Estatística Avançada - Lista resolvida

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Lista 01_2017: ESTAV: Curva normal, distribuições conjuntas, combinações lineares 07/04/17 
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CONTEÚDOS: Revisão sobre a distribuição Normal. Curva de probabilidade de perdas (normal e genérica). 
Distribuições conjuntas. Independência. Probabilidade condicional. Combinações lineares de variáveis 
aleatórias. 
Material de apoio: Consultar a bibliografia da disciplina, a bibliografia citada e as notas de aulas. 
Distribuição Normal 
Questão 01: O custo total de produção de um item obedece a uma curva normal com média R$ 85,00 e desvio 
padrão de R$ 20,00. A variabilidade decorre de um complexo sistema de custeio, que considera variações 
cambiais, índice de desperdício e ociosidade no processo. Dado o caráter extremamente competitivo do 
mercado, não é possível à empresa cobrar um preço baseado no custo máximo e, além disso, o preço precisa 
ser único para todos os compradores. Pergunta-se: 
01.1) Qual a probabilidade de que o custo supere R$ 100,00? 
01.2) Qual a probabilidade de que o custo seja de R$ 90,00 ±5,00? 
01.3) Qual a probabilidade de que um preço de venda de R$ 92,00 gere prejuízos? 
01.4) Qual a probabilidade de que um produto custe menos do que R$ 60,00? 
 
Questão 02: O estoque de vacinas em um posto de saúde é estabelecido admitindo-se uma demanda semanal 
normal. A cada semana, o estoque é reposto. Sabendo-se que um estoque de 230 doses é suficiente para 
garantir uma probabilidade de atendimento de 87% da demanda e que o desvio padrão é de 50 doses, qual é a 
média semanal da demanda? 
Curva de Perdas 
Questão 03: A empresa Mobili di Lusso distribui móveis importados de diferentes países a partir de um armazém 
central que envia os produtos para 2 CDs. A empresa conta com frota própria, utilizada para o envio aos CDs e 
também para buscar os produtos no único porto a partir do qual a mercadoria chega. A Tabela 1 apresenta os 
dados da demanda para o produto mesa em cada ponto de distribuição ao longo de uma semana. Qual a 
quantidade que a empresa deve enviar a cada CD para suprir as necessidades da próxima semana, considerando 
a probabilidade P de disponibilidade? Qual será o número de vendas perdidas a cada semana? E ao longo de um 
ano? 
Tabela 1 – Dados da empresa Mobili di Lusso 
CD 
Consumo média esperado 
para a próxima semana 
Desvio padrão 
esperado para a 
próxima semana 
Estoque 
atual 
P* 
CD1 28 11 10 86% 
CD2 38 8 12 96% 
TOTAL 66 - 22 - 
*P = probabilidade de que a disponibilidade seja superior à demanda. 
Questão 04: Um vendedor possui 4 unidades em estoque para um produto que tem a seguinte distribuição de 
demanda semanal. Ele deseja saber qual será a probabilidade de que a demanda exceda a quantidade 
disponível. Deseja saber também quantos produtos deixará de vender em média a cada semana se mantiver a 
disponibilidade atual. 
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Distribuições conjuntas 
Questão 051: Em uma agência de seguros os clientes possuem dois serviços: seguro automóvel (X) e seguro 
residencial (Y). O seguro automóvel possui dois preços: $100,00 e $250,00. Já o seguro residencial nem sempre 
é contratado, podendo custar $0,00 ,$100,00 ou $200,00. A carteira de clientes ativos é assim caracterizada: 
 
5.1) Qual a probabilidade de que um cliente aleatoriamente selecionado tenha ao mesmo tempo uma apólice 
de US$ 100,00 para o seu automóvel e uma apólice de US$ 0,00 para a residência? 
5.2) Qual a probabilidade de que um cliente aleatoriamente selecionado tenha contratado uma apólice mais 
cara para a residência do que para o automóvel? 
5.3) Qual a distribuição marginal para o seguro residencial? 
 
 
1 (DEVORE, 2006) 
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Questão 062: uma determinada função de densidade de probabilidades com três variáveis é assim 
caracterizada: 
 
Determine: 
 
Questão 07 Os funcionários de um grande escritório de consultoria possuem formação em engenharia mecânica 
(X=1) ou engenharia de produção (X=2) e possuem três níveis no seu plano de carreira: júnior (Y=1); ou máster 
(Y=2); ou sênior (Y=3). A distribuição p(x,y) é esta: 
 y 
x 1 2 3 f(x) 
1 0,01 0,04 0,15 0,2 
2 0,2 0,1 0,5 0,8 
f(y) 0,21 0,14 0,65 
 
07.1) Qual a probabilidade de que um funcionário selecionado ao acaso seja júnior? 
07.2) Qual a probabilidade de que um funcionário selecionado ao acaso seja um engenheiro mecânico júnior? 
07.3) O gestor decide atribuir as tarefas de forma aleatória aos funcionários. No entanto, uma determinada 
atividade requer experiência, de forma que nenhum júnior é capaz de executá-la. Qual a probabilidade de que 
a primeira atribuição aleatória desta atividade tenha sucesso? 
07.4) Quanto vale P(1<X<=1 ∩ 2<Y<=3 )? 
Distribuições conjuntas: independência 
Questão 08 Uma variável aleatória X possui distribuição p(X=1)=20%; p(X=2)=80%. Outra variável aleatória Y 
possui distribuição p(Y=1)=55%; p(Y=2)=45%. 
 
