 0,43175
Ap = [1 ÷ (1 + 0,0725)2 – 1] × [(1 – 0,43175) ÷ 0,0725] × 150
Ap = 0,932401 × 7,837931 × 150
Ap = 1.096,21
Resposta: O valor à vista do televisor é de R$ 1.096,21.
16) Dados:
Ap = 62.000
i = 1,5% a.m. ÷ 100 = 0,015 a.m.
G = ?
n = 10 meses
m = 4 meses (Anuidade temporária diferida)
Ap = [1 ÷ (1 + i)m – 1] × [(1 – vn) ÷ i] × (R ou G)
vn = 1 ÷ (1 + i)n = 1 ÷ (1 + 0,015)10 = 0,861667
62.000 = [1 ÷ (1 + 0,015)4 – 1] × [(1 – 0, 861667) ÷ 0,015] × G
62.000 = 0,956317 × 9,2222 × G
62.000 = 8,819347 × G
G = 62000 ÷ 8,819347 = 7.030,00
Resposta: O valor das parcelas será de R$ 7.030,00.
17) Dados:
Ap = 60.000,00
i = ?
R = 550,00
n = infinito (Série perpétua)
60.000 = (1 ÷ i) × 550
60.000 = 550 ÷ i
i = 550 ÷ 60000 = 0,009167 = 0,92% a.m.
Resposta: A taxa desse investimento seria de 0,92% a.m.
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B
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fi
ca
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 55
FARO C. Matemática financeira. 9. ed. São Paulo: Atlas, 1999.
FUNENSEG. Matemática financeira complementar. Diretoria de Ensino e Produtos – assessoria
técnica Marcos Antonio Simões Peres, Rio de Janeiro: FUNENSEG, 2009. 52 p.
ZENTGRAF R. Matemática financeira objetiva. 2. ed. Rio de Janeiro: Zentgraf Consultoria e
Treinamento, 1999.