PROVA SBM MA13 AV3 2015 Gabarito

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MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMA´TICA EM REDE NACIONAL
Avaliac¸a˜o 2 - MA13 - 2015 - Gabarito
Questa˜o 01 [ 2,00 pts ]
Em um ponto da borda de um pasto circular, amarra-se um bode, com uma corda cujo comprimento e´
√
3 vezes
o raio do pasto. O bode pode comer todo o pasto que conseguir alcanc¸ar, podendo deslocar-se ate´ a corda estar
totalmente esticada. Determine a frac¸a˜o ma´xima do pasto que o bode pode comer.
Soluc¸a˜o
Sejam O o centro do pasto, R a medida de seu raio e P o ponto onde a corda, de comprimento R
√
3, esta´ presa.
A a´rea S do pasto que o bode pode comer pode ser decomposto em uma a´rea S1 mais duas a´reas ideˆnticas S2 e S3, conforme
a figura abaixo.
Como OP = OA = R e AP = R
√
3, temos
(
R
√
3
)2
= R2 +R2 − 2 ·R ·R · cos
(
POˆA
)
logo
cos
(
POˆA
)
= −1
2
,
o que nos da´ POˆA = 120◦. Com isso, como o triaˆngulo POA e´ iso´sceles de ve´rtice O, temos OPˆA = 1
2
(180◦ − 120◦) = 30◦.
Teremos enta˜o APˆB = 60◦, logo a a´rea do setor circular S1, de raio R
√
3 e aˆngulo APˆB = 60◦ e´ dada por
S1 =
60◦
360◦
· pi
(
R
√
3
)2
=
3piR2
6
=
piR2
2
.
A a´rea S2, por sua vez, corresponde a` a´rea do setor circular de raio R e aˆngulo 120
◦, subtraindo a a´rea do triaˆngulo AOP .
Assim,
S2 =
120◦
360◦
· piR2 − R ·R · sen 120
◦
2
=
piR2
3
− R
2
√
3
4
.
Como S3 = S2, temos
S = S1 + S2 + S3 = S1 + 2S2 =
piR2
2
+ 2
(
piR2
3
− R
2
√
3
4
)
logo
S =
7pi − 3√3
6
·R2.
Questa˜o 02 [ 2,00 pts ]
A figura mostra uma plataforma de base quadrada ABCD e uma torre central em forma de piraˆmide quadrangular
de base PQRS e ve´rtice H, cujo volume e´ 576 m3. As diagonais PR e QS esta˜o contidas, respectivamente, nas
diagonais AC e BD. As arestas das bases da plataforma e da piraˆmide medem, respectivamente, 19
√
2 m e 6
√
2 m.
Para aumentar a seguranc¸a, quatro cabos de ac¸o sera˜o presos e esticados entre cada ponto me´dio das arestas laterais
da piraˆmide e o ve´rtice mais pro´ximo da base da plataforma.
(a) Sendo M o ponto me´dio da aresta HQ e N a projec¸a˜o de M na base da piraˆmide, determine a medida do
segmento MN .
(b) Determine o comprimento do cabo de ac¸o BM .
Soluc¸a˜o
(a) Sendo V o volume da piraˆmide e O o centro do quadrado PQRS, temos:
V =
1
3
· PQ2 ·OH ∴ 576 = 1
3
·
(
6
√
2
)2
·OH ∴ OH = 24m.
Como M e´ ponto me´dio de QH, enta˜o MN e´ base me´dia do triaˆngulo OQH e, por isso:
MN =
OH
2
∴MN = 12m.
(b) Aplicando o Teorema de Pita´goras no triaˆngulo PQS, retaˆngulo em P , temos:
QS
2
= PQ
2
+ PS
2
=
(
6
√
2
)2
+
(
6
√
2
)2
∴ QS = 12 ∴ OQ = QS
2
= 6m.
Como o segmento MN e´ base me´dia do triaˆngulo OQH, enta˜o N e´ ponto me´dio de OQ, sendo:
ON =
OQ
2
= 3m.
