AULA 03 Razao e proporcao

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RACIOCÍNIO LÓGICO PARA PREF. DE TERESINA 
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Aula 03 
Razão	e	Proporção	............................................................................................................................................	2	
Regra	de	Três	..................................................................................................................................................	25	
Sistemas	Métricos	...........................................................................................................................................	39	
Sistemas	de	Medidas	de	Tempo	.....................................................................................................................	44	
 
 
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Razão e Proporção 
Iniciemos com algumas definições formais que serão fundamentais para um 
bom entendimento das resoluções das questões. 
Razão de um número a para um número b, sendo b diferente de zero, é o 
quociente de a por b. 
Então quando aparecer a palavra razão, devemos sempre nos lembrar que 
haverá uma divisão!! 
Denotamos por a : b = a / b a razão entre os números a e b. O número a é 
chamado de antecedente e o número b de consequente. 
O conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois 
números. 
Há, por exemplo, um tipo especial de razão: a escala. 
A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e as 
correspondentes distâncias reais. Escala é a razão entre a medida no desenho 
e o correspondente na medida real. 
real 
desenho do Medida 
Medida
Escala =
 
Desta forma, quando você lê em um mapa que a escala é de 1 : 100, isto 
significa que para cada unidade de comprimento no desenho, teremos 100 
unidades de comprimento na realidade. 
 Escala = 1 :100 
Isto significa que: 
1 centímetro no desenho equivale a 100 centímetros na realidade. 
1 decímetro no desenho equivale a 100 decímetros na realidade. 
1 metro no desenho equivale a 100 metros na realidade. 
E assim por diante... 
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre 
d
c e 
b
a é a 
igualdade: 
d
c 
b
a
= . Podemos escrever 𝑎𝑏 = 𝑐𝑑⇔ 𝑎/𝑏 = 𝑐/𝑑 
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Com a notação da esquerda, dizemos que a e c são os antecedentes; b e d 
são os consequentes. 
Com a notação da direita, dizemos que a e d são os extremos, e que b e c são 
os meios. 
Em toda proporção, é válida a seguinte propriedade (chamada de Propriedade 
Fundamental das Proporções): o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos. 𝑎𝑏 = 𝑐𝑑⇔ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑑 
Por exemplo, 46 = 812⇔ 6 ∙ 8 = 4 ∙ 12 = 48 
 
É importantíssima a seguinte propriedade: A soma dos antecedentes está para 
a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu 
consequente. 𝑎𝑏 = 𝑐𝑑 = 𝑎 + 𝑐𝑏 + 𝑑 
 
Por exemplo, 46 = 812 = 4+ 86+ 12 = 1218 
Ou seja, podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das 
frações e somando os denominadores. Utilizaremos diversas vezes esta 
propriedade na resolução de questões envolvendo divisão proporcional. 
Isso é o básico que devemos saber para resolver questões sobre 
razões, proporções e divisão proporcional. Ao longo da resolução das 
questões, colocarei mais algumas propriedades e definições. 
Vamos ver alguns exemplos para, em seguida, resolvermos questões de 
concursos recentes. 
Exemplo: A definição de densidade demográfica é dada pela razão entre o 
número de habitantes de uma região e a área dessa região. Pedro fez uma 
pesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a densidade demográfica da 
região onde mora. Ele conseguiu, junto à prefeitura, as seguintes informações: 
a área da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade de pessoas que residiam na 
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localidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas informações, ele 
concluiu que a densidade demográfica de sua cidade é de: 
 
Resolução 
O enunciado informou que a definição de densidade demográfica é dada pela 
razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. 
Vimos anteriormente que a palavra RAZÃO tem o mesmo significado de 
quociente (divisão)!!! 
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 = 151.107 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠2.651 𝑘𝑚! 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 = 57 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠/𝑘𝑚! 
Exemplo: Em uma fábrica trabalham 216 funcionários, sendo que 135 são do 
sexo masculino e 81 pertencem ao sexo feminino. Calcule a razão entre o 
número de funcionários do sexo masculino e o número do sexo feminino. 
Resolução 
Para calcular a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o 
número do sexo feminino basta dividir o número de homens pelo número de 
mulheres. 
 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠𝑀𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 = 13581 = 4527 = 159 = 53 
 
A fração 135/81 foi simplificada por 3, por 3, e por 3. Se você já tivesse 
percebido que 135 e 81 são divisíveis por 27, poderia ter simplificado direto. 
 
Exemplo: Em uma proporção contínua, a terceira proporcional dos números 1 
e 5 é igual a: 
 
Resolução 
Uma proporção é contínua quando os meios são iguais. Ou seja, é uma 
proporção do tipo 𝑎𝑏 = 𝑏𝑐 
E o número c é chamado de terceira proporcional dos números a e b. 
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Assim, 15 = 5𝑐 1 ∙ 𝑐 = 5 ∙ 5 𝑐 = 25 
Portanto, 25 é a terceira proporcional dos números 1 e 5. 
O momento é oportuno para lembrar que na proporção 𝑎𝑏 = 𝑐𝑑 
O número d é a quarta proporcional dos números a, b, c. 
Exemplo: A razão entre dois segmentos de reta x e y é 2/5, então a razão 
entre o quíntuplo do segmento x e a metade do segmento y é igual a: 
Resolução 
Pelo enunciado, podemos escrever que 𝑥𝑦 = 25 
Queremos calcular a seguinte razão: 5𝑥𝑦2 
Lembre-se que para dividir frações, repetimos a fração do numerador, 
invertemos a fração do denominador e multiplicamos. Dessa forma, 5𝑥𝑦2 = 5𝑥 ∙ 2𝑦 = 10 ∙ 𝑥𝑦 = 10 ∙ 25 = 205 = 4 
Exemplo: Na proporção x/y = 2/5. Sabendo-se que x+y=49, o valor de x e y 
será de: 
 
Resolução 𝑥𝑦 = 25 
Dica: É preferível que você coloque as incógnitas no numerador e os números 
no denominador. Você poderá fazendo isso trocando os meios de lugar, ou 
trocando os extremos. Por exemplo, podemos trocar o y com o 2. Essa troca é 
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válida porque o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e a ordem 
dos fatores não altera o produto. 
Assim, a mesma proporção pode ser escrita como 𝑥2 = 𝑦5 
Vamos agora utilizar uma propriedade que mencionei anteriormente. 
Podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das frações e 
somando os denominadores. 𝑥2 = 𝑦5 = 𝑥 + 𝑦2+ 5 = 497 = 7 
Dessa forma, 𝑥2 = 7⇔ 𝑥 = 14 𝑒 𝑦5 = 7⇔ 𝑦 = 35 
Exemplo: Considere dois números x e y que sejam diretamente proporcionais 
a 8 e 3 e cuja diferença entre eles seja 60. Determine o valor de ( x + y ). 
 
Resolução 
Se os números x e y são diretamente proporcionais a 8 e 3, podemos 
escrever 𝑥8 = 𝑦3 
E da mesma forma que podemos “prolongar” a proporção somando os 
numeradores e os denominadores, podemos também subtrair. Assim, 𝑥8 = 𝑦3 = 𝑥 − 𝑦8− 3 = 605 = 12 𝑥8 = 12⇔ 𝑥 = 96𝑒 𝑦3 = 12⇔ 𝑦 = 36 
Portanto, 𝑥 + 𝑦 = 96+ 36 = 132 
Exemplo: Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes, é 
de 3/2. A porcentagem de rapazes na festa é: 
 
Resolução 
Se a razão entre o número de moças e o de rapazes é 3/2, então 
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𝑚𝑟 = 32 
Falamos anteriormente que é preferível que você coloque as incógnitas no 
numerador e os números no denominador. Você poderá fazendo isso trocando 
os meios de lugar, ou trocando os extremos. 𝑚3 = 𝑟2 
Queremos saber o percentual de rapazes. Podemos supor que o total de 
pessoas é igual a 100. Se o total de pessoas (m+r) for igual a 100, então 
quantos serão rapazes? 𝑚3 = 𝑟2 = 𝑚 + 𝑟3+ 2 = 1005 = 20 𝑟2 = 20 ⇒ 𝑟 = 40 
Ou seja, se fossem 100 pessoas no total, 40 seriam rapazes. Portanto, o 
percentual de rapazes é 40%. 
Exemplo: Se a razão entre dois números é 5 e a soma entre eles é 30, pode-
se afirmar que a diferença entre eles é: 
Resolução 
 
Sejam x e y os números. 𝑥𝑦 = 5 ⇒ 𝑥 = 5𝑦 
Como a soma deles é 30, 𝑥 + 𝑦 = 30 
Vamos substituir 𝑥 por 5𝑦. 5𝑦 + 𝑦 = 30 ⇒ 6𝑦 = 30 ⇒ 𝑦 = 5 
Como 𝑥 = 5𝑦, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 5 ∙ 5 = 25 
A diferença entre eles é 25 – 5 = 20. 
Exemplo: Paulo tem três filhos, Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos e 
Renato de 25 anos. Paulo pretende dividir R$ 3.000,00 para os três filhos em 
valores proporcionais as suas idades. É correto afirmar que o valor que Rodrigo 
deve receber é: 
Resolução 
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Queremos dividir R$ 3.000,00 em três partes diretamente proporcionais a 15, 
20 e 25 anos, que são as idades de Rodrigo, Ricardo e Renato, 
respectivamente. 
Assim, 𝑅𝑜15 = 𝑅𝑖20 = 𝑅𝑒25 
Obviamente 𝑅𝑜 + 𝑅𝑖 + 𝑅𝑒 = 3.000. 
Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemos 
prolongar a proporção. 𝑅𝑜15 = 𝑅𝑖20 = 𝑅𝑒25 = 𝑅𝑜 + 𝑅𝑖 + 𝑅𝑒15+ 20+ 25 = 3.00060 = 50 
 
