Cinemática direta de manipuladores robóticos

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SEM0137 SEM0137 -- Aula Aula 55
Cinemática Direta de Cinemática Direta de 
Manipuladores Robóticos Manipuladores Robóticos Manipuladores Robóticos Manipuladores Robóticos 
Prof. Dr. Marcelo BeckerProf. Dr. Marcelo Becker
EESC - USP
•• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
• Questões Cinemáticas
• Representação da Orientação
Sumário da AulaSumário da Aula
EESC-USP © M. Becker 2008 2/64
• Matriz de Transformação Homogênea
• Equações Cinemáticas
• Esquema Denavit-Hartenberg
• Exercícios Recomendados
• Bibliografia Recomendada
Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
• Também chamado de “Envelope”
Máximo Restrito Operacional
EESC-USP © M. Becker 2008 3/64
Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
Elos
EESC-USP © M. Becker 2008 4/64
Juntas Ferramenta
Base do Robô
2 GDL’s
Manipulador em Série 
com 6 GDL’s
TCP
Tool Center Point
Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
EESC-USP © M. Becker 2008 5/64
• Espaço de Trabalho 
paralelepipídico, mas 
Ineficiente...
• Simples de programar, 
simples de controlar
Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
EESC-USP © M. Becker 2008 6/64
CartesianCartesiano o TTTTTT
simples de controlar
• Espaço de Trabalho 
Cilíndrico.
• Alcance limitado
Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
EESC-USP © M. Becker 2008 7/64
Cilíndrico TTRCilíndrico TTR
• Suporta carregamentos pesados
• Freqüentemente montado em 
robôs móveis para operações 
rápidas de pick and place.
• Difícil de Programar
Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
EESC-USP © M. Becker 2008 8/64
Esférico Esférico (Polar)(Polar) RRTRRT
• Difícil de Programar
• Muito Rápido, mas suporta 
pouca carga
• Freqüentemente 
empregado em operações 
de montagem.
Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
EESC-USP © M. Becker 2008 9/64
SCARASCARA
de montagem.
• Mais difícil de ser 
programado
Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
EESC-USP © M. Becker 2008 10/64
Articulado RRRArticulado RRR
•• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
•• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas
• Representação da Orientação
Sumário da AulaSumário da Aula
EESC-USP © M. Becker 2008 11/64
• Matriz de Transformação Homogênea
• Equações Cinemáticas
• Esquema Denavit-Hartenberg
• Exercícios Recomendados
• Bibliografia Recomendada
Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas
CINEMÁTICA DIRETA
• Dados: Coordenadas generalizadas de posição das Juntas; 
• Procura-se: Posição do TCP e Orientação do Sist. de Coordenadas 
da Ferramenta;
CINEMÁTICA INDIRETA (Inversa)
• Dados: Posição do TCP e Orientação do Sist. de Coordenadas da 
Ferramenta;
• Procura-se: Coordenadas generalizadas de posição das Juntas;
EESC-USP © M. Becker 2008 12/64
Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas
IMPORTANTEIMPORTANTE::
Questões análogas são colocadas para relacionar as 
velocidades e acelerações generalizadas das articulações, velocidades e acelerações generalizadas das articulações, 
com a velocidade e aceleração do TCP, bem como a 
velocidade e aceleração angular do Sistema de 
Coordenadas da Ferramenta.
EESC-USP © M. Becker 2008 13/64
• Localização dos Objetos:
- Elos e Juntas do manipulador, Peças,
Cinemática Direta → Descrição de Posição 
e Orientação
Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas
EESC-USP © M. Becker 2008 14/64
- Elos e Juntas do manipulador, Peças,
Ferramentas, etc.
- Especificação de:
- Juntas e Elos
- Sistemas de Referência Fixo e Móveis
- Área de Trabalho
Sistema de Referência da Ferramenta
Sistema de Referência do Punho
Ferramenta
Câmera
Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas
Sistema de Referência do Punho
Sistema de Referência do Robô
Sistema de 
Referência 
da Estação
Sistema de 
Referência 
da Peça
EESC-USP © M. Becker 2008 15/64
•• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
•• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas
•• Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação
Sumário da AulaSumário da Aula
EESC-USP © M. Becker 2008 16/64
• Matriz de Transformação Homogênea
• Equações Cinemáticas
• Esquema Denavit-Hartenberg
• Exercícios Recomendados
• Bibliografia Recomendada
Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação
• Matriz de Rotação 3 x 3
• Cossenos Diretores
– 9 parâmetros
– 24 Conjuntos de Combinações [Kane et al., – 24 Conjuntos de Combinações [Kane et al., 
Spacecraf Dynamics, 1983] - ANEXO
Quaternions e 
Parâmetros de Euler
(4 parâmetros)
Indicador de Movimento 
e Tensor de Rotação
EESC-USP © M. Becker 2008
Ângulos de Roll, Pitch, Yaw
(X0, Y0, Z0) → 3 parâmetros 
Ângulos de Euler
(Z0,X1,Z2)→ 3 parâmetros 
Ângulos de Kardan
(Z0,Y1,X2)→ 3 parâmetros
Web-Link 1
Web-Link 2
17/64
Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação
CCCC 'B'B'EE
Cossenos Diretores
EESC-USP © M. Becker 2008 18/64
CCCC 'B'B
B'
'B'
E
B'
E
B =
Duas interpretações possíveis :
- Igualdade Final de Transformações, 
- não da seqüencia.
Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação
CCCC 'B'B
B'
'B'
E
B'
E
B =
Afirmação:
Uma seqüência de rotações ϕ1, ϕ2 e ϕ3 no Sistema de Coordenadas 
Fixo ao corpo bi, bj, bk leva à mesma orientação final que uma 
seqüência de rotações ϕ3, ϕ2 e ϕ1 no Sistema de Coordenadas Inercial 
ek, ej, ei
- não da seqüencia.
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• Aplicado no Robô Kuka do Laboratório
Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação
EESC-USP © M. Becker 2008 20/64
Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação
CCCC 'B'B
B'
'B'
E
B'
E
B =
EESC-USP © M. Becker 2008 21/64









