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PROVA SBM MA13 AV3 2015

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MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMA´TICA EM REDE NACIONAL
Avaliac¸a˜o 3 - MA13 - 2015.2
Questa˜o 01 [ 2,00 pts ]
Em um ponto da borda de um pasto circular, amarra-se um bode, com uma corda cujo comprimento e´
√
3 vezes
o raio do pasto. O bode pode comer todo o pasto que conseguir alcanc¸ar, podendo deslocar-se ate´ a corda estar
totalmente esticada. Determine a frac¸a˜o ma´xima do pasto que o bode pode comer.
Questa˜o 02 [ 2,00 pts ]
A figura mostra uma plataforma de base quadrada ABCD e uma torre central em forma de piraˆmide quadrangular
de base PQRS e ve´rtice H, cujo volume e´ 576 m3. As diagonais PR e QS esta˜o contidas, respectivamente, nas
diagonais AC e BD. As arestas das bases da plataforma e da piraˆmide medem, respectivamente, 19
√
2 m e 6
√
2 m.
Para aumentar a seguranc¸a, quatro cabos de ac¸o sera˜o presos e esticados entre cada ponto me´dio das arestas laterais
da piraˆmide e o ve´rtice mais pro´ximo da base da plataforma.
(a) Sendo M o ponto me´dio da aresta HQ e N a projec¸a˜o de M na base da piraˆmide, determine a medida do
segmento MN .
(b) Determine o comprimento do cabo de ac¸o BM .
Questa˜o 03 [ 2,00 pts ]
(a) Prove que todo trape´zio inscrit´ıvel e´ iso´sceles.
(b) Um trape´zio ABCD, de bases AB e CD, e´ inscrit´ıvel e circunscrit´ıvel. Sabendo que AB > CD, prove que
AB > BC.
Questa˜o 04 [ 2,00 pts ]
Seja ABCD um losango de diagonais de medidas AC = 2a e BD = 2b. Dos pontos A e C, trac¸amos os segmentos
AE e CF , de medidas AE = x e CF = y, perpendiculares ao plano que conte´m o losango e de um mesmo lado deste
plano. Calcule o volume do so´lido ABCDEF .
Questa˜o 05 [ 2,00 pts ]
(a) Usando apenas a relac¸a˜o fundamental da trigonometria e as fo´rmulas de adic¸a˜o de arcos e de arcos duplos prove
que cos(3x) = 4 cos3(x)− 3 cos(x).
(b) Resolva a equac¸a˜o 4 cos3(x)− 3 cos(x) = cos
(pi
5
)
.

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