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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA APLICADA À PSICOLOGIA Prof. Hélio Radke Bittencourt 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 1.1 Conjuntos de dados. População e Amostra 02 1.2 Tipos de variáveis 02 1.3 Escalas de mensuração 03 1.4 Estatística descritiva e inferencial 04 2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 2.1 Tabelas de freqüência simples e cruzadas 05 2.2 Análise gráfica 08 2.3 Medidas de Tendência Central 14 2.4 Separatrizes 17 2.5 Medidas de Variabilidade 18 3. PROBABILIDADE 3.1 Principais conceitos 23 3.2 Variáveis aleatórias discretas 28 3.3 Variáveis aleatórias contínuas 29 4. AMOSTRAGEM 4.1 Conceitos básicos 34 4.2 Técnicas de amostragem probabilísticas 34 4.3 Técnicas de amostragem não-probabilística 37 5. DISTRIBUIÇOES AMOSTRAIS E ESTIMAÇÃO 5.1 Parâmetros e Estimadores 38 5.2 Distribuição amostral da média 38 5.3 Estimação por ponto e por intervalo de confiança 40 6. TESTES DE HIPÓTESES 6.1 Teste t de S udent para uma média t t t 45 6.2 Testes t de S udent - duas amostras independentes 48 6.3 Testes t de S udent - duas amostras pareadas 50 6.4 Teste Qui-quadrado 52 7. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 7.1 Coeficiente de correlação de Pearson 54 7.2 Regressão Linear Simples 56 LISTA DE EXERCÍCIOS 58 TABELAS 66 Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 2 Cap. 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 1.1 Conjunto de dados. População e amostra A Estatística pode ser definida como o conjunto de ferramentas para coleta, organização, análise e interpretação de dados experimentais. O objeto de estudo em Estatística é um conjunto de dados que pode constituir uma população ou uma amostra. População é um conjunto finito ou infinito de elementos. Amostra é um subconjunto da população. Geralmente buscamos amostras representativas. Uma amostra representativa é aquela que mantém as características da população. 1.2 Tipos de Variáveis Em estatística não trabalhamos diretamente com os elementos que formam o conjunto de dados, mas sim com suas características. Variáveis são características dos elementos que formam o conjunto de dados. As variáveis podem ser classificadas em qualitativas ou quantitativas: as variáveis qualitativas expressam uma classificação em categorias e, por isso, também são chamadas de categóricas. As variáveis quantitativas expressam quantidades numéricas e se dividem em discretas e contínuas. As variáveis discretas assumem apenas determinados valores num dado conjunto enumerável, enquanto as variáveis contínuas podem assumir, ao menos teoricamente, qualquer valor num dado intervalo numérico. Exemplo – Listar variáveis qualitativas e quantitativas para um aluno da sala Na prática todas as variáveis são discretas, devido à limitação dos instrumentos de mensuração. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 3 1.3 Escalas de Mensuração As variáveis ainda podem ser classificadas de acordo com o nível ou escala de mensuração: Nominal, Ordinal ou Intervalar/Razão. O nível nominal de mensuração é caracterizado por números que apenas diferenciam ou rotulam as categorias. Exemplos: O nível ordinal de mensuração envolve números que, além de diferenciar, hierarquizam as categorias. Também são chamadas de escalas Likert em homenagem ao americano Rensis Likert que publicou o artigo "A Technique For The Measurement of Attitudes" em 1932, onde sugeriu escalas de 5 pontos com uma categoria neutra ao centro. Exemplos: O nível intervalar ou de razão apresenta números que expressam diretamente uma quantidade seguindo uma métrica. Podemos tranqüilamente realizar operações matemáticas com variáveis deste tipo. Exemplos: Figura – Resumo dos tipos de variáveis e escalas de mensuração - Nominais Qualitativas - Ordinais Variáveis - Discretas a Quantitativas - Contínuasa a Todas var. quantitativas apresentam nível de mensuração intervalar ou de razão Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 4 1.4 Estatística Descritiva e Inferencial A estatística é um conjunto de ferramentas utilizadas para a coleta, tabulação, análise e interpretação de um conjunto de dados experimentais. A Estatística pode ser dividida em duas grandes áreas: Descritiva e Inferencial. A estatística descritiva é aquela que costumamos encontrar com maior freqüência em jornais, revistas, relatórios, etc. Essa parte da estatística utiliza números para descrever fatos. Seu foco é a representação gráfica e o resumo e organização de um conjunto de dados, com a finalidade de simplificar informações. Nessa categoria se enquadram as médias salariais, taxas de inflação, índice de desemprego, etc. A estatística inferencial consiste na obtenção de resultados que possam ser projetados para toda população a partir de uma amostra da mesma. Ela fundamenta-se na teoria da amostragem e no cálculo de Probabilidades. Essa é a área mais importante da Estatística. Figura - Esquema geral de um curso de Estatística Descritiva Estatística Inferencial Probabilidade Amostragem Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 5 Cap. 2 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 2.1 Tabelas de freqüência simples e cruzadas Vamos introduzir o tema de tabelas de freqüência simples construindo tabelas para o banco de dados construído a partir de informações da turma Exemplo 1 – Gênero Semestre Número de irmãos Altura (cm) Criar uma tabela de freqüências para cada uma das variáveis. Estes exemplos serão construídos com dados coletados na sala de aula. Tabelas de freqüência são encontradas em jornais informativos (Zero Hora, Correio do Povo, etc.), relatórios técnicos, monografias, dissertações, teses e revistas científicas. As tabelas de freqüência simples apresentam de forma concisa o número de ocorrências (absoluta e relativa) dos valores de uma variável. Uma tabela de freqüência genérica tem a seguinte configuração: Tabela 1 – Tabela de freqüências genérica i xi fi fri Fi Fri 1 x1 f1 fr1 F1 Fr1 2 x2 f2 fr2 F2 Fr2 M M M M M M k xk fk frk Fk 100,0% Σ n 100,0% - - A notação utilizada é a seguinte: X é uma variável qualquer x é um particular valor da variável X i é um índice útil para enunciar as expressões matemáticas k é o número de linhas da tabela Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 6 Os componentes da tabela de freqüências são: Freqüência absoluta (fi): número de ocorrências do valor xi. Freqüência relativa (fri): percentual de ocorrências do valor xi Freqüência absoluta acumulada (Fi): número de ocorrências até o valor xi. Freqüência relativa acumulada (Fri): percentual de ocorrências até o valor xi As Tabelas cruzadas apresentam a distribuição de freqüências de duas variáveis simultaneamente. As tabelas cruzadas são abundantes em jornais e revistas especializadas. Exemplo 2 – Gênero X Sintomas de ansiedade Preencher a tabela abaixo e calcular os percentuais em relação aos totais das linhas. Tabela 2 – Distribuição da turma por grupo sangüíneo e fator Rh. Sintomas de ansiedade Gênero Sim Não Totais Masculino Feminino Totais Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 7 Exemplo 2b – Grupo sangüíneo X Fator Rh Preenchea tabela abaixo com os dados da turma. Calcular o percentual em relação ao TOTAL. Fator Rh Grupo Rh+ Rh- Totais A B AB O Totais CURIOSIDADE: Distribuição populacional por tipo sangüíneo e Fator Rh Fator Rh Grupo Rh+ Rh- Totais A 35,7% 6,3% 42% B 7,7% 1,3% 9% AB 2,5% 0,5% 3% O 39,1% 6,9% 46% Totais 85% 15% 100% Fonte: Livro Fisiologia do Sangue, Vol I, Pág 145 Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 8 2.2 Análise Gráfica O tipo de gráfico adequado para cada variável depende do tipo de variável. Segue uma relação de exemplos de variáveis e tipos de gráficos adequados. Variável Qualitativa Nominal (com poucas categorias) GRÁFICO DE SETORES (Pizza ou Torta) Figura – Distribuição da população por grupo sangüíneo A 42,0% B 9,0% AB 3,0% O 46,0% Base: População em geral Fonte: Livro Fisiologia do Sangue, Vol I, Pág 145 Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 9 Variável Qualitativa Nominal (com muitas categorias): GRÁFICO DE BARRAS (em ordem decrescente) Figura – Principais causas de morte - EUA 5,7% 1,9% 2,4% 2,8% 3,3% 8,5% 9,4% 28,3% 37,7% 0% 20% 40% 60% 80% 100% Outras Drogas Acidente de carro Doenças venéreas Armas de fogo Doenças infecciosas Ãlcool Obesidade Cigarro Base: ??? Fonte: Fonte: Livro Fisiologia do Sangue, Vol I, Pág 145 Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 10 Variável Qualitativa Ordinal Atenção: Este é o tipo de variáveis mais importante na Psicologia GRÁFICO DE BARRAS (respeitando a ordem das categorias) Figura – Auto classificação da qualidade de vida (Questão 1 do WHOQOL) 0,0 5,0 15,0 10,0 40,0 30,0 0 20 40 60 80 100 Muito Ruim Ruim Nem Ruim, Nem Boa Boa Muito Boa Percentual (%) Base: ??? indivíduos Fonte: Dados fictícios. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 11 Variável Quantitativa Discreta GRÁFICO DE COLUNAS Figura – Número de pessoas por domicílio 0% 10% 20% 30% 40% 50% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ou +Número de pessoas por domicílio Pe rc en tu al (% ) Base: ??? domicílios Fonte: Dados fictícios Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 12 Variável Quantitativa Contínua HISTOGRAMA Figura – Distribuição de uma turma por altura Altura (cm) 200,0190,0180,0170,0160,0150,0 Fr eq üê nc ia 10 8 6 4 2 0 Base: 20 observações Fonte: Alunos de uma turma de Estatística I. Gráfico construído no software SPSS. Figura – Distribuição da população gaúcha por faixa etária Fonte: IBGE, PNAD 2004 Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 13 Séries Temporais GRÁFICO DE LINHAS Figura - Evolução das matrículas na Educação Superior no RS - 1988 a 2003 Fonte: MEC/INEP (extraído do Atlas Sócio Econômico do RS Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 14 2.3 Medidas de Tendência Central São valores que trazem informação sobre a região em torno da qual os dados estão posicionados. As medidas de tendência central mais utilizadas são: Média, Mediana e Moda. 2.3.1 – Média Aritmética (µ , X ) A média aritmética é definida como a soma de todas observações da variável X, dividida pelo número de elementos do conjunto de dados. Freqüentemente a média aritmética é o valor que melhor representa um conjunto de dados. Quando os dados não estão organizados na forma de uma tabela de freqüências e, portanto, estão na forma isolada, as expressões genéricas para encontrar a média são: População Amostra N x N i i∑ == 1µ n x X n i i∑ == 1 Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de freqüências deve-se ponderar os diferentes valores xi pelas respectivas freqüências fi. Procedendo desta forma o cálculo da média aritmética torna-se mais simples e rápido. População Amostra N fx k i ii∑ = × = 1µ n fx X k i ii∑ = × = 1 Exemplo 3 – Número de pessoas que mora em nosso domicílio Construir uma tabela de freqüências e calcular a média aritmética para considerando X= número de pessoas que mora no domicílio. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 15 2.3.2 – Mediana (Md) A mediana é o valor que divide o conjunto de dados ordenado em duas partes com igual número de observações. Para calcular a mediana iremos utilizar uma nova notação. Seja um conjunto de dados ordenado (ordem crescente), onde o valor entre colchetes representa a posição no conjunto ordenado. ][]2[]1[ ,,, nxxx K Deduzindo a posição mediana: n ímpar n par n Fila Md n Fila Md 3 4 5 6 7 8 As expressões genéricas para encontrar a média são: n ímpar n par Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de freqüências pode-se encontrar a posição mediana na coluna acumulada Fi. Exemplo 4 – Número de pessoas que mora em nosso domicílio Encontrar a Md para o exemplo do número de pessoas que mora no domicílio. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 16 2.3.3 – Moda (Mo) A moda é definida como o valor mais freqüente de um conjunto de dados. É possível que o conjunto seja bimodal (duas modas) ou até mesmo multimodal (três os mais modas). { } ii fxMo maior com = Exemplo 5 – Número de pessoas que mora em nosso domicílio Encontrar a Mo para o exemplo do número de pessoas que mora no domicílio. Considerações IMPORTANTES sobre as MTC 1. A média é a MTC mais influenciada por valores extremos, entretanto é a medida mais “rica”, porque considera todos valores do conjunto de dados. 2. A mediana não é afetada por valores extremos. 3. A moda é a MTC mais “pobre”, porque considera apenas os valores mais freqüentes. 4. Existem outros tipos de média usadas em ocasiões especiais. A média harmônica é muito utilizada em concursos públicos e a geométrica pode ser usada em situações de alta variabilidade, visto que ela é mais estável. Discutiremos isto em aula. Média harmônica Média geométrica ∑ = = n i i h x nX 1 1 n nG xxxX ×××= K21 Pode-se estabelecer a seguinte relação entre as médias: XXX Gh ≤≤ Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 17 2.4 Separatrizes São valores que separam o conjunto de dados ordenado em partes com igual número de observações. A Mediana é, portanto, uma separatriz porque divide o conjunto de dados em duas partes iguais. Min |------------------------|------------------------| Máx Md Os Quartis (Qi) dividem o conjunto de dados em 4 partes iguais. Min |------------------------|------------------------| Máx Os Percentis (Pi) dividem o conjunto de dados em 4 partes iguais. Min |------------------------|------------------------| Máx Exemplo 6 – Boletim de Desempenho do Provão do MEC Exemplo 7 – Distribuição de Renda no RioGrande do Sul A régua de percentis a seguir apresenta a distribuição de salários para a população urbana em idade economicamente ativa no ano de 1999. R$ 238,00 R$ 400,00 R$800,00 R$ 1500,00 |-------------|-------------|-------------|---------|---| P25 P50 P75 P90 Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 18 2.5 Medidas de Variabilidade São medidas que complementam as MTC trazendo informação sobre a dispersão existente no conjunto de dados. Para introduzi-las vamos recorrer a um exemplo onde temos três pacientes onde a pressão arterial sistólica foi verificada em seis períodos do dia. Exemplo 8 – Entendendo as Medidas de Variabilidade Tabela – Medições de pressão arterial sistólica (mmHg) em três pacientes Paciente A Paciente B Paciente C 120 118 120 120 121 100 120 124 135 120 117 155 120 120 120 120 120 90 Média ( X ) Moda (Mo) Mediana (Md) Questões 1 – O que aconteceu com as MTC na tabela acima? 2 – Os três pacientes são iguais em relação a distribuição das PA Sistólica? 3 – O que diferencia um paciente do outro? A partir de agora aprenderemos a calcular medidas capazes de quantificar a variabilidade existente num conjunto de dados Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 19 2.5.1 – Amplitude (R, do termo Range) É a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados. { } { }ii xmínxmáxR −= Calcular R nos três pacientes do Exemplo 8. 2.5.2 – Variância (σ2 , s 2) A variância é uma medida da variação em torno da média. Por definição, variância é a média dos quadrados dos desvios em torno da média. População Amostra ( ) N x N i i∑ = − = 1 2 2 µ σ ( ) 1 1 2 2 − − = ∑ = n Xx s n i i A variância, ao contrário da Amplitude, considera todos elementos do conjunto de dados no seu cálculo. Quanto maior for a variação dos valores do conjunto de dados, maior será a variância. Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de freqüências, deve- se ponderar os quadrados dos desvios pela freqüência. Esse procedimento facilita o cálculo. População Amostra ( ) N fx i k i i ×− = ∑ =1 2 2 µ σ ( ) 1 1 2 2 − ×− = ∑ = n fXx s k i ii Calcular s2 nos três pacientes do Exemplo 8. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 20 2.5.3 – Desvio-padrão (σ, s) O desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância. Essa medida corrige o problema de unidade que surge na variância. O desvio-padrão também é uma medida da variação em torno da média. População Amostra 2σσ = 2ss = O desvio-padrão expressa a variação média do conjunto de dados em torno da média, para mais ou para menos. Calcular s nos três pacientes do Exemplo 8. 2.5.4 – Coeficiente de Variação (CV) O CV é a razão entre o desvio-padrão e a média de um conjunto de dados. Ele expressa a variação relativa (%) presente no conjunto de dados em relação à média. População Amostra %100×= µ σCV %100×= X sCV Quanto maior o CV, mais heterogêneos serão os dados. Calcular o CV nos três pacientes do Exemplo 8. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 21 Considerações sobre as Medidas de Variabilidade (MV) 1. A Amplitude á a MV mais “pobre”, porque considera apenas os dois valores extremos do conjunto de dados. 2. A Variância não é interpretada na prática devido ao problema da unidade, que está ao quadrado. 3. O Desvio-padrão é a MV mais conhecida, sendo amplamente utilizada. 4. Dentre as MV estudadas, sugere-se que o CV seja utilizado para comparação da variabilidade entre diferentes conjuntos de dados. Por não ter unidade, o CV pode ser utilizado até mesmo para comparar a variabilidade entre variáveis expressas em diferentes unidades. CURIOSIDADE – Consenso Brasileiro de Pressão Arterial – Adultos A pressão arterial para adultos pode ser categorizada de acordo com a seguinte tabela. Portanto, a medida quantitativa contínua pode ser transformada em qualitativa ordinal. ADULTOS (MAIORES DE 18 ANOS) Pressão Arterial (mmHg) Sistólica Diastólica Categoria < 130 130-139 140-159 160-179 > 180 > ou= 210 > 140 < 85 85-89 90-99 100-109 > 110 > ou=120 < 90 Normal Normal Limítrofe Hipertensão Leve (estágio 1) Hipertensão Moderada (estágio 2) Hipertensão Severa (estágio 3) Hipertensão Muito Severa (4) Hipertensão Sistólica Isolada Fonte: http://www.cdof.com.br/avalia4.htm Exemplo 9a – Atendimentos diários no Serviço de Atendimento Psicológico de uma escola particular X = número de alunos atendidos por dia n = 20 dias 2 3 4 2 3 2 1 0 2 2 2 2 3 1 1 1 0 2 3 4 a) Encontrar e interpretar as Medidas de Tendência Central b) Encontrar as medidas de variabilidade. Interpretar todas medidas exceto a Variância. