exercícios fênomenos terceira prova

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COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
A taxa de descarburação em uma bolha de gás inerte imersa em aço líquido pode ser inferida 
considerando um modelo que compreenda as etapas de transferência de carbono e/ou 
oxigênio através da camada limite no lado metálico da interface metal/gás, seguida da reação 
química interfacial. Qual a possível etapa controladora? Justifique. Assuma bolha de 1cm de 
diâmetro e dados típicos de aciaria: banho a 1873K; 100 ppm de oxigênio e 200 ppm de 
carbono; pressão ambiente igual a 0,1 atm; viscosidade do aço 7 mPas.s; massa específica do 
aço 7000Kg.m-3; difusividade do oxigênio no aço líquido 2,5x10-9m²s-1; difusividade do carbono 
no aço líquido 7,9x10-9m²s-1. Qual a etapa controladora? Qual o valor da taxa de 
descarburação? 
Solução: 
A possível etapa controladora deste processo é o transporte de massa, pois para reações 
pirometalúrgicas a reação química não é a etapa controladora. Neste caso específico estamos 
tratando de temperaturas da ordem de 1873K, onde a reação C + O -> CO é muito rápida. 
Fazendo uma analogia a eletricidade temos 
 
Onde: RTO: Resistência ao transporte de O 
RTC: Resistência ao transporte de C 
RRQ: Resistência a reação química 
 
Se há excesso de carbono, a etapa controladora, possivelmente é o transporte de oxigênio 
 
DB=1cm T=1873K [O]= 100 ppm [C]= 200ppm P=1atm 
ηaço=7x10-3Pa.s ρaço=7,9x10-9m²/s 
 
A velocidade terminal da bolha é dada por 
 
𝑣 =
2𝑅²Δ𝜌𝑔
9𝜂
 𝑣 =
2.0,012 . 7000 .9,81
9,7.10−3
 
𝑣 = 218𝑚/𝑠 𝑃𝑉 =
𝑚𝑅𝑇
𝑀
 𝜌𝑔 =
𝑃𝑀
𝑅𝑇
 
(como ρg<< ρaço -> ρg é desprezível em relação 
a ρaço) 
 
Para determinar a etapa controladora basta 
analisar qual das etapas possui uma maior 
resistência (etapas relativas ao transporte): 
𝑡𝑒 = 
𝐷
𝑉
 𝑡𝑒 = 
10−2
218
 te=4,59x10-5s 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
 
Para o oxigênio 
𝐾𝑜 = 2 
𝐷𝑜
𝜋 .𝑡𝑒
 𝐾𝑜 = 2 
2,5.10−5
2,59.10−5
 
𝐾𝑜 = 0,0083 
Para o carbono 
 
𝐾𝑐 = 2 
𝐷𝑐
𝜋 .𝑡𝑒
 𝐾𝑐 = 2 
7,9.10−9
𝜋 .4,59.10−5
 
𝐾𝑐 = 0,0148 
Como Kc>Ko, temos que a resistência ao transporte de carbono é menor que a resistência ao 
transporte de oxigênio. Logo a etapa controladora é o transporte de oxigênio. (R α 1/k) 
A taxa de descarburação diz respeito a quantidade de carbono que é retirada do banho por 
unidade tempo. 
 
Nc – Área x constante x força motriz 
Nc = A[M²] x k[m/s] x ΔC[mol/m³ 
Nc = 4πR².k.(Cc
i – Cc
eq) 
Considerando Cc
i >> Cc
eq , Cc
eq pode ser 
desprezada. 
Nc = 4π.0,01².0,0148.(58,33) 
Nc = 0,0011 mols/s 
 
Cci = 
100
106
 x 
ρaço
Mc
 Cci = 
10x7000000−4
12
 
Cci = 58,33 mol/m³ 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
 
 
 
 
 
 
 
A bolha de gás inerte é termodinamicamente 
um possível sítio de captura de CO, pois 
μco(interno) -> -∞, pois μi=μ
0
i – RT lnai , mas 
ai=Pi (gás ideal), mas para concentração nula 
de Co implica que ai -> 0 logo μi= -∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transporte de O 
Transporte de C 
Interface 
Bolha de gás Inerte 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
Um container, cilíndrico de aço (1m de comprimento x 1m de diâmetro x 1m de espessura) 
contém H2 (75 atm, 400°C). Quanto tempo após o enchimento serão detectadas as primeiras 
quantidades de hidrogênio no entorno do cilindro, resultante do vazamento por difusão? 
Considere Dh = 10-8m²s-1 e que a 400°C e 1,0133x105 Pa a solubilidade máxima do hidrogênio 
no aço corresponda a 3 ppm em peso. 
 