Aplicando o Teorema de Pita´goras no triaˆngulo ABD, retaˆngulo em A, temos:
BD
2
= AB
2
+AD
2
=
(
19
√
2
)2
+
(
19
√
2
)2
∴ BD = 38 ∴ OB = BD
2
= 19m.
Assim segue que:
BN = OB −ON = 19− 3 ∴ BN = 16m.
Aplicando o Teorema de Pita´goras no triaˆngulo MNB, retaˆngulo em N , temos:
BM
2
= MN
2
+BN
2
= 122 + 162 ∴ BM = 20m.
Questa˜o 03 [ 2,00 pts ]
(a) Prove que todo trape´zio inscrit´ıvel e´ iso´sceles.
(b) Um trape´zio ABCD, de bases AB e CD, e´ inscrit´ıvel e circunscrit´ıvel. Sabendo que AB > CD, prove que
AB > BC.
Soluc¸a˜o
(a) Seja ABCD um trape´zio inscrit´ıvel, com bases AB e CD.
Como o trape´zio e´ inscrit´ıvel, temos que Aˆ+ Cˆ = 180◦. Pore´m, como AB e CD sa˜o paralelos, temos Bˆ + Cˆ = 180◦. As duas
igualdades nos da˜o, juntas, que Aˆ = Bˆ, o que implica que o trape´zio e´ iso´sceles.
(b) Como ABCD e´ inscrit´ıvel, pelo item (a) ele sera´ iso´sceles, logo BC = AD.
Por outro lado, o trape´zio e´ circunscrit´ıvel, logo
AB + CD = BC +AD.
Mas, como BC = AD, temos
AB + CD = 2BC.
E, como AB > CD, temos
2AB = AB +AB > AB + CD = 2BC,
logo
AB > BC.
Questa˜o 04 [ 2,00 pts ]
Seja ABCD um losango de diagonais de medidas AC = 2a e BD = 2b. Dos pontos A e C, trac¸amos os segmentos
AE e CF , de medidas AE = x e CF = y, perpendiculares ao plano que conte´m o losango e de um mesmo lado deste
plano. Calcule o volume do so´lido ABCDEF .
Soluc¸a˜o
Como pode ser visto na figura, o so´lido ABCDEF e´ formado pela unia˜o de duas piraˆmides:
• a piraˆmide cuja base e´ o trape´zio ACFE e cuja altura e´ PB e
• a piraˆmide cuja base e´ o trape´zio ACFE e cuja altura e´ PD,
sendo P o ponto de encontro das diagonais do losango ABCD.
Como PB = PD = b, o volume de cada uma dessas piraˆmides e´ dado por
V1 =
1
3
· A´reaACFE · b = 1
3
·
(x+ y
2
· 2a
)
· b = ab(x+ y)
3
.
Assim, o volume do so´lido ABCDEF e´
VABCDEF = 2 · V1 = 2ab(x+ y)
3
.
Questa˜o 05 [ 2,00 pts ]
(a) Usando apenas a relac¸a˜o fundamental da trigonometria e as fo´rmulas de adic¸a˜o de arcos e de arcos duplos prove
que:
cos(3x) = 4 cos3(x)− 3 cos(x).
(b) Resolva a equac¸a˜o 4 cos3(x)− 3 cos(x) = cos
(pi
5
)
.
Soluc¸a˜o
(a) Aplicando a fo´rmula de adic¸a˜o de arcos temos:
cos(3x) = cos(2x+ x) = cos(2x) cos(x)− sen(2x)sen(x).
Pelas fo´rmulas de arcos duplos segue que:
cos(3x) =
[
cos2(x)− sen2(x)] cos(x)− [2sen(x) cos(x)] sen(x)
= cos3(x)− 3sen2(x) cos(x)
= cos3(x)− 3[1− cos2(x)] cos(x)
= 4 cos3(x)− 3 cos(x).
(b) Por (a) segue que 4 cos3(x)− 3 cos(x) = cos(3x).
Logo cos(3x) = cos
(pi
5
)
.
Portanto 3x = ±pi
5
+ 2kpi, k ∈ Z, ou seja, x = ± pi
15
+
2
3
kpi, k ∈ Z.