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 22 Exemplo 9b – QI de adolescentes O coeficiente de inteligência, popularmente conhecido como QI, varia normalmente entre 80 e 160 pontos. Suponha que, numa amostra de 15 alunos de Engenharia, os resultados tenham sido os seguintes: 95 110 110 90 120 115 90 90 110 85 90 90 105 100 100 a) Encontrar as medidas de tendência central para o QI. b) Encontrar as medidas de variabilidade para o QI. Exemplo 10 – Escore BDI (Beck Depression Inventory) O escore BDI de Beck procura mensurar o nível de depressão numa escala que varia de 0 (ausência de depressão) até 63 (depressão máxima). Suponha que estamos interessados a comparar o nível de depressão em dois grupos de recém-fomados: um formado por egressos do sexo masculino e outro formado por egressos do sexo feminino. 4 Homens Mulheres 12 13 10 14 8 13 9 12 12 8 15 14 4 10 a) Compare os dois grupos em relação às medidas de tendência central e de variabilidade. TRABALHO 1 (duplas) Realizar no EXCEL uma análise descritiva completa do banco de dados fornecido pelo professor. Construa tabelas de freqüência, gráficos, medidas de tendência central e de variabilidade. Mais exercícios sobre o Capítulo 2 na LISTA DE EXERCÍCIOS. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 23 Cap. 3 – Probabilidade 3.1 Principais conceitos Probabilidade é o ramo da matemática que trata de fenômenos aleatórios. A observação de um fenômeno aleatório por parte do homem é chamada de experimento aleatório. Características de um experimento aleatório: 1ª) Não se conhece um particular valor do experimento antes dele ser executado, porém podemos descrever todos os possíveis resultados - as possibilidades; 2ª) Quando o experimento é repetido algumas vezes, os resultados ocorrem de uma forma aparentemente acidental. Mas quando o número de repetições aumenta, uma regularidade aparecerá. E esta regularidade que torna possível construir um modelo matemático útil para análise do experimento. Exemplos de fenômenos aleatórios: 1) Condições meteorológicas 2) Produção de arroz anual numa cidade 3) Resultado de uma cirurgia 4) Lançamento de uma moeda 5) Resultados de loterias Exemplos de experimentosaleatórios: E1: Jogue um dado e observe o n.º na face de cima. E2: Jogue uma moeda 3 vezes e observe o número de caras obtido. E3: Jogue uma moeda 3 vezes e observe a seqüência de caras e coroas obtida. E4: Uma mulher está grávida de gêmeos. O sexo dos bebês será verificado. E5: O número de alunos matriculados na turma de “Est Apl à Psicologia” é verificado E6: A temperatura de um paciente é verificada pela enfermeira. Nos seis exemplos anteriores não somos capazes de precisar o resultado, entretanto conseguimos listar os possíveis resultados. Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. É denotado por S ou Ω. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 24 Exemplos de espaços amostrais relacionados aos experimentos anteriores. S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6 = Um evento é um subconjunto de S. Em particular, S e ∅ (conjunto vazio) são eventos; S é dito o evento certo e ∅ o evento impossível. Exemplo de eventos no lançamento de um dado S = {1,2,3,4,5,6} A: ocorre um n.º par A = {2,4,6} B: ocorre a face 6 B = {6} C: ocorre um n.º maior que 6 C = ∅ D: ocorre nº 6 ou nº par D = {2,4,6} E: ocorre nº par ou nº ímpar E = {1,2,3,4,5,6} = S É possível realizar operações com eventos que nada são do que operações com conjuntos já estudadas no Ensino Fundamental. Operações com eventos Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral S. 1) União: A∪B → A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem 2) Interseção: A∩B → A ocorre e B ocorre 3) Complementar: Ac ou A → não ocorre A Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 25 Duas definições importantes: 1) Dois eventos A e B são excludentes ou mutuamente exclusivos se a ocorrência de um impedir a ocorrência de outro. Em outras palavras, não podem ocorrer simultaneamente. 2) Eventos ou resultados equiprováveis têm a mesma probabilidade de ocorrência. Exemplo – Lançamento de um dado e uma moeda, ambos honestos Escreva o espaço amostral. Os resultados são todos equiprováveis? Qual a probabilidade de um particular par (x,y) ser selecionado. Assinale os seguintes eventos: 3.1.1 Conceitos de probabilidade ⇒ Conceito Axiomático Seja A um evento de S. A probabilidade de ocorrência de A, denotada por P(A), deverá satisfazer os seguintes axiomas (propriedades fundamentais): Axioma 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Axioma 2: P(S) = 1 ⇒ Conceito clássico Esse conceito só é válido se todos resultados de S forem equiprováveis. Para casos assim a probabilidade de ocorrência do evento A é obtida por: )( )()( STotal AnAP = n(A) é o número de resultados favoráveis ao evento A Total (s) é o número total de resultados em S Exemplos – Conceito clássico 1) Mega-sena, Lançamento de moedas e dados honestos. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 26 ⇒ Conceito freqüentista Esse conceito só é válido se todos resultados de S forem equiprováveis. Para casos assim a probabilidade de ocorrência do evento A é obtida por: 1º) O experimento é repetido n vezes. 2º) Observa-se a freqüência relativa de ocorrência de um certo resultado A: fr(A) = , )( n An onde n(A) é o nº de vezes em que ocorre o resultado A em n realizações do experimento. 3º) Probabilidade como limite. A medida que n aumenta, a fr(A) converge para a real probabilidade P(A). Exemplos – Conceito freqüentista 1) Verificando se um dado é honesto. 2) Encontrando a probabilidade de ocorrência de um acidente aéreo. 3) Qual a probabilidade de uma criança nascer com Síndrome de Down? 3.1.2 Probabilidade Condicional A probabilidade de ocorrência de um evento pode ser influenciada pela ocorrência de um evento paralelo. Considere que A e B são eventos de um mesmo espaço amostral S. Chamaremos de P(A|B) a probabilidade de ocorrência do evento A dado que o evento B já ocorreu. Graficamente: Olhando para o desenho podemos estabelecer as seguintes relações: P(A|B) = P(B|A) = Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 27 Exemplo – Escolhendo alguém na sala de aula Suponha que um aluno da turma será sorteado. Após saber o resultado o professor faz algumas perguntas utilizando probabilidade condicional. Exemplo – Terapia familiar X Resultado Resultado Terapia familiar Sucesso Fracasso Total Sim 60 25 85 Não 40 65 105 Total 100 90 190 Resolver as seguintes probabilidades: 3.1.3 Independência Dois eventos A e B são considerados independentes se a ocorrência de um não interfere na probabilidade de ocorrência do outro: P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B) Isolando a intersecção na expressão de probabilidade condicional obtemos: P(A∩B) = P(A) x P(B) Esse conceito é fundamental para aplicações em Estatística. Exemplo - Uma mulher decide ter dois filhos numa localidade onde a probabilidade de ser menino é estimada em 51%. Escreva o espaço amostral e calcule as probabilidades para todos possíveis resultados. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 28 Exemplo – Tendo “certeza” de uma gravidez Uma jovem suspeita que está grávida e decide comprar três diferentes testes de gravidez em farmácias. As marcas escolhidas foram A, B e C. As probabilidades dos exames indicarem “falso-positivo” são de 3%, 5% e 6%, respectivamente, enquanto as probabilidades de “falso-negativo” são de 1%, 2% e 4%, respectivamente. a) Se a jovem realmente está grávida, qual a probabilidade dos três exames confirmarem a gravidez? b) Se a jovem não estiver grávida, qual a probabilidade dela levar um susto com pelo menos um dos exame resultando positivo. Exemplo – Prole de SEIS filhos É fácil construir o espaço amostral e calcular as probabilidades de se ter ZERO, UM, DOIS, TRÊS, QUATRO, CINCO ou SEIS filhas meninas numa prole de seis filhos? Assume que a probabilidade de ser menino seja de 51%. 3.2 – Variáveis aleatórias discretas – Distribuição Binomial O exercício acima pode ser resolvido pela Distribuição Binomial. Sempre que um experimento que assume apenas dois possíveis resultados em cada repetição for repetido n vezes e que a probabilidade de sucesso é constante em cada repetição podemos modelar o número de sucessos pela distribuição Binomial. X = número de sucessos, variando de 1 até n p = probabilidade de sucesso em cada repetição 1-p = probabilidade de fracasso em cada repetição n = número de repetições Expressão genérica da Binomial ( ) xnx ppxnx nxXP −−××−== )1(!! !)( Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 29 O número esperado ou esperança de sucessos na distribuição Binomial é facilmente encontrado. Intuitivamente, responda as perguntas a seguir: 1) Se lançarmos uma moeda honesta 100 vezes, qual o número esperado de caras? 2) Se lançarmos um dado 600 vezes, qual o número esperado de faces “5”. 3) No exemplo da prole de 6 filhos, qual o número esperado de meninos? pnXE ×=)( 3.3 Variáveis aleatórias contínuas 3.3.1 Conceitos As variáveis contínuas podem, ao menos teoricamente, assumir qualquer valor num intervalo numérico. Sendo assim fica impossível representarmos variáveis contínuas da mesma forma que as variáveis discretas. Importante As variáveis contínuas são representadas por curvas, chamadas de função densidade de probabilidade, e a área sob essa função representa a probabilidade de ocorrência. Nas variáveis contínuas nãoexiste a probabilidade de ocorrência de um valor exato, mas sim de intervalos. A função densidade de probabilidade, denotada por fx(x), é a função que indica o comportamento probabilístico da variável aleatória contínua X. A função densidade de probabilidade deverá satisfazer as seguintes condições: a) f(x) ≥ 0, para todo x ∈ R. b) Área total sob a curva deve ser igual a 1. A área sob a curva fx(x) nos informa a probabilidade de ocorrência de valores da variável X. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 30 Supondo que o gráfico acima represente a função de probabilidade de uma variável aleatória X. Como sabermos a probabilidade de ocorrência de valores entre a e b ? Exemplo – IMC (Distribuição Uniforme) Suponha que o IMC (kg/m2) em crianças seja igualmente provável de ocorrer entre 15 e 20. a) Esboce graficamente a função densidade de probabilidade para X = IMC (kg/m2) b) Calcular a probabilidade de uma criança ter mais de 18kg/m2. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 31 3.3.2 A Distribuição Normal ou Curva de Gauss A distribuição Normal ou Gaussiana é, sem dúvida, o modelo probabilístico mais conhecido. Várias técnicas estatísticas necessitam da suposição de que os dados se distribuam normalmente para serem utilizadas. Na natureza uma grande quantidade de variáveis apresentam tal distribuição. Uma v.a.c. X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ se sua função densidade de probabilidade é dada por: ( ) 0 ; +<<- ,parâmetros são onde , , 2 1 2 2 2 )( >∞∞ ℜ∈= −− σµ σµ πσ σ µ e xexf x Notação X ∼ N(µ,σ) X tem distribuição Normal com média µ e desvio-padrão σ. Os parâmetros da Normal são a média e o desvio-padrão, que permitem infinitas curvas normais com diferentes formatos (mas sempre simétricas). O gráfico da fX é apresentado a seguir: Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 32 A distribuição Normal, independentemente dos valores dos parâmetros, apresenta sempre a seguinte relação: Entendendo os parâmetros da Normal: A média µ informa o centro da distribuição. É um parâmetro de locação. O desvio-padrão σ informa o formato da curva. -10 -5 0 5 10 Valores de X f(x ) -10 0 10 Valores de X f(x ) -10 -5 0 5 10 Valores de X f(x ) Os cálculos integrais envolvendo a distribuição Normal são bastante complicados. Felizmente, veremos a seguir uma relação que facilita muito nossa vida. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 33 Exemplo – Aplicação prática A altura de mulheres adultas no RS segue uma distribuição Normal com média de 165cm e desvio-padrão de 6cm. a) Qual a probabilidade de uma mulher ter entre 159 e 171cm? b) Qual a probabilidade de uma mulher ter entre 153 e 177cm? c) Qual a probabilidade de uma mulher ter mais de 177cm? d) Qual a probabilidade de uma mulher ter menos de 180cm? Distribuição Normal-padrão ou Normal reduzida Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com quaisquer parâmetros média µ e desvio-padrão σ. Se realizarmos a seguinte transformação obteremos uma nova variável Z com média 0 e desvio-padrão 1: X ∼ N(µ,σ) → σ µ−= XZ → Z (0,1) Qualquer variável com distribuição Normal pode ser padronizada para a Normal. A distribuição Normal padronizada (Z) é tabelada. O valor de Z indica quantos desvios acima ou abaixo nós estamos em relação à média. Exemplo – Aprendendo a usar a tabela 1) Calcule: a) P(Z < 1,24) = b) P(Z < 1,67) = c) P (Z > 2,12) = d) P( -1,96 < Z < 1,96) = Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 34 Cap. 4. - Amostragem 4.1 Conceitos Básicos Amostragem é o nome dado ao conjunto de procedimentos e técnicas para extração de elementos da população para compor a amostra. O objetivo da amostragem é obter amostras representativas das populações em estudo. Um Censo seria a investigação da população completa. Por que trabalhar por amostragem? ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ A fração de amostragem é a razão entre o tamanho amostral e o tamanho populacional. Não existem regras fixas para tamanho de amostra, ou seja cada caso merece um cuidado especial. Frases como “20% da população é ideal”, quase sempre não são verdadeiras. As técnicas de amostragem se dividem em: probabilísticas e não-probabilísticas. As técnicas probabilísticas são aquelas onde todos elementos da população têm uma probabilidade não nula de seleção. Nas técnicas não-probabilísticas não podemos garantir que todos elementos têm probabilidade de serem selecionados para a amostra. 4.2 Principais técnicas de amostragem probabilística Geralmente as técnicas probabilísticas produzem melhores resultados do que as não probabilísticas. A seleção dos elementos envolve obrigatoriamente a utilização de algum dispositivo aleatório para seleção das unidades amostrais. Exemplo de dispositivos aleatórios: Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 35 4.2.1 Amostragem Aleatória Simples (AAS) Apesar de ser uma forma extremamente simples de seleção de elementos da população, é considerada uma das melhores técnicas de amostragem. Na AAS cada elemento da população tem igual probabilidade de seleção e o pesquisador não introduz nenhum vício no processo. Etapas: 1) Enumerar a população de 1 até N. 2) Sortear n números no intervalo de 1 até N. Caso haja números repetidos, sortear novamente mais alguns valores. Probabilidade de seleção de um elemento na AAS: Número de amostras possíveis SEM reposição: Número de amostras possíveis COM reposição: Exemplo 23 – Amostra n=2 da população N=5 Verificar quantas amostras são possíveis COM e SEM reposição da população de tamanho 5 verificando também as probabilidades de seleção de cada unidade. A B C D E Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 36 4.2.2 Amostragem Estratificada Na Amostragem estratificada a população é dividida em subpopulações ou estratos de forma que N1 + N2 + ... + NK = N. Um tamanho amostral n é repartido proporcionalmente entre os estratos, respeitando as frações Ni / N. Depois de estabelecidos o valor de ni, procede-se uma seleção aleatória dentro de cada estrato. Exemplo 24 – Amostra estratificada na região sul Dividir proporcionalmente uma amostra de 1300 pessoas em três estratos, correspondentes aos três estados da região sul. i Estado Pop. % Amostra 1 Rio Grande do Sul 9.637.682 2 Santa Catarina 4.875.244 3 Paraná 9.003.804 Total 23.516.730 4.2.3 Amostragem Sistemática A amostragem sistemática inicia com o cálculo do intervalo de amostragem f=N/n. Depois, selecionamos um número entre 1 e f e vamos indo sistematicamente de f em f elementos, até o final. A amostragem sistemática é útil quando temos cadastros impressos que estão ordenados segundo algum critério que nada tem a ver com os interesses da pesquisa. Exemplo 25 – Seleção de n=5 professores em um cadastro 1 – André 11 – Gustavo 21 – Luciano 31 – Paula 2 – Betina 12 – Hélio 22 – Luciana 32 – Pedro 3 – Bruna 13 – Heloísa 23 – Marlene 33 – Rafael 4 – Carlos 14 – Iara 24 – Maurício 34 – Rafaela 5 – Cleide 15 – Irno 25 – Mônica 35 – Sandro 6 – Débora16 – Jaqueline 26 – Nair 36 – Simone 7 – Denise 17 – Juliana 27 – Neide 37 – Suzette 8 – Douglas 18 – Juliano 28 – Omar 38 – Telmo 9 – Ernani 19 – Kleber 29 – Osmar 39 – Ubirajara 10 - Gabriela 20 – Lisiane 30 – Paulo 40 - Zuleica Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 37 4.3 Principais técnicas de amostragem não-probabilística A falta de cadastros, inacessibilidade à toda população, pressa ou ainda muitos outros fatores, levam os pesquisadores a utilizar técnicas não-probabilísticas. Veremos rapidamente algumas técnicas encontradas na literatura. 