2 (MONTGOMERY e RUNGER, 2002) 
d) 
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8.1) Qual é a distribuição conjunta das variáveis se elas são independentes entre si? 
8.2) Qual a probabilidade de que X=2 se Y=1? 
Distribuições conjuntas: probabilidade condicional 
Questão 09: Para o problema da questão 07: 
 y 
x 1 2 3 fx(x) 
1 0,01 0,04 0,15 0,2 
2 0,2 0,1 0,5 0,8 
fy(y) 0,21 0,14 0,65 
 
09.1) Qual a probabilidade de que um funcionário selecionado ao acaso entre os engenheiros mecânicos seja 
sênior? 
09.2) Qual a probabilidade de que um funcionário selecionado ao acaso entre os engenheiros mecânicos seja 
máster ou menos qualificado? 
09.3) Qual a probabilidade de um júnior selecionado ao acaso seja engenheiro de produção? 
 
Questão 103: Um canal de comunicação binário simples transmite mensagens usando apenas dois sinais, 
digamos 0 e 1. Assumimos que, para um dado canal binário, 40% do tempo o sinal 1 é transmitido. A 
probabilidade de que um 0 transmitido seja recebido corretamente é 0,90, ou seja, um 0 transmitido é recebido 
como 1 em 10% das vezes. A probabilidade de que uma transmissão 1 seja recebida corretamente é de 0,95. A) 
Determine a probabilidade de um sinal 1 ser recebido. 
 
Questão 11: Cinco peças sem defeitos foram misturadas com 2 peças defeituosas. Se formos analisar as peças 
de forma a encontrar aquelas com defeito, podemos testar as peças uma a uma, à medida que as retiramos da 
amostra. Qual será a probabilidade de encontrarmos as peças defeituosas na primeira oportunidade? 
 
 
3 (SOONG, 2004) 
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Combinações lineares de variáveis aleatórias normais independentes 
Questão 12: Um material (M3) utilizado na indústria automotiva é composto por duas camadas de materiais: 
M1 e M2. Cada uma delas tem sua espessura descrita por uma distribuição normal. M1 tem espessura média 
18mm e tolerância ±0,2mm. Já C2 tem espessura média de 21mm e tolerância ±0,6mm. Se para este tipo de 
material as normas estabelecem que a conformidade (produto dentro da tolerância) seja de 93%, qual será a 
especificação paraM3? Observe a figura: 
 
 
 
 
 
 
Questão 13: A demanda por um produto foi modelada através de uma distribuição normal com base em 
períodos mensais (𝜇𝑚, 𝜎𝑚). Com base nesta afirmação, descreva o padrão esperado para a demanda semestral. 
 
Referências 
COSTA NETO, L. D. O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2011. 
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. Tradução da versão Norte-Americana. 6. 
ed. São Paulo: Ceneage Learning, 2006. 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, C.; HUBELE, N. F. Engineering Statistics. 5. ed. [S.l.]: John Wiley and Sons, 
2011. 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Applied probability and statistics for engineers. 3. ed. [S.l.]: John Wiley 
and Sons, 2002. 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade Para Engenheiros. 5. ed. [S.l.]: LTC, 
2012. 
ROSS, S. M. Introduction to probability and statistics for engineers and scientists. 3. ed. Amsterdã: Elsevier, 
2004. 
SOONG, T. T. Fundamentals of probability and statistics for engineers. Nova Iorque: John Wiley and Sons, 
2004. 
 
 
 M1 
M2 
M3 
 
𝜇 + 𝑡𝑜𝑙 
3, 
3,5% 
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RESPOSTAS 
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01: 
1.1 22,66% 
1.2 19,15% 
1.3) 36,32% 
1.4) 39,44% 
------------------------------------------------- 
02: 𝜇 = 173,5 𝑑𝑜𝑠𝑒𝑠 
------------------------------------------------ 
03: 
 
------------------------------------------------- 
04: 
A probabilidade de a demanda exceder a disponibilidade é de 40%, a cada semana. Já as vendas perdidas serão: 
Xperd=20%*(5-4) + 20%*(6-4)=0,6 unid./semana. 
 
------------------------------------------------ 
05: 
5.1) 20% 
5.2) 20% 
5.3) FY (0)=25%; FY (1)=25%; FY (2)=50%. 
 
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06: 
 
d) 1,5  esperança de X, ou seja, o valor esperado para x. 
------------------------------------------------ 
07: 
7.1) 21% 
7.2) 1% 
7.3) 100%-21%=79%. 
7.4) 15% 
--------------------------------------------- 
08: Como as duas variáveis são independentes entre si, pode-se utilizar: 
 
 y=1 y=2 pX(x) 
x=1 0,11 0,09 0,2 
x=2 0,44 0,36 0,8 
pY(y) 0,55 0,45 
 
Ainda, se as variáveis são independentes, o conhecimento sobre uma delas nada diz sobre a outra. 
P(x=2|Y=1)= P(x=2|Y=2)= 80% 
-------------------------------------------------- 
09: 
9.1: P=(0,15)/0,2=75% 
9.2: P=(0,01+0,04)/0,2=25% 
9.3: P(X=2|Y=1)=P(2,1)/P(1)=(0,2)/0,21=95,24% 
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10: 
 
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11: A primeira oportunidade corresponde a: encontrar uma peça defeituosa na primeira análise e uma peça 
defeituosa na segunda análise (duas análises necessárias): 
 
 
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12: 
 
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13: A demanda semestral será normal, pois a soma de duas variáveis aleatórias normais será também normal. 
Já os parâmetros esperados para o semestre são: 
𝜇𝑠𝑒𝑚 = 6. 𝜇𝑚 
𝜎𝑠𝑒𝑚 = √6. 𝜎𝑚