Operações sobre Conjuntos

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Operac¸o˜es
sobre
conjuntos
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto
universo
Conjunto
vazio
Relac¸o˜es e
operac¸o˜es
Intersec¸a˜o
Unia˜o
Complementac¸a˜o
Operac¸o˜es sobre conjuntos
Renata de Freitas e Petrucio Viana
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica, UFF
Setembro de 2013
Operac¸o˜es
sobre
conjuntos
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto
universo
Conjunto
vazio
Relac¸o˜es e
operac¸o˜es
Intersec¸a˜o
Unia˜o
Complementac¸a˜o
Suma´rio
• Conjunto universo.
• Conjunto vazio.
• Intersec¸a˜o.
• Unia˜o.
• Complementac¸a˜o.
Operac¸o˜es
sobre
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Conjunto
universo
Conjunto
vazio
Relac¸o˜es e
operac¸o˜es
Intersec¸a˜o
Unia˜o
Complementac¸a˜o
Boole
• Um dos pioneiros da lo´gica
matema´tica e dos estudos da
lo´gica alge´brica.
• Em sua homenagem foi
cunhado o termo
A´lgebra de Boole.
George Boole
(1815 – 1864)
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sobre
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Conjunto
universo
Conjunto
vazio
Relac¸o˜es e
operac¸o˜es
Intersec¸a˜o
Unia˜o
Complementac¸a˜o
Conjunto universo
Para definir um conjunto por listagem, devemos utilizar objetos
que, supostamente, existem antes da listagem.
Para definir um conjunto por propriedade devemos utilizar um
conjunto que, supostamente, existe antes da definic¸a˜o por
propriedade, e de uma propriedade.
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Relac¸o˜es e
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Intersec¸a˜o
Unia˜o
Complementac¸a˜o
Conjunto universo
Para que na˜o seja preciso especificar objetos ou conjuntos
pre´vios particulares a cada vez que usamos estes procedimentos
de definic¸a˜o, admitimos a existeˆncia de um conjunto u´nico que
conte´m todos os objetos que sa˜o necessa´rios, em um dado
contexto.
Definic¸a˜o O conjunto universo, denotado por U , e´ o conjunto
que possui todos os objetos que sa˜o necessa´rios, em um dado
contexto.
Operac¸o˜es
sobre
conjuntos
Renata de
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Conjunto
universo
Conjunto
vazio
Relac¸o˜es e
operac¸o˜es
Intersec¸a˜o
Unia˜o
Complementac¸a˜o
Propriedades ba´sicas do conjunto
universo
Para todo conjunto A,
para todo objeto x ∈ U , temos que:
(1) x ∈ U .
(2) A ⊆ U .
Em um dado contexto, para qualquer objeto x , a proposic¸a˜o
x ∈ U e´ verdadeira.
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Relac¸o˜es e
operac¸o˜es
Intersec¸a˜o
Unia˜o
Complementac¸a˜o
Conjunto vazio
O me´todo de definic¸a˜o por propriedade afirma que, para
qualquer universo U e qualquer propriedade P(x), o conjunto
{x ∈ U : P(x)}
existe.
Assim, tomando o conjunto N dos nu´meros naturais como
universo, o “conjunto”
Z = {x ∈ N : x < 0}
existe.
Mas, como pode se observar, este “conjunto” na˜o possui
elementos.
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Intersec¸a˜o
Unia˜o
Complementac¸a˜o
Conjunto vazio
Para que o me´todo de definic¸a˜o por propriedade possa ser
aplicado indiscriminadamente, vamos assumir a existeˆncia de
um conjunto que na˜o possui elementos.
Definic¸a˜o O conjunto vazio, denotado por ∅, e´ o conjunto
que na˜o possui elementos.
Em s´ımbolos:
∅ = {x ∈ U : x 6= x}.
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Conjunto vazio
Um conjunto vazio pode ser definido por va´rias propriedades.
Dados os conjuntos
A = {x ∈ Z : x e´ par e ı´mpar}
e
B = {x ∈ N∗ : x e´ primo e 24 ≤ x ≤ 28},
temos que A e B sa˜o vazios.