Solução: 
Dimensões: L=1m D=1m E=0,01m P=75atm T=400°C=673K 
Dh=10-8m²/s e a T=400°c e P= 1,0133.105Pa -> Smáx = 3 ppm em peso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
É muito provável que a etapa controladora seja a difusão do H na parede do metal (etapa mais 
lenta) 
Fluxo = Área do fluxo . fluxo específico . C [Atomo grama H/m².s] 
𝑁𝐻2 = 𝑉𝐶 − 
𝐷.𝑑𝐶𝐻2
𝑑𝑥
 𝑁𝐻2 = − 
𝐷 .𝑑𝐶𝐻2
𝑑𝑥
 
 
A solubilidade máxima de hidrogênio no aço é dada por: 
3.𝜌𝑎 ç𝑜 
𝑘𝑔
𝑚3
 
106 .𝑀𝐻 
𝑔
𝑚𝑜𝑙
 
= 
3.7.106
106 .1 
= 21 𝑚𝑜𝑙/𝑚³ 
𝑀𝑎𝑠 𝑁𝐻2 = 𝐷. 
−𝑑𝐶𝐻2
𝑑𝑥
 ,𝑚𝑎𝑠 
–𝑑𝐶𝐻2
𝑑𝑥
= 
𝐶𝑜−𝐶𝑖
 𝜋𝛼𝑡
. exp−
𝑥2
4𝛼𝑡
 
𝑁𝐻2 = 𝐷.
 𝐶𝑜−𝐶𝑖 
 𝜋𝛼𝑡
. exp−
𝑥2
4𝛼𝑡
 
 
 
L 
E 
D 
PH2 = 75 atm 
As etapas do processo de escape do hidrogênio são as seguintes: 
- transporte de h2 até a superfície interna do cilindro 
- reação química H2(g) -> 2H 
-Difusão do H nas paredes do container (desde a superfície interna 
até a superfície externa) 
-Reação química 2H -> H2(g) 
-Transporte de H2 na superfície externa do cilindro 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
Mas para determinar após quanto tempo se detectará as primeiras quantidades de H2 no 
entorno do cilindro temos: 
𝛿 = 𝑘 𝐷𝑡 
𝛿
𝑘
= 𝐷𝑡 𝑡 = 
𝛿
𝑘
 ².
1
𝐷
 
𝑡 =
0,012
𝑘2
.
𝑠
10−8𝑚2
𝑆
 𝑡 =
104
𝑘2
𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
Chemical Vapor Deposition pode ser utilizado para depoição de titânio de acordo com a reação 
TiI4(g) = Ti(s) + 2I2(g) (ΔG
0 = 402000 – 118 T Joules) a 1atm e 1500K. Neste esquema TiI4 (gás 
puro a 1 atm) é passado sobre a extremidade de um capilar (5 cm de comprimento, 5 mm de 
diâmetro) no fundo do qual se encontra o substrato sobre o qual se dá a deposição. Considere 
o valor de coeficiente de difusão na fase gasosa igual a 0,875 cm²/s e: estabeleça condições de 
contorno, aplique restrições estequiométricas (e outras que se fizerem necessárias), encontre 
o fluxo de TiI4 e a taxa de deposição de titânio. 
 
TiI4(g) = Ti(s) + 2I2(g) ΔG
0 = 402000 – 118 T Joules P=1atm 
T=1500K Dg= 0,875cm²/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como ΔG0= -RTln Keq, onde 𝐾𝑒𝑞 =
𝑝𝐼22 .𝑝𝑇𝑖 𝑠 
𝑝𝑇𝑖𝐼4 𝑔 
 
402000 − 118.1500 = −8,314.1500. 𝑙𝑛
𝑝𝐼22
𝑝𝑇𝑖𝐼4 𝑔 
 
𝑙𝑛
𝑝𝐼22
𝑝𝑇𝑖𝐼4 𝑔 
= −18,04 Keq = 1,44x10-8 
A partir desta expressão notamos que na interface da reação a pressão parcial do I2 pode ser 
considerada muito menor que a pressão parcial do TiI4 
N TiI4 = VTiI4. C− D.
dC TiI 4
𝑑𝑥
 , N I2 = VI2. C− D.
dC TiI 4
𝑑𝑥
 
