Apostila de Matrizes

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Baseado no Capítulo 2 do livro: ������ ������ �� � � �� �!� ". $. %��!ℎ��, (. ). �!ℎ���*� – 2�� ��. (2008) 0�ℎ� 1���2 & ����, 4�5 6��7. Material preparado pelo 9��:. ;�. $é��� (��ç��>�� �� ��?� @A?���: !�B���?�@D�E. F� Departamento de Ciências Exatas / ESALQ – USP Fevereiro de 2012 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
1 Í N D I C EÍ N D I C EÍ N D I C EÍ N D I C E 2.1. Matrizes e vetores .................................................................................................................................. 2 2.1.1. Matrizes, vetores e escalares .................................................................................................... 2 2.1.2. Igualdade de matrizes .................................................................................................................. 3 2.1.3. Matriz transposta ........................................................................................................................... 3 2.1.4. Alguns tipos especiais de matrizes ......................................................................................... 4 2.2. Operações com matrizes ..................................................................................................................... 5 2.2.1. Adição de duas matrizes ............................................................................................................. 5 2.2.2. Produto de um escalar por uma matriz ................................................................................ 5 2.2.3. Produto de duas matrizes ou dois vetores ........................................................................... 6 2.2.4. Produto de Hadamard de duas matrizes ou dois vetores .......................................... 11 2.2.5. Soma direta de duas matrizes ............................................................................................... 12 2.2.6. Produto direto ou de Kronecker ........................................................................................... 12 2.2.7. Potência de matriz quadrada ................................................................................................. 13 2.3. Matrizes particionadas ...................................................................................................................... 13 2.4. Posto (���7) de uma matriz ........................................................................................................... 15 2.5. Inversa de uma matriz ..................................................................................................................... 19 2.6. Matrizes positivas definidas ........................................................................................................... 21 2.7. Sistemas de equações ........................................................................................................................ 25 2.8. Inversa generalizada .......................................................................................................................... 28 2.8.1. Definição e propriedades ......................................................................................................... 28 2.8.2. Inversas generalizadas e sistemas de equações ............................................................ 32 2.9. Determinantes ...................................................................................................................................... 32 2.10. Vetores ortogonais e matrizes .................................................................................................... 36 2.11. Traço de uma matriz ....................................................................................................................... 38 2.12. Autovalores e autovetores ........................................................................................................... 39 2.12.1. Definição ...................................................................................................................................... 39 2.12.2. Funções de uma matriz .......................................................................................................... 41 2.12.3. Produtos ....................................................................................................................................... 42 2.12.4. Matrizes simétricas ................................................................................................................. 42 2.12.5. Matriz positiva definida e positiva semidefinida ........................................................ 43 2.13. Matrizes idempotentes .................................................................................................................. 44 2.14. Cálculo vetorial e matricial .......................................................................................................... 45 2.14.1. Derivadas de funções de vetores e matrizes ................................................................ 45 2.14.2. Derivadas envolvendo inversa de matrizes e determinantes ............................... 48 2.14.3. Maximização ou minimização de uma função de um vetor ................................... 49 2.15. Referências citadas no texto ........................................................................................................ 49 2.16. Exercícios propostos ...................................................................................................................... 50 Apêndice. Introdução ao uso do E��! �?� ......................................................................................... 54 
 
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2 2.1. MATRIZES E VETORES2.1. MATRIZES E VETORES2.1. MATRIZES E VETORES2.1. MATRIZES E VETORES Este material está baseado no capítulo 2 do livro do Rencher (2008)1, onde apresentamos uma revisão de elementos da teoria de matrizes que serão importantes na disciplina de Modelos Lineares I. 2.1.1.2.1.1.2.1.1.2.1.1. Matrizes, vetores e escalares.Matrizes, vetores e escalares.Matrizes, vetores e escalares.Matrizes, vetores e escalares. Uma matriz é um arranjo retangular de números ou de variáveis em linhas e colunas. No presente texto estaremos considerando matrizes de números reais, que serão denotadas por letras maiúsculas em negrito. Os seus elementos serão agrupados entre colchetes. Por exemplo: 
AAAA = s10 1221 39t BBBB = s 1 1 1 1 1 110 12 15 13 14 16t X =X =X =X = v
1 1 01 1 01 0 11 0 1w Para representar os elementos da matriz XXXX como variáveis, nós usamos: 
XXXX = (yz{) = vy|| y|} y|~y}| y}} y}~y~| y~} y~~y| y} y~w A notação XXXX = (yz{) representa uma matriz por meio de um elemento típico. O pri-meiro índice indica a linha e o segundo índice identifica a coluna. Uma matriz genérica X X X X tem � linhas e E colunas. A matriz XXXX do exemplo anterior tem � = 4 linhas e E = 3 colunas e nós dizemos que XXXX é 4×3, ou que a dimensão de XXXX é 4×3. Para indicar a dimensão da matriz podemos usar (×~). Um vetor é uma matriz com uma única coluna e é denotado por letras minúsculas e em negrito. Os elementos de um vetor são muitas vezes identificados por um único índice, por exemplo, 
yyyy = „2|2}2~… Geralmente o termo vetor está associado a um vetor coluna. Um vetor linha é expresso como o transposto do vetor coluna. Por exemplo: y’y’y’y’ = ˆ‰ = Š2| 2} 2~‹ (A transposta de uma matriz será definida mais adiante). No contexto de matrizes e vetores, um número real é chamado de um escalar. Assim, os números 2,5, -9 e 3,14 são escalares. Uma variável representando um escalar será denotada por uma letra minúscula e sem negrito. Por exemplo: ! = 3,14 indica um escalar. 
 1 Rencher, A. C; Schaalje, G. B. Linear models in statistics. 2nd ed., Wiley, 2008. 
 
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3 Geometricamente, um vetor de n elementos está associado a um ponto no espaço �-dimensional. Os elementos do vetor são as coordenadas do ponto. Em algumas situações nós estaremos interessados em calcular: �) a distância (�) da origem ao ponto (vetor); ��) a distância (�) entre dois pontos (vetores); ���) o ângulo (θ) entre as linhas formadas da origem até os dois pontos. 
 2.1.2.2.1.2.2.1.2.2.1.2. Igualdade de MatrizesIgualdade de MatrizesIgualdade de MatrizesIgualdade de Matrizes Duas matrizes (ou dois vetores) são iguais se têm a mesma dimensão e se os elementos de posições correspondentes são iguais. Por exemplo: s3 −2 41 3 7t = s3 −2 41 3 7t mas s5 2 −98 −4 6t ≠ s5 3 −98 −4 6t 2.1.3.2.1.3.2.1.3.2.1.3. Matriz TranspostaMatriz TranspostaMatriz TranspostaMatriz Transposta Se trocarmos de posição as linhas e as colunas de uma matriz AAAA, a matriz resultante é conhecida como a transposta de AAAA e é denotada por A’A’A’A’ ou ‰ . Formalmente, se AAAA = (�z{) então a sua transposta é dada por: AAAA’ ’ ’ ’ = ‰ = (�z{)’’’’ = (�{z) (2.3) Esta notação indica que o elemento na �-ésima linha e *-ésima coluna da matriz AAAA é encon-trado na *-ésima linha e �-ésima coluna da matriz AAAA’’’’. Por exemplo: 
AAAA = s3 −2 41 3 7t ⇒ A’ =A’ =A’ =A’ = „ 3 1−2 34 7… é a sua transposta. Se AAAA é �×E então AAAA’’’’ é E×�. Se uma matriz é transposta duas vezes, o resultado é a matriz original. Teorema 2.1a.Teorema 2.1a.Teorema 2.1a.Teorema 2.1a. Se AAAA é uma matriz qualquer, então: (A’A’A’A’)’’’’ = AAAA (2.4) 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
4 2.1.42.1.42.1.42.1.4 Alguns tipos especiais de matrizesAlguns tipos especiais de matrizesAlguns tipos especiais de matrizesAlguns tipos especiais de matrizes Se a transposta de uma matriz A A A A é igual à matriz original, isto é, se A’ A’ A’ A’ = AAAA, ou equivalente-mente, (�{z) = (�z{), então dizemos que a matriz AAAA é ��?é ��!�. Por exemplo: 
AAAA = „3 2 62 10 −76 −7 9… é simétrica. É evidente que toda matriz simétrica é quadrada. A ���B���� de uma matriz quadrada AAAA = (�z{) de dimensão E × E, consiste dos ele-mentos �||, �}}, ⋯ , �””, ou seja, ���B() = (�zz). No exemplo anterior, a diagonal de AAAA é formada pelos elementos 3, 10 e 9. Se uma matriz contém zeros em todas as posições fora da sua diagonal, ela é uma ?� ��• ���B����, como por exemplo, 
D D D D = v8 0 0 00 −3 0 00 0 0 00 0 0 4w Que também pode ser denotada como DDDD = ���B(8, –3, 0, 4). Usamos a notação ���B(AAAA) para indicar a matriz diagonal com os mesmos elementos da diagonal de AAAA, como por exemplo, 
A A A A = „3 2 62 10 −76 −7 9… ⇒ ���B(AAAA) = „
3 0 00 10 00 0 9… Uma matriz diagonal com o número 1 em cada posição da sua diagonal é chamada de ?� ��• ���� ����� e é denotada por IIII. Por exemplo: 
IIII(3) = ���B(1, 1, 1) = „1 0 00 1 00 0 1… Uma ?� ��• ����BD��� �DE����� é uma matriz quadrada com zeros abaixo da dia-gonal, como por exemplo, 
TTTT = v7 2 3 −50 0 −2 60 0 4 10 0 0 8w Um vetor de 1’s é denotado por jjjj: 
j = v11⋮1w 
 
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5 Uma matriz quadrada de 1’s é denotada por J, como por exemplo, 
J(3×3) = 










111
111
111 
 Nós denotamos um vetor de zeros por 0000 e uma matriz de zeros por Ο ou ΦΦΦΦ ; por exemplo, 
0000(3) = = = = 










0
0
0 ,,,, Ο (3×3) = ΦΦΦΦ = 










000
000
000 . 
 2.2. OPERAÇÕES COM MATRIZES2.2. OPERAÇÕES COM MATRIZES2.2. OPERAÇÕES COM MATRIZES2.2. OPERAÇÕES COM MATRIZES 2.2.1 2.2.1 2.2.1 2.2.1 Adição de duas matrizesAdição de duas matrizesAdição de duas matrizesAdição de duas matrizes Se duas matrizes têm a mesma dimensão, sua ��?� é encontrada adicionando os ele-mentos correspondentes. Assim, se AAAA é �×E e BBBB é �×E, então C C C C = AAAA + BBBB também é �×E e é encontrada como C C C C = (!z{) = (�z{ + Fz{). Por exemplo, s7 −3 42 8 −5t + s11 5 −63 4 2t = s18 2 −25 12 −3t A ��:����ç� D D D D = AAAA – B B B B entre as matrizes A A A A e BBBB é definida de maneira similar como: D D D D = (�z{) = (�z{ − Fz{). Duas propriedades importantes da adição de matrizes são dadas a seguir. Teorema 2.2Teorema 2.2Teorema 2.2Teorema 2.2aaaa. . . . Se AAAA e BBBB são �×E, então: �) A + BA + BA + BA + B = BBBB + AAAA (2.9) ��) (A + BA + BA + BA + B)’ ’ ’ ’ = A’ + B’A’ + B’A’ + B’A’ + B’ (2.10) 2.2.2.2.2.2.2.2.2222. Produto de um escalar por uma matriz. Produto de um escalar por uma matriz. Produto de um escalar por uma matriz. Produto de um escalar por uma matriz Qualquer escalar pode ser multiplicado por qualquer matriz. O produto de um escalar e uma matriz é definido como o produto de cada elemento da matriz e o escalar. Por exem-plo: se AAAA é �×? e ! é um número real, tem-se: 
! = = = = (!�z{) = v
!�|| !�|} ⋯ !�|š!�}| !�}} ⋯ !�}š⋮ ⋮ ⋮!�›| !�›} ⋮ !�›šw (2.11) Desde que !�z{ = �z{!, o produto de um escalar e uma matriz é comutativo, ou seja: ! = ! (2.12) 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
6 2.2.2.2.2.2.2.2.3. 3. 3. 3. Produto de duas matrizesProduto de duas matrizesProduto de duas matrizesProduto de duas matrizes ou dois vetoresou dois vetoresou dois vetoresou dois vetores Para que o E���D � ABABABAB de duas matrizes seja possível, o número de colunas da matriz AAAA deve ser igual ao número de linhas de BBBB. Neste caso, dizemos que as matrizes AAAA e BBBB são !��:��?��. Então, o (�*)-ésimo elemento do produto CCCC = ABABABAB é definido como: !z{ = ∑ �z�{ (2.13) Que é igual à soma dos produtos dos elementos da �-ésima linha de AAAA pelos elementos da *-ésima coluna de BBBB. Assim, nós multiplicamos todas as linhas de AAAA por todas as colunas de BBBB. Se AAAA é �×? e B B B B é ?×E então C C C C = AB AB AB AB é �×E. Por exemplo, 
AAAA(2×3) = s2 1 34 6 5t e BBBB(3×2) = „1 42 63 8… Então 
2AAAA
��
BBBB2 = 2CCCC2 = 