4.3.1 Amostragem por quotas Um dos procedimentos mais comuns onde o pesquisador estabelece quotas de acordo com a distribuição populacional, distribui os pesquisadores de forma geograficamente estruturada e cumpre as quotas de forma intencional. Exemplo 26 – Pesquisa eleitoral Estabelecer as quotas de amostragem (n=800) a partir da distribuição populacional abaixo. Sexo Classe Social Masculino Feminino Total A-B 1.082.538 1.122.223 2.204.761 C 1.257.140 1.303.227 2.560.367 D-E 1.152.379 1.194.625 2.347.004 Total 3.492.057 3.620.075 7.112.132 Dados estabelecidos a partir dos dados TRE-2000 (No de eleitores) Classificação da classe social segundo critérios da ABIPEME-1996 4.3.2 Amostragem por correspondência 4.3.3 Amostragem por tráfego 4.3.4 Amostragem intencional Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 38 Cap. 5. - Distribuições Amostrais e Estimação 5.1 – Parâmetros e Estimadores O que é inferência estatística ? Inferir consiste na retirada de informações para TODA população baseando-se numa amostra da mesma. Chamamos de parâmetros as quantidades populacionais e de estimadores as funções de dados amostrais que irão gerar as estimativas para os parâmetros populacionais. Tabela - Exemplos de parâmetros e seus respectivos estimadores Parâmetros Estimadores Média populacional µ Média amostral X Desvio-padrão populacional σ Desvio-padrão amostral s Proporção populacional p Proporção amostral pˆ Há dois tipos de estimação de parâmetros: a estimação por ponto e por intervalo. Também existe uma outra forma de inferência estatística muito utilizada em situações práticas: os testes de hipóteses. 5.2 Distribuição Amostral das Médias A base da estatística inferencial é o TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. O teorema diz que se extrairmos TODAS as possíveis amostras de tamanho n de uma população de tamanho N a distribuição das médias amostrais X tende a se distribuir como uma curva Normal com média igual ao parâmetro µ e desvio-padrão nσ . Exemplo – População de tamanho N = 5 Considere a seguinte população de cinco elementos e X = Idade (anos) 20 30 40 50 60 70 A B C D E F a) Quais são os parâmetros populacionais? b) Quantas amostras diferentes de tamanho n=2 podemos extrair da população? Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 39 Exemplo – Selecionando uma amostra na sala de aula Suponha que seja necessário selecionar uma amostra de n=5 alunos da turma para representar a nossa turma numa reunião na reitoria. Qual o número de amostras possíveis de serem selecionadas? Exemplo – População com média 0,5 Considere uma população infinitamente grande com média 50,=µ . Vamos avaliar as distribuições amostrais da média amostral X com n = 30 e 300. - 0,5 1,0 1,5 2,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Médias amostrais - 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Médias amostrais n = 30 n = 300 Percebemos claramente que com o aumento do tamanho amostral a distribuição de X fica cada vez mais concentrada em torno do parâmetro µ. Isso quer dizer que, quanto maior amostra maior a possibilidade de acerto. RESULTADO X tem distribuição Normal com Média = µ e Desvio-padrão = n σ Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 40 5.3 – Estimação por ponto e por intervalos de confiança 5.3.1 – Estimação por ponto Visa estimar o valor do parâmetro através de estimativas pontuais (únicas). A vantagem é ser de fácil interpretação e rápida, mas a probabilidade de acerto “na mosca” é praticamente nula, pois os estimadores podem ser encarados como variáveis aleatórias contínuas. Exemplo – Proporção de pessoas que tem animal doméstico Numa amostra de 3000 domicílios da Capital gaúcha, 600 tinham pelo menos um animal doméstico (cão ou gato). Estime pontualmente a proporção de domicílios que tem pelo menos um cão ou gato. 5.3.2 – ESTIMAÇÃO POR INTERVALO DE CONFIANÇA Consiste em cercar o valor da estimativa pontual por uma região cuja probabilidade de conter o verdadeiro parâmetro seja conhecida. NOTAÇÕES que serão utilizadas a partir de agora α (alfa) = nível de significância 1 - α = nível de confiança 2 1 α− ;n t = valor da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade e área 2 α à direita. 2 αz = valor da distribuição normal padrão com área 2 α à direita. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 41 1o ) Intervalo de Confiança para µ (teórico) Conhecendo o teorema do limite central podemos construir intervalos de confiança para a média populacional. Para isso basta cercarmos a estimativa pontual X por um intervalo cuja probabilidade de conter o parâmetro seja conhecida. I.C. para µ com 1-α de confiança = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ×± n zX σα 2 Na fórmula de IC acima percebemos a presença de um parâmetro (σ). Se estamos procurando um intervalo de confiança para µ é porque NÃO conhecemos µ. É praticamente impossível conhecermos σ e não conhecermos µ. Por isso esse resultado acaba sendo INÚTIL na prática. 2o ) Intervalo de Confiança para µ (prático) Ao substituirmos o parâmetro σ por seu estimador s , a distribuição amostral de X deixa de ter uma distribuição Normal e passa a ter uma distribuição t de Student. Desta forma os Intervalos de confiança podem ser utilizados em situações práticas. I.C. para µ com 1-α de confiança = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ×± − n stX n 2 ,1 α pop. infinita I.C. para µ com 1-α de confiança = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − −××± α− 121 N nN n stX n , pop. finita Obs: O fator de correção 1− − N nN é omitido em caso de populações infinitas. O EXCEL simplesmente ignora esse fator de correção. Exemplo: Numa amostra de 121 paciente hígidos, a taxa média de glicemia foi de 135mg/dl com um desvio-padrão de 13,69mg/dl. Construir um IC 95% para a verdadeira taxa de glicemia desta população. Ignore o fator de correção. I.C. 95% para µ = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ×± − n stX n 2 ,1 α Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 42 O EXCEL constrói Intervalos de Confiança sem o fator de correção com o comando Estatísticas Descritivas que fica dentro da opção “Análise de Dados” no Menu “Ferramentas”. Para incluir essa opção deve-se ir até “Ferramentas” → “Suplementos” e assinalar a opção “Ferramentas de Análise”. ATENÇÃO: é necessário ter o banco de dados digitado em EXCEL para fazer isso. Figura – Tela do Excel: Ferramentas > Análise de dados > Estatística Descritiva Tabela - Saída do EXCEL: Glicemia Média 135,00 Erro padrão 1,24 Mediana 135,00 Modo 146,00 Desvio padrão 13,69 Variância da amostra 187,32 Intervalo 70,00 Mínimo 110,00 Máximo 180,00 Soma 16335,00 Contagem 121 Nível de confiança(95,0%) 2,46 Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 43 3o) Intervalo deConfiança para uma proporção populacional p A estimativa pontual para uma proporção é dada diretamente pela proporção amostral. É muito útil construirmos um intervalo em torno da estimativa pontual que possua uma probabilidade conhecida de conter a verdadeira proporção populacional. I.C. para p com 1-α de confiança = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − −×−××± α 1 1 2 N nN n ppzp ) ˆ(ˆ) onde =1,645 (90%) 050,z (95%) 9610250 ,, =z (99%) 57620050 ,, =z Obs: O fator de correção 1− − N nN é omitido em caso de populações infinitas. O EXCEL NÃO faz intervalos de confiança para proporções. Exemplo – Ansiedade e Vestibular O jovem médico Daniel Guzinski Rodrigues realizou um levantamento com 1046 vestibulandos dos 10 cursos mais procurados, descobrindo que 338 sofrem de um grau elevado de ansiedade. (Universia Brasil em 22/06/2005: http://www.universia.com.br/html/noticia/noticia_clipping_cdedc.html) a) Construa um IC 95% para a verdadeira proporção de vestibulandos com grau elevado de ansiedade. O vestibular contou com 42mil participantes. Exemplo – Proporção de canhotos da PUCRS Numa amostra de n=_______ alunos de uma população de N=30.000 de toda PUCRS, verificamos que _______ são canhotos. a) Qual a estimativa pontual de canhotos? b) Construa intervalos de confiança 95% e 99% para a proporção de canhotos. Agora use o fator de correção. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 44 Cap. 6 Testes de Hipóteses Os testes de hipótese constituem outra forma de inferência estatística. Hipóteses são afirmações sobre parâmetros populacionais. Agora iremos testar se essas hipóteses podem ser consideradas verdadeiras ou não. Os testes de hipótese são muito objetivos, pois o resultado final é a ACEITAÇÃO ou REJEIÇÃO da hipótese formulada. Etapas de um teste de hipóteses: 1.Formular as hipóteses 2.Definir qual o nível de significância será utilizado (alfa) 3.Verificar qual o teste adequado e calcular a estatística de teste 4.Decidir pela aceitação ou rejeição da hipótese de nulidade com base no p-value. 