Temos então: 𝑅𝑜15 = 50 ⇒ 𝑅𝑜 = 15 ∙ 50 = 750 
Exemplo: Três técnicos receberam, ao todo, por um serviço R$3.540,00. Um 
deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que a 
divisão do valor é proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o técnico que 
trabalhou mais dias recebeu: 
 
Resolução 
Devemos dividir R$ 3.540,00 em partes diretamente proporcionais a 2,4 e 6 
dias. Assim, temos a seguinte proporção: 𝑎2 = 𝑏4 = 𝑐6 
Obviamente, a soma das três partes (a+b+c) é igual a R$ 3.540,00. Dessa 
forma, 𝑎2 = 𝑏4 = 𝑐6 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐2+ 4+ 6 = 3.54012 = 295 
O técnico que mais trabalhou (6 dias) recebeu 𝑐6 = 295 ⇒ 𝑐 = 6 ∙ 295 = 1.770 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
Exemplo: Uma gratificação de R$ 5.280,00 será dividida entre três 
funcionários de uma empresa na razão direta do número de filhos e na razão 
inversa das idades de cada um. André tem 30 anos e possui 2 filhos; Bruno 
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com 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. É correto que o 
mais velho receberá: 
 
Resolução 
Temos agora uma divisão diretamente proporcional ao número de filhos e 
inversamente proporcional às idades. 
Em divisões desse tipo, a proporção tomará a seguinte forma: 𝑎𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑎𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 = 𝑏𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑎𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 = 𝑐𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑎𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 
No nosso exemplo, a divisão será diretamente proporcional a 2, 3 e 6 
(ficam no numerador) e será inversamente proporcional a 30, 36 e 48 
(ficam no denominador). 𝑎230 = 𝑏336 = 𝑐648 
Podemos simplificar as frações: 𝑎115 = 𝑏112 = 𝑐18 
Podemos facilitar nossas vidas adotando o seguinte procedimento: 
Sempre que numa proporção houver frações nos denominadores, devemos 
calcular o m.m.c dos denominadores das frações. 
No caso, o m.m.c. entre 8,12 e 15 é igual a 120. Devemos agora dividir 120 
por 15 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 12 e multiplicar por 1. 
Devemos dividir 120 por 8 e multiplicar por 1. 𝑎8 = 𝑏10 = 𝑐15 
Agora temos uma proporção muito parecida com às dos quesitos anteriores. 
Devemos somar os numeradores e os denominadores. 𝑎8 = 𝑏10 = 𝑐15 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐8+ 10+ 15 = 5.28033 = 160 
O mais velho, Carlos, receberá: 𝑐15 = 160 ⇒ 𝑐 = 15 ∙ 160 = 2.400 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
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1. (TRE – AC 2010/FCC) Suponha que, para transportar as urnas 
eletrônicas usadas em uma eleição foi utilizada uma viatura do TRE do Estado 
do Acre. Na ocasião, o motorista responsável pela condução de tal viatura 
consultou um mapa feito na escala 1 : 20 000 000, ou seja, 1 unidade de 
medida no mapa correspondem a 20 000 000 unidades de medida real. Se 
nesse mapa o município de Rio Branco distava 1,19 cm do de Brasiléia e o 
município de Tarauacá distava 2,27 cm do de Rio Branco, quantos quilômetros 
a viatura deve ter percorrido no trajeto: Rio Branco Brasiléia Rio Branco 
Tarauacá Rio Branco? 
a) 1.482 
b) 1.384 
c) 1.146 
d) 930 
e) 692 
Resolução 
No mapa, o trajeto indicado dá um total de: 1,19+ 1,19+ 2,27+ 2,27 = 6,92 𝑐𝑚 
Esta é a medida do desenho. 
Sabemos que: 
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 
 120.000.000 = 6,92 𝑐𝑚𝑥 
Portanto: 𝑥 = 6,92 ∙ 20.000.000 = 138.400.000 𝑐𝑚 
Pelo “tipo” de número, começando por 1384 só podemos marcar a alternativa 
B (pois ele quer a resposta em quilômetros). Vamos à transformação. 
Como 1 metro equivale a 100 cm, para transformar aquela medida para 
metros devemos dividir por 100 (cortar dois zeros). 𝑥 = 1.384.000 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
Para transformar de metro para quilômetro, devemos dividir por 1000 (cortar 
três zeros), já que 1 km = 1.000 m. 
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𝑥 = 1.384 𝑘𝑚 
Letra B 
2. (MPE-RS 2010/FCC) A tabela a seguir mostra as participações dos três 
sócios de uma empresa na composição de suas ações. 
 
 
 
Os lucros da empresa em determinado ano, que totalizaram R$ 560.000,00, 
foram divididos entre os três sócios proporcionalmente à quantidade de ações 
que cada um possui. Assim, a sócia Maria Oliveira recebeu nessa divisão 
a) R$ 17.500,00 
b) R$ 56.000,00 
c) R$ 112.000,00 
d) R$ 140.000,00 
e) R$ 175.000,00 
Resolução 
As divisões foram feitas em partes diretamente proporcionais. Vamos 
denominar os lucros de cada sócio com a letra inicial do nome de cada um. 𝑝15.000 = 𝑚10.000 = 𝑐7.000 
Vamos simplificar os denominadores por 1.000. 𝑝15 = 𝑚10 = 𝑐7 
Agora temos uma proporção muito parecida com às dos quesitos anteriores. 
Devemos somar os numeradores e os denominadores. 𝑝15 = 𝑚10 = 𝑐7 = 𝑝 +𝑚 + 𝑐15+ 10+ 7 = 560.00032 = 17.500 
A parte de Maria Oliveira será igual a: 𝑚 = 10×17.500 = 175.000 
Letra E 
 
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3. (TRF 5ª Região 2008/FCC) A razão entre as idades de dois técnicos é 
igual a 5/9. Se a soma dessas idades é igual a 70 anos, quantos anos o 
mais jovem tem a menos que o mais velho? 
a) 15 
b) 18 
c) 20 
d) 22 
e) 25 
Resolução 
Vamos considerar que a idade do mais novo é igual a 𝑛 e a idade do mais 
velho é igual a 𝑣. A razão entre essas idades é igual a 5/9. 𝑛𝑣 = 59 
Falamos anteriormente que é preferível que você coloque as incógnitas no 
numerador e os números no denominador. Você poderá fazendo isso trocando 
os meios de lugar, ou trocando os extremos. 𝑛5 = 𝑣9 
A soma das idades é igual a 70 anos. Vamos então prolongar aproporção 
somando os numeradores e somando os denominadores. 𝑛5 = 𝑣9 = 𝑛 + 𝑣5+ 9 = 7014 = 5 
Portanto: 𝑛 = 5×5 = 25 𝑣 = 9×5 = 45 
A idade do mais novo é 25 e a idade do mais velho é 45. 
A diferença entre as idades é igual a 20 anos. 
Letra C 
4. (FCC-TRF-1a-Região) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram 
incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão 
direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos 
de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de 
serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a 
diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou 
é 
 
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(A) 48 
(B) 50 
(C) 52 
(D) 54 
(E) 56 
Resolução 
Temos uma divisão diretamente proporcional às idades e divisão inversamente 
proporcional aos tempos de serviços. 
A proporção terá a seguinte forma: 𝑎𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑎𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 = 𝑏𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑎𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 
27 42
93
a b
=
 
O m.m.c entre 3 e 9 é igual a 9. Para facilitar nossas vidas, devemos dividir 9 
por 3 e multiplicar por 27, resultando 81. Devemos dividir 9 por 9 e multiplicar 
por 42, resultando 42. 
164 4
81 42 81 42 123 3
a b a b+
= = = =
+ 
481 108
3
442 56
3
108 56 52
a
b
a b
= ⋅ =
= ⋅ =
− = − =
 
Letra C 
5. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires 
entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada 
um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do 
filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a 
renda do filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, 
além disso, o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio tem 
dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires 
receberá o filho do meio? 
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a) 80 
b) 100 
c) 120 
d) 160 
e) 180 
Resolução 
Digamos que a renda do filho mais novo seja igual a 1. Portanto a renda do 
filho mais velho será igual a 2 e a renda do filho do meio será igual a 3. 
Temos a seguinte proporção: 𝒗𝟑𝟐 = 𝒎𝟐𝟑 = 𝒏𝟐𝟏 
O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 1 é igual a 6. Podemos desenvolver a 
proporção da seguinte maneira: dividimos pelo denominador e multiplicamos 
pelo numerador (com as frações que se encontram no denominador). Por 
exemplo, olhe para a primeira fração: 3/2. Dividimos 6 (m.m.c.) por 2 e 
multiplicamos por 3. Obtemos o número 9. A segunda fração: 6 dividido por 3, 
vezes 2: obtemos o número 4. Finalmente a última fração: 6 dividido por 1, 
vezes 2: obtemos o número 12. A proporção ficará: 𝒗𝟗 =𝒎𝟒 = 𝒏𝟏𝟐 
Temos uma divisão diretamente proporcional aos números 9, 4 e 12. 𝒗𝟗 =𝒎𝟒 = 𝒏𝟏𝟐 = 𝒗+𝒎+ 𝒏𝟗+ 𝟒+ 𝟏𝟐 = 𝟓𝟎𝟎𝟐𝟓 = 𝟐𝟎 
Assim, o filho do meio receberá 4 x 20 = 80 alqueires. 
Letra A 
 
6. (Pref. de São Paulo 2008/FCC) Lourival e Juvenal são funcionários da 
Prefeitura Municipal de São Paulo há 8 e 12 anos, respectivamente. Eles 
foram incumbidos de inspecionar as instalações de 75 estabelecimentos 
comerciais ao longo de certa semana e decidiram dividir esse total entre 
si, em partes inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos 
de serviço na Prefeitura. Com base nessas informações, é correto 
afirmar que coube a Lourival inspecionar 
 
(A) 50 estabelecimentos. 
(B) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal. 
(C) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal. 
(D) 40% do total de estabelecimentos. 
(E) 60% do total de estabelecimentos. 
 