++++
++++
)8)(5()6)(6()4)(4()3)(5()2)(6()1)(4(
)8)(3()6)(1()4)(2()3)(3()2)(1()1)(2( = 





9231
3813 
3BBBB
��
AAAA3 = 3DDDD3 = 










495138
363828
232518 
 Se AAAA é �×? e BBBB é ?×E, onde � ≠ E, então o produto ABABABAB é definido, mas o produto BA BA BA BA não é definido. Se AAAA é �×E e BBBB é E×� então o produto AB AB AB AB é �×� e o produto BA BA BA BA é E×E. Neste caso, certamente, ABABABAB ≠ BABABABA, como ilustrado no exemplo anterior. Se AAAA e BBBB são �×� então AB AB AB AB e BABABABA têm o mesmo tamanho, mas, em geral: AB AB AB AB ≠ BABABABA (2.14) A matriz identidade IIII é o elemento neutro da multiplicação de matrizes. Isto quer dizer que, se AAAA e IIII forem matrizes �×� então AAAA IIII = IIII AAAA = A.A.A.A. A multiplicação de matrizes não é comutativa e algumas manipulações familiares com números reais não podem ser feitas com matrizes. Entretanto, a multiplicação de matrizes é ��� ��FD �>� �? ����çã� à ��?� �D �DF ��çã�: AAAA(B B B B ± CCCC) = AB AB AB AB ± ACACACAC (2.15) (A A A A ± BBBB)CCCC = AC AC AC AC ± BCCCC (2.16) Usando (2.15) e (2.16) nós podemos expandir produtos como (A A A A – BBBB)(C C C C – DDDD): (A A A A – BBBB)(C C C C – DDDD) = (A A A A – BBBB)C C C C – (A A A A – BBBB)DDDD = AC AC AC AC – BCBCBCBC – ADADADAD + BDBDBDBD (2.17) A multiplicação envolvendo vetores segue as mesmas regras definidas para as ma-trizes. Suponha que AAAA é �×E, bbbb é E×1, cccc é E×1 e dddd é �×1. Então: 
• AbAbAbAb é um vetor coluna �×1 
• d’Ad’Ad’Ad’Aé um vetor linha de dimensão 1×E 
 
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7 
• b’cb’cb’cb’c é um escalar correspondendo à soma de produtos 
• bc’bc’bc’bc’ é uma matriz E×E 
• cd’cd’cd’cd’ é uma matriz E×� Desde que b’cb’cb’cb’c é uma soma de produtos (um escalar!) tem-se que b’cb’cb’cb’c = c’bc’bc’bc’b: b’cb’cb’cb’c = F|!| + F}!} + ⋯ F”!” c’bc’bc’bc’b = !|F| + !}F} + ⋯ !”F” 
⇒ b’cb’cb’cb’c = c’bc’bc’bc’b (2.18) A matriz cd’cd’cd’cd’ é dada por 
cd’cd’cd’cd’ = v!|!}⋮!”w Š�| �} ⋯ �›‹ = Ÿ  
¡!|�| !|�} ⋯ !|�›!}�| !}�} ⋯ !}�›⋮ ⋮ ⋮!”�| !”�} ⋯ !”�›¢££
¤ (2.19) 
Similarmente: 
b’bb’bb’bb’b = ŠF| F} ⋯ F”‹ vF|F}⋮F”w = F|
} + F}} + ⋯+F”} = ∑ Fz}”z¥| (2.20) 
bb’bb’bb’bb’ = vF|F}⋮F”w ŠF| F} ⋯ F”‹ = Ÿ  
 ¡ F|} F|F} ⋯ F|F”F}F| F}} ⋯ F}F”⋮ ⋮ ⋮F”F| F”F} ⋯ F”} ¢££
£¤ (2.21) 
Assim, b’bb’bb’bb’b é uma soma de quadrados e bb’bb’bb’bb’ é uma matriz quadrada e simétrica. A raiz quadrada da soma de quadrados dos elementos de um vetor ¦ (E×1) é igual à distância da origem ao ponto bbbb e é conhecida como a ���?� �D!�������, ou o comprimen-to do vetor bbbb: 
!�?E��?�� � �� bbbb = §¦§ = √¦’¦ = ©∑ Fz}”z¥| (2.22) 
 Se j é um vetor �×1 de 1’s como definido em (2.6), então por (2.18) e (2.19) temos que: 
j’j = �, jj’’’’ = v1 1 ⋯ 11 1 ⋯ 1⋮ ⋮ ⋮1 1 ⋯ 1w = J (2.23) onde J é uma matriz quadrada (�×�) de 1’s como ilustrada em (2.7). 
 
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8 Se aaaa é um vetor �×1 e AAAA é uma matriz �×E, então: ª’’’’ j = j’’’’ª = ∑ �z›z¥| (2.24) 
j’A’A’A’A = Š∑ �z|z ∑ �z}z ⋯ ∑ �z”z ‹ e AAAA j = = = = Ÿ 
 ¡∑ �|{{∑ �}{{ ⋮∑ �›{{ ¢£
£¤ (2.25) 
Assim, ª’j’j’j’j = j’’’’ª é a soma dos elementos em ª, j’A’A’A’A contem os totais das colunas de AAAA e AAAAj contem os totais das linhas de AAAA. Note que em ª’’’’j, o vetor jjjj é �×1; em j’A’A’A’A, o vetor j é �×1 e em AAAAj, o vetor j é E×1. 
Exemplo 1. Exemplo 1. Exemplo 1. Exemplo 1. Seja a matriz A =A =A =A = „1 −2 3 45 1 6 42 5 4 0… e o vetor ª = v
2518w então: 
 �) j'A'A'A'A = Š1 1 1‹ „1 −2 3 45 1 6 42 5 4 0… = Š8 4 13 8‹ (totais das colunas de AAAA) 
 ��) AAAAj = „1 −2 3 45 1 6 42 5 4 0… v
1111w ==== „
61611… (totais das linhas de AAAA) 
���) ª’’’’j = Š2 5 1 8‹ v1111w = j’’’’ª = Š1 1 1 1‹ v
2518w = 16 (total dos elementos de ª) A ����E�� � do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas em ordem reversa. Teorema 2.2Teorema 2.2Teorema 2.2Teorema 2.2bbbb. Se AAAA é �×E e B B B B é E×?, então: (ABABABAB)’’’’ = B’A’B’A’B’A’B’A’ (2.26) Para ilustrar os passos dessa prova, vamos usar as matrizes AAAA2×3 e BBBB3×2: 
 ABABABAB = s�|| �|} �|~�}| �}} �}~t „F|| F|}F}| F}}F~| F~}… = ¬�||F|| + �|}F}| + �|~F~| �||F|} + �|}F}} + �|~F~}�}|F|| + �}}F}| + �}~F~| �}|F|} + �}}F}} + �}~F~}­ Mas 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
9 
 (ABABABAB)’’’’ = ¬�||F|| + �|}F}| + �|~F~| �}|F|| + �}}F}| + �}~F~|�||F|} + �|}F}} + �|~F~} �}|F|} + �}}F}} + �}~F~}­ = ¬F||�|| + F}|�|} + F~|�|~ F||�}| + F}|�}} + F~|�}~F|}�|| + F}}�|} + F~}�|~ F|}�}| + F}}�}} + F~}�}~­ Então: 
 (ABABABAB)’’’’ = ¬F|| F}| F~|F|} F}} F~}­ „�|| �}|�|} �}}�|~ �}~… = B’A’B’A’B’A’B’A’ Corolário 1.Corolário 1.Corolário 1.Corolário 1. Se AAAA, BBBB e CCCC são conformes, então (ABCABCABCABC)’ ’ ’ ’ = C’B’A’C’B’A’C’B’A’C’B’A’. Exemplo 2.Exemplo 2.Exemplo 2.Exemplo 2. Seja yyyy = Š2| 2} ⋯ 2›‹’ ’ ’ ’ um vetor de pesos de � frangos de corte. Para calcular a média e a variância dos pesos desses frangos, nós usamos: 2® = |› ∑ 2z›z¥| �} = |›A| ∑ (2z − 2®)}›z¥| 
Matricialmente, a média pode ser calculada por 2® = |› j’y’y’y’y, onde j é um vetor �×1 de 1’s e � = j’’’’j. Para calcular a variância precisamos, primeiramente, calcular o vetor de desvios: yyyy – ˆ® = yyyy – j 2® = yyyy – j ¯1� °’ˆ± = yyyy − 1� jj’y’y’y’y = yyyy − 1� Jy y y y = ¯² − 1� ³±yyyy Onde IIII é a matriz identidade �×� e J é uma matriz �×� de 1’s. Para calcular a soma de qua-drados de desvios fazemos: 
 ( )∑
=
−
n
i
i yy
1
2 = t
n 










− yJI 1 





− JI
n
1 yyyy 
= y’y’y’y’ t
n






− JI 1 





− JI
n
1 y = y’y = y’y = y’y = y’



− IJ II'
n
1 –––– IJ'
n
1 + + + + 


JJ'2
1
n
yyyy 
Mas J = J’’’’, I’II’II’II’I = IIII, IIIIJ = J, J’I’I’I’I = J’ ’ ’ ’ = J, j’’’’j = � e e e e J’’’’J = j’’’’jj’’’’j = �J. Assim temos: 
( )∑
=
−
n
i
i yy
1
2 = y’y’y’y’



− J I
n
2 ++++


Jn
n2
1 yyyy = y’y’y’y’



− J I
n
2 ++++


J
n
1 y y y y = y’y’y’y’ 