 −










−









−=
100
0
0
0
010
0
0
0
001
33
33
22
22
11
11 θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ cs
sc
cs
sc
cs
sc










++−
−+−+−
−
=
213132131321
213132131321
23232
θθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθ
θθθθθ
cccssscsccsc
csccssssccss
ssccc
Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação
Cossenos Diretores










++−
−+−+−
−
=
213132131321
213132131321
23232
θθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθ
θθθθθ
cccssscsccsc
csccssssccss
ssccc
CEB
Critérios para a Escolha dos Critérios para a Escolha dos Ângulos de Ângulos de OrientaçãoOrientação
1. Existem ângulos com correspondência física no sistema ?
2. Para quais ângulos a descrição se torna singular ?
EESC-USP © M. Becker 2008 22/64
 ++− 213132131321 θθθθθθθθθθθθ cccssscsccsc
•• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
•• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas
•• Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação
Sumário da AulaSumário da Aula
EESC-USP © M. Becker 2008 23/64
•• Matriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação Homogênea
• Equações Cinemáticas
• Esquema Denavit-Hartenberg
• Exercícios Recomendados
• Bibliografia Recomendada
• Matriz 3x3 de Cossenos Diretores CC (Rotação). 
– Sistema de Coord. com origens coincidentes.
– Não permite representar Translação ...
• Matrizes 4x4 de Transformação Homogênea TT:
Matriz Matriz de de TransfTransf. Homogênea. Homogênea
EESC-USP © M. Becker 2008 24/64
EscalaEscala
Vetor de PosiçãoVetor de PosiçãoMatriz deMatriz de RotaçãoRotação
PerspectivaPerspectiva
• Matrizes 4x4 de Transformação Homogênea TT:






=
1x11x3
3x13x3
i
1-i
ef
PR
T
Matriz Homogênea
R
o
l
l
P
i
t
c
h
Y
a
w
• Assim:

=





=
pasnpasn
pasn
T yyyyxxxx
1-i
Matriz Matriz de de TransfTransf. Homogênea. Homogênea
EESC-USP © M. Becker 2008 25/64






=








=
1000
pasn
1000
pasn
pasn
T
zzzz
yyyy
i
1-i
an
s
•• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
•• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas
•• Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação
Sumário da AulaSumário da Aula
EESC-USP © M. Becker 2008 26/64
•• Matriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação Homogênea
•• Equações CinemáticasEquações Cinemáticas
• Esquema Denavit-Hartenberg
• Exercícios Recomendados
• Bibliografia Recomendada
Equações CinemáticasEquações Cinemáticas