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Unia˜o
Complementac¸a˜o
Conjunto vazio
Mas se A e B sa˜o vazios, enta˜o
A = B.
A justificativa deste fato e´ um pouco sutil, mas vamos a ela:
Sejam A e B conjuntos vazios.
– Na˜o ha´ elementos em A que na˜o esta˜o em B.
– Na˜o ha´ elementos em B que na˜o esta˜o em A.
– Assim, “todos os elementos de A sa˜o elementos de B” e
“todos os elementos de B sa˜o elementos de A”.
– Logo, A = B.
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Propriedades ba´sicas do conjunto
vazio
Para todo conjunto A,
para todo objeto x ∈ U , temos que:
(1) Existe um u´nico conjunto ∅.
(2) x 6∈ ∅.
(3) ∅ ⊆ A.
Observe que, em qualquer contexto, para qualquer objeto x , a
proposic¸a˜o x ∈ ∅ e´ falsa.
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Relac¸o˜es
Relac¸o˜es atuam sobre objetos, determinando se os objetos
esta˜o ou na˜o de uma certa maneira interligados.
• = e ⊆ sa˜o relac¸o˜es sobre conjuntos.
• serem amigos um do outro e se detestarem mutuamente
sa˜o relac¸o˜es sobre pessoas.
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Operac¸o˜es
Operac¸o˜es atuam sobre objetos, formando objetos a partir de
objetos dados.
As definic¸o˜es de conjuntos por listagem e por propriedades
podem ser vistas como operac¸o˜es.
Definic¸a˜o por listagem atua sobre objetos e forma um conjunto.
Definic¸a˜o por propriedade atua sobre um conjunto e uma
propriedade e forma um conjunto.
Vamos, agora, estudar as operac¸o˜es sobre conjuntos mais
importantes.
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Intersec¸a˜o
Definic¸a˜o Sejam A,B ⊆ U .
A intersec¸a˜o de A com B e´ o conjunto cujos elementos sa˜o os
objetos do universo U que pertencem a A e a B
simultaneamente.
Em s´ımbolos:
A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A e x ∈ B}.
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Intersec¸a˜o
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Complementac¸a˜o
Propriedades ba´sicas de ∩
Para todos A,B,C ⊆ U , temos que:
(1) Substitutividade
Se A = B, enta˜o A ∩ C = B ∩ C .
(2) Associatividade
A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C .
(3) Comutatividade
A ∩ B = B ∩ A.
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Propriedades ba´sicas de ∩
Para todos A,B,C ⊆ U , temos que:
(1) Substitutividade
Se A = B, enta˜o A ∩ C = B ∩ C .
(2) Associatividade
A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C .
(3) Comutatividade
A ∩ B = B ∩ A.
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Propriedades ba´sicas de ∩
Para todos A,B,C ⊆ U , temos que:
(1) Substitutividade
Se A = B, enta˜o A ∩ C = B ∩ C .
(2) Associatividade
A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C .
(3) Comutatividade
A ∩ B = B ∩ A.
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Complementac¸a˜oPropriedades ba´sicas de ∩
(4) Elemento neutro
A ∩ U = A.
(5) Elemento zero
A ∩ ∅ = ∅.
(6) Idempoteˆncia
A ∩ A = A.
(7) Se A ⊆ B, enta˜o A ∩ C ⊆ B ∩ C .
(8) A ∩ B ⊆ A.
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Complementac¸a˜o
Propriedades ba´sicas de ∩
(4) Elemento neutro
A ∩ U = A.
(5) Elemento zero
A ∩ ∅ = ∅.
(6) Idempoteˆncia
A ∩ A = A.
(7) Se A ⊆ B, enta˜o A ∩ C ⊆ B ∩ C .
(8) A ∩ B ⊆ A.
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Propriedades ba´sicas de ∩
(4) Elemento neutro
A ∩ U = A.
(5) Elemento zero
A ∩ ∅ = ∅.