− JI
n
1 yyyy 
 A variância amostral pode ser calculada por: 
�} = |›A| ∑ (2z − 2®)}›z¥| = 11−n y J Iy'  − n1 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
10Supondo que AAAA é �×? e BBBB é ?×E, seja ªz‰ a �-ésima linha da matriz AAAA e {´, a *-ésima coluna da matriz BBBB, de tal forma que: 
A A A A = v�|| �|} ⋯ �|š�}| �}} ⋯ �}š⋮ ⋮ ⋮�›| �›} ⋯ �›šw = Ÿ  
¡ª|‰ª}‰⋮ª›‰ ¢£
£¤, B = B = B = B = Ÿ  
 ¡ F|| F|} ⋯ F|”F}| F}} ⋯ F}”⋮ ⋮ ⋮Fš| Fš} ⋯ Fš”¢££
£¤ = Š´| ´} ⋯ ´”‹ 
Então, por definição, o (�*)-ésimo elemento de ABABABAB é calculado por ªz‰ {´. Tem-se: 
 ABABABAB = Ÿ  
 ¡ª|‰ ´| ª|‰ ´} ⋯ ª|‰ ´”ª}‰ ´| ª}‰ ´} ⋯ ª}‰ ´”⋮ ⋮ ⋮ª›‰ ´| ª›‰ ´} ⋯ ª›‰ ´”¢££
£¤ 
= Ÿ  
¡ª|‰ (´| ´} ⋯ ´”)ª}‰ (´| ´} ⋯ ´”)⋮ª›‰ (´| ´} ⋯ ´”)¢£
£¤ = Ÿ  
¡ª|‰ µª}‰ µ⋮ª›‰ µ¢£
£¤ = Ÿ  
¡ª|‰ª}‰⋮ª›‰ ¢£
£¤ µ (2.27) 
A primeira coluna de ABABABAB pode ser expressa em termos de AAAA como 
 Ÿ  
¡ª|‰ ´|ª}‰ ´|⋮ª›‰ ´|¢£
£¤ = Ÿ  
¡ª|‰ª}‰⋮ª›‰ ¢£
£¤ ´| = ´| 
De forma análoga, a segunda coluna de ABABABAB é ´} e assim por diante. Podemos escre-ver ABABABAB em termos das colunas de BBBB da seguinte forma: ABABABAB = ¶´| ´} ⋯ ´”· = Š´| ´} ⋯ ´”‹ (2.28) Qualquer matriz AAAA pode ser multiplicada pela sua transposta para formar A’A A’A A’A A’A ou AA’.AA’.AA’.AA’. Algumas propriedades desses produtos são dadas no próximo teorema. Teorema 2.2Teorema 2.2Teorema 2.2Teorema 2.2cccc. Seja A A A A uma matriz �×E. Então A’AA’AA’AA’A e AA’AA’AA’AA’ têm as seguintes propriedades: ¸)))) A’AA’AA’AA’A é E×E e é obtida como produto das !��D��� de AAAA. ¸¸)))) AA’AA’AA’AA’ é �×� e é obtida como produto das ���ℎ�� de A.A.A.A. ¸¸¸)))) Ambas as matrizes A’AA’AA’AA’A e AA’AA’AA’AA’ são ��?é ��!��. ¸¹)))) Se A’AA’AA’AA’A = ΦΦΦΦ então A = A = A = A = ΦΦΦΦ. Seja AAAA uma matriz quadrada �×� e DDDD = ���B(�|, �},⋯,�›). No produto DADADADA, a �-ésima linha de AAAA é multiplicada por �z e em ADADADAD, a *-ésima coluna de A A A A é multiplicada por �{. Por exem-plo, se � = 3, nós temos: 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
11
 DA DA DA DA = „�| 0 00 �} 00 0 �~… „
�|| �|} �|~�}| �}} �}~�~| �~} �~~…= „
�|�|| �|�|} �|�|~�}�}| �}�}} �}�}~�~�~| �~�~} �~�~~… (2.29) 
 AD AD AD AD = „�|| �|} �|~�}| �}} �}~�~| �~} �~~… „
�| 0 00 �} 00 0 �~… = „
�|�|| �}�|} �~�|~�|�}| �}�}} �~�}~�|�~| �}�~} �~�~~… (2.30) 
DAD DAD DAD DAD = º �|}�|| �|�}�|} �|�~�|~�}�|�}| �}}�}} �}�}~�~�|�~| �~�}�~} �~}�~~ » (2.31) Vale notar que DADADADA ≠ ADADADAD. Entretanto, no caso especial onde a matriz diagonal é a matriz identidade, (2.29) e (2.30) temos: IA IA IA IA = AIAIAIAI = AAAA (2.32) Se AAAA é retangular a igualdade (2.32) continua valendo, mas as matrizes identidade das duas igualdades são de dimensões diferentes. Se A A A A é uma matriz simétrica e yyyy é um vetor, o produto: y’Ayy’Ayy’Ayy’Ay = ∑ �zz2z} + 2 ∑ �z{2z2{z¼{z (2.33) é chamado de :��?� ½D���á �!�. Se xxxx é �×1,yyyy é E×1 e AAAA é �×E, o produto: x’Ayx’Ayx’Ayx’Ay = ∑ �z{yz2{z{ (2.34) é chamado de :��?� F�������. 2.2.4. Produto de Hadamard de duas matrizes ou dois vetores2.2.4. Produto de Hadamard de duas matrizes ou dois vetores2.2.4. Produto de Hadamard de duas matrizes ou dois vetores2.2.4. Produto de Hadamard de duas matrizes ou dois vetores Algumas vezes é interessante um terceiro tipo de produto, chamado produto de Hada-mard ou elemento-a-elemento. Se duas matrizes ou dois vetores têm a mesma dimensão (conformes para a adição), o E���D � �� ¾���?��� é obtido multiplicando os elementos correspondentes. 
AAAA #### BBBB = ¿�z{Fz{À = Ÿ  
 ¡�||F|| �|}F|} ⋯ �|”F|”�}|F}| �}}F}} ⋯ �}”F}”⋮ ⋮ ⋮�›|F›| �›}F›} ⋯ �›”F›”¢££
£¤ 
 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
122.2.2.2.2.2.2.2.5555. . . . Soma DiretaSoma DiretaSoma DiretaSoma Direta de duas matrizesde duas matrizesde duas matrizesde duas matrizes Se a matriz AAAA é �×E e BBBB é �×� definimos a ��?� ���� � de A A A A e B como 
A A A A ⊕ BBBB = 





B0
0A = CCCC 
em que C C C C é (� + �) × (E + �). Algumas propriedades interessantes da soma direta: �) A A A A ⊕ (–AAAA) ≠ ΦΦΦΦ ��) Se as dimensões são favoráveis, então: (A A A A ⊕ BBBB) + (C C C C ⊕ DDDD) = (A + CA + CA + CA + C) ⊕ (B B B B + DDDD) (A A A A ⊕ BBBB)(C C C C ⊕ DDDD) = AC AC AC AC ⊕ BDBDBDBD Exemplo 3.Exemplo 3.Exemplo 3.Exemplo 3. Sejam as matrizes: 
A A A A = [ ]151110 , , , , B B B B = 





−14
53 e CCCC = [ ]151110 −−− 
Então, 
A A A A ⊕ B = B = B = B = 










−14000
53000
00151110 A A A A ⊕ CCCC = 





−−− 151110000
000151110 ≠ ΦΦΦΦ 
(Perceba que AAAA + CCCC = ΦΦΦΦ) 2.2.62.2.62.2.62.2.6. Produto direto ou de Kronecker. Produto direto ou de Kronecker. Produto direto ou de Kronecker. Produto direto ou de Kronecker Se AAAA é �×E e BBBB é �×� definimos o E���D � ���� � ou E���D � �� Â����!7�� de A A A A por B B B B como a matriz CCCC de dimensão (��×E�) obtida como: 
CCCC = A A A A ⊗ BBBB = Ÿ 
 ¡�||µ �|}µ ⋯ �|”µ�}|µ �}}µ ⋯ �}”µ⋮ ⋮ ⋮�›|µ �›}µ ⋯ �›”µ¢£
£¤ 
Algumas propriedades interessantes do produto direto de matrizes: �) A A A A ⊗ BBBB ≠ B B B B ⊗ AAAA , em geral. ��) Se à e ¹ são vetores, então Ã’ ’ ’ ’ ⊗ ¹ = ¹ ⊗ Ã’’’’ = ¹Ã’’’’. ���) Se DDDD = ���B(�|, �}, ⋯ , �›) e AAAA é uma matriz qualquer, então: D D D D ⊗ AAAA = �|AAAA ⊕ �}AAAA ⊕ … ⊕ �›AAAA �>) Se as dimensões são favoráveis, então: (AAAA ⊗ BBBB)(CCCC ⊗ DDDD) = AC AC AC AC ⊗ BDBDBDBD 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
13Exemplo 4.Exemplo 4.Exemplo 4.Exemplo 4. Sejam as matrizes: 
AAAA(2×2) = 





43
21 , BBBB(2×3) = 





− 653
011 , yyyy(3×1) = 










−
0
1
1 . 
Então 
AAAA⊗⊗⊗⊗BBBB = v1 1 0 2 2 03 5 −6 6 10 −123 3 0 4 4 09 15 −18 12 20 −24w BBBB⊗⊗⊗⊗AAAA = v
1 2 1 2 0 03 4 3 4 0 03 6 5 10 −6 −129 12 15 20 −18 −24w 
AAAA⊗yyyy = 
Ÿ  
  ¡
1 2−1 −20 03 4−3 −40 0¢£
£££
¤ yyyy⊗AAAA = 
Ÿ  
  ¡
1 23 4−1 −2−3 −40 00 0¢£
£££
¤ 
 2.2.2.2.2.2.2.2.7777 Potência de matriz quadradaPotência de matriz quadradaPotência de matriz quadradaPotência de matriz quadrada Dada uma matriz quadrada AAAA e um número 7∈ Ä (conjunto dos números inteiros e posi-tivos), definimos a 7-ésima potência da matriz AAAA como:  = 43421 L
k vezes
AAAA 
Em relação à sua segunda potência, uma matriz quadrada AAAA será chamada de: �) ���?E� �� �, se } = A= A= A= A. ��) ���E� �� �, se } = ΦΦΦΦ.... ���) D��E� �� �, se } = IIII. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema A1A1A1A1.... Se PPPP é uma matriz ���?E� �� � � × � e se IIII é a matriz identidade de ordem �, então a matriz (I I I I – PPPP) é ���?E� �� �. 2.3. MATRIZES PARTICIONADAS2.3. MATRIZES PARTICIONADAS2.3. MATRIZES PARTICIONADAS2.3. MATRIZES PARTICIONADAS Muitas vezes é conveniente particionar uma matriz em submatrizes. Por exemplo, uma partição de uma matriz AAAA em quatro submatrizes (quadradas ou retangulares) de dimen-sões apropriadas, pode ser indicada simbolicamente como: 
AAAA = 





2221
1211
AA
AA 
Para ilustrar, seja a matriz AAAA(4×5) particionada como: 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
14
A A A A = 












−
−
61213
25639
72043
48527
 = 





2221
1211
AA
AA 
Onde: AAAA11 = 





− 043
527 , AAAA12 = 





72
48 , AAAA21 = 





213
639 e AAAA22 = 




 −
61
25 
 Se duas matrizes AAAA e BBBB são conformes, e se A A A A e BBBB são particionadas de tal forma que as submatrizes sejam apropriadamente conformes, então o produto ABABABAB pode ser obtido usando a maneira usual de multiplicação definida em (2.13) tendo as submatrizes como se fossem elementos únicos. Por exemplo: 
 ABABABAB = 





2221
1211
AA
AA






2221
1211
BB
BB 
= 





++
++
2222122121221121
2212121121121111
BABABABA
BABABABA (2.35) 
 Se BBBB é trocada por um vetor bbbb particionado em dois conjuntos de elementos e se AAAA é correspondentemente particionada em dois conjuntos de colunas, então (2.35) fica: AbAbAbAb = ŠAAAA1 AAAA2‹ 