=
1000
0100
00cθsθ
00sθ-cθ
T 11
11
0
1
TCP
x3
TCP
x3 θ3
L3




00cθsθ
L0sθ-cθ 122
c: cos s: sin
x0
y0
x 2
y 2
x 1y 1
y3
x0
y0
x 2
y 2
x 1y 1
y3
θ1
θ2
L 1
L 2










=
1000
0100
00cθsθ
T 2212












=
1000
0100
00cθsθ
L0sθ-cθ
T 33
233
2
3
EESC-USP © M. Becker 2008 27/64
Equações CinemáticasEquações Cinemáticas
TCP
x3
TCP
x3 θ3
L3
TCP
TCP
TCP
TCP
TCP rT.T.T.
1
z
y
x
r 323
1
2
0
1
0
0
=












=
c: cos s: sin
x0
y0
x 2
y 2
x 1y 1
y3
x0
y0
x 2
y 2
x 1y 1
y3
θ1
θ2
L 1
L 2













=
1
0
0
3L
TCPr
3
EESC-USP © M. Becker 2008 28/64
Equações CinemáticasEquações Cinemáticas
TCP
x3
TCP
x3 θ3
L3








++
++
=








z
y
x
00
0
123312211
123312211
θθθ
θθθ
sLsLsL
cLcLcL
TCP
TCP
TCP
c: cos s: sin
x0
y0
x 2
y 2
x 1y 1
y3
x0
y0
x 2
y 2
x 1y 1
y3
θ1
θ2
L 1
L 2