(6) Idempoteˆncia
A ∩ A = A.
(7) Se A ⊆ B, enta˜o A ∩ C ⊆ B ∩ C .
(8) A ∩ B ⊆ A.
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Propriedades ba´sicas de ∩
(4) Elemento neutro
A ∩ U = A.
(5) Elemento zero
A ∩ ∅ = ∅.
(6) Idempoteˆncia
A ∩ A = A.
(7) Se A ⊆ B, enta˜o A ∩ C ⊆ B ∩ C .
(8) A ∩ B ⊆ A.
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Propriedades ba´sicas de ∩
(4) Elemento neutro
A ∩ U = A.
(5) Elemento zero
A ∩ ∅ = ∅.
(6) Idempoteˆncia
A ∩ A = A.
(7) Se A ⊆ B, enta˜o A ∩ C ⊆ B ∩ C .
(8) A ∩ B ⊆ A.
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Unia˜o
Definic¸a˜o Sejam A,B ⊆ U .
A unia˜o de A com B e´ o conjunto cujos elementos sa˜o os
objetos de U que pertencem a A, os que pertencem a B e os
que pertencem simultaneamente a A e a B.
Em s´ımbolos:
A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ou x ∈ B}.
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Propriedades ba´sicas de ∪
Para todos A,B,C ⊆ U , temos que:
(1) Substitutividade
Se A = B, enta˜o A ∪ C = B ∪ C .
(2) Associatividade
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C .
(3) Comutatividade
A ∪ B = B ∪ A.
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Propriedades ba´sicas de ∪
Para todos A,B,C ⊆ U , temos que:
(1) Substitutividade
Se A = B, enta˜o A ∪ C = B ∪ C .
(2) Associatividade
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C .
(3) Comutatividade
A ∪ B = B ∪ A.
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Propriedades ba´sicas de ∪
Para todos A,B,C ⊆ U , temos que:
(1) Substitutividade
Se A = B, enta˜o A ∪ C = B ∪ C .
(2) Associatividade
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C .
(3) Comutatividade
A ∪ B = B ∪ A.
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Propriedades ba´sicas de ∪
(4) Elemento neutro
A ∪ ∅ = A.
(5) Elemento zero
A ∪ U = U .
(6) Idempoteˆncia
A ∪ A = A.
(7) Se A ⊆ B, enta˜o A ∪ C ⊆ B ∪ C .
(8) A ⊆ A ∪ B.
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Propriedades ba´sicas de ∪
(4) Elemento neutro
A ∪ ∅ = A.
(5) Elemento zero
A ∪ U = U .
(6) Idempoteˆncia
A ∪ A = A.
(7) Se A ⊆ B, enta˜o A ∪ C ⊆ B ∪ C .
(8) A ⊆ A ∪ B.
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Propriedades ba´sicas de ∪
(4) Elemento neutro
A ∪ ∅ = A.
(5) Elemento zero
A ∪ U = U .
(6) Idempoteˆncia
A ∪ A = A.
(7) Se A ⊆ B, enta˜o A ∪ C ⊆ B ∪ C .
(8) A ⊆ A ∪ B.
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Propriedades ba´sicas de ∪
(4) Elemento neutro
A ∪ ∅ = A.
(5) Elemento zero
A ∪ U = U .
(6) Idempoteˆncia
A ∪ A = A.
(7) Se A ⊆ B, enta˜o A ∪ C ⊆ B ∪ C .
(8) A ⊆ A ∪ B.
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Propriedades ba´sicas de ∪
(4) Elemento neutro
A ∪ ∅ = A.
(5) Elemento zero
A ∪ U = U .
(6) Idempoteˆncia
A ∪ A = A.
(7) Se A ⊆ B, enta˜o A ∪ C ⊆ B ∪ C .
(8) A ⊆ A ∪ B.
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Intersec¸a˜o
Unia˜o
Complementac¸a˜o
Propriedades relacionando ∩ e ∪
(9) Distributividade
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
(10) Absorc¸a˜o
A ∩ (A ∪ B) = A.