2
1
b
b = AAAA1bbbb1 + AAAA2bbbb2 (2.36) 
Em que o número de colunas de AAAA1 (AAAA2) é igual ao número de elementos de bbbb1 (bbbb2). A multiplicação particionada em (2.36) pode ser estendida para colunas individuais de AAAA e elementos individuais de bbbb: 
AbAbAbAb = Šª| ª} ⋯ ª”‹ vF|F}⋮F”w = F|ª| + F}ª} + ⋯ + F”ª” (2.37) Assim, o produto AbAbAbAb pode ser expresso como uma !�?F���çã� ������ �� !��D��� �� AAAA, em que os coeficientes são os elementos de bbbb. 
Exemplo 5.Exemplo 5.Exemplo 5.Exemplo 5. Sejam A = A = A = A = „6 −2 32 1 04 3 2… e bbbb = „
42−1…, então AbAbAbAb = „
171020… Usando (2.37) podemos escrever: 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
15 AbAbAbAb = F|ª| + F}ª} + F~ª~ 
 = (4)„624… + (2)„
−213… + (–1)„
302… = „
24816… + „
−426… + „
−30−2… = „
171020… Por (2.28) e (2.37), as colunas do produto ABABABAB são combinações lineares das colunas de AAAA. Os coeficientes para a *-ésima coluna de ABABABAB são os elementos da *-ésima coluna de BBBB. O produto de um vetor linha por uma matriz, a’Ba’Ba’Ba’B, pode ser expresso como uma com-binação linear das linhas de BBBB, em que os coeficientes são os elementos de a’a’a’a’: 
a’Ba’Ba’Ba’B = Š�| �} ⋯ �›‹ Ÿ  
¡´|‰´}‰⋮´›‰ ¢£
£¤ = �|´|‰ + �}´}‰ + ⋯ + �›´›‰ (2.38) 
Por (2.27) e (2.38) as linhas do produto ABABABAB são !�?F���çõ�� �������� ��� ���ℎ�� de BBBB. Os coeficientes da �-ésima linha de ABABABAB são os elementos da �-ésima linha de AAAA. Finalmente, notamos que se uma matriz AAAA é particionada como AAAA = ŠAAAA1 AAAA2‹, então: 
A’A’A’A’ = ŠAAAA1 AAAA2‹’’’’ = ¬|‰}‰ ­ (2.39) 2.42.42.42.4 POSTO (POSTO (POSTO (POSTO (RANKRANKRANKRANK) DE UMA MATRIZ) DE UMA MATRIZ) DE UMA MATRIZ) DE UMA MATRIZ Antes de definir o E�� � (ou ���7) de uma matriz, nós introduziremos a noção de depen-dência e independência linear de vetores. Um conjunto de vetores {ª|, ª}, ⋯ , ª”} é dito ������?�� � ��E����� � (�. �.) se pu-dermos encontrar um conjunto de escalares !|, !}, ⋯ , !” (nem todos nulos) de tal forma que: !|ª| + !}ª} + ⋯ + !”ª” = 0000 (2.40) Se não encontrarmos um conjunto de escalares !|, !}, ⋯ , !” (nem todos nulos) que satisfa-çam (2.40), o conjunto de vetores {ª|, ª}, ⋯ , ª”} é dito ������?�� � ����E����� � (�. �.). Por (2.37), podemosreescrever essa definição da seguinte forma: As colunas de AAAA são ������?�� � ����E����� �� se AcAcAcAc = 0000 implica em cccc = 0000. Observe que se um conjunto de vetores incluir um vetor nulo, este conjunto de vetores é linearmente dependente. Se (2.40) é satisfeita então existe pelo menos um vetor ªz que pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores do conjunto. Entre vetores linearmente independentes não existem redundâncias desse tipo. 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
16DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição A1.A1.A1.A1. O E�� � (���7) de qualquer matriz AAAA (quadrada ou retangular) é definido como o número de colunas (linhas) linearmente independentes de AAAA.... 
• Pode-se mostrar que o número de colunas �. �. de qualquer matriz é igual ao número de linhas �. �. desta matriz. 
• Se a matriz AAAA tem um único elemento diferente de zero, com todos os demais elementos iguais a zero, então E�� �(AAAA) = 1. O vetor 0000 e a matriz ΦΦΦΦ têm E�� � zero. 
• Se a matriz retangular AAAA é � × E de E�� � E, onde E < �, então AAAA tem o maior E�� � pos-sível e dizemos que A A A A tem E�� � !��D�� !�?E�� �. 
• Em geral, o maior posto possível de uma matriz AAAA é o ?��(�, E). Assim, em uma matriz retangular, as linhas, as colunas ou ambas são linearmente dependentes. Nós ilustramos esse fato no próximo exemplo. Exemplo 6.Exemplo 6.Exemplo 6.Exemplo 6. O posto da matriz: AAAA = s1 −2 35 2 4t é igual a 2, porque as duas linhas são linearmente independentes (nenhuma linha é múlti-pla da outra). Consequentemente, pela definição de E�� �, o número de colunas �. �. tam-bém é 2. Portanto, as três colunas de A A A A formam um conjunto de vetores �. �. e por (2.40) existem constantes !|, !} e !~ (nem todas nulas) tais que: !| s15t+ !} s−22t + !~ s34t = s00t (2.41) Por (2.37) nós escrevemos (2.41) na forma 
s1 −2 35 2 4t „!|!}!~… = s00t ou AcAcAcAc = 0000 (2.42) A solução (não trivial) para (2.42) é dada por qualquer múltiplo de c c c c = Š14 −11 −12‹’’’’. Neste caso o produto AcAcAcAc = 0000, mesmo com AAAA ≠ 0000 e cccc ≠ 0000. Isso só é possível por causa da dependência linear dos vetores (colunas) de AAAA. Nem sempre é fácil perceber que uma linha (ou coluna) é uma combinação linear de outras linhas (ou colunas). Nesses casos pode ser difícil calcular o E�� � de uma matriz. Entretanto, se conseguirmos obter a forma escalonada canônica (:. �. !.) da matriz, o seu E�� � corresponderá ao número de linhas (ou colunas) que tenham o número 1 como lí-der. A obtenção da :. �. !. de uma matriz é feita através de operações elementares em suas linhas (ou colunas). DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição A2.A2.A2.A2. São chamadas de operações elementares nas linhas da matriz A A A A (e de modo similar nas suas colunas): �) Trocar a posição de duas linhas da matriz. ��) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar 7 ≠ 0 (�z = 7�z). ���) Somar a uma linha da matriz um múltiplo de outra linha (�z = �z + 7�{). 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
17TeoremaTeoremaTeoremaTeorema A2.A2.A2.A2. Uma matriz A A A A é equivalente por linhas a uma matriz BBBB se BBBB pode ser obtida de AAAA aplicando-se uma sequencia de operações elementares sobre as suas linhas. DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição A3.A3.A3.A3. Dizemos que uma matriz AAAA (�×?) está na sua :��?� ��!������� !��ô��!� ou :��?� ���D•��� se ocorrer simultaneamente que: a) o primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é o número 1 (pivô); b) toda coluna que tem um pivô, tem todos os outros elementos nulos; c) o pivô da linha � +1 ocorre à direita do pivô da linha � (� = 1, 2, …, � – 1). d) todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas. Definição A4.Definição A4.Definição A4.Definição A4. Dizemos que uma matriz está na sua :��?� ��!������� se ela satisfaz as propriedades (c) e (d), mas não necessariamente as propriedades (a) e (b). Das matrizes apresentadas a seguir, BBBB não está na forma escalonada, AAAA e C C C C estão nas suas formas escalonadas canônicas e DDDD, na forma escalonada. 
AAAA =










000
010
001 , BBBB = 












0010
0100
1000
0001
, C C C C = 





0000
2121 , DDDD = 










100
030
304 
 TeoremaTeoremaTeoremaTeorema A3A3A3A3. Dada uma matriz real AAAA (�×E) é sempre possível obtermos a sua forma esca-lonada canônica (:. �. !.) através de operações elementares. Assim, calcular o posto da matriz A A A A é o mesmo que calcular o E�� � da :. �. !. de AAAA, pois são equivalentes. Portanto, calcular o E�� � da :. �. !. de AAAA é o mesmo que contar o seu número de 1’s pivôs. Exemplo 7. Exemplo 7. Exemplo 7. Exemplo 7. Vamos obter a :. �. !. da matriz AAAA do Exemplo 6: 
A = A = A = A = 




 −
425
321 
 �) Fazendo �} = �} − 5�|, nós obtemos: 





 −
425
321 ~ 





−
−
11120
321 . 
 ��) Fazendo �} = �}/12, nós obtemos: 






−
−
11120
321 ~ 





−
−
12/1110
321 . 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
18���) Fazendo �| = �| + 2�}, nós obtemos: 






−
−
12/1110
321 ~ 





− 12/1110
6/701 
∴ :. �. !. de AAAA é a matriz 





− 12/1110
6/701 ⇒ o E�� �(AAAA) = 2. 
 Definição A5.Definição A5.Definição A5.Definição A5. Dizemos que uma matriz quadrada está na :��?� �� ¾��?� � (Graybill 1969, p.120) se satisfaz as seguintes condições: a) é uma matriz triangular superior; b) tem apenas valores zero ou um na sua diagonal; c) se tem o valor zero na diagonal, os elementos restantes na linha são zeros; d) se tem o valor um na diagonal, os elementos restantes da coluna em que aparece o nú-mero um, são nulos. Definição A6.Definição A6.Definição A6.Definição A6. Dizemos que uma matriz quadrada está na :��?� �� @!ℎ���� (Graybill, 1969, p.286) se ela satisfaz as condições de uma :��?� �� ¾��?� � e apresenta as linhas de zeros abaixo das linhas que não são nulas. Nós podemos estender (2.42) para produtos de matrizes. É possível encontrar matrizes AAAA ≠ ÊÊÊÊ e BBBB ≠ ÊÊÊÊ,,,, tais que: ABABABAB = ÊÊÊÊ (2.43) Por exemplo, 






42
21






−− 31
62 = 





00
00 
Nós também podemos explorar a dependência linear das linhas ou colunas de uma matriz para criar expressões tais como ABABABAB = CBCBCBCB, onde AAAA ≠ CCCC. Assim em uma equação ma-tricial, nós não podemos, em geral, cancelar uma matriz de ambos os lados da equação. Uma exceção a esta regra ocorre quando as matrizes envolvidas são quadradas e BBBB é uma matriz não singular (será definida na Seção 2.5). Exemplo 8.Exemplo 8.Exemplo 8.Exemplo 8. Nós ilustramos a existência de matrizes AAAA, BBBB e C C C C tais que ABABABAB = CBCBCBCB, onde AAAA ≠ CCCC. Sejam as matrizes: 
A = A = A = A = s1 3 22 0 −1t, BBBB = „1 20 11 0…, CCCC = s2 1 15 −6 −4t ⇒ ABABABAB = CBCBCBCB = s3 51 4t. O teorema seguinte dá um caso geral e dois casos especiais para o E�� � do produto de duas matrizes. 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
19Teorema 2.4Teorema 2.4Teorema 2.4Teorema 2.4aaaa.... �) Se A A A A e BBBB são matrizes conformes, então E�� �(ABABABAB) ≤ E�� �(AAAA) e E�� �(ABABABAB) ≤ E�� �(BBBB). ��) A multiplicação por uma matriz não singular (ver Seção 2.5) não altera o E�� � da ma-triz, isto é, se BBBB e CCCC são não singulares ⇒ E�� �(ABABABAB) = E�� �(CACACACA) = E�� �(AAAA). ���) Para qualquer matriz AAAA, E�� �(A’AA’AA’AA’A) = E�� �(AA’AA’AA’AA’) = E�� �(A’A’A’A’) = E�� �(AAAA). 9��>�: �) Todas as colunas de ABABABAB são combinaçõeslineares das colunas de AAAA (ver um comentá-rio no Exemplo 2.3) consequentemente, o número de colunas �. �. de ABABABAB é menor ou igual ao número de colunas �. �. de AAAA, e E�� �(ABABABAB) ≤ E�� �(AAAA). Similarmente, todas as linhas de ABABABAB são combinações lineares das linhas de BBBB Šver comentário em (2.38)‹ e daí, E�� �(ABABABAB) ≤ E�� �(BBBB). ��) Se B B B B é não singular, existe uma matriz µA| tal que µ µA| = IIII Šver (2.45) a seguir‹. Então, de (�) nós temos que: E�� �(AAAA) = E�� �(µµA|) ≤ E�� �(ABABABAB) ≤ E�� �(AAAA). Assim ambas as desigualdades tornam-se igualdades e E�� �(AAAA) = E�� �(ABABABAB). Simi-larmente, E�� �(AAAA) = E�� �(CACACACA) para CCCC não singular. 2.5. INVERSA DE UMA MATRIZ2.5. INVERSA DE UMA MATRIZ2.5. INVERSA DE UMA MATRIZ2.5. INVERSA DE UMA MATRIZ Uma matriz quadrada de posto completo é dita �ã� ���BD���. Uma matriz AAAA não singular tem inversa única, denotada por A|, com a propriedade que: A A A A A|= A|AAAA = IIII (2.45) Um algoritmo simples (que é trabalhoso se a dimensão da matriz é grande!) para obtenção da inversa de uma matriz consiste em justapor à matriz A A A A uma matriz identidade de mesma ordem. Opera-se simultaneamente sobre as linhas das duas matrizes até que no lugar da matriz AAAA apareça a sua :. �. !. (neste caso, uma matriz identidade). Nesse momen-to, no lugar da matriz identidade estará a inversa A| de AAAA. Ou seja: ŠAAAA | IIII ‹ ~ … ~ ŠIIII | A|‹ Exemplo 9.Exemplo 9.Exemplo 9.Exemplo 9. Seja a matriz quadrada: 
AAAA = 