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Resolução 
 
Vamos considerar que Lourival inspecionará 𝑙 estabelecimentos e Juvenal 
inspecionará 𝑗 estabelecimentos. 
 
Já que a divisão será em partes inversamente proporcionais aos seus 
respectivos tempos de serviço na Prefeitura, a proporção ficará assim: 
 𝑙18 = 𝑗112 
 
Vamos adotar a mesma estratégia da questão anterior. O mínimo múltiplo 
comum entre 8 e 12 é igual a 24. Olhe para as frações dos denominadores. 
Devemos dividir 24 por 8 e 24 por 12. A proporção ficará assim: 
 𝑙3 = 𝑗2 
 
Aplicando a propriedade das proporções. Devemos somar os numeradores e 
somar os denominadores. Lembre-se que o total de estabelecimentos 
inspecionados é igual a 75. 
 𝑙3 = 𝑗2 = 𝑙 + 𝑗3+ 2 = 755 = 15 
 𝑙 = 3 ∙ 15 = 45 𝑗 = 2 ∙ 15 = 30 
 
Desta forma, Lourival inspecionou 45 estabelecimentos e Juvenal inspecionou 
30 estabelecimentos. 
 
Vamos agora analisar as alternativas: 
 
É correto afirmar que coube a Lourival inspecionar: 
 
(A) 50 estabelecimentos (FALSO) 
 
(B) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal (FALSO, pois foram 15 
estabelecimentos a mais do que Juvenal). 
 
(C) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal (FALSO, pois foram 15 
estabelecimentos a mais do que Juvenal). 
 
(D) 40% do total de estabelecimentos. (FALSO, pois 40% de 75 é igual a 30). 
 
(E) 60% do total de estabelecimentos (VERDADEIRO, pois 60% de 75 é igual a 
45). 
 
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Resposta: Letra E 
 
7. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Certo dia, três funcionários 
da Companhia do Metropolitano de São Paulo foram incumbidos de 
distribuir folhetos informativos contendo orientações aos usuários dos 
trens. Para executar tal tarefa, eles dividiram o total de folhetos entre si, 
em partes inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de 
serviço no Metrô: 2 anos, 9 anos e 12 anos. Se o que trabalha há 9 anos 
ficou com 288 folhetos, a soma das quantidades com que os outros dois 
ficaram foi 
(A) 448 
(B) 630 
(C) 954 
(D) 1 512 
(E) 1 640 
 
Resolução 
 
Vamos considerar que as quantidades de folhetos de cada um dos funcionários 
são iguais a 𝑎, 𝑏, 𝑐 (em ordem crescente do tempo de serviço). 
 
Já que a divisão é inversamente proporcional ao tempo de serviço, então a 
proporção ficará assim: 
 𝑎12 = 𝑏19 = 𝑐112 
 
O mínimo múltiplo comum entre 2, 9 e 12 é igual a 36. Devemos dividir 36 por 
2, por 9 e por 12, obtendo 18, 4 e 3, respectivamente. 
 𝑎18 = 𝑏4 = 𝑐3 
 
O funcionário que trabalha há 9 anos ficou com 288 folhetos, portanto 𝑏 = 288. 
 𝑎18 = 2884 = 𝑐3 
 𝑎18 = 72 = 𝑐3 
 𝑎 = 18 ∙ 72 = 1.296 𝑏 = 3 ∙ 72 = 216 
 
Portanto, 𝑎 + 𝑏 = 1.512. 
 
A soma das quantidades com que os outros dois ficaram foi 1.512. 
 
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Letra D 
 
 
8. (BAHIA GAS 2010/FCC) Para realizar a partilha de uma herança de R$ 
28.500,00, quatro irmãos, que nasceram em dias diferentes, marcaram 
encontro em um sábado. O testamento determinava que eles 
receberiam partes diretamente proporcionais às respectivas idades, em 
anos completos, que nesse sábado seriam: 15, 17, 21 e 22 anos. O 
irmão mais novo só compareceu no domingo, um dia depois do 
combinado, e que era exatamente o dia de seu aniversário. Supondo 
que a partilha tenha sido feita no domingo, a quantia somada que os 
dois irmãos mais velhos deixaram de receber por conta do adiamento de 
um dia é: 
(A) R$ 50,00. 
(B) R$ 155,00. 
(C) R$ 180,00. 
(D) R$ 205,00. 
(E) R$ 215,00. 
 
Resolução 
 
As divisões foram feitas em partes diretamente proporcionais. Se a partilha 
fosse feita no sábado, então a proporção ficaria assim: 
 𝑎15 = 𝑏17 = 𝑐21 = 𝑑22 
 
Como a herança total é igual a R$ 28.500,00, então somando os numeradores 
e somandoos denominadores: 
 𝑎15 = 𝑏17 = 𝑐21 = 𝑑22 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑15+ 17+ 21+ 22 = 28.50075 = 380 
 
O irmão que tem 21 anos receberia 𝑐 = 21 ∙ 380 = 7.980 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
O irmão que tem 22 anos receberia 𝑑 = 22 ∙ 380 = 8.360 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
 
Mas a partilha foi feita no domingo, dia de aniversário do irmão mais novo. No 
domingo, o irmão mais novo completou 16 anos e a partilha foi feita de acordo 
com a seguinte proporção: 
 𝑎16 = 𝑏17 = 𝑐21 = 𝑑22 
 
Como a herança total é igual a R$ 28.500,00, então somando os numeradores 
e somando os denominadores: 
 𝑎16 = 𝑏17 = 𝑐21 = 𝑑22 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑16+ 17+ 21+ 22 = 28.50076 = 375 
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O irmão que tem 21 anos recebeu 𝑐 = 21 ∙ 375 = 7.875 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
O irmão que tem 22 anos recebeu 𝑑 = 22 ∙ 375 = 8.250 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
 
O irmão de 21 anos deixou de receber 7.980− 7.875 = 105 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
O irmão de 22 anos deixou de receber 8.360− 8.250 = 110 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
A quantia somada que os dois irmãos mais velhos deixaram de receber por 
conta do adiamento de um dia é 105+ 110 = 215 reais. 
 
Letra E 
 
9. (Pref. de Salvador 2008/FCC) Foi solicitada, à Guarda Municipal, a 
distribuição de colaboradores que se responsabilizassem por ações que 
garantissem a preservação dos parques públicos de três municípios da 
região metropolitana do Salvador. Fez-se a opção de distribuir os 72 
colaboradores, de forma diretamente proporcional à população de cada 
um dos municípios. 
 
Tabela de valores aproximados de população 
 
Qual é o número de colaboradores destinados ao município Lauro de Freitas? 
(A) 36 
(B) 30 
(C) 26 
(D) 13 
(E) 10 
 
Resolução 
 
Vamos considerar que os números de colaboradores aos municípios de 
Camaçari, Dias D’Ávila e Lauro de Freitas são iguais a 𝑐,𝑑 𝑒 𝑙, respectivamente. 
 
A divisão é feita de forma proporcional à população de cada cidade. 
 𝑐180.000 = 𝑑50.000 = 𝑙130.000 
 
Podemos simplificar a proporção dividindo todos os termos dos denominadores 
por 10.000 (cortar 4 zeros). 
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 𝑐18 = 𝑑5 = 𝑙13 
 
Vamos agora somar os numeradores e somar os denominadores. 
 𝑐18 = 𝑑5 = 𝑙13 = 𝑐 + 𝑑 + 𝑙18+ 5+ 13 = 7236 = 2 
Desta forma, 𝑙 = 13 ∙ 2 = 26. 
 
O município de Lauro de Freitas receberá 26 colaboradores. 
 
Letra C 
 
10. (MPE-AP 2009/FCC) O dono de uma loja resolveu distribuir a 
quantia de R$ 3.570,00 entre seus funcionários, como premiação. Cada 
um dos cinco funcionários receberá uma parte diretamente proporcional 
ao número de anos completos trabalhados na loja. A tabela mostra o 
número de anos completos trabalhados na loja pelos cinco funcionários. 
 