 11
z 0TCP
321123 θθθθ ++=
2112 θθθ +=
Onde:
EESC-USP © M. Becker 2008 29/64
•• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
•• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas
•• Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação
Sumário da AulaSumário da Aula
EESC-USP © M. Becker 2008 30/64
•• Matriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação Homogênea
•• Equações CinemáticasEquações Cinemáticas
•• Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
• Exercícios Recomendados
• Bibliografia Recomendada
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
Esquema genérico para a descrição da Cinemática de 
Robôs
Limitações:
• Somente para cadeias cinemáticas abertas de corpos rígidos;
• Cada junta apresenta um único grau de liberdade de translação ou 
rotação;
• Os diferentes elos do robô são numerados em ordem crescente 
(Base = Elo 0 e Ferramenta = Elo N);
• Convenção rigorosa para a definição dos Sist. de Coord. adotados, 
como também para as coordenadas de posição e orientação.
EESC-USP © M. Becker 2008 31/64
EESC-USP © M. Becker 2008 32/64
• 1o Passo:
– Numerar as corpos do mecanismo, à partir da base → 0,
1° Corpo Móvel → 1; ... etc.
– Identificar os eixos de movimento e representá-los como 
Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg
Para cada corpo um sistema de coordenadas Para cada corpo um sistema de coordenadas 
linhas inf.;
– Determinar o sentido de movimento positivo e nomeá-lo 
como eixo zi-1;
Eixo i-1 Eixo iCorpo i-1
zi-1
zi
EESC-USP © M. Becker 2008 33/64
2o Passo:
– Encontrar o eixo perpendicular a zi e zi-1 (em vermelho);
– O eixo xi-1 encontra-se na direção deste eixo;
Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg
Para cada corpo um sistema de coordenadas Para cada corpo um sistema de coordenadas 
Corpo i-1
xi-1
Eixo i-1 Eixo iCorpo i-1
zi-1 zi
EESC-USP © M. Becker 2008 34/64
Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg
Para cada corpo um sistema de coordenadas Para cada corpo um sistema de coordenadas 
3o Passo:
– O eixo yi-1 é obtido por produto vetorial (regra da mão 
direita);
Corpo i-1
xi-1
Eixo i-1 Eixo iCorpo i-1
zi-1 zi
yi-1
EESC-USP © M. Becker 2008 35/64
4o Passo:
• ai-1: distância ao longo de xi-1, de zi-1 a zi; 
Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg
Posição e orientação relativa entre dois eixosPosição e orientação relativa entre dois eixos
Parâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--Hartenberg: aHartenberg: aii--11, , ααααααααii--11
Corpo i-1
xi-1
Eixo i-1 Eixo iCorpo i-1
zi-1 zi
ai-1
yi-1
EESC-USP © M. Becker 2008 36/64
Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg
Posição e orientação relativa entre dois eixosPosição e orientação relativa entre dois eixos
Parâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--Hartenberg: aHartenberg: aii--11, , ααααααααii--11
5o Passo:
• αi-1: ângulo entre zi e zi-1, com orientação positiva baseada no 
sentido anti-horário;
Corpo i-1
xi-1
Eixo i-1 Eixo iCorpo i-1
zi-1 zi
ai-1
yi-1
ααααi-1
EESC-USP © M. Becker 2008 37/64
6o Passo:
• di: distância entre xi a xi-1 ao longo de zi, . Orientação (+ ou -) 
dada por zi; 
Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg
Posição e orientação relativa entre dois corposPosição e orientação relativa entre dois corpos
Parâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--Hartenberg: dHartenberg: dii, , θθθθθθθθii
Eixo i-1
Eixo iCorpo i-1
xi-1
Eixo i-1
Corpo i-1
zi-1
zi
ai-1
yi-1
ααααi-1
xi
Corpo i
yi
θθθθi
aidi
EESC-USP © M. Becker 2008 38/64
Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg
Posição e orientação relativa entre dois corposPosição e orientação relativa entre dois corpos
Parâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--Hartenberg: dHartenberg: dii, , θθθθθθθθii
7o Passo:
• θi: ângulo entre xi e xi-1 em torno de zi com orientação positiva 
baseada no sentido anti-horário;
Eixo i-1
Eixo iCorpo i-1
xi-1
Eixo i-1
Corpo i-1
zi-1
zi
ai-1
yi-1
ααααi-1
xi
Corpo i
yi
θθθθi
aidi
EESC-USP © M. Becker 2008 39/64
Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg
Parâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--HartenbergHartenberg
1. z0 = z1; 
x0 = x1
Convenções adicionais para o primeiro e o último 
elo da cadeia cinemática
quando d1 = 0 (junta de translação), rsp. 
quando θ1 = 0 (junta de rotação)
2. xN só precisa ser perpendicular a zN
3. α0 = 0
4. a0 = 0
5. d1 = 0 caso a junta 1 seja rotativa
6. θ1 = 0 caso a junta 1 seja de translação
EESC-USP © M. Becker 2008 40/64
Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg
Parâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--HartenbergHartenberg
• Para cada junta articulada é possível definir dois sentidos 
Ambigüidades da descrição de Denavit-
Hartenberg
• Para cada junta articulada é possível definir dois sentidos 
para zi
• Caso zi e zi+1 se cruzem, existem dois sentidos possíveis 
para xi
• No caso de juntas de translação as ambigüidades 
aumentam. 
���� ATENÇÃO: Diferentes autores adotam diferentes 
convenções para D.H.
EESC-USP © M. Becker 2008 41/64
8o Passo:
• Obter a matriz de transformação
rT.r i1-i i
1-i
=
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
Matriz Matriz Genérica Genérica de Transformação de Transformação Homogênea Homogênea T.H.T.H.
),z).Rot(d,zTrans(),x).Rot(a,xTrans(T iiii1-i1-i1-i1-i
1-i
i θα .=
Rotação em Xi-1
Translação 
em Xi-1
Rotação em Zi
Translação 
em Zi
PP rT.r
1-i
i=
EESC-USP © M. Becker 2008 42/64
c: cos s: sin
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenbergMatriz Matriz Genérica Genérica de Transformação de Transformação Homogênea Homogênea T.H.T.H.
8o Passo: (continuação...)
PP rT.r
i1-i
i
1-i
=
















































=
1000
0100
00cθsθ
00sθ-cθ
1000
d100
0010
0001
1000
0cs0
0s-c0
0001
1000
0100
0010
a001
T ii
ii
i1-i1-i
1-i1-i
1-i
1-i
i
αα
αα
Rotação em Xi-1Translação 
em Xi-1
Rotação em ZiTranslação 
em Zi
EESC-USP © M. Becker 2008 43/64
 − 0 asc θθ
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
Matriz Matriz Genérica Genérica de Transformação de Transformação Homogênea Homogênea T.H.T.H.
PP rT.r
i1-i
i
1-i
=