62
74 . 
(1) Fazendo �} = �} − (1/2)�|: 






1062
0174 ~ 





− 12/12/50
0174 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
20(2) Fazendo �} = (2/5)�}: 






− 12/12/50
0174 ~ 





− 5/25/110
0174 
(3) Fazendo �| = �| + (−7)�}: 






− 5/25/110
0174 ~ 





−
−
5/25/110
5/145/1204 
(4) Fazendo �| = (1/4)�|: 






−
−
5/25/110
5/145/1204 ~ 





−
−
5/25/110
10/75/301 
Então 






1062
0174 ~ … ~ 





−
−
5/25/110
10/75/301 ⇒ A| = 





−
−
4.02.0
7.06.0 
 Se a matriz B B B B é não singular e AB AB AB AB = CCCCBBBB, então nós podemos multiplicar à direita por µA| os dois lados da igualdade, obtendo: AB AB AB AB = CBCBCBCB ⇒ ABABABABµA| = CBCBCBCBµA| ⇒ AAAA = CCCC Importante: Importante: Importante: Importante: Se a matriz BBBB é singular ou retangular, ela não pode ser cancelada nos dois lados da igualdade AB AB AB AB = CBCBCBCB. Similarmente, se AAAA é não singular então o sistema Ì = Í tem a solução única: Ì = = = = A|Í (2.47) Teorema 2.5Teorema 2.5Teorema 2.5Teorema 2.5aaaa.... Se AAAA é não singular, então A’A’A’A’ é não singular e a sua inversa pode ser encon-trada como: (A’A’A’A’) –1 = (A|)’’’’ (2.48) TeorTeorTeorTeorema 2.5ema 2.5ema 2.5ema 2.5bbbb. Se A A A A e BBBB são matrizes não singulares de mesma dimensão, então AB AB AB AB é não-singular e (ABABABAB)–1 = µA|A| (2.49) Se a matriz AAAA é simétrica, não singular e particionada como: 
AAAA = 





2221
1211
AA
AA 
Se B B B B = AAAA22 – AAAA21(AAAA11)–1AAAA12, então supondo que (AAAA11)–1 e BBBB–1 existem, a inversa de AAAA é dada por: 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
21
AAAA–1 = 





−
−−
−−−
−−−−−−
11
1121
1
1
12
1
11
1
1121
1
12
1
11
1
11
BAAB
BAAAABAAA (2.50) 
 Como um caso especial de (2.50), consideremos a matriz não singular: 
AAAA = ¬ || ª|}(ª|})‰ �}}­ onde AAAA11 é quadrada, �}} é um escalar e ª|} é um vetor. Então se (AAAA11)–1 existe, a inversa de AAAA pode ser expressa como: 
A| = |Î ÏF||A| + ||A|ª|}(ª|})‰||A| −||A|ª|}−(ª|})‰||A| 1 Ð (2.51) onde F = �}} − (ª|})‰||A|ª|}. Como outro caso especial de (2.50) temos: AAAA = ¬|| ÊÊ }}­ que tem a inversa AAAA–1 = ϐ||A| ÊÊ }}A|Ð (2.52) Se uma matriz quadrada da forma B B B B + cc’cc’cc’cc’ é não singular, onde cccc é um vetor e BBBB é uma matriz não singular, então: (B B B B + cc’cc’cc’cc’)–1 = BBBB–1 – 
cBc'
Bcc'B
1
11
1 −
−−
+
 (2.53) 2.62.62.62.6 MATRIZES POSITIVAS DEFINIDASMATRIZES POSITIVAS DEFINIDASMATRIZES POSITIVAS DEFINIDASMATRIZES POSITIVAS DEFINIDAS Formas quadráticas foram introduzidas em (2.33). Por exemplo, a forma quadrática 32|} + 2}} + 2~} + 42|2} + 52|2~ − 62}2~ pode ser expressa como: 32|} + 2}} + 2~} + 42|2} + 52|2~ − 62}2~ = y’Ayy’Ayy’Ayy’Ay Onde 
yyyy = „2|2}2~… e AAAA = „
3 4 50 1 −60 0 2…. Entretanto, essa forma quadrática pode ser expressa em termos da matriz simétrica: 
2
1 (AAAA + A’A’A’A’) = „ 3 2 5/22 1 −35/2 −3 2 … 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
22Em geral, qualquer forma quadrática y’Ayy’Ayy’Ayy’Ay pode ser expressa como: 
y’Ayy’Ayy’Ayy’Ay = y’y’y’y’ 




 +
2
A'A y y y y (2.54) 
Assim a matriz-núcleo da forma quadrática pode sempre ser escolhida como uma matriz simétrica (e única!). Exemplo 10.Exemplo 10.Exemplo 10.Exemplo 10. A variância amostral definida como 
�} = 
1
1
−n
y J Iy' 





−
n
1 
é uma forma quadrática e a sua matriz núcleo é simétrica: 
AAAA = 
1
1
−n


























−−−
−





−−
−−





−
nnn
nnn
nnn
1111
1111
1111
L
MMM
L
L
 = 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 
























−
−
−
−
−
−






−
−
−
−
−
−






nnnnn
nnnnn
nnnnn
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
11
L
MMM
L
L
 
 As somas de quadrados encontradas na análise de regressão (Capítulos 6 a 10) e análise de variância (Capítulos 11 a 14) podem ser expressas na forma y’Ayy’Ayy’Ayy’Ay, onde yyyy é um vetor de observações. Tais formas quadráticas são positivas (ou no mínimo não negati-vas) para todos os valores de yyyy. Se a matriz simétrica AAAA tem a propriedade de y’Ayy’Ayy’Ayy’Ay > 0 para todos os possíveis veto-res de observações yyyy, com exceção de yyyy = 0000, então a forma quadrática y’Ayy’Ayy’Ayy’Ay é dita positiva definida e AAAA é dita ?� ��• E��� �>� ��:�����. Similarmente, se y’Ayy’Ayy’Ayy’Ay ≥ 0 para todos os possíveis vetores de observações yyyy, com exceção de yyyy = 0000, então a forma quadrática y’Ayy’Ayy’Ayy’Ay é dita positiva semidefinida e AAAA é dita ?� ��• E��� �>� ��?���:�����. Exemplo 11.Exemplo 11.Exemplo 11.Exemplo 11. Para ilustrar uma ?� ��• E��� �>� ��:�����, considere: 
A A A A = 





−
−
31
12 
A forma quadrática associada é: y’Ayy’Ayy’Ayy’Ay = 22|} − 22|2} + 32}} = 2(2| − 0,52})} + (5/2)2}} que é claramente positiva a menos que 2| e 2} sejam ambos iguais a zero. 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
23Para ilustrar uma matriz positiva semidefinida, considere: (22| – 2})2 + (32| – 2~)2 + (32} – 22~)2 que pode ser expresso na forma y’Ayy’Ayy’Ayy’Ay, com 
AAAA = „13 −2 −3−2 10 −6−3 −6 5 … Se 22| = 2}, 32| = 2~ e 32} = 22~, então (22| –2})2 + (32| – 2~)2 + (32} – 22~)2 = 0. Assim y’Ay y’Ay y’Ay y’Ay = 0 para qualquer múltiplo de yyyy = Š1 2 3‹’’’’. Para todos os outros casos (com exceção de yyyy = 0000), tem-se y’Ayy’Ayy’Ayy’Ay > 0 . Teorema 2.6Teorema 2.6Teorema 2.6Teorema 2.6aaaa.... �) Se A A A A é positiva definida, então todos os elementos �zz da sua diagonal são positivos. ��) Se A A A A é positiva semidefinida, então todos �zz ≥ 0.(Ver prova na página 23 do livro do Rencher). Teorema 2.6Teorema 2.6Teorema 2.6Teorema 2.6bbbb.... Seja PPPP uma matriz não singular. �) Se A A A A é positiva definida, então P’AP P’AP P’AP P’AP é positiva definida. ��) Se A A A A é positiva semidefinida, então P’AP P’AP P’AP P’AP é positiva semidefinida. (Ver prova na página 23 do livro do Rencher) Corolário 1. Corolário 1. Corolário 1. Corolário 1. Seja AAAA uma matriz (E×E) positiva definida e seja BBBB uma matriz (7×E) de E�� � 7 ≤ E. Então a matriz BAB’BAB’BAB’BAB’ é positiva definida. Corolário 2. Corolário 2. Corolário 2. Corolário 2. Seja AAAA uma matriz (E×E) positiva definida e seja B B B B uma matriz (7×E). Se 7 > E ou se E�� �(BBBB) = �, onde � < 7 e � < E, então a matriz BAB’BAB’BAB’BAB’ é positiva semidefinida. Teorema 2.6Teorema 2.6Teorema 2.6Teorema 2.6cccc.... Uma matriz simétrica A é positiva definida se e somente se existe uma matriz não singular P P P P tal que AAAA = P’PP’PP’PP’P. (Ver prova na página 23 do livro do Rencher). Corolário 1.Corolário 1.Corolário 1.Corolário 1. Uma matriz positiva definida é não singular. Um método de fatorar uma matriz positiva definida AAAA em um produto P’P P’P P’P P’P é chamado de ��!�?E���çã� �� $ℎ����72 Šver Seber (1977, pág.304-305)‹, pelo qual AAAA pode ser fa-torada de modo único em A A A A = T’T= T’T= T’T= T’T, onde TTTT é uma matriz não singular e triangular superior. Teorema 2.6Teorema 2.6Teorema 2.6Teorema 2.6dddd. Seja BBBB uma matriz �×E. �) Se E�� �(BBBB) = E, então B’BB’BB’BB’B é positiva definida. ��) Se E�� �(BBBB) < E, então B’BB’BB’BB’B é positiva semidefinida. 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
249��>�: �) Para mostrar que y’B’Byy’B’Byy’B’Byy’B’By > 0 para yyyy ≠ 0000, notamos que y’B’Byy’B’Byy’B’Byy’B’By = (ByByByBy)’’’’(ByByByBy) é uma soma de quadrados e portanto, é positiva definida, a menos que ByByByBy = 0000. Por (2.37) nós po-demos expressar ByByByBy na forma ByByByBy = 2|´| + 2}´} + ⋯ + 2”´”. Esta combinação linear não é igual a 0000 (para qualquer yyyy ≠ 0000) porque E�� �(BBBB) = E e as colunas de BBBB são �. �. ��) Se E�� �(BBBB) < E, então nós podemos encontrar yyyy ≠ 0000 tal que: ByByByBy = 2|´| + 2}´} + ⋯ + 2”´” = 0000 porque as colunas de BBBB são �. �. Šver (2.40)‹. Daí, y’B’Byy’B’Byy’B’Byy’B’By ≥ 0. Note que se BBBB é uma matriz quadrada, a matriz BBBB2 = BBBBBBBB não é necessariamente positiva semidefinida. Por exemplo, seja a matriz BBBB = 





−
−
21
21 
Então: µ} = 





−
−
21
21 e B’BB’BB’BB’B = 





−
−
84
42 
Neste caso, µ} não é positiva semidefinida, mas B’BB’BB’BB’B é positiva semidefinida, porque y’B’Byy’B’Byy’B’Byy’B’By = 2(2| – 22})2 ≥ 0. Teorema 2.6Teorema 2.6Teorema 2.6Teorema 2.6eeee.... Se AAAA é positiva definida, então AAAA–1 é positiva definida. 9��>�: Pelo Teorema 2.6c, A A A A = P’PP’PP’PP’P, onde PPPP é não singular. Pelos Teoremas 2.5a e 2.5b, AAAA–1 = (P’PP’PP’PP’P)–1 = PPPP–1(P’P’P’P’)–1 = PPPP–1(PPPP–1)’’’’, que é positiva definida pelo Teorema 2.6c. Teorema 2.6Teorema 2.6Teorema 2.6Teorema 2.6ffff.... Se AAAA é positiva definida e é particionada na forma 
AAAA = 