N TiI4 = (NTiI4 + NI2)XTiI4. C − D.
dC TiI 4
𝑑𝑥
 
 Mas pela estequiometria da reação -2NTiI4 = NI2, logo: 
NTiI4 = (NTiI4 – 2NTiI4) 
Substituindo na penúltima equação: 
x 
TiI4(g) I2(g) 
Ti(s) 
5cm 
5mm 
Considerando que todo TiI4 transportado é 
consumido e todo I2 produzido é 
transportado (condição de regime quase 
estacionário). 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
N TiI4 1 + XTiI4 = −D. CI
dX TiI 4
𝑑𝑥
 
A ser integrada com as seguintes condições de contorno: 
CC1: x=0 -> XTiI4=0 (na interface da reação) 
CC2: x=L -> XTiI4=1 (na entrada/saída do capilar) 
Como PV=nRT e 
𝑛
𝑉
= 𝐶 =
𝑃
𝑅𝑇
 , temos: 
𝐶T =
1,013.105𝑃𝑎
8,314𝐽
𝑚𝑜𝑙 .𝐾
.1500𝐾
 CT=8,12mol/m³ 
Mas 
𝑁𝑇𝑖𝐼4
𝐷.𝐶𝑇
= 𝑑𝑥
𝐿
0
= − 
𝑑𝑋𝑇𝑖𝐼4
1+𝑋𝑇𝑖𝐼4
1
0
 
𝑁𝑇𝑖𝐼4
𝐷.𝐶𝑇
.𝑋|𝑑𝑒 0 𝑎 𝐿 = − ln 1 + 𝑋𝑇𝑖𝐼4 |𝑑𝑒 0 𝑎 1 
𝑁𝑇𝑖𝐼4
𝐷.𝐶𝑇
. 𝐿 = −(ln 2− ln 1) N TiI4 =
−D.CT
L
. ln 2 
N TiI4 = −0,875.10−4 
m2
s
 . 8,12 
mol
m3
 . ln 2 .
1
0,05m
 
N TiI4 = −0,0098
mol
m2 .s
 
A reação de deposição é representada por TiI4(g) = Ti(s) + 2I2(g), onde –NtiI4 = NTi, logo NTi = 
0,0098 Mol/m².s 
A taxa de deposição do titânio Td é expressa por 
𝑇𝑑 
𝑀𝑜𝑙𝑠
𝑆
 = 𝑁𝑇𝑖 
𝑚𝑜𝑙𝑠
𝑚2 . 𝑠
 .𝐴 𝑚2 
𝑇𝑑 = 0,0098.
𝜋. 0,0052
4
 𝑇𝑑 = 1,92.10−7
𝑚𝑜𝑙𝑠
𝑠
 
 
 
 
 
 
 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
A velocidade de um processo envolvendo transporte de massa num meio fluido e reação 
interfacial pode ser relatada como 
 
r =
ΔC
 
1
AKcl
 + 
1
AKrq
 
 
Onde ΔC representa a força motriz, A a área de interface, Kcl e Krq o coeficientede 
transferência de massa e constante da velocidade de reação respectivamente. 
Assuma 𝐾𝑐𝑙 = 4.10−6. 𝑒−
3000
𝑇 e 𝐾𝑟𝑞 = 30. 𝑒−
45000
𝑇 
E que o controle se caracterize por uma determinada resistência ser 10 vezes superior a outra. 
Qual a etapa controladora a 1400K? Determine a faixa de temperaturas em que agitação sem 
alteração de área superficial interfere sobre o processo. 
 
Solução 
 
A: r =
ΔC
 
1
AKcl
 + 
1
AKrq
 
 𝐾𝑐𝑙 = 4.10−6. 𝑒−
3000
𝑇 = 4.10−6𝑒 −
3000
1400
 
= 4,61.10−7 
 𝐾𝑟𝑞 = 30. 𝑒−
45000
𝑇 = 30. 𝑒−
45000
1400 = 3,3.10−13 
T=1400K 
 
Substituindo em A veremos que a resistência 
1
𝐴𝐾𝑐𝑙
 é menor que a resistência 
1
𝐴𝐾𝑟𝑞
 , então 
podemos afirmar que o controle do processo é químico. 
 