 
A diferença entre o prêmio recebido pelo funcionário M e o prêmio recebido 
pelo funcionário K, em reais, é 
(A) 127,50 
(B) 255,00 
(C) 382,50 
(D) 510,00 
(E) 892,50 
 
Resolução 
 
A divisão será feita em partes diretamente proporcionais ao número de anos 
completos trabalhados na loja. A proporção será a seguinte: 
 𝑗2 = 𝑘3 = 𝑙4 = 𝑚7 = 𝑛12 
 
A soma das quantias recebidas pelos funcionários é igual a R$ 3.570,00. 
 𝑗2 = 𝑘3 = 𝑙4 = 𝑚7 = 𝑛12 = 𝐽 + 𝑘 + 𝑙 +𝑚 + 𝑛2+ 3+ 4+ 7+ 12 = 3.57028 = 127,5 
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Desta forma: 
 𝑚 = 7 ∙ 127,5 = 892,50 
 𝑘 = 3 ∙ 127,5 = 382,50 
 
A diferença entre o prêmio recebido pelo funcionário M e o prêmio recebido 
pelo funcionário K, em reais, é 892,50− 382,50 = 510. 
 
Letra D 
 
11. (DPE-SP 2010/FCC) O orçamento de um município para transporte 
público é de R$ 770.000,00. Esse orçamento será repartido entre três 
regiões (A, B e C) do município em proporção direta ao número de 
habitantes de cada uma. Sabe-se que o número de habitantes da região 
A é o dobro da região B, que por sua vez é dobro da região C. Nas 
condições dadas, as regiões B e C receberão, juntas, 
(A) R$ 280.000,00. 
(B) R$ 290.000,00. 
(C) R$ 300.000,00. 
(D) R$ 310.000,00. 
(E) R$ 330.000,00. 
 
Resolução 
 
Não foi informada a população de cada uma das regiões. Apenas foi dito que o 
número de habitantes da região A é o dobro da região B, que por sua vez é 
dobro da região C. 
 
Vamos considerar que a população da região C seja igual a 1. Desta forma, a 
população da região B será igual a 2 e a população da região A será igual a 4. 
 
Desta maneira, devemos dividir R$ 770.000,00 em partes diretamente 
proporcionais a 4,2 e 1. 
 𝑎4 = 𝑏2 = 𝑐1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐4+ 2+ 1 = 770.0007 = 110.000 
 𝑏 = 2 ∙ 110.000 = 220.000 
 𝑐 = 1 ∙ 110.000 = 110.000 
 
As regiões B e C receberão juntas, 220.000+110.000 = 330.000 reais. 
 
Letra E 
 
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12. (Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Ao receber seu 
décimo terceiro salário, Mário o dividiu em duas partes, diretamente 
proporcionais a 4 e a 7. Ele depositou a menor parte na poupança e 
gastou o restante em compras de Natal. Se Mário depositou R$ 560,00 
na poupança, quanto ele recebeu de décimo terceiro salário, em reais? 
(A) 800,00 
(B) 960,00 
(C) 1.200,00 
(D) 1.400,00 
(E) 1.540,00 
 
 
Resolução 
Vamos considerar que Mário dividiu seu salário em duas partes a e b que são 
diretamente proporcionais a 4 e a 7. Podemos escrever: 𝑎4 = 𝑏7 
A menor parte (R$ 560,00) ele depositou na poupança. A menor parte é 
aquele que está sendo dividida por 4. 5604 = 𝑏7 140 = 𝑏7 𝑏 = 7 ∙ 140 𝑏 = 980 
Assim, Mário recebeu R$ 980,00 + R$ 560,00 = R$ 1.540,00. 
Letra E 
 
13. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) “Com o objetivo de garantir a auto-
suficiência, a Petrobras vai implantar, nos próximos cinco anos, 36 
grandes projetos.” 
 
Disponível em http://www.autosuficiencia.com.br 
 
Em 2006, está prevista a implantação de quatro plataformas, dentre elas a 
“SSP-300” e a “Golfinho Fase Um”, a primeira no Campo de Piranema, SE, e a 
segunda, no Campo de Golfinho, ES. Juntas, estas duas plataformas terão 
capacidade para produzir 120 mil barris/dia. Considerando-se que as 
produções das plataformas “Golfinho Fase Um” e “SSP- 300” são diretamente 
proporcionais a 5 e a 1, a diferença, em milhares de barris, entre suas 
produções diárias será de: 
(A) 20 
(B) 40 
(C) 60 
(D) 80 
(E) 90 
 
Resolução 
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Vamos considerar que a plataforma “Golfinho Fase Um” produza 𝑥 mil barris 
por dia e que a plataforma “SSP-300” produza 𝑦 mil barris por dia. Estas duas 
quantidades são diretamente proporcionais a 5 e a 1. 𝑥5 = 𝑦1 
 
Toda proporção pode ser “prolongada”. Para isso, basta somar os numeradores 
e somar os denominadores. 𝑥5 = 𝑦1 = 𝑥 + 𝑦5+ 1 
 
Como o total de barris produzidos é 120 mil, então 𝑥 + 𝑦 = 120. 𝑥5 = 𝑦1 = 1206 = 20 
 𝑥 = 5×20 = 100 
 𝑦 = 1×20 = 20 
 
A diferença em milhares de barris, entre suas produções diárias será de: 
 𝑥 − 𝑦 = 100− 20 = 80 
 
Letra D 
 
14. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Para reduzir o consumo de energia 
elétrica, uma empresa instalou dois painéis solares que, juntos, ocupam 
560m2. Se as áreas dos dois painéis são diretamente proporcionais a 3 e 
a 1, qual a diferença, em m2, entre essas áreas? 
(A) 140 
(B) 210 
(C) 280 
(D) 300 
(E) 320 
 
Resolução 
 
Vamos considerar que as áreas de cada um dos painéis são iguais a x e y, 
respectivamente. 
 
Estas duas áreas são diretamente proporcionais a 3 e a 1. A soma das duas 
áreas é igual a 560 m². 
 𝑥3 = 𝑦1 
 
Paraprolongar esta proporção, devemos somar os numeradores e os 
denominadores. Lembrando que a soma dos numeradores é igual a 560. 
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 𝑥3 = 𝑦1 = 𝑥 + 𝑦3+ 1 = 5604 = 140 
 𝑥 = 3×140 = 420 𝑦 = 1×140 = 140 
 
A diferença entre as duas áreas é igual a 𝑥 − 𝑦 = 420− 140 = 280 m². 
 
Letra C 
 
15. (CAERN 2010/FGV) Dividindo-se 11.700 em partes proporcionais a 
1, 3 e 5, a diferença entre a maior das partes e a menor delas é 
a) 6.500. 
b) 5.500. 
c) 5.800. 
d) 5.200. 
e) 5.000 
 
Resolução 
Devemos dividir 11.700 em partes diretamente proporcionais a 1,3 e 5 dias. 
Assim, temos a seguinte proporção: 𝑎1 = 𝑏3 = 𝑐5 
Obviamente, a soma das três partes (a+b+c) é igual a 11.7000. Dessa forma, 𝑎1 = 𝑏3 = 𝑐5 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐1+ 3+ 5 = 11.7009 = 1.300 
Assim: 𝑎 = 1 ∙ 1.300 = 1.300 𝑏 = 3 ∙ 1.300 = 3.900 𝑐 = 5 ∙ 1.300 = 6.500 
A diferença entre a maior das partes e a menor delas é 6.500− 1.300 = 5.200. 
Letra D 
 
16. (PECFAZ 2013/ESAF) Em uma secretaria do Ministério da Fazenda, 
trabalham 63 pessoas. A razão entre o número de homens e o número de 
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mulheres é igual 4/5. A diferença entre o número de mulheres e o número de 
homens que trabalham nessa secretaria é igual a: 
a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 9 
e) 5 
Resolução 
Vamos considerar que o número de homens é ℎ e o número de mulheres é 𝑚. 
Sabemos que há 63 pessoas, ou seja, a soma do número de homens com o 
número de mulheres é 63. ℎ +𝑚 = 63 
 
Sabemos ainda que a razão entre o número de homens e o número de 
mulheres é igual 4/5. ℎ𝑚 = 45 
 
Temos, portanto, um sistema de equações para resolver. 
 
Existem várias maneiras de resolver este sistema. Como não estudamos teoria 
alguma ainda, vou resolver da maneira mais comum. Utilizaremos o método da 
substituição. 
Na primeira equação, vamos isolar uma das incógnitas: 
 ℎ = 63−𝑚 
 
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 
 ℎ𝑚 = 45 
 63−𝑚𝑚 = 45 
 
Apliquemos a propriedade fundamental das proporções: “em toda proporção, o 
produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. 
 
Muita gente gosta de falar de uma maneira mais simples: “multiplicando 
cruzado…”. 4 ∙𝑚 = 5 ∙ (63−𝑚) 
 4𝑚 = 315− 5𝑚 
 4𝑚 + 5𝑚 = 315 
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 9𝑚 = 315 
 𝑚 = 3159 = 35 
 
Concluímos que o número de mulheres é 35. Como o total de pessoas é 63, 
então o número de homens é ℎ = 63− 35 = 28. 
 
A questão pede a diferença entre o número de mulheres e o número de 
homens que trabalham nessa secretaria. 
 𝑚 − ℎ = 35− 28 = 7 
 
Poderíamos resolver esta questão um pouco mais rápido utilizando 
propriedades das proporções. ℎ𝑚 = 45 
 
Podemos trocar os lugares de “m” e 4. 
 ℎ4 = 𝑚5 
 
Vamos agora prolongar a proporção, somando os numeradores e os 
denominadores. ℎ4 = 𝑚5 = 639 = 7 
Assim, ℎ = 4×7 = 28 𝑚 = 5×7 = 35 
A diferença é 35-28 = 7. 
 