2221
1211
AA
AA 
onde AAAA11 e AAAA22 são matrizes quadradas, então AAAA11 e AAAA22 são positivas definidas. 
9��>�: Nós podemos escrever AAAA11 como AAAA11 = Š² 0000‹ AAAA 





0
I , onde IIII tem a mesma dimensão 
de AAAA11. Então, pelo Corolário 1 do Teorema 2.6b, AAAA11 é positiva definida. 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
252.7 2.7 2.7 2.7 SISTEMAS DE EQUAÇÕESSISTEMAS DE EQUAÇÕESSISTEMAS DE EQUAÇÕESSISTEMAS DE EQUAÇÕES O sistema de equações de � equações (lineares) e E incógnitas �||y| + �|}y} + ⋯ + �|”y” = !| �}|y| + �}}y} + ⋯ + �}”y” = !} ⋯ �›|y| + �›}y~ + ⋯ + �›”y” = !” (2.55) pode ser escrito na forma matricial como AAAAÌ = c= c= c= c (2.56) onde AAAA é �×E, Ì é E×1 e cccc é �×1. Note que: 
• Se � ≠ E então os vetores Ì e cccc são de dimensões diferentes. 
• Se � = E e AAAA é não singular, então por (2.47), existe um único vetor solução Ì = A|Í. 
• Se � > E, de tal forma que AAAA tenha mais linhas que colunas (mais equações do que in-cógnitas), então, geralmente, o sistema AAAAÌ = cccc não tem solução. 
• Se � < E, de tal forma que AAAA tenha menos linhas que colunas, então o sistema AAAAÌ = cccc tem um número infinito de soluções. 
• Se o sistema (2.56) tem um ou mais vetores soluções, ele é chamado de sistema consis-tente. Se não tem solução, ele é chamado de sistema inconsistente. Para ilustrar a estrutura de um sistema consistente, suponha que AAAA seja E×E e E�� � � < E. Então as linhas de AAAA são linearmente dependentes e existe algum bbbb tal que Šver (2.38)‹: b’Ab’Ab’Ab’A = F|ª|‰ + F}ª}‰ + ⋯ + F”ª”‰ = 0’0’0’0’ Então, nós também podemos ter b’cb’cb’cb’c = F|!| + F}!} + ⋯ + F”!”= 0, porque a multiplicação de Ax Ax Ax Ax = c c c c por b’b’b’b’ (de ambos os lados) dá: b’Ab’Ab’Ab’AÌ = b’cb’cb’cb’c ou 0’0’0’0’Ì = b’cb’cb’cb’c = = = = 0 Por outro lado, se b’cb’cb’cb’c ≠ 0, não existe Ì tal que Ì = cccc. Portanto, para que AAAAÌ = cccc seja consistente, a mesma relação (qualquer que seja) que existe entre as linhas de AAAA deve existir entre os elementos (linhas) de cccc. Isso é formalizado comparando o posto de A A A A com o posto da matriz aumentada ŠA A A A ⋮⋮⋮⋮ cccc‹. A notação ŠA A A A ⋮ cccc‹ indica que cccc foi justaposta à matriz AAAA como uma coluna adicional. Teorema 2.7Teorema 2.7Teorema 2.7Teorema 2.7aaaa O sistema de equações AxAxAxAx = cccc é consistente (tem no mínimo uma solução) se e somente se E�� �(AAAA) = E�� �ŠA A A A ⋮⋮⋮⋮ cccc‹. 9��>�: Suponha que E�� �(AAAA) = E�� �ŠA A A A ⋮⋮⋮⋮ cccc‹, de tal forma que justapor o vetor c c c c não altera o posto da matriz AAAA. Então cccc é uma combinação linear das colunas de AAAA; isto é, existe pelo menos um Ì tal que: y|ª| + y}ª} + ⋯ + y”ª” = Ò que por (2.38) pode ser escrito como AAAAÌ = cccc. Assim, Ì é solução do sistema AAAAÌ = cccc. 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
26Por outro lado, suponha que existe um vetor solução Ì tal que AAAAÌ = cccc. Em geral, tem-se que E�� �(AAAA) ≤ E�� �ŠA A A A ⋮⋮⋮⋮ cccc‹ Šver Harville (1997, pág. 41)‹. Mas desde que existe um Ì tal que AAAAÌ = cccc, nós temos: E�� �ŠA A A A ⋮⋮⋮⋮ cccc‹ = E�� �ŠAAAA ⋮⋮⋮⋮ AAAA̋ = E�� �ŠAAAA(I(I(I(I ⋮⋮⋮⋮ Ì))))‹ ≤ E�� �(AAAA) ŠTeorema 2.4a(i)‹ Por isso, E�� �(AAAA) ≤ E�� �ŠA A A A ⋮⋮⋮⋮ cccc‹ ≤ E�� �(AAAA) e daí nós temos que: E�� �(AAAA) = E�� �ŠA A A A ⋮⋮⋮⋮ cccc‹. Um sistema de equações consistente pode ser resolvido pelos métodos usuais apre-sentados nos cursos básicos de álgebra (método da eliminação de variáveis, por exemplo). No processo, uma ou mais variáveis podem terminar como constantes arbitrárias, geran-do assim um número infinito de soluções. Um método alternativo para resolver o sistema será apresentado na Seção 2.8.2. Exemplo 12. Exemplo 12. Exemplo 12. Exemplo 12. Considere o sistema de equações: 
Óy| + 2y} = 4y| − y} = 1y| + y} = 3 Ô ou „
1 21 −11 1… sy|y}t = „
413… A matriz aumentada é: 
ŠA A A A ⋮⋮⋮⋮ cccc‹ = „1 2 41 −1 11 1 3… que tem E�� �ŠA A A A ⋮⋮⋮⋮ cccc‹ = 2 porque a terceira coluna é igual à soma de duas vezes a primeira coluna com a segunda coluna: 
„413…= 2 „
111… + „
2−11…. Desde que E�� �(AAAA) = E�� �ŠA A A A ⋮⋮⋮⋮ cccc‹ = 2, o sistema é consistente (tem ao menos uma solu-ção). Se adicionarmos duas vezes a primeira equação à segunda o resultado é um múltiplo da terceira equação. Assim, a terceira equação é redundante e as duas primeiras podem ser facilmente resolvidas para obter a solução única Ì = Š2 1‹’’’’.A Figura 2.1 mostra as três linhas que representam as três equações do sistema. Note que as três linhas se cruzam no ponto de coordenadas (2, 1), que é a solução única do sistema de três equações. 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
27
 Figura 2.1Figura 2.1Figura 2.1Figura 2.1 Três linhas representando as equações do sistema do Exemplo 12. Exemplo 13.Exemplo 13.Exemplo 13.Exemplo 13. Se trocarmos o número 3 por 2 na terceira equação do Exemplo 12, a matriz aumentada fica: 
ŠA A A A ⋮⋮⋮⋮ cccc‹ = „1 2 41 −1 11 1 2… que tem posto = 3, já que nenhuma combinação linear das colunas é 0000. Como E�� �ŠAAAA ⋮⋮⋮⋮ cccc‹ = 3 ≠ E�� �(AAAA) = 2, o sistema é inconsistente. As três linhas que representam as três equações são apresentadas na Figura 2.2, onde nós percebemos que as três linhas não têm um ponto comum de interseção. Para encontrar a melhor solução aproximada, uma abor-dagem consiste em usar o método dos mínimos quadrados, que consiste em buscar os va-lores de y| e y} que minimizam (y| + 2y} – 4)2 + (y| – y} – 1)2 + (y| + y} – 2)2 = 0. 
 Figura 2.2Figura 2.2Figura 2.2Figura 2.2 Três linhas representando as equações do sistema do Exemplo 13. Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo 14. 14. 14. 14. Considere agora o sistema: 
Ó y| + y} + y~ = 12y| + y} + 3y~ = 53y| + 2y} + 4y~ = 6Ô 
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5
x2
x1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5
x2
x1
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
28A terceira equação é a soma das duas primeiras, mas a segunda não é um múltiplo da pri-meira. Assim E�� �(AAAA) = 2 = E�� �ŠA A A A ⁞ cccc‹ e temos um sistema consistente. Resolvendo as duas primeiras equações para y| e y} em termos de y~, nós obtemos: y| = −2y~ + 4 y} = y~ − 3 O vetor solução pode ser expresso como: 
Ì = „−2y~ + 4y~ − 3y~ … = y~ „
−211… + „
4−30… onde y~ é uma constante arbitrária. Geometricamente, Ì é uma linha representando a in-terseção dos dois planos correspondentes às duas primeiras equações. 2.8. INVERSA GENERALIZADA2.8. INVERSA GENERALIZADA2.8. INVERSA GENERALIZADA2.8. INVERSA GENERALIZADA Vamos considerar inversas generalizadas daquelas matrizes que não têm inversas no sen-tido usual Šver (2.45)‹. Uma solução de um sistema consistente de equações AAAAÌ = cccc pode ser expresso em termos de uma inversa generalizada de AAAA. 2.8.12.8.12.8.12.8.1 Definição e PropriedadesDefinição e PropriedadesDefinição e PropriedadesDefinição e Propriedades Uma ��>���� B�������•��� de uma matriz AAAA �×E é qualquer matriz A, que satisfaz: AAAA AAAAA = AAAA (2.57) Uma inversa generalizada não é única exceto quando AAAA é não singular, neste caso A = A|. Uma inversa generalizada que satisfaz (2.57) é também chamada de inversa condi-cional. Toda matriz (quadrada ou retangular) tem uma inversa condicional. Isso é garanti-do mesmo para vetores. Por exemplo, seja: 
Ì = v1234w Então Ì|A = Š1, 0, 0, 0‹ é uma inversa generalizada de Ì que satisfaz (2.57). Outros exem-plos são Ì}A = Š0, 1/2, 0, 0‹, Ì~A = Š0, 0, 1/3, 0‹ e ÌA = Š0, 0, 0, 1/4‹. Para cada ÌzA nós temos: Ì ÌzAÌ = Ì � = 1, 2, 3, 4. Nesta ilustração, Ì é um vetor coluna e ÌzA é um vetor linha. Este modelo é generalizado no seguinte teorema. Teorema 2.8Teorema 2.8Teorema 2.8Teorema 2.8aaaa.... Se A A A A é �×E então qualquer inversa generalizada A é E×�. 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
29 No exemplo a seguir nós damos duas representações de inversas generalizadas de uma matriz singular. Exemplo 15Exemplo 15Exemplo 15Exemplo 15.... Seja 
AAAA = „2 2 31 0 13 2 4… (2.58) Como a terceira linha de AAAA é a soma das duas primeiras linhas, e a segunda linha não é um múltiplo da primeira, o E�� �(AAAA) = 2. Sejam 
|A = „ 0 1 01/2 −1 00 0 0…, }A = „
0 1 00 −3/2 1/20 0 0 … (2.59) É fácil verificar que AAAA |AA A A A = AAAA e AAAA }AA A A A = AAAA. Os métodos usados para obter |A e }A serão descritos no Teorema 2.8b e um algo-ritmo de cinco passos será apresentado após o teorema. Teorema 2.8Teorema 2.8Teorema 2.8Teorema 2.8bbbb. Suponha que AAAA é �×E de posto � e que AAAA é particionada como 
AAAA = 





2221
1211
AA
AA 
Onde AAAA11 é �×� de posto �. Então a inversa generalizada de AAAA é dada por 
A = 




 −
ΟΟ
ΟA 111 
Onde as três matrizes nulas 0000 têm dimensões apropriadas para que A seja E×�. (Ver prova na pág. 34 no livro do Rencher). Corolário 1.Corolário 1.Corolário 1.Corolário 1. Suponha que AAAA é �×E de posto � e que AAAA é particionada como no Teorema 2.8b onde AAAA22 é �×� de posto �. Então a inversa generalizada de AAAA é dada por 
A = 