5.Conclusão experimental A hipótese nula (Ho) é a hipótese sob a qual a teste é realizado. Essa hipótese será ACEITA ou REJEITADA. Se os dados amostrais estiverem de acordo com a hipótese nula formulada, a estatística de teste nos levará a uma aceitação. Por outro lado, se os dados amostrais não estiverem em sintonia com a hipótese formulada, o teste nos levará a uma rejeição da hipótese nula. A hipótese alternativa (H1 ou Ha) é uma hipótese complementar a Ho. Por isso se rejeitamos Ho, conseqüentemente aceitamos H1. O nível de significância do teste (α) é definido pelo pesquisador. Ele significa a probabilidade de cometermos erro tipo I, ou seja, rejeitarmos Ho sendo a mesma verdadeira. A decisão estatística é a REJEIÇÃO ou ACEITAÇÃO de Ho. Essa decisão está sujeita aos seguintes erros: Tabela – Tipos de Erros Realidade Decisão Ho Verdadeira Ho Falsa Aceito Ho OK Erro tipo II β Rejeito Ho Erro tipo I α OK O erro do tipo I ou nível de significância (α) é controlado pelo pesquisador. O erro do tipo II (β) é geralmente esquecido. Por esse motivo vamos sempre preferir uma REJEIÇÃO do que uma ACEITAÇÃO. No caso de uma REJEIÇÃO ou tomamos a decisão correta ou cometemos o erro com probabilidade α. Os valores de α mais utilizados são 5%, 1% e eventualmente 10%. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 45 A conclusão experimental consiste em explicar com palavras simples o resultado de um teste de hipóteses. Os testes que iremos estudar são os mais famosos e encontrados em praticamente todos os livros de Estatística. • Teste t de Student para uma média • Teste t de Student para comparação de duas médias (amostras independentes) • Teste t de Student para comparação de duas médias (amostras emparelhadas) • Teste Qui-Quadrado (para variáveis organizadas na forma de uma tabela cruzada) 6.1 - Teste t de Student para uma média É uma técnica que permite testarmos a hipótese de que a média populacional pode ser considerada igual a um valor de referência, digamos µo. Apresentação das hipóteses: ⎩⎨ ⎧ ≠ = o o :Ha :Ho µµ µµ ⎩⎨ ⎧ > = o o :Ha :Ho µµ µµ ⎩⎨ ⎧ < = o o :Ha :Ho µµ µµ ↑↑ Iremos estudar apenas os testes bilaterais, ou seja, onde as hipóteses não são direcionadas para um único sentido. As regiões de rejeição ficam nos dois lados da curva. A estatística de teste é dada por: ns/ -xt oµ= Apesar de ser um procedimento simples, o EXCEL não realiza esse tipo de teste. Já, o programa estatístico SPSS, por exemplo, faz. As regiões de rejeição e aceitação do teste t são estabelecidas pelos valores de t, conforme mostra o desenho a seguir de uma curva t com n-1 graus de liberade. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 46 Os valores de t são encontrados na tabela t entregue em sala de aula. Comparando o valor da estatística de teste t calculado com os valores de t obtidos na tabela chegamos a decisão estatística e podemos enunciar a conclusão experimental. Apesar do EXCEL não fazer isso podemos Utiliza-lo para calcular a média amostral e o desvio-padrão. Exercício: A dissertação de mestrado da Medicina da Unesp entitulada “Valores de referência de cortisol salivar para a avaliação adrenal em crianças menores de três anos, sem patologias” de Margarete Silva mostrou que o valor de 160ng/dl pode ser utilizado como referência para o cortisol salivar. Numa amostra de 15 crianças, a média encontrada foi de 170ng/dl com um desvio- padrão de 10,5ng/dl. Crianças Cortisol (ng/dl) Crianças Cortisol (ng/dl) Criança 01 169 Criança 09 165 Criança 02 165 Criança 10 170 Criança 03 160 Criança 11 168 Criança 04 175 Criança 12 166 Criança 05 196 Criança 13 157 Criança 06 175 Criança 14 160 Criança 07 187 Criança 15 162 Criança 08 175 a) Ao nível de significância bilateral de 5%, há diferença significativa entre a média encontrada nestas crianças e o trabalho de Margarete Silva? Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 47 Exemplo – Saída do SPSS para o exercício do Cortisol One-Sample Statistics 15 170,0000 10,50170 2,71153Cortisol (ng/dl) N Mean Std. Deviation Std. Error Mean One-Sample Test 3,688 14 ,002 10,0000 4,1844 15,8156Cortisol (ng/dl) t df Sig. (2-tailed) Mean Difference Lower Upper 95% Confidence Interval of the Difference Test Value = 160 Exemplo – Alterando o valor de teste para 165ng/dl. Suponha a mesma amostra, mas altere o valor de referência para 165ng/dl. One-Sample Statistics 15 170,0000 10,50170 2,71153Cortisol (ng/dl) N Mean Std. Deviation Std. Error Mean One-Sample Test 1,844 14 ,086 5,0000 -,8156 10,8156Cortisol (ng/dl) t df Sig. (2-tailed) Mean Difference Lower Upper 95% Confidence Interval of the Difference Test Value = 165 Sobre o p-value, valor de p ou Significância (Sig.) O p-value, valor de p ou significância da estatística é o valor informado na saída dos softwares estatísticos. Esse número é uma probabilidade que deve ser comparada ao nível de significância adotado. Se p-value > nível de significância adotado, então ACEITAMOS Ho. Se p-value < nível de significância adotado, então REJEITAMOS Ho. Em aula serão feitas ilustrações para melhor entendimento. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 48 6.2 Teste t de Student - duas amostras independentesÉ uma técnica estatística que permite testarmos a hipótese de que duas médias populacionais são idênticas. É extremamente utilizada para comparação de dois grupos independentes. Apresentação das hipóteses (caso bilateral): ⎩⎨ ⎧ ≠ = 21 21 :Ha :Ho µµ µµ A estatística de teste tem uma forma um tanto “amigável”: ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +×−+ −×+× = 21 11 nn2nn 1)(ns1)-(ns x-xt 21 2 2 21 2 1 21 que deve ser comparado com uma distribuição t de Student com (n1+n2-2) graus de liberdade As regiões de rejeição e aceitação seguem a mesma lógica do teste anterior. No EXCEL: Ferramentas → Análise de Dados → Teste t: duas amostras presumindo variâncias equivalentes ATENÇÃO: Esse teste só pode ser utilizado se a variância (ou desvios-padrão) das duas populações em questão não forem muito diferentes. Exercício: Dois grupos de promotores de vendas estão sendo comparados em relação ao seus desempenhos. Considere que o valor 0 corresponda a produtividade nula e o valor 100 corresponda a produtividade máxima. O Grupo 1 recebeu a palestra de um Psicólogo e participação dos resultados (comissões). O Grupo 2 recebeu apenas as comissões Resultados do levantamento realizado pelos pesquisadores: Grupo 1 Psico + $$$ 65 58 78 60 68 69 66 70 53 71 63 63 Média = 65,33 Desvio = 6,61 Grupo 2 $$$ 62 63 36 34 56 50 42 57 46 68 48 42 52 43 43 Média = 49,47 Desvio = 10,07 a) Ao nível de 5%, há diferença significativa entre os dois grupos? Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 49 Exemplo – Tela e saída do EXCEL para o exemplo da Altura das plantas Teste-t: duas amostras presumindo variâncias equivalentes Grupo 1 Grupo 2 Média 65,333 49,467 Variância 43,697 101,410 Observações 12,000 15,000 Variância agrupada 76,016 Hipótese da diferença de média 0,000 gl 25,000 Stat t 4,699 P(T<=t) uni-caudal 0,000 t crítico uni-caudal 1,708 P(T<=t) bi-caudal (p-value) 0,000 t crítico bi-caudal 2,060 Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 50 6.3 Teste t de Student - duas amostras pareadas Utilizado para testarmos a hipótese de que a média populacional ANTES e DEPOIS de algum determinado “tratamento” ou “situação” sofreu alteração significativa. ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≠ = DepoisAntes DepoisAntes µµ µµ :Ha :Ho Hipóteses: A estatística de teste baseia-se nas diferenças DEPOIS – ANTES para cada elemento da amostra. Estatística de teste: n/s dt d = onde d é a média das diferenças e sd é o desvio-padrão das diferenças. As regiões de rejeição e aceitação do teste t são estabelecidas pelos valores de t. No EXCEL: Ferramentas → Análise de Dados → Teste t: duas amostras em par Exercício: Deseja-se investigar o efeito do álcool sobre o reflexo na direção. Uma amostra de 10 motoristas foi convidada a utilizar um simulador de direção antes e depois de ingerir bebida e o tempo até uma reação (pisar no freio) foi verificado. Motorista Antes Depois 1 10 20 2 80 70 3 45 50 4 60 80 5 45 90 6 100 120 7 45 55 8 80 90 9 25 50 10 50 60 Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 51 Exemplo – Tela e saída do Microsoft EXCEL Teste-t: duas amostras em par para médias Antes Depois Média 54,000 68,500 Variância 726,667 778,056 Observações 10,000 10,000 Correlação de Pearson 0,862 Hipótese da diferença de média 0,000 gl 9,000 Stat t -3,179 P(T<=t) uni-caudal 0,006 t crítico uni-caudal 1,833 P(T<=t) bi-caudal (p-value) 0,011 t crítico bi-caudal 2,262 Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 52 6.4 TESTE DO QUI-QUADRADO (χ2) O teste do qui-quadrado é uma importante prova para verificar associação entre duas variáveis qualitativas (categóricas). A técnica verifica se há ou não associação entre as variáveis linha e coluna de uma tabela cruzada. Hipóteses do teste: Ho: As variáveis linha e coluna da tabela são INDEPENDENTES. Ha: Existe uma relação de dependência entre as variáveis linha e coluna da tabela Para exemplificar o cálculo das estatística de teste nada melhor do que um exemplo. A estatística de teste Qui-quadrado baseia-se na diferença entre os valores observados e esperados em cada célula da tabela cruzada. Os valores esperados são calculados sob a hipótese de independência. Estatística de teste: ( )∑ −=χ −− . ..))