Na reação química: 
1) Aumento da temperatura 
2) Aumento da área superficial 
3) Aumento da concentração das espécies reagentes. 
No transporte de massa: 
1) Agitação para emulsificar e diminuir a camada limite 
2) Aumento da área superficial 
3) Aumento da concentração das espécies transportadas. 
 
r =
A.ΔC
 
1
Kcl
 + 
10
Kcl
 
 r =
A.Kcl .ΔC
11
 
 
10. 
1
4.10−6 .𝑒
−
3000
𝑇
 = 
1
30𝑒
−
4500
𝑇
 ∴ 
107
4𝑒
−
3000
𝑇
 =
 
1
30𝑒
−
4500
𝑇
 
 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
 
 
30.107
4
= 𝑒 
−
3000
𝑇
 + −
4500
𝑇
 
 ∴ 7,5.106 = 𝑒
4200
𝑇 ∴
 ln 75.106 = 
4200
𝑇
 
T≥2316,22K 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
 
Assuma que determinado processo de redução de um óxido por hidrogênio seja controlado 
por reação química na interface metal/óxido, podendo ser descrito através do modelo 
topoquímico. Encontre a expressão que relaciona o tempo à fração reagida g (α). Sabendo-se 
que a 1020°C e após 1 minuto de reação a fração reagida vale 0,20, estime esta última após 8 
minutos. Reescreva a expressão determinada anteriormente de modo a explicitar Krq como 
função de t e de g(α). Estime a energia de ativação e verifique se é viável a hipótese a respeito 
do controle, se a 913°C e 1 minuto a fração reagida se determinou como 0,03. 
 
Solução: 
T: 1020°C, t=1minuto, α=0,20 
T= 913°C, t= 1Minuto, α=0,20 
 
𝑉𝑝 = −4𝜋𝑅2𝐾𝑟𝑞Δ𝐶 
𝑑
𝑑𝑡
 
4
3
𝜋𝑅3𝜌 =
−4𝜋𝑅2𝐾𝑟𝑞Δ𝐶 ... derivando ... 
3.4
3
.𝜋𝑅2𝜌.
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= −4𝜋𝑅2𝐾𝑟𝑞Δ𝐶 -> simplificar 
𝜌 𝑅 − 𝑅0 = −𝐾𝑟𝑞Δ𝐶𝑡 (÷ 𝑅0) ... 
𝜌 𝑅−𝑅0 
𝑅0
= −
𝐾𝑟𝑞Δ𝐶𝑡
𝑅0
 
𝜌. 
𝑅
𝑅0
− 1 = −
𝐾𝑟𝑞Δ𝐶𝑡
𝑅0
 
𝑅
𝑅0
− 1 = −
𝐾𝑟𝑞Δ𝐶𝑡
𝜌𝑅0
 
Sabemos que 𝛼 = 1 − 
𝑅
𝑅0
 
3
 ∴ 
𝑅
𝑅0
= 1 − 𝛼 
1
3 
 1− 𝛼 
1
3 − 1 = −
𝐾𝑟𝑞Δ𝐶𝑡
𝜌𝑅0
= 𝑔(𝛼) 
 1−0,2 
1
3−1
 1−𝛼 
1
3−1
=
𝐾𝑟𝑞 Δ𝐶60
𝑅0
𝐾𝑟𝑞Δ𝐶480
𝑅0
 −
0,07
 1−𝛼 
1
3−1
= 0,125 
−0,56 = 1 − 𝛼 
1
3 − 1 → 1 − 𝛼 
1
3 = 0,44 3 
1 − 𝛼 = 0,085 → 𝛼 = 0,92 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
𝐾𝑟𝑞 = −
𝑔 𝛼 𝜌𝑅𝑜
Δ𝐶𝑡
 𝐾𝑟𝑞 = 𝐾𝑜𝑒−
Δ𝐸
𝑅𝑇 
arrhenius 𝐾𝑟𝑞 = −
 1−𝛼 
1
3−1 𝜌𝑅𝑜
Δ𝐶𝑡
 
𝐾𝑟𝑞1020°𝐶
𝐾𝑟𝑞913°𝐶
= −
− 1− 0,2 
1
3 − 1 . 
𝜌𝑅𝑜
Δ𝐶. 60 
− 1− 0,03 
1
3 − 1 
𝜌𝑅𝑜
Δ𝐶. 60 
=
0,072
0,010
= 7,2 
Utilizando Arrhenius vem: T=1020°C=1293K 
 T=913°C=1186K 
7,2 =
𝐾𝑜𝑒
−
Δ𝐸
𝑅 .1293
𝐾𝑜𝑒
−
Δ𝐸
𝑅 .1186
 7,2 = exp⁡(−
Δ𝐸
𝑅
 
1
1293
 − 
1
1186
 
7,3 exp 
𝛥𝐸
𝑅
. 7.10−5 → 𝑙𝑛7,3 = 8,42.10−6Δ𝐸 
Δ𝐸 =
1,987
8,42.10−6
= 2,35.105𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
 