−1
22A0
00 
onde as três matrizes nulas são de dimensões apropriadas para que A seja E×�. A submatriz não singular não precisa estar na posição AAAA11 ou AAAA22, como no Teorema 2.8b e no seu corolário. O Teorema 2.8b pode ser estendido para o seguinte algoritmo para encontrar uma inversa condicional, A, para qualquer matriz AAAA de dimensão �×E de posto � ŠSearle, 1982, p.218‹: 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
301. Encontre qualquer submatriz não singular CCCC (�×�). Não é necessário que os ele-mentos de CCCC ocupem posições (linhas e colunas) adjacentes em AAAA. 2. Encontre ÕA| e a sua transposta (ÕA|)’’’’. 3. Substitua em A A A A os elementos de CCCC pelos elementos de (ÕA|)’’’’. 4. Substitua todos os outros elementos de AAAA por zeros. 5. Transponha a matriz resultante. Exemplo 16Exemplo 16Exemplo 16Exemplo 16. . . . Calcular uma inversa generalizada (condicional) de 
X =X =X =X = v1 1 01 1 01 0 11 0 1w Usando o algoritmo de Searle (e lembrando que o posto da matriz XXXX é 2) fazemos: 1) Escolhemos C =C =C =C = s1 00 1t 2) ÕA|= s1 00 1t ⇒ (ÕA|)’ ’ ’ ’ = s1 00 1t 
3) e 4) v0 0 00 1 00 0 10 0 0w 5) 
A = 










0100
0010
0000 é uma inversa condicional de XXXX 
 Vale lembrar que escolhendo outras matrizes CCCC e usando o algoritmo, podemos encontrar outras inversas condicionais de XXXX. Algumas propriedades das inversas generalizadas serão dadas no próximo teorema, que é a base teórica para diversos resultados importantes do Capítulo 11. Teorema 2.8Teorema 2.8Teorema 2.8Teorema 2.8cccc.... Seja AAAA (�×E) de posto �, seja A uma inversa generalizada de AAAA e seja (’)A uma inversa generalizada de A’AA’AA’AA’A. Então: �) E�� �(AAAAA) = E�� �(AAAAA) = E�� �(AAAA) = �. ��) (A)’’’’ é uma inversa generalizada de A’A’A’A’; isto é (’)A = (A)’’’’. ���) A A A A = AAAA(’)AA’AA’AA’AA’A e AAAA’ = A’A’ = A’A’ = A’A’ = A’A(’)AA’.A’.A’.A’. �>) (’)AA’A’A’A’ é uma inversa generalizada de AAAA, isto é, A = (’)AA’A’A’A’. >) AAAA(’)AA’ A’ A’ A’ é simétrica, E�� �ŠAAAA(’)AA’‹A’‹A’‹A’‹ = � e é invariante à escolha de (’)A. Isto quer dizer que AAAA(’)AA’A’A’A’ permanece a mesma, para qualquer escolha de (A’AA’AA’AA’A)––––. Uma inversa generalizada de uma matriz simétrica não é necessariamente simétrica. Entretanto, também é verdade que uma inversa generalizada simétrica de uma matriz simétrica, sempre pode ser encontrada Šver Problema 2.46‹. Neste livro, nós assumimos que as inversas generalizadas de matrizes simétricas também são simétricas. 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
31 Além da inversa generalizada condicional definida em (2.57) existem outras, como a inversa de mínimos quadrados (šÖ) e a inversa de Moore-Penrose (×). Esta última é muito útil em demonstrações envolvendo modelos lineares. DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição A7.A7.A7.A7. Dada a matriz AAAA (�×E) então toda matriz šÖ (E×�) que satisfaz as duas condições seguintes, é uma inversa de mínimos quadradosde AAAA: a) AAAA šÖAAAA = AAAA b) AAAA šÖ é uma matriz simétrica. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema A4A4A4A4. . . . Toda matriz do tipo šÖ = (’)AA’A’A’A’ é uma inversa de mínimos quadrados de AAAA, , , , para qualquer escolha da inversa condicional (’)A. 
ExempExempExempExemplo 17lo 17lo 17lo 17.... Obter uma inversa de mínimos quadrados de XXXX ==== v1 1 01 1 01 0 11 0 1w 
Primeiramente calculamos X’XX’XX’XX’X = „4 2 22 2 02 0 2…. Escolhendo CCCC = s2 00 2t e usando o algoritmo de Searle, obtemos: 
(’)A = „0 0 00 0,5 00 0 0,5… Então uma inversa de mínimos quadrados de XXXX é: 
šÖ = (’)AXXXX’’’’ = „ 0 0 0 00,5 0,5 0 00 0 0,5 0,5… Escolhendo outras submatrizes CCCC e, correspondentemente, calculando outras inversas condicionais de X’XX’XX’XX’X, nós podemos encontrar outras inversas de mínimos quadrados de XXXX. Outra inversa generalizada é a inversa de Moore-Penrose, que é bastante útil em de-monstrações matemáticas, mas a sua obtenção é bastante trabalhosa. Geralmente ela é ob-tida através de algum pacote estatístico. No E��! �?� do SAS, por exemplo, a inversa de Moore-Penrose da matriz A A A A é obtida com o comando B��>(AAAA). Definição A8.Definição A8.Definição A8.Definição A8. Dada a matriz AAAA (�×E) de posto �, então a matriz × (E×�), de posto �, que satisfaz às quatro condições seguintes, é definida como a inversa generalizada de Moore-Penrose de AAAA: a) AAAA ×A = AA = AA = AA = A b) ×AAAA × = = = = × c) A A A A × é simétrica. d) ×A A A A é simétrica. 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
32Teorema A5Teorema A5Teorema A5Teorema A5. . . . Para cada matriz AAAA (�×E) existe sempre uma e só uma matriz × que satisfaz as quatro condições de Moore-Penrose. 2.8.2. Inversas Generalizadas e Sistemas de Equações2.8.2. Inversas Generalizadas e Sistemas de Equações2.8.2. Inversas Generalizadas e Sistemas de Equações2.8.2. Inversas Generalizadas e Sistemas de Equações Uma solução para um sistema de equações pode ser expressa em termos de uma inversa generalizada. Teorema 2.8Teorema 2.8Teorema 2.8Teorema 2.8dddd.... Se o sistema de equações AAAAÌ = cccc é consistente e se A é uma inversa gene-ralizada de AAAA, então Ì = = = = AÒ é uma solução do sistema. (Ver prova na pág. 36 do livro do Rencher). Importante:Importante:Importante:Importante: Diferentes escolhas de A resultarão em diferentes soluções para o sistema AAAAÌ = cccc. Teorema 2.8Teorema 2.8Teorema 2.8Teorema 2.8eeee.... Se o sistema de equações AAAAÌ = cccc é consistente, então todas as possíveis so-luções podem ser obtidas das duas seguintes maneiras: �) Use uma A específica em Ì = Acccc + (IIII – AAAAA)Ø e use todos os possíveis valores para o vetor arbitrário Ø. ��) Use todas as possíveis inversas A em Ì = Acccc. Uma condição necessária e suficiente para que o sistema AAAAÌ = cccc seja consistente pode ser dado em termos de uma inversa generalizada (Graybill 1976, p.36). Teorema 2.8Teorema 2.8Teorema 2.8Teorema 2.8ffff.... O sistema de equações AAAAÌ = cccc é consistente se e somente se para qualquer inversa generalizada A de AAAA AAAAAcccc = cccc. (Ver prova na pág. 37 do livro do Rencher). Observe que o Teorema 2.8f fornece uma alternativa ao Teorema 2.7a para decidir se um sistema de equações é consistente. 2.9. DETERMINANTES2.9. DETERMINANTES2.9. DETERMINANTES2.9. DETERMINANTES Antes de definirmos o determinante de uma matriz quadrada, precisamos definir permu-tação e número de inversões. Seja o conjunto dos cinco primeiros números inteiros S = {1, 2, 3, 4, 5} arrumados em ordem crescente. 
• Qualquer outra ordem *|, *}, ⋯ , *Ù dos elementos de S é chamada uma permutação de S. Por exemplo: 32451, 45321, 32541, 12354 são permutações de S. 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
33
• O número de permutações possíveis com � objetos (índices, neste caso) é igual a �! = �(� – 1)(� – 2)…(2)(1). Por exemplo: com os índices {1, 2, 3} temos 3! = 6 permu-tações, a saber: {123, 132, 213, 231, 312, 321}. 
• Uma permutação *|, *}, ⋯ , *Ù de � tem uma inversão se um número inteiro *Ú precede um inteiro menor *Û. Por exemplo: a permutação 32451 tem 5 inversões por que: o 3 aparece antes do 2; o 3 antes do 1; o 2 antes do 1; o quatro antes do 1 e o 5 antes do 1. DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição A9.A9.A9.A9. O determinante de uma matriz A A A A (�×�) é uma função escalar de AAAA definida como a soma algébrica de todos os seus �! possíveis produtos elementares. Denota-se por: δ(AAAA) = | AAAA | = �� () = ∑ Ez›!z¥| 
• Cada produto elementar é do tipo Ez = �|{Ý�}{Þ�~{ß ⋯ �›{à em que, nos índices *|, *}, ⋯ , *› são colocados os números de alguma permutação simples do conjunto {1, 2,…, �}. 
• Em cada produto Ez existe somente um elemento de cada linha e coluna. 
• Cada produto elementar recebe o sinal + ou –, conforme o número de inversões envol-vidas em Ez seja par ou ímpar, respectivamente. Se A = A = A = A = s�|| �|}�}| �}}t é uma matriz 2×2 temos somente duas permutações: � Ez Permutação No de inversões Sinal 1 �||�}} 1 2 0 + 2 �|}�}| 2 1 1 – O determinante de AAAA é calculado como: �� () = �||�}} − �|}�}| 
Se A = A = A = A = „�|| �|} �|~�}| �}} �}}�~| �~} �~~… é uma matriz 3×3, uma regra prática para calcular o seu de-terminante é descrita a seguir: 
• Repita a primeira e a segunda coluna de AAAA após a terceira coluna (ver exemplo). 
• Some os produtos dos elementos das diagonais que partem de cima e da esquerda e subtraia os produtos dos elementos das diagonais que partem de cima e da direita. �|| �|} �|~�}| �}} �}~�~| �~} �~~ 
�|| �|}�}| �}}�~| �~} 
O determinante de (~×~) é calculado como: �� () = �||�}}�~~ + �|}�}~�~| + �|~�}|�~} − �|}�}|�~~ − �||�}~�~} − �|~�}}�~| 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
34A definição A9 não é muito útil para calcular o determinante de uma matriz, exceto para o caso de matrizes 2×2 ou 3×3. Esse cálculo para matrizes maiores é feito por calcu-ladoras científicas e programas específicos, como o E��! �?� do �"�, %, �� ℎ$�� e o ��EE��, que calculam determinantes de forma segura. 
Exemplo 18Exemplo 18Exemplo 18Exemplo 18.... Calcular o determinante de AAAA = „�|| �|} �|~�}| �}} �}~�~| �~} �~~… = „
2 0 13 −1 4−5 6 7…. Como � = 3, temos 3! = 6 permutações, a saber: � Ez Permutação No de inversões Sinal Valor de Ez 1 �||�}}�~~ 1 2 3 0 + –14 2 �||�}~�~} 1 3 2 1 – –48 3 �|}�}|�~~ 2 1 3 1 – 0 4 �|}�}~�~| 2 3 1 2 + 0 5 �|~�}|�~} 3 1 2 2 + 18 6 �|~�}}�~| 3 2 1 3 – –5 Utilizando a Definição A9 obtemos: �� (AAAA) = ∑ Ezâz¥| = –49 Os determinantes de algumas matrizes quadradas especiais são dados no teorema seguinte. Teorema 2.9Teorema 2.9Teorema 2.9Teorema 2.9aaaa.... �) Se DDDD = ���B(�|, �}, ⋯ , �›) então �� (DDDD) = ∏ �z›z¥| ��) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. ���) Se AAAA é singular, �� (AAAA) = 0. Se AAAA é não singular, �� (AAAA) ≠ 0. �>) Se AAAA é positiva definida, �� (AAAA) > 0. >) �� (AAAA) = �� (A’A’A’A’) >�) Se AAAA é não singular, �� (AAAA–1) = 1/�� (AAAA) Exemplo 19Exemplo 19Exemplo 19Exemplo 19. . . . Vamos ilustrar cada uma das propriedades apresentadas no Teorema 2.9a. �) A A A A é diagonal: �� (AAAA) = ä2 00 3ä= (2)(3) − (0)(0) = (2)(3) = 6 
 ��) AAAA é triangular: �� (AAAA) = ä2 10 3ä = (2)(3) − (1)(0) = (2)(3) = 6 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
35
���) A A A A é singular: �� (AAAA) = ä1 23 6ä = (1)(6) − (2)(3) = 0 
 A A A A é não singular: �� (AAAA) = ä1 23 4ä = (1)(4) − (2)(3) = −2 
 �� (AAAA–1) = ä−2 11.5 −0.5ä = (−2)( −0.5) −(1.5)(1) = −1/2 = 1/�� (AAAA) 
�>) A A A A é positiva definida: �� (AAAA) = ä 3 −2−2 4ä = (3)(4) − (−2)(−2) = 8 
 >) �� (AAAA) = ä3 −72 1ä = (3)(1) – (−7)(2) = 17, 
 �� (A’A’A’A’) = ä 3 2−71ä = (3)(1) – (2)(– 7) = 17. Observe que se todos os elementos da diagonal de uma matriz D D D D forem iguais, diga-mos DDDD = ���B(!, !, ⋯ , !, ) = !², então: �� (DDDD) = �� (!²) = ∏ !›z¥| = !› (2.68) Por extensão, se uma matriz �×� é multiplicada por um escalar, o seu determinante é: �� (!) = !›�� () (2.69) Teorema 2.9Teorema 2.9Teorema 2.9Teorema 2.9bbbb.... Se a matriz AAAA é particionada como 
AAAA = 





