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MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMA´TICA EM REDE NACIONAL Avaliac¸a˜o 3 - MA13 - 2015.2 Questa˜o 01 [ 2,00 pts ] Em um ponto da borda de um pasto circular, amarra-se um bode, com uma corda cujo comprimento e´ √ 3 vezes o raio do pasto. O bode pode comer todo o pasto que conseguir alcanc¸ar, podendo deslocar-se ate´ a corda estar totalmente esticada. Determine a frac¸a˜o ma´xima do pasto que o bode pode comer. Questa˜o 02 [ 2,00 pts ] A figura mostra uma plataforma de base quadrada ABCD e uma torre central em forma de piraˆmide quadrangular de base PQRS e ve´rtice H, cujo volume e´ 576 m3. As diagonais PR e QS esta˜o contidas, respectivamente, nas diagonais AC e BD. As arestas das bases da plataforma e da piraˆmide medem, respectivamente, 19 √ 2 m e 6 √ 2 m. Para aumentar a seguranc¸a, quatro cabos de ac¸o sera˜o presos e esticados entre cada ponto me´dio das arestas laterais da piraˆmide e o ve´rtice mais pro´ximo da base da plataforma. (a) Sendo M o ponto me´dio da aresta HQ e N a projec¸a˜o de M na base da piraˆmide, determine a medida do segmento MN . (b) Determine o comprimento do cabo de ac¸o BM . Questa˜o 03 [ 2,00 pts ] (a) Prove que todo trape´zio inscrit´ıvel e´ iso´sceles. (b) Um trape´zio ABCD, de bases AB e CD, e´ inscrit´ıvel e circunscrit´ıvel. Sabendo que AB > CD, prove que AB > BC. Questa˜o 04 [ 2,00 pts ] Seja ABCD um losango de diagonais de medidas AC = 2a e BD = 2b. Dos pontos A e C, trac¸amos os segmentos AE e CF , de medidas AE = x e CF = y, perpendiculares ao plano que conte´m o losango e de um mesmo lado deste plano. Calcule o volume do so´lido ABCDEF . Questa˜o 05 [ 2,00 pts ] (a) Usando apenas a relac¸a˜o fundamental da trigonometria e as fo´rmulas de adic¸a˜o de arcos e de arcos duplos prove que cos(3x) = 4 cos3(x)− 3 cos(x). (b) Resolva a equac¸a˜o 4 cos3(x)− 3 cos(x) = cos (pi 5 ) .
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