Letra B 
 
 
Regra de Três 
 
Vamos agora resolver questões sobre Regra de Três. Lembremos que para 
resolver questões deste assunto, devemos construir uma tabela agrupando as 
grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as 
grandezas de espécies diferentes em correspondência. Em seguida devemos 
determinar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. O 
último passo é montar a proporção. 
 
Quando as grandezas são diretamente proporcionais (ou seja, quando uma 
delas aumenta (diminui), a outra também aumenta (diminui) na mesma 
proporção), devemos armar as frações no mesmo sentido das setas. 
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Quando as grandezas são inversamente proporcionais (ou seja, quando uma 
delas aumenta (diminui), a outra diminui (aumenta) na mesma 
proporção), devemos armar as frações no sentido oposto aos das setas. 
Por fim, a seta da coluna da grandeza desconhecida sempre fica para baixo! 
17. (CEF/FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12h. Outra 
pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas 
necessárias para que y realize essa tarefa é: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
Resolução 
Digamos que a eficiência de x tenha valor numérico igual a 100. 
Portanto, a eficiência de y será 150. 
 
Eficiência Horas 
100 12 
150 x 
 
Observe que, porque y é mais eficiente do que x, y gastará menos horas do 
que x. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Colocaremos 
uma seta para cima. 
 
Eficiência Horas 
100 12 
150 x 
 
Na montagem da proporção, deveremos inverter a coluna da eficiência. 
 150100 = 12𝑥 150𝑥 = 1.200 𝑥 = 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. 
Letra E 
 
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18. (BB 2010/FCC) Pesquisadores descobriram que o uso do fundo preto nas 
páginas de busca da internet produz um consumo menor de energia em 
relação à tela branca. Se todas as buscas fossem feitas com tela preta, a 
economia total em um tempo médio de 10 segundos seria equivalente à 
energia gasta por 77 milhões de geladeiras ligadas ininterruptamente durante 
1 hora. Nessas condições, a economia total em um tempo médio de buscas de 
30 minutos seria equivalente à energia gasta por essas geladeiras ligadas 
ininterruptamente durante 
(A) 2 dias e meio. 
(B) 3 dias. 
(C) 5 dias. 
(D) 7 dias e meio. 
(E) 8 dias. 
Resolução 
 
Podemos resolver esta questão armando uma regra de três. Observe que o 
tempo médio de 30 minutos em buscas equivale a 30 ∙ 60 = 1.800 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠. 
 
Tempo médio de busca 
(segundos) 
Equivalente em horas de 77 
milhões de geladeiras ligadas 
10 1 
1.800 𝑥 
 
Aumentando o tempo médio de busca, é aumentado o tempo que as 77 
milhões de geladeiras ficariam ligadas. Portanto, as grandezas são diretamente 
proporcionais. 
Tempo médio de busca 
(segundos) 
Equivalente em horas de 77 
milhões de geladeiras ligadas 
10 1 
1.800 𝑥 
 1𝑥 = 101.800 
 10𝑥 = 1.800 
 𝑥 = 180 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Como um dia é composto por 24 horas, então: 
 𝑥 = 180 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 18024 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 7,5 𝑑𝑖𝑎𝑠 
Letra D 
 
19. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Suponha que 8 máquinas de 
terraplanagem, todas com a mesma capacidade operacional, sejam capazes de 
nivelar uma superfície de 8.000 metros quadrados em 8 dias, se funcionarem 
ininterruptamente 8 horas por dia. Nas mesmas condições, quantos metros 
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quadrados poderiam ser nivelados por 16 daquelas máquinas, em 16 dias de 
trabalho e 16 horas por dia de funcionamento ininterrupto? 
(A) 16 000 
(B) 20 000 
(C) 64 000 
(D) 78 000 
(E) 84 000 
 
Resolução 
 
Trata-se de um enunciado típico de uma questão de regra de três. 
 
 
 
 
 
Vamos relacionar as grandezas com uma tabela: 
 
Máquinas Metros quadrados Dias Horas por dia 
8 8.000 8 8 
16 𝑥 16 16 
 
Para facilitas as contas, vamos simplificar as colunas. Cada coluna pode ser 
simplificada por 8. 
 
 
Máquinas Metros quadrados Dias Horas por dia 
1 8.000 1 1 
2 𝑥 2 2 
 
Devemos comparar cada uma das grandezas conhecidas com a grandeza 
desconhecida. 
 
Aumentando o número de máquinas, a área a ser nivelada aumenta. As 
grandezas são diretamente proporcionais. 
 
Aumentando a quantidade de dias, a área a ser nivelada aumenta.As 
grandezas são diretamente proporcionais. 
 
Aumentando a carga horária diária, a área a ser nivelada aumenta. As 
grandezas são diretamente proporcionais. 
 
Máquinas Metros quadrados Dias Horas por dia 
1 8.000 1 1 
2 𝑥 2 2 
 
Vamos armar a proporção: 
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 8.000𝑥 = 12 ∙ 12 ∙ 12 
 8.000𝑥 = 18 
 𝑥 ∙ 1 = 8.000 ∙ 8 
 𝑥 = 64.000 
 
Serão nivelados 64.000 metros quadrados. 
 
Letra C 
 
20. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Se um trem leva 2 minutos 
para percorrer o trajeto entre duas estações, o esperado é que outro trem, 
cuja velocidade média é 80% da velocidade do primeiro, percorra o mesmo 
trajeto em 
(A) 2 minutos e 40 segundos. 
(B) 2 minutos e 30 segundos. 
(C) 2 minutos e 20 segundos. 
(D) 2 minutos e 15 segundos. 
(E) 2 minutos e 5 segundos. 
 
Resolução 
 
Vamos considerar que a velocidade do trem na primeira situação é igual a 100. 
Neste caso, o trem gasta 2 minutos para percorrer o trajeto. Como a 
velocidade do outro trem é igual a 80% da velocidade do primeiro trem, então 
a sua velocidade será igual a 80. Qual o tempo gasto por ele? 
 
Vamos armar a regra de três. 
 
Velocidade Tempo 
(min) 
100 2 
80 𝑥 
 
Diminuindo a velocidade, o tempo gasto para percorrer o trajeto aumentará. 
As grandezas são inversamente proporcionais. Devemos inverter a coluna das 
velocidades no momento de armar a proporção. 
 
Velocidade Tempo (min) 
100 2 
80 𝑥 
 
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2𝑥 = 80100 
 80 ∙ 𝑥 = 2 ∙ 100 
 𝑥 = 20080 = 2,5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 𝑥 = 2 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑒 30 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠. 
Letra B 
 
21. (Pref. de Salvador 2008/FCC) Um certo número de guardas municipais 
foram encaminhados, em Salvador, para ações comunitárias de proteção às 
crianças. No ano anterior, para as mesmas ações, participaram 24 guardas, 
durante 6 dias, trabalhando 8 horas por dia. Sabendo que, neste ano, os 
guardas trabalharão durante 8 dias, 4 horas por dia, quantos guardas serão 
necessários para a execução das mesmas tarefas? 
(A) 12 
(B) 16 
(C) 24 
(D) 36 
(E) 64 
 
Resolução 
 
Vamos montar uma tabela para relacionar as grandezas envolvidas. 
 
Guardas Dias Horas por dia 
24 6 8 𝑥 8 4 
 
A coluna dos dias pode ser simplificada por 2 e a coluna das “horas por dia” 
pode ser simplificada por 4. 
 
Guardas Dias Horas por dia 
24 3 2 𝑥 4 1 
 
Aumentando a quantidade de dias, devemos aumentar a quantidade de 
guardas. As grandezas são diretamente proporcionais. 
 
Diminuindo a quantidade de horas trabalhadas por dia, podemos diminuir a 
quantidade de guardas. As grandezas são diretamente proporcionais. 
 
Guardas Dias Horas por dia 
24 3 2 𝑥 4 1 
 
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24𝑥 = 34 ∙ 21 
 24𝑥 = 64 
 6 ∙ 𝑥 = 24 ∙ 4 
 6𝑥 = 96 
 𝑥 = 16 𝑔𝑢𝑎𝑟𝑑𝑎𝑠 
 
Letra B 
 
22. (DPE-SP 2010/FCC) Um professor tem de corrigir 48 trabalhos de seus 
alunos. Nos primeiros 40 minutos de trabalho ele corrige 6 trabalhos. Se 
continuar corrigindo no mesmo ritmo, ele utilizará para corrigir os 48 trabalhos 
(A) 5 horas e 20 minutos. 
(B) 5 horas e 10 minutos. 
(C) 4 horas e 50 minutos. 
(D) 4 horas e 40 minutos. 
(E) 4 horas e 30 minutos. 
 
Resolução 
 
Quem já tem um pouquinho mais de experiência pode já seguir o seguinte 
raciocínio: 
 
Ele gasta 40 minutos para corrigir 6 trabalhos. Para corrigir 48 trabalhos 
(observe que o número de trabalhos é 8 vezes maior), gastará 8 vezes mais 
tempo. 
 
O tempo necessário será igual a 8 ∙ 40 = 320 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
Podemos, alternativamente, armar a tabela da regra de três. 
 
Trabalhos Tempo (min) 
6 40 
48 𝑥 
 
A coluna referente ao número de trabalhos pode ser simplificada por 6. 
 