(( EspEspObscl 2 2 11 que deve ser comparado com o valor tabelado da qui-quadrado com (l-1)(c-1) graus de liberade. Exemplo – Uso de drogas e situação conjugal dos pais Deseja-se investigar se a situação conjugal dos pais está relacionada ao uso de drogas. Um estudo publicado da Revista de Saúde Pública em 2004 entitulado “Fatores associados ao uso de drogas entre adolescentes escolares” de autoria de Beatriz Tavares et al. mostrou os dados que estão na tabela a seguir: a) Complete a tabela e realize um teste Qui-quadrado para verificar se a prevalência de uso de drogas depende ou independe da situação conjugal dos pais. Use 5%. Tabela – Situação conjugal dos pais X Uso de drogas Drogas Situação Sim Não Total Vivem juntos 257 1680 Separados 112 472 Total Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 53 Exemplo – Estilo Parental e Uso de Drogas Verifique se o estilo parental da mãe está relacionado ou não ao uso de drogas. Os dados foram obtidos no mesmo estudo da Revista de Saúde Pública em 2004 entitulado “Fatores associados ao uso de drogas entre adolescentes escolares” de autoria de Beatriz Tavares et al. Tabela – Estilo parental da mãe X Uso de drogas Drogas Estilo Sim Não Total Autoritária 144 897 Moderada 124 815 Total O EXCEL não faz o teste qui-quadrado. O SPSS e o MINITAB fazem. Exemplo – Tabela e saída do SPSS Estilo * Drogas Crosstabulation 144 753 897 16,1% 83,9% 100,0% 124 691 815 15,2% 84,8% 100,0% 268 1444 1712 15,7% 84,3% 100,0% Count % within Estilo Count % within Estilo Count % within Estilo Autoritária Moderada Estilo Total Sim Não Drogas Total Chi-Square Tests ,228b 1 ,633 ,168 1 ,681 ,228 1 ,633 ,642 ,341 ,227 1 ,633 1712 Pearson Chi-Square Continuity Correctiona Likelihood Ratio Fisher's Exact Test Linear-by-Linear Association N of Valid Cases Value df Asymp. Sig. (2-sided) Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided) Computed only for a 2x2 tablea. 0 cells (,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 127,58. b. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 54 Cap. 7. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 7.1 O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON O coeficiente de correlação de Peason ( R ) é uma medida que varia no intervalo de –1 até +1 que visa quantificar o grau de relacionamento linear entre variáveis quantitativas. Valores próximos de +1 indicam forte correlação direta entre as variáveis enquanto que valores próximos de –1 indicam forte correlação inversa. Valores em torno de zero indicam ausência de correlação. Não vamos nos deter no cálculo do coeficiente de correlação de Pearson, mas sim no seu funcionamento. Vejamos na forma de gráficos de dispersão os possíveis tipos de correlação entre as variáveis: Correlação Direta Correlação Inversa Ausência de Correlação Vamos verificar a correlação existente entre as variáveis no arquivo exemplo a seguir: Indivíduo Número de erros (X) Horas de Sono(Y) 1 8 12 2 7 13 3 9 9 4 12 6 5 14 5 Média 10,00 9,00 Desvio 2,92 3,54 No EXCEL podemos utilizar o comando CORREL. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 55 Exemplo – Correlação usando o EXCEL Quando temos mais de duas variáveis podemos construir uma matriz de correlação. O EXCEL possui o comando “Correlação” dentro da opção Análise de Dados. Exemplo – Matriz de correlação entre algumas características Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 56 7.2 – Regressão Linear Simples A técnica de Regressão Linear Simples estabelece uma relação de dependência entre uma variável dependente Y e uma única variável independente X, supondo que o relacionamento seja da forma linear: Y = bo + b1X (clássica equação da reta) Os termos bo e b1 são os parâmetros do modelo. Eles são estimados de forma a maximizar a habilidade preditiva do modelo, conforme será mostrado no exemplo a seguir. Exemplo – Peso X Altura de indivíduos adultos A regressão também pode ser realizada no módulo “Análise de Dados” > “Regressão”, fornecendo uma saída bem mais completa. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 57 Figura – Tela do Excel para a Regressão Completa Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 58 Lista de Exercícios Cap. 2 – Estatística Descritiva 1. Os dados a seguir referem-se ao número de alunos que procuraram atendimento psicológico na primeira quinzena de Agosto. 2 1 2 3 2 2 0 2 1 2 0 1 2 1 0 a) Organize os dados na forma de uma tabelas de freqüências. b) Encontre as MTC's e interprete-as. c) Encontre as Medidas de Variabilidade e interprete-as. 2. Os dados a seguir indicam a taxa média de calorias diárias ingeridas pela população de países da América Central. País Calorias País Calorias Costa Rica 2760 Haiti 1965 Domincan Republic 2310 Honduras 2200 El Salvador 2270 Nicaragua 2215 Guatemala 2190 Panama 2490 Fonte: OMS, 1995. (dados arredondados) a) Encontrar as MTC´s e as Medidas de Variabilidade. b) Suponha que, subitamente, todos os países passem a consumir 100 calorias a mais na sua dieta diária. Quais seriam os novos valores das MTC's e das MV? c) Suponha que, subitamente, todos os países aumentem a sua dieta calórica em 10%. Quais seriam os novos valores das MTC's e das MV? 3. O índice de massa corporal (IMC) é o resultado da divisão entre o peso (em kg) e o quadrado da altura (em m). A OMS classifica o IMC da seguinte forma: magro, normal, sobrepeso e obesidade. O gráfico a seguir apresenta a distribuição do peso de 200 bailarinas gaúchas. Os dados são inspirados em um TCC do curso de Psicologia. Categorias do IMC SobrepesoNormalMagro Fr eq üê nc ia R el at iva ( fri ) 60 50 40 30 20 10 0 6 56 38 a) Construa uma tabela de freqüências completa a partir do gráfico. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 59 4. A tabela a seguir informa as estatísticas descritivas para a estatura (em cm) de adolescentes na faixa dos 10-11 anos, separadamente para o sexo masculino e feminino. Os dados fazem parte de um banco de dados real. Masculino (n=97) Feminino (n=79) Mean (Média) 155,17 146,41 Median (Mediana) 160,30 151,00 Range (Amplitude) 72,30 55,70 Variance 282,55 205,71 Std. Deviation (Desvio-padrão) 16,81 14,34 Minimum 112,30 111,80 Maximum 184,60 167,50 a) Comente os resultados. Qual sexo apresenta maior variação na altura? b) Interprete os percentis apresentados na tabela abaixo. Sexo P25 P50 P75 P90 Masculino 143.9 160.3 167.3 173.6 Feminino 136.0 151.0 155.5 162.1 5. O número de amigos que faz parte do “primeiro anel” da rede de amizades de uma amostra de 20 adolescentes foi verificado 4 4 5 0 2 1 2 3 3 4 0 3 1 2 2 2 3 3 3 3 a) Organize os dados numa tabela de freqüências. b) Encontre as MTC´s e interprete-as. c) Encontre as Medidas de Variabilidade e interprete. d) Qual gráfico seria apropriado para esse tipo de variável? 6. O instrumento de qualidade de vida WHOQOL- versão abreviada procura mensurar a qualidade de vida numa escala de 0 (QV mínima) até 100 (QV máxima) (http://www.ufrgs.br/psiq/whoqol.html) Considere o resultado obtido numa amostra de 9 pacientes de um hospital. 45 52 62 50 72 80 84 52 88 a) Encontre as MTC´s. b) Encontre as Medidas de Variabilidade c) Aumente todos os valores em 10 unidades. O acontece com as MTC e as MV. d) Aumente todos os valores em 10%. O que acontece com as MTC e as MV. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 60 Cap. 3 - Probabilidade 7. (Probabilidade) Numa determinada população existem 200 pessoas, sendo 120 do sexo feminino e o restante do sexo masculino. Sabe-se que existe nessa população 40 fumantes, dos quais 25 são homens. Se eu escolher uma pessoa dessa população ao acaso, encontre: a) A probabilidade de ser não-fumante. b) Se a pessoa que eu sortear for do sexo feminino, qual a probabilidade dela ser fumante? 8. (Probabilidade) A probabilidade de um exame resultar num falso-negativo em casos de AIDS é de 10%. Se uma pessoa com AIDS faz exame em três diferentes laboratórios, qual a probabilidade de que os três exames resultem negativos? 9. Uma caixa (caixa A) contém três ratos brancos e 1 preto. Outra caixa (caixa B) contém 4 ratos pretos e 1 branco. Você retira aleatoriamente um rato de cada caixa: a) Escreva o espaço amostral S. b) Calcule as probabilidades de cada resultado possível. 10. (Binomial) A probabilidade de nascer um cão labrador cor chocolate no cruzamento de um labrador amarelo com um preto é de 1 em 8. Admita que uma fêmea amarela ficou prenha de um labrador preto e teve 8 filhotes: a) Defina o que será considerado um sucesso para calcular via binomial. b) Defina a variável X e os parâmetros "n" e "p". c) Qual a probabilidade que não nasça labrador chocolate? d) Qual a probabilidade de nascer no máximo dois labradores chocolate? e) Qual o número esperado de labradores chocolate. Utilize o seguinte resultado para facilitar os cálculos: na binomial E(X) = n . p 10b. A probabilidade nascer um filho hiperativo é estimada em 1%. Se você tem 3 filhos. a) Qual a probabilidade de TODOS serem hiperativos? b) Qual a probabilidade ao menos um ser hiperativo? c) Qual o número esperado de filhos hiperativos numa prole de tamanho 3? 