 
Partículas de CaO são injetadas em gusa líquido, contendo 100ppm de exofre. O nível de gusa 
é L=2m e o tempo de resistência da partícula de diâmetro d=200μm é igual a τ, próxima de 2 
segundos. Assuma controle por transporte de massa (enxofre) na camada limite de gusa 
líquido ao redor da partícula, validade da teoria de Higbie. Escreva a equação para o fluxo de 
enxofre desde o gusa até a partícula. Esime a quantidade total transferida desde o ponto de 
injeção até a interface metal/escória de topo. A fração de CaO convertida em CaS considere. 
𝑘 = 2 
𝐷𝑠
𝜋𝑡𝑒
 𝑒 𝐷𝑠 = 3.10−4 
𝑐𝑚2
𝑠
 
L=2m D=200μm=200.10-6m t=2s=τ 
 
equação para fluxo de enxofre desde o gusa até a partícula: 
 
A equação para o fluxo de S do gusa até a partícula se escreve da seguinte forma, 
𝑁𝑠 = 4𝜋𝑅2.𝐾𝑚. 𝐶𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 − 𝐶𝑠 𝑖 (assumindo equilíbrio na interface, cs 
i=cs equilíbr) 
𝜌𝐶𝑎𝑂 = 𝜌𝐶𝑎𝐶𝑂3.
𝑀𝐶𝑎𝑂
𝑀𝐶𝑎𝐶𝑂3
= 3000. 
56
100
 = 1680𝐾𝑔/𝑚3 
Considerando Cs infinito>>Cs i, teremos que 
𝑁𝑠 = 4𝜋𝑅2 .𝐾𝑚.𝐶𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 
𝐶𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 =
100.10−6 . 6300
32.10−3
= 19,6875
𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎
𝑚3
 
Admitindo a validade da lei de Stokes temos que 
𝑉𝑡 =
2.𝑅2.𝑔. 𝜌𝑔𝑢𝑠𝑎 − 𝜌𝐶𝑎𝑂 
9𝜂
=
2. 100.10−6 2. 9,81. 6300 − 1680 
9.7.10−3
 
𝑉𝑡 = 0,014
𝑚
𝑠
 → 𝑅𝑒 =
2.6300.100.10−6 . 0,014
9.7.10−3
= 0,28 
É válida nossa hipótese acerca do tipo de escoamento em torno da partícula! 
Admitiu-se 𝜂𝑔𝑢𝑠𝑎 = 𝜂𝑎ç𝑜 
Portanto o tempo de renovação será: 
𝑡𝑒 =
200.10−6
0,014
= 0,014 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 
Pela teoria de Higbie 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
𝑘 = 2. 
3.10−4. 10−4
𝜋. 0,014
=
1,65.10−3𝑚
𝑠
 
Admitindo-se área de fluxo constante teremos: 
𝑁𝑠 = 4𝜋. 100.10−6 2 . 1,65.10−3. 19,6875 = 4,08.10−9𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠.
𝑔
𝑠
 
 
A quantidade total transferida admitindo-se tempo de residência igual a τ = 2s será 
Δ𝑁𝑠 = 4,08.10−9. 2 = 8,16.10−9 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠.𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 
 
A quantidade inicial de CaO na partícula vale: 
Δ 𝑁𝐶𝑎𝑂 =
𝜌𝐶𝑎𝑂.𝑉𝐶𝑎𝑂
𝑀𝐶𝑎𝑂
= 1680.4.𝜋.
 100.10−6 3
3.56.10−3
= 1,26.10−7𝑚𝑜𝑙𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑂 
Como foram transferidos 8,16.10−9𝑚𝑜𝑙𝑠 de S para a partícula, levando em consideração 
estado de quase equilíbrio a estequiometria da reação: 
CaO(s)+S = CaS(s) + O 
Teremos que foram consumidos 1,26.10^-9 mols de CaO, o que implica que a fração de CaO 
convertida em CaS será 
%𝐶𝑎𝑂 𝑐𝑜𝑛𝑣 =
1,26.10−7 − 8,16.10−9
1,26.10−7
= 93,52% 
Logo foi convertida a fração de 93,52% de CaO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
Uma parede de 1mm de espessura constituída de níquel se encontra exposta a uma atmosfera 
de hidrogênio em uma face a 1,5 atm e em outra face a 0,1 atm. Encontre o fluxo de 
hidrogênio a 400°C sabendo-se: massa atômica do Níquel 58, 71 g/mol, massa específica do 
níquel 8770 Kg/m³, coeficiente de difusão do hidrogênio 4,9.10−10𝑚²/𝑠 , solubilidade do 
hidrogênio em níquel a 1atm e 400 °C, 250 ppm. 
 