A ∪ (A ∩ B) = A.
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Propriedades relacionando ∩ e ∪
(9) Distributividade
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
(10) Absorc¸a˜o
A ∩ (A ∪ B) = A.
A ∪ (A ∩ B) = A.
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Complementac¸a˜o
Definic¸a˜o Seja A ⊆ U .
O complemento de A e´ o conjunto cujos elementos sa˜o os
objetos de U que na˜o pertencem a A.
Em s´ımbolos:
A = {x ∈ U : x 6∈ A}.
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Complementac¸a˜o
Propriedades ba´sicas de −−
Para todos os conjuntos A, B e C , temos que:
(1) Substitutividade
Se A = B, enta˜o A = B.
(2) Involutividade
A = A.
(3) Leis de De Morgan
A ∩ B = A ∪ B.
A ∪ B = A ∩ B.
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Propriedades ba´sicas de −−
Para todos os conjuntos A, B e C , temos que:
(1) Substitutividade
Se A = B, enta˜o A = B.
(2) Involutividade
A = A.
(3) Leis de De Morgan
A ∩ B = A ∪ B.
A ∪ B = A ∩ B.
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Propriedades ba´sicas de −−
Para todos os conjuntos A, B e C , temos que:
(1) Substitutividade
Se A = B, enta˜o A = B.
(2) Involutividade
A = A.
(3) Leis de De Morgan
A ∩ B = A ∪ B.
A ∪ B = A ∩ B.
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Propriedades ba´sicas de −−
(4) Elemento sime´trico (da unia˜o)A ∪ A = U .
(5) Elemento inverso (da intersec¸a˜o)
A ∩ A = ∅.
(6) Se A ⊆ B, enta˜o B ⊆ A.
(7) U = ∅.
(8) ∅ = U .
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Propriedades ba´sicas de −−
(4) Elemento sime´trico (da unia˜o)
A ∪ A = U .
(5) Elemento inverso (da intersec¸a˜o)
A ∩ A = ∅.
(6) Se A ⊆ B, enta˜o B ⊆ A.
(7) U = ∅.
(8) ∅ = U .
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Propriedades ba´sicas de −−
(4) Elemento sime´trico (da unia˜o)
A ∪ A = U .
(5) Elemento inverso (da intersec¸a˜o)
A ∩ A = ∅.
(6) Se A ⊆ B, enta˜o B ⊆ A.
(7) U = ∅.
(8) ∅ = U .
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(4) Elemento sime´trico (da unia˜o)
A ∪ A = U .
(5) Elemento inverso (da intersec¸a˜o)
A ∩ A = ∅.
(6) Se A ⊆ B, enta˜o B ⊆ A.
(7) U = ∅.
(8) ∅ = U .
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Propriedades ba´sicas de −−
(4) Elemento sime´trico (da unia˜o)
A ∪ A = U .
(5) Elemento inverso (da intersec¸a˜o)
A ∩ A = ∅.
(6) Se A ⊆ B, enta˜o B ⊆ A.
(7) U = ∅.
(8) ∅ = U .
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Problema
Prove que, para todos A,B,C ⊆ U .
1. A ⊆ B se, e somente se, A ∩ B = A.
2. Se A ⊆ B e A ⊆ C , enta˜o A ⊆ B ∩ C .
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Exerc´ıcios
1. Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 3 do Menezes
(Paulo B. Menezes, Matema´tica Discreta para Computac¸a˜o e
Informa´tica, 2a. edic¸a˜o, Sagra Luzzatto / Instituto de Informa´tica da
UFRGS, Porto Alegre, 2006).
2. Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2, pp. 73-75, itens 1, 2, 7, 10-15,
16(a-e), 16(g,h), 17, 21, 22, 25, do Scheinerman
(E.R. Scheinerman, Matema´tica Discreta, Thomson, Sa˜o Paulo,
2006).
3. Exerc´ıcios da Lista 4.
	Conjunto universo
	Conjunto vazio
	Relações e operações
	Interseção
	União
	Complementação