Trabalhos Tempo (min) 
1 40 
8 𝑥 
 
Aumentando a quantidade de trabalhos a serem corrigidos, aumenta-se o 
tempo gasto para efetuar o serviço. As grandezas são diretamente 
proporcionais. 
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 40𝑥 = 18 
 𝑥 ∙ 1 = 40 ∙ 8 
 𝑥 = 320 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
Para transformar esta resposta para “horas e minutos”, devemos dividir o 
resultado por 60. 
 320/ 60 20 5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Portanto: 320 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒 20 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
Letra A 
 
23. (TRF 2ª Região 2007/FCC) Em uma gráfica, foram impressos 1 200 
panfletos referentes à direção defensiva de veículos oficiais. Esse material foi 
impresso por três máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de 
funcionamento. Para imprimir 5 000 desses panfletos, duas dessas máquinas 
deveriam funcionar durante 15 horas, 
(A) 10 minutos e 40 segundos. 
(B) 24 minutos e 20 segundos. 
(C) 37 minutos e 30 segundos. 
(D) 42 minutos e 20 segundos. 
(E) 58 minutos e 30 segundos. 
 
Resolução 
 
Temos que 1.200 panfletos foram impressos por 3 máquinas em 2 horas e 
meia de funcionamento. 
 
Queremos calcular o tempo que duas máquinas gastam para imprimir 5.000 
panfletos. 
 
Máquinas Tempo (h) Panfletos 
3 2,5 1.200 
2 𝑥 5.000 
 
Podemos simplificar a coluna dos panfletos. Dividindo 1.200 por 100 e 
dividindo 5.000 por 100 obtemos 12 e 50, respectivamente. 
 
Máquinas Tempo (h) Panfletos 
3 2,5 12 
2 𝑥 50 
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Diminuindo a quantidade de máquinas, o tempo gasto para imprimir os 
panfletos aumenta. As grandezas são inversamente proporcionais. Portanto, 
devemos inverter a coluna das máquinas no momento de armar a proporção. 
 
Aumentando a quantidade de panfletos, aumenta-se o tempo para imprimi-los. 
As grandezas são diretamente proporcionais. 
 
Máquinas Tempo (h) Panfletos 
3 2,5 12 
2 𝑥 50 
 2,5𝑥 = 23 ∙ 1250 
 2,5𝑥 = 24150 
 24 ∙ 𝑥 = 150 ∙ 2,5 
 24𝑥 = 375 
 𝑥 = 37524 
 
Podemos simplificar esta fração por 3. 
 𝑥 = 37524 = 1258 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Vamos dividir 125 horas por 8. 
 125 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠/ 8 5 15 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
As 5 horas do resto devem ser convertidas para minutos para continuar a 
divisão. Para transformar 5 horas em minutos, devemos multiplicar por 60. 5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 5 ∙ 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 300 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 300min / 8 4 37𝑚𝑖𝑛 
 
Neste momento já podemos marcar a letra C. 
 
Para continuar a divisão, devemos transformar os 4 minutos do resto em 
segundos. Para isto, devemos multiplicar 4 por 60 obtendo 240 segundos. 
 240 𝑠/ 8 0 30 𝑠 
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Portanto, o tempo gasto é igual a 15 horas, 37 minutos e 30 segundos. 
 
Letra C 
 
24. (MPE-AP 2009/FCC) Em um escritório, três digitadores de produtividade 
idêntica realizam a tarefa de digitar 2400 páginas em 20 dias. Para realizar 
uma tarefa de digitação de 6000 páginas em 15 dias, o número mínimo de 
digitadores que devem ser incorporados à equipe, com a mesma produtividade 
dos três primeiros é 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 8 
(D) 9 
(E) 10 
 
Resolução 
 
Vamos montar uma tabela para relacionar as grandezas. 
 
Digitadores Páginas Dias 
3 2.400 20 𝑥 6.000 15 
 
Vamos simplificar as colunas: 
 
A segunda coluna pode ser simplificar inicialmente por 100. Serão cortados os 
2 zeros de cada um dos números. Ficamos com 24 e 60 que podem ser 
simplificados por 12. 24 dividido por 12 é igual a 2 e 60 divididopor 12 é igual 
a 5. 
 
A terceira coluna pode ser simplificada por 5. 
 
Digitadores Páginas Dias 
3 2 4 𝑥 5 3 
 
Aumentando o número de páginas, deve-se aumentar o número de 
digitadores. As grandezas são diretamente proporcionais. 
 
Diminuindo o prazo, devemos aumentar a quantidade de digitadores. As 
grandezas são inversamente proporcionais. Devemos inverter a terceira coluna 
no momento de armar a proporção. 
 
Digitadores Páginas Dias 
3 2 4 𝑥 5 3 
 
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3𝑥 = 25 ∙ 34 
 3𝑥 = 620 
 6 ∙ 𝑥 = 3 ∙ 20 
 6𝑥 = 60⇔ 𝑥 = 10 
 
Como há 3 digitadores, são necessários, no mínimo, 7 digitadores. 
Letra B 
 
25. (ATRFB 2012/ESAF) Para construir 120 m2 de um muro em 2 dias, são 
necessários 6 pedreiros. Trabalhando no mesmo ritmo, o número de pedreiros 
necessários para construir 210 m2 desse mesmo muro em 3 dias é igual a 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 7 
Resolução 
 
 
Vamos montar uma tabela para que possamos comparar as grandezas. 
m2 dias pedreiros 
120 2 6 
210 3 x 
 
A seta da coluna em que se encontra a incógnita fica sempre voltada para 
baixo. 
 
Vamos comparar as grandezas com a coluna em que se encontra o “x”. 
A área do muro aumentou de 120 para 210. Assim, a quantidade de pedreiros 
deverá aumentar. Como as duas grandezas aumentam, elas são diretamente 
proporcionais. A seta ficará para baixo. 
 
A quantidade de dias aumentou, ou seja, o prazo para construir o muro 
aumentou. Se o prazo é maior, a quantidade de pedreiros pode diminuir. Como 
uma grandeza aumenta enquanto a outra diminui, as grandezas são 
inversamente proporcionais (seta para cima). 
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Agora é só armar a proporção. 6𝑥 = 120210 ∙ 32 
 6𝑥 = 360420 
 6𝑥 = 3642 
 6𝑥 = 67 𝑥 = 7 
Letra E 
26. (ATA-MF 2009/ESAF) Com 50 trabalhadores, com a mesma 
produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 
dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma 
produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra 
ficaria pronta? 
a) 24 
b) 16 
c) 30 
d) 15 
e) 20 
Resolução 
Vamos atribuir um valor à produtividade do primeiro grupo. Suponhamos que 
a produtividade do primeiro grupo seja igual a 100. Destarte, a produtividade 
do segundo grupo será igual a 80 (20% menor). 
 
Trabalhadores Horas/dia dias produtividade 
50 8 24 100 
40 10 x 80 
 
Antes de verificarmos a situação das grandezas, vamos simplificar as colunas. 
A primeira coluna pode ser simplificada por 10, a segunda coluna pode ser 
simplificada por 2 e a última coluna pode ser simplificada por 20. 
 
Trabalhadores Horas/dia dias produtividade 
5 4 24 5 
4 5 x 4 
 
A coluna do x sempre fica com a seta voltada para baixo. Comparemos a 
grandeza “trabalhadores” com a grandeza “dias”. A quantidade de 
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trabalhadores diminuiu, então a quantidade de dias deve aumentar. As 
grandezas são inversamente proporcionais. A seta fica para cima. 
 
A quantidade de horas trabalhadas por dia aumentou, então eles deverão 
trabalhar durante menos dias. As grandezas são inversamente proporcionais. A 
seta fica para cima. 
 
A produtividade diminuiu, assim, eles deverão aumentar a quantidade de dias. 
As grandezas são inversamente proporcionais. A seta fica para cima. 
 
Trabalhadores Horas/dia dias produtividade 
5 4 24 5 
4 5 x 4 
Vamos agora montar a proporção. 24𝑥 = 45 ∙ 54 ∙ 45 
As duas últimas frações se cancelam. 24𝑥 = 45 4𝑥 = 120 𝑥 = 30 
Letra C 
27. (SMF-RJ 2010/ESAF) Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia 
cada um, durante 15 dias, colhem juntos 60 sacos de arroz. Tre ̂s outros 
trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos 
de arroz em 10 dias. Em média, quanto um trabalhador do primeiro grupo é 
mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo? 
a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo. 
b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo. 
c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo. 
d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma. 
e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo. 
 
Resolução 
 
Digamos que a produtividade do primeiro grupo seja igual a 100. Vamos 
calcular a produtividade do segundo grupo para poder comparar. 
 
Podemos juntar duas grandezas. O primeiro grupo trabalha 8 horas por dia 
durante 15 dias, ou seja, eles trabalham 8 x 15 = 120 horas. 
 
O segundo grupo trabalha 10 horas por dia durante 10 dias, ou seja, eles 
trabalham 10x10 = 100 horas. 
 
Trabalhadores Horas Sacos de arroz Produtividade 
2 120 60 100 
3 100 75 x 
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Vamos simplificar as colunas. A segunda coluna pode ser simplificada por 20 e 
a terceira coluna pode ser simplificada por 15. 
 
Trabalhadores Horas Sacos de arroz Produtividade 
2 6 4 100 
3 5 5 x 
 
Vamos comparar as grandezas com a grandeza “produtividade”. 
Lembre que quando, por exemplo, eu comparo a grandeza “trabalhadores” 
com a grandeza “produtividade”, nós supomos que as outras grandezas são 
constantes. 
Se no segundo grupo eu preciso de mais trabalhadores para efetuar um 
determinado serviço, é porque eles são menos produtivos. As grandezas são 
inversamente proporcionais e a seta fica voltada para cima. 
 