Solução 
Chapa 1mm de espessura de Ni. P1=1,5 atm P2=0,1atm ρ=8770 kg/m³ 
DH= 4,9.10−10
𝑚2
𝑠
 Massa molar níquel = 58,71 T=400°C=673K 
 
Solubilidade do hidrogênio em níquel nas condições dadas = 250 ppm 
 𝐻 =
250𝑝𝑝𝑚
10000%
 𝑥 
1%
100𝑝𝑝𝑚
 𝑥 
8770𝐾𝑔
1𝑚3
 𝑥 
1𝑚𝑜𝑙
1.10−3𝐾𝑔
= 2192,5 
𝑚𝑜𝑙
𝑚3
 
H2----------->2H 
 
𝐾𝑒𝑞 = 
 𝐻 2
𝑃𝐻2
 =
 2192,5 2
1,03.105
= 46,67 
𝑁𝐻 = Á𝑟𝑒𝑎. −𝐷𝐻 .
𝑑𝑐
𝑑𝑥
 
𝑁𝐻
𝐴
= −𝐷𝐻.
Δ𝐶
𝐿
 
Para P=1,5 atm 
 𝐻 = 46,67.1,5.1,03.105 = 2685𝑚𝑜𝑙/𝑚3 
Para P= 0,1 atm 
 𝐻 = 46,67.0,1.1,03.105 = 693,3 𝑚𝑜𝑙/𝑚³ 
Logo: 
𝑁𝐻
𝐴
= −4,9.10−10 .
(693,3−2685,2)
10−3
 
Então 
𝑁𝐻
𝐴
= 9,76.10−4
𝑚𝑜𝑙𝑠
𝑠.𝑚2
 Fluxo de Hidrogênio 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
O gráfico, esquemático em anexo diz respeito à velocidade de dissolução de um metal contido 
em minério e submetido à lixiviação em polpa. CR representa a concentração do produto 
(complexo de metal em solução). As experiências foram realizadas à mesma temperatura, sob 
diferentes velocidades de agitação (rotação de impeller). Quais são as prováveis regiões (em 
termos de agitação)de controle por transporte de massa e controle por reação química? 
Justifique. Num experimento semelhante admitiu-se validade do modelo topoquímico. Análise 
dos resultados sugere que o tempo de dissolução seria proporcional ao raio original das 
partículas. Qual seria a etapa ocntoladora? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T=constante 
a) As regiões onde provavelmente se tem um controle do processo pelo transporte de 
massa são à direita do gráfico, rotações de 200 e 100 rpm, pois vemos nas mesmas um 
menor grau de agitação 𝐾𝑚 =
𝐷𝐴
𝛿
. Dessa forma, teremos uma camada limite maior, 
tornando a resistência do transporte de massa maior 
 
𝑉 =
Δ𝐶
1
𝐴𝐾𝑚
+
1
𝐴𝐾𝑟𝑞
 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑉 =
Δ𝐶
1
𝐴𝐾𝑚
 
Uma maneira de melhorar a eficiência do processo controlado por essa etapa estando 
concentração e grau de cominuição constante seria aumentar o grau de agitação 
𝐾𝑚 =
𝐷𝐴
𝛿
 , pois aumentando-se o mesmo se tem uma diminuição da 
camada limite. 
Dessa forma teremos no lado esquerdo do gráfico, rotações de 700 e 600 rpm o 
controle por reação química. 
Cr 
Tempo 
700 
600 
200 
100 rpm 
4𝜋𝜌𝑀𝑜𝑅²
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= −
Δ𝐶
1
4𝜋𝑅𝑜2𝐾𝑐𝑙
+
1
4𝜋𝐷𝑒𝑓 .
 