11. (Normal) A altura de meninos americanos adolescentes segue uma distribuição normal com média de 1,70m e desvio-padrão de 12,2m. Você sabe tem um amigo americano, com o qual se comunica pela Internet, e que é adolescente. Qual a probabilidade desse rapaz ter mais de 1,80m? 12. (Normal) A expectativa de vida na Índia é de 58 anos e em Bangladesh é de 53 anos, segundo dados da ONU (1995). Admita que a expectativa de vida siga uma distribuição aproximadamente normal e que o desvio-padrão na Índia seja de 12 anos e em Bangladesh seja de 7 anos. a) Em qual país é mais provável de encontrarmos um habitante com mais de 65 anos? Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 61 13. O que é mais provável: acertar na Mega-Sena jogando um único cartão ou acertar todas as questões da prova de Biologia do vestibular da UFRGS (30 questões, 5 alternativas cada) chutando todas as respostas aleatoriamente e não permitindo que a resposta dada a uma questão influencie na outra... Cap 5 – Estimação por Ponto e por Intervalo 14. Suponha que você conduzirá um estudo sobre o tempo que professores universitários do curso de Psicologiaficam em frente ao computador diariamente. A população em estudo é de apenas 10 professores. Professor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo 5,00 4,00 3,50 1,20 0,00 8,00 3,50 5,00 6,00 11,00 a) Quais são os parâmetros média e desvio-padrão dessa população? b) Você só tem tempo de analisar 4 professores para estimar a média de tempo nessa população. Quantas possíveis amostras de 4 professores você pode obter a partir dessa população (amostragem sem reposição)? c) Como ficaria a distribuição das médias amostrais? 15. O FBI quer investigar a verdadeira proporção de casos de ANTRAZ dentre os 450 funcionários que trabalham no prédio dos Correios de Washington. Como o procedimento de análise é caro e demorado, eles decidem trabalhar por amostragem. a) Quantas amostras de 30 funcionários poderiam ser obtidas nessa população (sem reposição)? b) Qual o comportamento probabilístico esperado das proporções amostrais ? pˆ 16. O Inventário de Ansiedade de Beck (BAI) procura traduzir a ansiedade de um indivíduo numa escala de 0 até 63 pontos. Os resultados mostram o nível de ansiedade de uma amostra de 10 formandos em Psicologia. 12 15 32 14 25 28 25 12 14 16 a) Estime por ponto a concentração média de coliformes fecais nessa lagoa. b) Estime por intervalo de confiança de 95% a concentração média (...) c) Interprete o intervalo 17. Dizem que a proporção de homens fumantes é semelhante a proporção de mulheres fumantes. Numa amostra de 240 mulheres, 35 se declararam fumantes, enquanto que dentre os 300 homens investigados, 54 eram fumantes. a) Calcule um IC de 95% para a proporção de homens fumantes. b) Calcule um IC de 95% para a proporção de mulheres fumantes. c) Interprete os resultados. Há chance das duas proporções de fumantes serem iguais? Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 62 18. No exercício 14 retire uma amostra de tamanho 4 e construa um I.C. 95% para o verdadeiro tempo médio de utilização do computador. 19. Suponha que no exercício 15, uma amostra de n=30 funcionários levou a estimativa de 26,67% de casos positivos. a) Construa um I.C. 95% para a proporção de casos positivos. b) Qual o tamanho amostral necessário para estimarmos essa proporção com 5% e 3% de margem de erro, mantendo o nível de confiança em 95%. 20. Cap. 6 – Testes de Hipóteses 21. Teste a hipótese de que no exercício 16 nós temos um escore de ansiedade BAI médio de 20 pontos. Use 5%. 22. A tabela a seguir informa as estatísticas descritivas para a estatura (em cm) de adolescentes na faixa dos 12 a 13 anos, separadamente para o sexo masculino e feminino. Os dados fazem parte de um banco de dados real. Masculino (n=97) Feminino (n=79) Mean (Média) 155,17 146,41 Std. Deviation (Desvio-padrão) 16,81 14,34 a) Faça um teste para comparação da altura média por sexo, utilizando um nível de significância de 10%. 23. (Teste t para amostras emparelhadas) Foi realizado um experimento com 5 atletas onde foi solicitado que eles fizessem uma corrida de 100m sem a utilização de anabolizantes e numa outra ocasião com a utilização dos estimulantes. Compare os resultados pelo teste t ao nível de 5%. Atleta 1 2 3 4 5 Sem anabol. 12,1 12,6 13,0 14,1 12,9 Com anabol. 10,8 12,5 12,7 13,8 12,4 Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 63 24. O EAT-26 é um teste para atitudes alimentares que indica padrão anormal de alimentação quando o escore ultrapassa 20 pontos. O Dr. Barros na revista Aletheia (1999) mostrou que, dentre os 367 adolescentes do sexo feminino, 92 apresentaram transtornos alimentares, enquanto que dentre os 439 do sexo masculino, 24 apresentaram. a) Realize um teste qui-quadrado ao nível de 1% e indique se existe diferença significativa entre os dois sexos. b) Você achou o tamanho amostral suficiente para fazer esse teste? 25. Uma escala de auto-estima bastante utilizada em Psicologia é composta de 10 itens, cuja soma da pontuação obtida nesses itens indica nível de auto-estima da pessoa numa escala que vai de 10 (mínimo) até 50 (máximo). Uma Monografia do curso de Psicologia de um aluna chamada Suzana (Ulbra, 1999) mostrou um comparativo entre dois grupos de pessoas com problemas de alcoolismo: Tempo de Abstinência n Média D.P. Até 6 meses 44 23,86 5,07 Mais de 6 meses 39 30,36 3,38 a) Compare os grupos pelo teste t adotando um nível de significância de 1%. 26. Para os dados da tabela abaixo, composta de 100 fumantes, realize um teste qui- quadrado. Os dados foram extraídos de Everitt (1992). Quantidade diária de cigarros Idade Até 40 anos Mais de 40 anos Total Menos de 20 cigarros 50 15 65 20 cigarros ou mais 10 25 35 Total 60 40 100 Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 64 27. Estudantes de Psicologia estão estudando a evolução da coesão familiar com a realização de terapia de grupo Família 1 2 3 4 5 6 7 Coesão – Antes 25 50 40 42 60 55 47 Coesão – Depois 52 70 60 52 65 63 57 Obs.: Quanto maior, maior a coesão. a) O Tratamento é eficiente para aumento da coesão? Realize um teste t apropriado. 28. Um teste de QI realizado em dois grupos de alunos da área exata mostrou os seguintes resultados Grupo 1 Alunos do 2º semestre (n=20) Grupo 2 Alunos do 8º semestre (n=10) Média 110 118 Desvio-padrão 14 19 Obs.: Dados fictícios a) Compare os dois grupos ao nível de significância de 5%. 29. Suspeita-se que a idade de alunos de Psicologia nos turnos diurno e noturno difira significativamente. Uma amostra de 31 estudantes de cada turno mostrou o seguinte: Grupo n Média Desvio- padrão Diurno 31 22 4,2 Noturno 31 27 4,0 a) Os grupos diferem de acordo com o teste t ao nível de significância de 5%? 30. O medicamento FULCIN 500mg diz ter essa quantidade da substância ativa Griseofulvina. Numa amostra de 100 comprimidos de FULCIN chegamos a uma média de 470mg com um desvio-padrão de 45mg. a) Realize um teste t contra o valor de referência e tire a sua conclusão. Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 65 Cap. 7 - Correlação e Regressão (?) 31. Suspeita-se que a idade ao primeiro parto tende a se repetir nas filhas mulheres. Um estudo-piloto realizado com 5 mães mostrou que: Média Desvio Idade que a mãe teve o 1º filho 20 26 28 30 31 27 4,36 Idade que a filha teve o 1º filho 22 26 28 33 36 29 5,57 32. Será que é possível prever o escore no vestibular a partir do conhecimento da nota média no 3º ano do Ensino Médio? y = 36,092x + 250,21 R2 = 0,8176 0 100 200 300 400 500 600 700 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 E sc or e ve st ib ul ar Média no EM a) Qual o modelo estimado? b) Interprete o coeficiente de determinação. c) Qual o escore esperado no vestibular de um aluno que passou com média 5,5? RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0,90421644 R-Quadrado 0,817607371 R-quadrado ajustado 0,794808292 Erro padrão 31,73457394 Observações 10 ANOVA gl SQ MQ F Valor de p Regressão 1 36115,43 36115,43 35,86 0,000 Resíduo 8 8056,67 1007,08 Total 9 44172,10 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P Interseção 250,21 46,60 5,37 0,00 Média em Matemática EM 36,09 6,03 5,99 0,00 Est Apl à Psicologia – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 66 TABELA Z Tabela: Probabilidades acumuladas associadas aos valores críticos (z) da distribuição normal reduzida z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160
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