Se o segundo grupo faz o serviço em menos tempo é porque eles são mais 
produtivos. As grandezas são inversamente proporcionais e a seta fica voltada 
para cima. 
 
Se o segundo grupo colhe mais sacos de arroz é porque eles são mais 
produtivos. As grandezas são diretamente proporcionais e a seta fica voltada 
para baixo. 
 
Trabalhadores Horas Sacos de arroz Produtividade 
2 6 4 100 
3 5 5 x 
 
Vamos armar a proporção. 100𝑥 = 32 ∙ 56 ∙ 45 
 100𝑥 = 6060 
 𝑥 = 100 
 
A produtividade do segundo grupo também é igual a 100. Isto significa que os 
dois grupos têm a mesma produtividade. 
 
Letra D 
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Sistemas Métricos 
 
28. (PUC-MG) Em metrologia, pé é uma unidade de medida linear equivalente 
a cerca de 30,48 cm. Um avião que trafega a 30000 pés do solo está voando a 
uma altura mais próxima de: 
a) 6km 
b) 7km 
c) 8km 
d) 9km 
e) 10km 
 
Resolução 
 
30.000 pés = 30.000 x 30,48 cm = 914.440 cm. Para transformar de 
centímetro para metro devemos dividir o resultado por 100. Assim, 
914.440 cm = 9.144,40 m. E para transformar de metro para 
quilometro devemos dividir o resultado por mil. Dessa forma, 9.144,40 
m = 9,14440 km. 
 
Letra D 
 
Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro. 
 
Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km). 
Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). 
 
km hm dam m dm cm mm 
 
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda 
devemos dividir por 10 a cada passagem. 
 
Então para 914.440 cm serem transformados em quilômetros, devemos dividir 
por 100.000 (5 casas). 914.440 cm = 9,14440 km. 
 
Significados dos prefixos: 
k à quilo (1000) 
h à hecto (100) 
da à deca (10) 
d à deci (1/10) 
c à centi (1/100) 
m à mili (1/1000) 
 
O mesmo processo pode ser usado para os múltiplos e submúltiplosdo 
litro e grama. 
kl hl dal l dl cl ml 
kg hg dag g dg cg mg 
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Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda 
devemos dividir por 10 a cada passagem. 
 
Por exemplo: Transformar 8.432 dg (decigramas) para dag (decagramas). 
Devemos andar duas casas para a esquerda, assim devemos dividir 8.432 por 
100 obtendo 84,32 dag. 
 
Se estivermos trabalhando com unidades de área (múltiplos e submúltiplos de 
m2), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 100. 
 
Se estivermos trabalhando com unidades de volume (múltiplos e submúltiplos 
de m3), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 1.000. 
 
29. (COVEST 2003) Uma empresa de exportação de gasolina comunicou à ANP 
o desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos. Se 
um caminhão-tanque tem capacidade de 32m3, quantos caminhões seriam 
necessários para transportar a gasolina desaparecida? (obs.: 1m3=1000 litros) 
a) 205 
b) 210 
c) 215 
d) 220 
e) 225 
 
Resolução 
 
O texto nos informou que 1m3=1000 litros. 7,2 milhões de litros = 7.200.000 
litros. Pela relação dada temos que 7.200.000 litros = 7.200m3. Como cada 
caminhão transporta 32 m3, o total de caminhões desaparecidos é 7.200/32 = 
225. 
 
Letra E 
 
30. (DOCAS-PA 2006/CESPE-UnB) Considere que uma caixa d’água cúbica tem 
as arestas medindo 2 m de comprimento. Então essa caixa-d’água tem 
capacidade para mais de 7.000 litros de água. 
 
Resolução 
 
O volume de uma caixa cúbica é o produto das três dimensões. 
 
Assim, 
 𝑉 = 2𝑚 ×2𝑚 ×2𝑚 = 8 𝑚³ 
 
Como 1 m³ = 1.000 litros, então o volume da caixa é igual a 8.000 litros. 
 
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O item está certo. 
 
 
31. (TJPA 2006/CESPE-UnB) A extensão do estado do Pará, que é de 
1.248.042 km2, corresponde a 16,66% do território brasileiro e 26% da 
Amazônia. O estado do Pará, cortado pela linha do Equador no seu extremo 
norte, é dividido em 143 municípios, onde vivem cerca de seis milhões de 
pessoas. 
Com base no texto acima, assinale a opção correta. 
 
A) O estado do Pará tem 1.248.042.000 m2 de extensão. 
B) A extensão do estado do Pará corresponde a mais de 1/5 do território 
brasileiro. 
C) A extensão do estado do Pará corresponde a menos de 7/25 da Amazônia. 
D) No estado do Pará, há exatamente 6 habitantes por km2. 
 
Resolução 
 
Vamos analisar cada alternativa de per si. 
 
A) O estado do Pará tem 1.248.042.000 m2 de extensão. 
 
Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro. 
Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km). 
Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). 
 
km hm dam m dm cm mm 
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda 
devemos dividir por 10 a cada passagem. 
 
O mesmo processo pode ser usado para os múltiplos e submúltiplos do 
litro e do grama. 
kl hl dal l dl cl ml 
kg hg dag g dg cg mg 
 
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda 
devemos dividir por 10 a cada passagem. 
 
Se estivermos trabalhando com unidades de área (múltiplos e 
submúltiplos de m2), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir 
por 100. 
 
Se estivermos trabalhando com unidades de volume (múltiplos e submúltiplos 
de m3), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 1.000. 
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Ora, o texto nos informou que a extensão do estado do Pará é de 1.248.042 
km2. Queremos transformar esta medida para m2. Observe a seguinte tabela 
de transformação de unidades: 
 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 
 
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 
100 a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda 
devemos dividir por 100 a cada passagem. Ora, multiplicar por 100 significa 
adicionar 2 zeros (se o número for inteiro) ou deslocar a vírgula duas casas 
decimais para a direita. Analogamente, dividir por 100 significa cortar 2 zeros 
(se houver) ou deslocar a vírgula para a esquerda. 
 
Para concluir o raciocínio: queremos efetuar a transformação de unidades de 
km2 para m2. Devemos andar 3 casas para direita (a cada passagem 
adicionamos 2 zeros), então devemos acrescentar 6 zeros. 
Portanto, 1.248.042 𝑘𝑚! = 1.248.042.000.000 𝑚! 
 
A alternativa A é falsa. 
 
B) A extensão do estado do Pará corresponde a mais de 1/5 do 
território brasileiro. 
 
A extensão do Pará foi dada em termos percentuais (16,66% do território 
nacional). Como fazer a comparação deste percentual com a fração 1/5? 
Devemos transformar a fração 1/5 em porcentagem, para isto basta 
multiplicá-la por 100%. 15 = 15 ∙ 100% = 20% 
 
Como 16,66% é menor do que 20%, então a extensão do Pará corresponde a 
menos de 1/5 do território brasileiro. 
 
A alternativa B é falsa. 
 
C) A extensão do estado do Pará corresponde a menos de 7/25 da 
Amazônia. 
 
Da mesma maneira que foi resolvida a alternativa B, devemos transformar a 
fração 7/25 para porcentagem. 
 725 = 725 ∙ 100% = 28% 
 
Como a extensão do Pará é 26% da Amazônia, então corresponde a menos de 
7/25 da Amazônia. 
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A alternativa C é verdadeira. 
 
D) No estado do Pará, há exatamente 6 habitantes por km2. 
No estado do Pará há cerca de seis milhões de pessoas em 1.248.042 km2 de 
extensão. A densidade demográfica é de: 
 6.000.000 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠1.248.042 𝑘𝑚! ≠ 6 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠/𝑘𝑚! 
 
A alternativa D é falsa. 
 
Gabarito oficial: Letra C 
 
32. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Um peso de papel, feito de madeira maciça, 
tem a forma de um cubo cuja aresta mede 0,8 dm. Considerando que a 
densidade da madeira é 0,93 g/cm3, quantos gramas de madeira foram usados 
na confecção desse peso de papel? 
(A) 494,18 
(B))476,16 
(C) 458,18 
(D) 49,418 
(E) 47,616 
 
Resolução 
 
Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro. 
 
Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km). 
Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). 
 
km hm dam m dm cm mm 
 
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda 
devemos dividir por 10 a cada passagem. 
 
A aresta do cubo é de 0,8 dm. Para transformar esta medida para centímetros, 
devemos multiplicar por 10. 
 0,8 𝑑𝑚 = 8 𝑐𝑚 
 
Sendo 𝑎 aresta de um cubo, o seu volume é igual a 𝑎³. Portanto, o volume do 
cubo dado é igual a: 
 𝑉 = 𝑎³ = 8³ = 512 𝑐𝑚³ 
 
A densidade de um corpo é a razão entre a massa e o volume do corpo. 
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𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 
Portanto: 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒×𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 
 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 = 0,93×512 = 476,16 𝑔 
Letra B 
 
33. (CREA/SP 2010/VUNESP) De um caminhão de entrega são descarregadas 
500 caixas iguais de mercadorias, em forma de paralelepípedo, medindo cada 
uma 40 cm de comprimento por 30 cm delargura e por 20 cm de altura. Essas 
caixas empilhadas e justapostas vão ocupar um volume de 
Dado: volume do paralelepípedo = comprimento x largura x altura 
(A) 12 m3 
(B) 120 L. 
(C) 1.200 L. 
(D) 12.000 m3 
(E) 120.000 cm3 
Resolução 
 
É importante saber que 1 𝑑𝑚! (𝑑𝑒𝑐í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑜) corresponde a 1 litro. Desta 
forma, para saber o volume de cada paralelepípedo em litros, devemos 
transformar todas as suas medidas para decímetro. 
 