1
𝑅 −
1
𝑅𝑜
 +
1
4𝜋𝑅2𝐾𝑟𝑞
 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
b) A etapa controladora seria a de transporte de massa, uma vez que o raio da partícula 
tem relação com a espessura da camada limite, cominuição seria uma alternativa boa 
para melhorar o transporte de massa. Ao cominuir uma partícula aumenta-se a 
superfície específica e melhora ao transporte de massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
Considere que um processo químico envolvendo uma reação do tipo A(s)+B(g)=C(g) possa ser 
descrito pelo Modelo de Núcleo Não Reagido / Dimensões Variáveis: 
1- Em que hipóteses tal modelo se baseia? 
2- Assuma que, a velocidade da etapa relativa ao transporte possa ser estimada como 
𝐹𝐵 = −4𝜋𝑅2𝐾𝑚 𝐶𝑜 − 𝐶𝑠 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐵/𝑠 
A velocidade da etapa reação química como 
𝑉𝑟𝑞 = −4𝜋𝑅2𝐾𝑟𝑞 𝐶𝑠 − 𝐶𝑒𝑞 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴 / 𝑠 
Faça uso da analogia elétrica e mostre que a expressão que fornece a variação do raio 
com o tempo seria fornecida por 
 
4.𝜋.𝜌𝐴.𝑅².
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= −
𝐶𝑜 − 𝐶𝑒𝑞
1
4𝜋𝑅2.𝐾𝑚
+
1
4𝜋𝑅2𝐾𝑟𝑞
 
Onde 
R: raio da partícula 
Km: coeficiente de transferência de massa 
Co, Cs, Ceq: Concentração de B, afastado da partícula, na superfície da partícula, de 
equilíbrio respectivamente. 
Krq: constante da velocidade de reação 
ρA: Densidade molar de A na partícula 
t: tempo 
3- Qual seria a etapa controladora? Justifique 
4- Compare a velocidade do processo a 1000°C e 1050°C e estime a energia de ativação. 
Dados: 
Raio da partícula= 0,1cm 
Ceq = 10−9mol/cm³ Co = 10−5mol/cm³ 
1000°C: Km=43cm/s ;Krq=837cm/s 
1050°C: Km=51cm/s ;Krq=2022cm/s 
 
Solução: 
1) A partícula é considerada impermeável aos gases, ou seja, a reação química só ocorre 
na superfície da partícula. 
2) 𝑉𝑡𝑚 = −4𝜋𝑅2𝐾𝑚 𝐶𝐵
𝑜 − 𝐶𝐵
𝑖 𝑉𝑅𝑄 = 𝑉𝑅𝑄 =
𝑉𝑅𝑄 = −4𝜋𝑅
2𝐾𝑅𝑄 𝐶𝐵
𝑖 −𝐶𝐵
𝑒𝑞
 
 
Fazendo analogia elétrica temos: 
 
𝑉𝑝 = −
 𝐶𝐵
0−𝐶𝐵
𝑒𝑞
 
1
4𝜋𝑅2𝐾𝑚
+
1
4𝜋𝑅2𝐾𝑅𝑄
 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
4
3
𝜋𝑅3 𝑚
3 .𝜌𝐴 𝑚𝑜𝑙𝑠 𝑑𝑒
𝐴
𝑚3
 
= 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐴 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 
𝑑
𝑑𝑡
 
4
3
𝜋𝑅3𝜌𝐴 = 𝑉𝜌 3 .
4
3
𝜋𝑅2𝜌𝐴
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= −
 𝐶𝑜 − 𝐶𝑒𝑞 
1
4𝜋𝑅2𝐾𝑚
+
1
4𝜋𝑅2𝐾𝑅𝑄
 
 
 
3) T=1000°C = 1273K 
𝑅𝑇𝑀 =
1
4𝜋 0,1 2 .43
 𝑅𝑅𝑄 =
1
4𝜋 0,1 2 .837
 
 
T=1050°C= 1323K 
𝑅𝑇𝑀 =
1
4𝜋 0,1 2 .51
 𝑅𝑇𝑀 =
1
4𝜋 0,1 2 .2022
 
 
A etapa controladora será por transporte de massa, pois a resistência do transporte de 
massa é maior comparando Ktm e Kro para 1000 e 1050°C 
 
4) ??????????? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolver essas equações 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
Uma chapa de ferro (0,01cm de espessura é submetida a atmosferas gasosas capazes de 
manter suas faces a 1,2% e 0,1% de C, respectivamente. Encontre o fluxo de carbono a 1200°C 
em regime permanente, se Dc=1,625+0,747%C+1,088%C²+1,476%C³ cm²/s 
 
 
 
 
 
 
 