−−
−
=
−−−−
−−−−
−
−
1000
0
1111
1111
1
1
iiiiiii
iiiiiii
iii
i
i dccscss
dsscccs
asc
T
αααθαθ
αααθαθ
θθ
EESC-USP © M. Becker 2008 44/64
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação
A matriz de transformação do 
sistema de coordenadas 
inercial “0” para o sistema de 
coordenadas da “mão”do 
robô “n”
TCPTCP rT.r
50
5
0
=
Exemplo: Cálculo das coordenadas do Tool Center Position
para um robô com 5 eixos
EESC-USP © M. Becker 2008 45/64
robô “n”
TT...T.T.T 1-n n
2
3
1
2
0
1
0
n =
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação
Parâmetros de Denavit-Hartenberg
Junta ααααi-1 ai-1 di θθθθi range
EESC-USP © M. Becker 2008 46/64
1
2
3
4
5
Parâmetros de Denavit-Hartenberg
Junta ααααi-1 ai-1 di θθθθi Range 
1 0 0 d1 θ1M
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação
1
2 -90o 0 0 θ2= θ2M - 90o
3 0 a2 d3 θ3= θ3M + 90o
4 0 a3 d4 θ4= θ4M + 90o
5 90o 0 0 θ5M
EESC-USP © M. Becker 2008 47/64
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação












−−
−
=
−−−−
−−−−
−
−
1000
0
1111
1111
1
1
iiiiiii
iiiiiii
iii
i
i dccscss
dsscccs
asc
T
αααθαθ
αααθαθ
θθ











 −
=
1000
0100
00
0
33
233
2
3
θθ
θθ
cs
lsc
T
EESC-USP © M. Becker 2008 48/64











 −
=
1000
0100
00
00
11
11
0
1
θθ
θθ
cs
sc
T












−−
−
=
1000
00
0100
00
22
22
1
2 θθ
θθ
cs
sc
T











 −
=
1000
0100
00
0
44
344
3
4
θθ
θθ
cs
lsc
T












−−
−
−
=
1000
00
0100
00
55
55
4
5 θθ
θθ
cs
sc
T
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação
















−
−
−−
−
−−−
−−
−−−
−
+
−
−−−
−
−
−−−
−−
−
−−−
−
)...(
)(
)...(
)...(
)...(
)...(
)...(
)...(
)(
)...(
)...(
)...(
)...(
)...(
321321332132143213215432132154
212
3213213
3213214
3213214
54
32132154
32132154
54
32132154
32132154
csl
sssccsl
cssscsc
sssccss
cssscsss
sssccssc
cssscscs
sssccscc
ccl
ssccccl
cscsccc
ssccccs
cs
cscsccss
ssccccsc
ss
cscscccs
sscccccc
EESC-USP © M. Becker 2008 49/64

























−
−−
−−
−−
−−
−−−
−+
−−
−−−
−
−−−
−
−−−
=
1000
)...(
)(
)...(
)(
)...(
)(
)...(
)()...()...(
22
32323
32324
32324
323254
323254
323254
323254
2123213214
54
32132154
54
32132154
0
5
sl
sccsl
ccssc
sccss
ccssss
sccssc
ccsscs
sccscc
cslcssscsc
cc
cssscsss
cs
cssscscs
T
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação
EESC-USP © M. Becker 2008 50/64
Robô PUMA 560
Parâmetros de Denavit-Hartenberg
Junta ααααi-1 ai-1 di θθθθi Range
1 0 0 0 θ1M -160o ~ 160o
2 -90o 0 0 θ2M -225o ~ 45o
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação
θ2M
3 0 a2 d3 θ3M -45o ~ 255o
4 -90o a3 d4 θ4M -110o ~ 170o
5 90o 0 0 θ5M -100o ~ 100o
6 -90o 0 0 θ6M -266o ~ 266o
EESC-USP © M. Becker 2008 51/64
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação
EESC-USP © M. Becker 2008 52/64
ABB IRB 2400
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação
Parâmetros de Denavit-Hartenberg
Junta ααααi-1 ai-1 di θθθθi range
EESC-USP © M. Becker 2008 53/64
1
2
3
4
5
Quando faz sentido utilizar a Representação de Quando faz sentido utilizar a Representação de D.H.D.H. ??
• Muito útil para programas genéricos de simulação, nos quais, 
qualquer cinemática de robôs possa ser representada de 
forma simples e prática.
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
ComentáriosComentários
• Útil para análises cinemáticas (numéricas) e simulações de 
movimentos de um determinado robô caso o tempo de 
calculo não seja importante (off-line).
• Impróprio para cálculo da cinemática em tempo real para 
sistemas embarcados, devido a ineficiência numérica.
EESC-USP © M. Becker 2008 54/64
Comentários sobre a Ineficiência NuméricaComentários sobre a Ineficiência Numérica
1. Equações analíticas menores e mais simples (influenciados 
freqüentemente pela escola dos Sistemas de Coordenadas e do 
algoritmo/procedimento de dedução);
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
ComentáriosComentários
2. Nenhuma multiplicação por 0 e por 1 (constantes);
3. Cálculo de uma coluna / linha (resp. um elemento) como produto 
vetorial das outras colunas / linhas;
4. Introdução de variáveis intermediárias;
5. Providências relacionadas com a escolha da linguagem de 
programação: Linguagem, Cálculo vs. Tabelas, Inteiros vs. Pontos 
Flutuantes.
EESC-USP © M. Becker 2008 55/64
Relativo ao Ponto 1Relativo ao Ponto 1
Matriz de Transformação Completa com θ23 = θ2 + θ3 e θ234 = θ2 + θ3 + θ4
c23 = cos θ23 c234 = cos θ234ci = cos θi
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
ComentáriosComentários