2221
1211
AA
AA (2.70) 
Em que AAAA11 e AAAA22 são quadradas e não singulares (mas não necessariamente do mesmo ta-manho), então: �� (AAAA) = |AAAA11| |AAAA22 – AAAA21(AAAA11) –1AAAA12| (2.71) = |AAAA22| |AAAA11 – AAAA12(AAAA22) –1AAAA21| (2.72) Note a analogia de (2.71) e (2.72) ao caso do determinante de uma matriz 2×2: �� (AAAA) = ä�|| �|}�}| �}}ä = �||�}} − �|}�}| = �||(�}} − �}|�|}/�||) = �}}(�|| − �|}�}|/�}}) Corolário 1.Corolário 1.Corolário 1.Corolário 1. Suponha AAAA = ¬|| ʐ}| }}­ ou AAAA = ¬|| |}Ê }}­ onde || e }} são matrizes qua-dradas (mas não necessariamente de mesma dimensão). Então: �� (AAAA) = || = |||||}}| (2.73) 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
36
Corolário 2.Corolário 2.Corolário 2.Corolário 2. Suponha AAAA = ¬|| ÊÊ }}­, onde || e }} são matrizes quadradas (mas não necessariamente de mesma dimensão). Então: || = |||||}}|. (2.74) 
Corolário 3.Corolário 3.Corolário 3.Corolário 3. Se A A A A = ¬|| ª|}ª|}‰ �}}­, onde || é uma matriz não singular, ª|} é um vetor e �}} é uma matriz 1×1 (escalar), então: || = ||||(�}} − ª|}‰ ||A|ª|}). (2.75) Corolário 4.Corolário 4.Corolário 4.Corolário 4. Se AAAA = = = = s µ Ò−Ò’ 1t, onde Ò é um vetor e BBBB é uma matriz não singular, então: |µ + ÒÒ’| = |µ|(1 + ÒµAåÒ’) (2.76) TeoremaTeoremaTeoremaTeorema 2.92.92.92.9cccc.... Se AAAA e BBBB são quadradas e de mesmo tamanho, então o determinante do pro-duto é igual ao produto dos determinantes: |µ| = |||µ| (2.76) Corolário 1.Corolário 1.Corolário 1.Corolário 1. |µ| = |µ| (2.77) Corolário 2.Corolário 2.Corolário 2.Corolário 2. |}| = ||} (2.78) Exemplo 20Exemplo 20Exemplo 20Exemplo 20. . . . Para ilustrar o Teorema 2.9c, sejam as matrizes  = = = = s1 23 4t e BBBB = s3 −21 2 t. Então AB = AB = AB = AB = s1 23 4t s3 −21 2 t = = = = s 5 213 2t e |µ| = −16 ||= = = = −2, |µ|= 8 = 8 = 8 = 8 ⇒ |||µ|= (−2)(8) = −16 2.10. VETORES ORTOGONAIS E MATRIZES2.10. VETORES ORTOGONAIS E MATRIZES2.10. VETORES ORTOGONAIS E MATRIZES2.10. VETORES ORTOGONAIS E MATRIZES Dois vetores ª e ´, �×1, são ditos �� �B����� se: ª’’’’´ = �|F| + �}F} + ⋯ + �›F›= 0 (2.79) Note que o termo �� �B���� se aplica aos dois vetores e não a um único vetor. 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
37 Geometricamente, dois vetores ortogonais são perpendiculares um ao outro. Na Figura 2.3 esta característica é apresentada para os vetores: Ì| = Š4 2‹’’’’ e Ì} = Š−1 2‹’’’’. Note que Ì|‰ Ì} = (4)(−1)+(2)(2) = 0. 
 Figura 2.3.Figura 2.3.Figura 2.3.Figura 2.3. Dois vetores ortogonais (perpendiculares). Para saber se dois vetores são perpendiculares podemos calcular o ângulo formado entre eles. Seja θ o ângulo entre os vetores ª e ´ na Figura 2.4. O vetor que liga os extre-mos de ª e ´ pode ser expresso por Í = ´ − ª. A lei dos cosenos para a relação de θ com os lados do triângulo pode ser escrita na forma vetorial como: 
 !��(θ) = ªçª × ´ç´ A (´Aª)ç(´Aª)}è(ªçª)(´ç´) 
 = ªçª × ´ç´ A (´ç´ × ªçª A }ªç´)}è(ªçª)(´ç´) 
 = ªç´è(ªçª)(´ç´) (2.81) Quando θ = 90°, ª‰´ = 0 = 0 = 0 = 0 porque !��(90°) = 0. Assim os vetores ª e ´ são perpendiculares quando ª‰´ = 0. 
 Figura 2.4.Figura 2.4.Figura 2.4.Figura 2.4. Vetores ª e ´ no espaço tridimensional (ℝ~) 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
38Se ª‰ª = 1, o vetor ª é dito ser normalizado. Um vetor ´ pode ser normalizado, divi-dindo pelo seu comprimento, è(´‰´). Desta forma: 
Í = = = = ´è(´ç´) (2.82) é normalizado porque Í‰Í = 1. Um conjunto de vetores Ò|, Ò}, ⋯ , Ҕ de dimensões E×1 que são normalizados (Òz‰Òz = 0, para todo �) e mutuamente ortogonais (Òz‰Ò{ =0, para todo � ≠ *) é dito ser um conjun-to ortonormal de vetores. Se a matriz CCCC = ŠÒ| Ò} ⋯ Ҕ‹, E×E, tem colunas ortonormais, C C C C é chamada matriz ortonormal. Desde que os elementos de C’CC’CC’CC’C são produtos de colunas de CCCC Šver Teorema 2.2c(i)‹, uma matriz ortonormal CCCC tem a propriedade: C’CC’CC’CC’C = IIII (2.83) Pode ser mostrado que uma matriz ortonormal CCCC também satisfaz CC’CC’CC’CC’ = IIII (2.84) Assim, uma matriz ortogonal C C C C tem linhas ortogonais como também colunas ortogonais. É evidente que de (2.83) e (2.84), C’ C’ C’ C’ = CCCC–1, se C C C C é ortogonal. Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo 21212121. Para ilustrar uma matriz ortogonal, partimos de: 
AAAA = „1 1 11 −2 01 1 −1… Que tem colunas mutuamente ortogonais, mas que não são ortonormais. Para normalizar as três colunas, nós as dividimos pelos seus respectivos comprimentos, 3 , 6 e 2 , ob-tendo assim a matriz: 
CCCC = v1/√3 1/√6 1/√21/√3 −2/√6 01/√3 1/√6 −1/√2w Cujas colunas são ortonormais. Note que as linhas de CCCC também são ortonormais, tal que CCCC satisfaz (2.84) e (2.83). A multiplicação de um vetor por uma matriz ortogonal tem o efeito de rotacionar os eixos; isto é, se um ponto Ì é transformado para zzzz = ÕÌ, onde CCCC é uma matriz ortogonal, então a distância da origem a zzzz é a mesma distância da origem a Ì: z’zz’zz’zz’z = (CCCCÌ)’’’’(CCCCÌ) = Ì’C’C’C’C’C’C’C’CÌ = Ì’’’’Ì (2.84) Neste caso, a transformação de Ì para zzzz é conhecida como uma rotação. 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
39Teorema 2.10Teorema 2.10Teorema 2.10Teorema 2.10.... Se CCCC é uma matriz (E×E) ortonormal e se AAAA é uma matriz (E×E) qualquer, então: �) |CCCC| = +1 ou –1 ��) |C’ACC’ACC’ACC’AC| = |AAAA| ���) –1 ≤ !z{ ≤ 1, onde !z{ é qualquer elemento da matriz CCCC. 2.11. TRAÇO DE UMA MATRIZ2.11. TRAÇO DE UMA MATRIZ2.11. TRAÇO DE UMA MATRIZ2.11. TRAÇO DE UMA MATRIZ O ��ç� de uma matriz (�×�) AAAA = (�z{) é uma função escalar definida como a soma dos elementos da diagonal de AAAA; isto é, �(AAAA) = ∑ �zz›z¥| . Por exemplo, suponha: 
AAAA = „8 4 22 −3 63 5 9… Então �(AAAA) = 8 + (–3) + 9 = 14. Teorema 2.11Teorema 2.11Teorema 2.11Teorema 2.11aaaa. . . . �) Se AAAA e BBBB são matrizes (�×�) então: �(A A A A ± BBBB) = �(AAAA) ± �( BBBB) (2.85) ��) Se AAAA é (�×E) e BBBB é (p×n) então: �(ABABABAB) = �(BABABABA) (2.86) Note que em (2.86) � pode ser menor, igual ou maior que E. ���) Se AAAA é (�×E) �(A’AA’AA’AA’A) =∑ ª{‰ª{”{¥| (2.87) onde ª{ é a *-ésima coluna de AAAA. �>) Se AAAA é (�×E) �(AA’AA’AA’AA’) = ∑ ªzªz‰”z¥| (2.88) onde ªz‰ é a �-ésima linha de AAAA. >) Se AAAA = (�z{) é uma matriz �×E com elementos representativos �z{ então: �(A’AA’AA’AA’A) = �(AA’AA’AA’AA’) = ∑ ∑ �z{}”{¥|›z¥| (2.89) >�) Se AAAA é (�×�) e PPPP (�×�) é qualquer matriz não singular, então: �(PPPP–1APAPAPAP) = �(AAAA) (2.90) >��) Se AAAA é (�×�) e CCCC (�×�) é qualquer matriz ortogonal, então: �(C’ACC’ACC’ACC’AC) = �(AAAA) (2.91) >���) Se AAAA é (�×E) de posto � e AAAA–––– (E×�) é uma inversa generalizada de AAAA, então: �(AAAA––––AAAA) = �(A AA AA AA A––––) = � (2.92) 
 
�� ����� E��E����� E��� 9��:. $�� (���>�� �� ��?� 
40 Consideremos AAAA, BBBB e CCCC matrizes quadradas de ordem �, ª um vetor (?×1) e � e F números reais. A função ��ç� também apresenta as seguintes propriedades: �) �(²›) = � ��) �(�A A A