𝑁𝑐, 𝑥 = −𝐷𝑐
𝑑𝐶
𝑑𝑥
 
−𝑁𝑐, 𝑥.𝑑𝑥 = 𝐷𝑐.𝑑𝐶. 𝜌𝑎ç𝑜 
𝑔
𝑐𝑚3
 .
%𝐶
100.𝑀𝑐 
𝑔
𝑚𝑜𝑙 
 
−𝑁𝑐,𝑥.
100.𝑀𝑐 .𝑑𝑥
𝜌𝑎ç𝑜
= 1,625 + 0,747C + 1,088C2 + 1,476C3 dC 
−𝑁𝑐, 𝑥.
100.𝑀𝑐
𝜌𝑎ç𝑜
 𝑑𝑥
0,01
0
= 1,625 + 0,747C + 1,088C2 + 1,476C3 
0,1
1,2
dC 
Integra tudo e substitui os valores da integral definida, Mc é a massa molar do carbono, vai 
achar o valor de Nc,x= 2,16 mol/m².s 
 
 
 
 
%C %C 
1,2 
0,1 
δ=0,01cm 
Nc,x=? T=1200°C=1473K 
Regime Permanente = Fluxo Constante 
ρaço=7g/cm³ 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
Exemplo: Considere uma bolha de cálcio, de 3 mm de diâmetro, inicialmente a 50 cm de 
profundidade em um banho de aço, a 1550 oC. Estime a pressão de cálcio na bolha e o número 
de mols contidos na mesma. Estime a velocidade de ascensão da bolha e o intervalo de tempo 
necessário para que a mesma ascenda a 45 cm de profundidade. Estime o coeficiente de 
transferência de massa na camada limite ao redor da bolha, assumindo Ca D (coeficiente de 
difusão de Cálcio no metal) igual a 4 x10 –4 cm2/s. Suponha que a bolha possa ser considerada 
uma esfera rígida. 
Considere que a relação entre a pressão parcial de cálcio e a concentração do mesmo 
dissolvido na liga seja Ca C (mol/cm3) = 3,5 x 10-4 Ca P (atm), assuma equilíbrio local na 
interface gásmetal e encontre a concentração de cálcio nesta interface. Assuma ser desprezível 
a concentração no interior da fase metálica e estime o fluxo de cálcio devido a este gradiente 
de composição. 
Estime o consumo de cálcio quando a bolha ascende de 50 cm a 45 cm de profundidade. 
Esta velocidade seria dada por um balanço de forças 
Η=7x10-3 Pa.s 
Ρ=7000 Kg/m³ 
Aço líquido = 1600°C 
Um esquema da concentração de cálcio no metal, a partir da interface 
metal/bolha 
Reação química de dissolução 
Ca(g)--->Ca 
Keq=[Ca]/Pca 
Note que para que a variável de energia livre da reação Ca(s)--->Ca se faz 
necessário: 
Cca interface <= Cca equilíbrio 
Porém como as temperaturas são altas de modo que a reação química de 
dissolução não deve ser controladora do processo, isto é, existe equilíbrio 
local na interface ou 
Cca interface ~Cca equilíbrio ~Keq.Pca 
Então o diagrama pode ser retraçado e a velocidade de transporte de 
cálcio na camada limite seria 
ηca[mols Ca/s]=Área[m²].Kca[m/s].{Ccai.Cca-infinito} [mol/m³] 
COKERAL – Fenômenos de Transporte. 
Vamos assumir que a bolha de cálcio ascenda para superfície com 
velocidade igual à velocidade terminal (lei de Stokes) 
VT=2R².g.Deltaρ/9η-----> 2.(1,5.10^-3)².9,81.7000/9,7.10^-3 
VT=4,905[m/s] 
Logo o tempo necessário para que a bolha pase de 50 para 45 cm seria 
Delta t= 0,05.4,905 = 0,010 s 
E o coeficiente de transferência de massa (equação de frossling) 
2Rik/Dca=2+0,552.(2R.ρaço.VT/ηaço)^0,5 . (ηaço/ρaço.Dca)^(1/3) 
 
Onde Vt= 4,905 m/s 
ρaço=7000 kg/m³ 
ηaço=7x10-3 Pa.s 
R=1,5.10-3 m 
Dca=40.10-8 m²/s 
De modo que Kca ~2,63.10-3 m/s 
 
Finalmente como a pressão de cálcio na bolha pode ser aproximada como 
Pca=Pamb+ρgL(metalostática)+(2ς/R) (interfacial) 
Pca ~ Pamb+ρaço.g.L 
Pca ~ 1,013.10^5 + 7000.9,81+0,5 Pca= 135635Pa=1,35atm 
De modo que o fluxo de cálcio ao aço seria 
Nca=delta t(s).ηCa 
Nca [mols Ca] = 0,010.4pi.(1,5.10-3)[m²].2,63.10-3[m/s].(3,5.10-
4.1,338)[mols Ca/m³] 
Para calcular ni só usar pv=nRT