−−−
+−−−
+−−−
=
1000
)(
)(
2332223452345234
233221234151523415152341
233221234151523415152341
0
5
sLsLcsscs
cLcLsssccscsscccc
cLcLcsccssccssccc
T
s23 = sen θ23 s234 = sen θ234si = sen θi
EESC-USP © M. Becker 2008 56/64
Relativo ao Ponto 4Relativo ao Ponto 4
z3 = L2 c2 z4 = L3 c23z2 = s1 c234z1 = c1 c234 z5 = z3 + z4
Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
ComentáriosComentários












−−−
−−−
−−−
=
1000
2332223452345234
51234151525152
51234151515151
0
5
sLsLcsscs
zsssccszsccz
zcsccsszsscz
T
EESC-USP © M. Becker 2008 57/64
•• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
•• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas
•• Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação
Sumário da AulaSumário da Aula
EESC-USP © M. Becker 2008 58/64
•• Matriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação Homogênea
•• Equações CinemáticasEquações Cinemáticas
•• Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg•• Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados
• Bibliografia Recomendada
Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados
• Grupos: até 5 alunos
• Exercícios: TODOS, devem ser entregues os seguintes:
– Ex. 3.5 Livro do Craig, J.J. (2005): pg. 93 – Acrescente a 
representação gráfica do volume de trabalho do robô;
– Ex. 3.8 Livro do Craig, J.J. (2005): pg. 94;
– Exercício Matlab 3 - Livro do Craig, J.J. (2005): pg. 100, uso do – Exercício Matlab 3 - Livro do Craig, J.J. (2005): pg. 100, uso do 
Toolbox de Robótica (Peter Corke);
– Usando o Toolbox de Robótica (Peter Corke), desenvolva a 
representação de D.H. para o Robo Kuka KR16. Apresente a matriz
de T. Homogênea para o punho do robô. As dimensões do Robô
podem ser encontradas em arquivos CAD do proprio fabricante
na Web .
• Data de entrega: Dentro de 2 semanas
EESC-USP © M. Becker 2008 59/64
•• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho
•• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas
•• Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação
Sumário da AulaSumário da Aula
EESC-USP © M. Becker 2008 60/64
•• Matriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação Homogênea
•• Equações CinemáticasEquações Cinemáticas
•• Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg
•• Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados
•• Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada
Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada
• Craig, J.C., 2005, Introduction to Robotics: 
Mechanics and Control, 3rd Edition, Pearson 
Education Inc., ISBN 0-201-54361-3
• Fu, K.S., Gonzales, R.C., and Lee, C.S.G., 1987, 
Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence, 
EESC-USP © M. Becker 2008 61/64
Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence, 
McGraw-Hill Int. Editions, ISBN 0-07-100421-1.
• Paul, R. P., 1981, Robot Manipulators. Mathematics, 
Programming and Control, The MIT Press.
• Hartenberg, R. S. and Denavit, J., 1964, Kinematic 
Synthesis of Linkages, McGraw Hill, ISBN 64-23251.
• Corke, P., Robotics Toolbox for MatLab (Release 7).
ANEXOANEXO
• Cópia de Kane et al., Spacecraf
Dynamics, 1983
EESC-USP © M. Becker 2008 62/64
63/43EESC-USP © M. Becker 2008 63/64
EESC-USP © M. Becker 2008 64/64