1 decímetro é o mesmo que 10 centímetros. Portanto: 
 40 𝑐𝑚 = 4 𝑑𝑚 30 𝑐𝑚 = 3 𝑑𝑚 20 𝑐𝑚 = 2 𝑑𝑚 
 
O volume de cada paralelepípedo é igual a 4 𝑑𝑚 ∙ 3 𝑑𝑚 ∙ 2 𝑑𝑚 = 24 𝑑𝑚! = 24 𝑙 
 
Portanto, o volume de cada paralelepípedo é igual a 24 litros. 
 
Tem-se 500 caixas no total e o volume ocupado por elas é igual a: 
 500 ∙ 24 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 = 12.000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
Por enquanto não encontramos alternativas, mas lembre-se que 1 m³ é o 
mesmo que 1.000 litros. Desta forma, 12.000 litros equivalem a 12 m³. 
 
Letra A 
 
Sistemas de Medidas de Tempo 
 
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34. (IBGE 2009/CESGRANRIO) Certo nadador levou 150 segundos para 
completar uma prova de natação. Esse tempo corresponde a 
 
a) um minuto e meio. 
b) dois minutos. 
c) dois minutos e meio. 
d) três minutos. 
e) três minutos e meio. 
 
Resolução 
 
Sabemos que 1 minuto equivale a 60 segundos. Desta forma, para transformar 
150 segundos para minutos, devemos dividir 150 por 60. 
 15060 = 2,5 𝑚𝑖𝑛 
 
Poderíamos também ter pensado assim: 
 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 = 60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 2 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 120 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 
Para completar os 150 segundos, precisamos de mais 30 segundos (meio 
minuto). 
 
Assim, 150 segundos = 2 minutos e meio. 
 
Letra C 
35. (TJ-RO 2008/CESGRANRIO) Aos domingos, é possível fazer um passeio de 
7 km pela antiga Estrada de Ferro Madeira-Mamoré, indo de Porto Velho até 
Cachoeira de Santo Antônio. Esse passeio acontece em quatro horários: 9h, 
10h 30min, 15h e 16h 30min. Um turista pretendia fazer o passeio no segundo 
horário da manhã, mas chegou atrasado à estação e, assim, teve que esperar 
3 horas e 35 minutos até o horário seguinte. A que horas esse turista chegou à 
estação? 
a) 10 h 55 min. 
b) 11h 15 min. 
c) 11h 25 min. 
d) 11h 45 min. 
e) 11h 55 min. 
Resolução 
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O turista pretendia fazer o passeio no segundo horário (às 10h 30 min). Ele 
chegou atrasado e teve que esperar 3 horas e 35 minutos até o horário 
seguinte (15 horas). 
 
Para calcular o horário de chegada do turista, devemos subtrair 3 horas e 35 
minutos de 15 horas. 
 15 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 0 𝑚𝑖𝑛 −3 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 35 𝑚𝑖𝑛 
 
Para efetuar tal subtração, vamos “emprestar” 1 hora para a casa dos minutos. 
Assim, podemos dizer que 15 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 14 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
 14 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 60 𝑚𝑖𝑛 −3 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 35 𝑚𝑖𝑛 11 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 25 𝑚𝑖𝑛 
Letra C 
 
36. (METRO-SP 2007/FCC) Suponha que em uma parede da área de embarque 
de uma estação do Metrô há um relógio digital que registra horas, minutos e 
segundos. Salomé perguntou a um Agente de Estação qual o horário de 
chegada do próximo trem, e ele, apontando para o relógio digital, respondeu: 
“O trem chegará no instante em que, nesse relógio, os números que indicam 
as horas, os minutos e os segundos mudarem, simultaneamente, pela primeira 
vez.” Se no momento em que Salomé fez a pergunta o relógio marcava 
07:55:38 (7 horas, 55 minutos e 38 segundos), então ela ainda teve que 
esperar pelo trem 
(A) 4 minutos e 32 segundos. 
(B) 4 minutos e 22 segundos. 
(C) 4 minutos e 12 segundos. 
(D) 3 minutos e 42 segundos. 
(E) 3 minutos e 32 segundos. 
 
Resolução 
 
“O trem chegará no instante em que, nesse relógio, os números que indicam 
as horas, os minutos e os segundos mudarem, simultaneamente, pela primeira 
vez.” 
 
Quando o relógio marcar 08h, os minutos passarão de 59 para 00 e os 
segundos também passarão de 59 para 00 (e obviamente as horas mudarão 
de 07 para 08). 
 
Assim, devemos calcular o intervalo de tempo entre 07:55:38 e 08:00:00. 
 
Se o relógio tivesse marcando exatamente 07:55, então faltariam 5 minutos 
para as 8 horas. Como já se passaram 38 segundos, então devemos tirar 38 
segundos de 5 minutos. 
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5min− 38 𝑠 = 4min 22 𝑠 
Letra B 
 
Poderíamos ter utilizado um raciocínio parecido com o da questão 
anterior. 
 𝟎𝟖𝒉 𝟎𝟎 𝒎𝒊𝒏 𝟎𝟎 𝒔 −𝟎𝟕𝒉 𝟓𝟓 𝒎𝒊𝒏 𝟑𝟖 𝒔 
 
Como 1 hora equivale a 60 minutos, então podemos dizer que 8 horas = 7 
horas + 60 minutos. 
 
Como 1 minuto = 60 segundos, então podemos escrever que 8 horas = 7 
horas + 59 min + 60 segundos. 
 𝟎𝟕𝒉 𝟓𝟗 𝒎𝒊𝒏 𝟔𝟎 𝒔 −𝟎𝟕𝒉 𝟓𝟓 𝒎𝒊𝒏 𝟑𝟖 𝒔 𝟎𝟎𝒉 𝟎𝟒 𝒎𝒊𝒏 𝟐𝟐 𝒔 
Letra B 
 
37. (METRO-SP 2007/FCC) Se um trem leva 2 minutos para percorrer o 
trajeto entre duas estações, o esperado é que outro trem, cuja velocidade 
média é 80% da velocidade do primeiro, percorra o mesmo trajeto em 
(A) 2 minutos e 40 segundos. 
(B) 2 minutos e 30 segundos. 
(C) 2 minutos e 20 segundos. 
(D) 2 minutos e 15 segundos. 
(E) 2 minutos e 5 segundos. 
 
Resolução 
 
Vamos considerar que a velocidade do trem na primeira situação é igual a 100. 
Neste caso, o trem gasta 2 minutos para percorrer o trajeto. Como a 
velocidade do outro trem é igual a 80% da velocidade do primeiro trem, então 
a sua velocidade será igual a 80. Qual o tempo gasto por ele? 
 
Vamos armar a regra de três. 
 
Velocidade Tempo (min) 
100 2 
80 𝑥 
Diminuindo a velocidade, o tempo gasto para percorrer o trajeto aumentará. 
As grandezas são inversamente proporcionais. Devemos inverter a coluna das 
velocidades no momento de armar a proporção. 
 
Velocidade Tempo (min) 
100 2 
80 𝑥 
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 2𝑥 = 80100 
 80 ∙ 𝑥 = 2 ∙ 100 
 𝑥 = 20080 = 2,5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 𝑥 = 2 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑒 30 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠. 
Letra B 
 
38. (METRO-SP 2010/FCC) Suponha que às 5h30min de certo dia, dois trens 
da Companhia do Metropolitano de São Paulo partiram simultaneamente de um 
mesmo terminal T e seguiram por Linhas diferentes. Considerando que a cada 
78 minutos da partida um dos trens retorna a T, enquanto que o outro o faz a 
cada 84 minutos, então, nesse dia, ambos se encontraram novamente em T às 
(A) 19h42min. 
(B) 21h48min. 
(C) 21h36min. 
(D) 23h42min. 
(E) 23h48min. 
 
Resolução 
Para calcular o período de coincidência dos eventos, devemos calcular o MMC 
entre 78 e 84. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 𝑚𝑚𝑐 78,84 = 2×2×3×7×13 = 1.092 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
 
Vamos dividir este tempo por 60 para transformá-lo em horas. 1.092 60 12 𝑚𝑖𝑛 18 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Concluímos que eles se encontram a cada 18 horas e 12 minutos. 
Eles se encontraram às 5 horas e 30 minutos. O próximo encontro será às: 
 5ℎ 30 𝑚𝑖𝑛 +18ℎ 12 𝑚𝑖𝑛 23ℎ 42 𝑚𝑖𝑛 
Letra D 
78, 84 2 39, 42 2 39, 21 3 13, 7 7 13, 1 13 1,1 
 
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39. (DOCAS PA 2006/CESPE-UnB) Considere que o guarda portuário Pedro 
substituiu Carlos, com problemas de saúde, durante 12 dias e, em cada dia, 
durante 2 horas e 25 minutos. Nessa situação, para que Carlos retribua a 
Pedro o mesmo espaço de tempo trabalhado, deve substituí-lo durante 29 
horas. 
 
ResoluçãoO tempo total de substituição deve ser igual a 12 vezes 2 horas e 25 minutos. 
 
12 x 2 horas = 24 horas. 
 
12 x 25 minutos = 300 minutos = 300/60 = 5 horas. 
 
O tempo total é igual a 24h + 5 h = 29 horas. 
 
O item está certo.