Conjunto das Partes, Antinomia de Russell

Prévia do material em texto

Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Conjunto das Partes
Renata de Freitas e Petrucio Viana
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica, UFF
Outubro de 2013
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Suma´rio
• Conjunto das partes.
• Antinomia de Russell.
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Russell
• Lo´gico-Matema´tico
britaˆnico (Pa´ıs de Gales).
• Logicismo.
• Preˆmio Nobel da Literatura
(1950).
Bertrand Russell
(1872 – 1970)
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Conjunto das partes
Definic¸a˜o
Seja A um conjunto. O conjunto das partes de A e´ o conjunto
cujos elementos sa˜o os objetos do universo que sa˜o
subconjuntos de A.
Em s´ımbolos:
P(A) = {x ∈ U : x ⊆ A}.
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Problema 1
(1) Calcule o conjunto das partes dos seguintes conjuntos:
A = {1}
B = {1, 2}
C = {1, 2, 3}
D = {1, 2, 3, 4}
E = ∅
(2) Se F e´ um conjunto com n elementos,
quantos elementos tem P(F )?
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Problema 2
Considere A = {1, {1, 2}, ∅}.
(1) Quantos elementos tem A?
(2) Quantos elementos tem P(A)?
(3) Calcule P(A).
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Propriedades ba´sicas de P(A)
Para todos os conjuntos A,B,C :
(1) A ∈ P(A)
(2) ∅ ∈ P(A)
(3) P(A ∩ B) ???
(4) P(A ∪ B) ???
(5) P(A) ???
Desafio: encontrar propriedades verdadeiras para todos os
conjuntos A e B para os itens marcados com ???.
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Problema 3
Considere o universo U = {i , o}.
(1) Quantos elementos tem U?
(2) Quantos elementos tem P(U)?
(3) P(U) ⊆ U?
(4) Encontre um conjunto universo W tal que P(U) ⊆ W.
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Antinomia de Russell
Por que e´ preciso considerar um universo de discurso?
Princ´ıpio da Abstrac¸a˜o (Cantor, Frege)
Dada uma propriedade P, existe o conjunto A = {x : P(x)}.
Russell mostrou que o Princ´ıpio da Abstrac¸a˜o e´ falso.
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Antinomia de Russell
Definic¸a˜o
Seja A um conjunto. Dizemos que A e´ normal se A 6∈ A.
Dizemos que A e´ anormal se A na˜o e´ normal, isto e´, se A ∈ A.
Exemplos:
Sa˜o conjuntos normais:
(a) O conjunto dos nu´meros naturais.
(b) O conjunto dos alunos desta turma.
(c) O conjunto dos exerc´ıcios da Lista 7.
(d) O conjunto dos livros indicados para estudo nesta
disciplina.
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Antinomia de Russell
Sa˜o conjuntos anormais:
(a) O conjunto de todos os conjuntos.
(b) O conjunto de tudo o que voceˆ pode pensar.
(c) O conjunto de todos os conjuntos infinitos.
(d) O conjunto de todos os objetos abstratos.
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Antinomia de Russell
Considere o seguinte conjunto:
N = {x : x e´ um conjunto normal},
isto e´,
N = {x : x 6∈ x}.
Temos que N e´ normal ou anormal.
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Antinomia de Russell
Caso 1
Se N fosse normal, ter´ıamos que N 6∈ N, pela definic¸a˜o de
conjuntos nomais.
Da´ı, como N = {x : x 6∈ x}, ter´ıamos que N ∈ N, uma
contradic¸a˜o.
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Antinomia de Russell
Caso 2
Se N fosse anormal, ter´ıamos que N ∈ N, pela definic¸a˜o de
conjuntos nomais.
Da´ı, como N = {x : x 6∈ x}, ter´ıamos que N 6∈ N, uma
contradic¸a˜o.
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Antinomia de Russell
Em qualquer caso, temos uma contradic¸a˜o.
Logo, N na˜o e´ um conjunto, ou seja, a propriedade x 6∈ x na˜o
define um conjunto.
Portanto, o Princ´ıpio da Abstrac¸a˜o e´ falso.
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Princ´ıpio da Separac¸a˜o
Princ´ıpio da Separac¸a˜o
Dado um conjunto universo U e uma propriedade P, existe o
conjunto A = {x ∈ U : P(x)}.
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
O universo conjuntista
Conjunto das
Partes
Renata de
Freitas e
Petrucio
Viana
Conjunto das
partes
Antinomia de
Russell
Exerc´ıcios
1. Exerc´ıcios do Menezes
(Paulo B. Menezes, Matema´tica Discreta para Computac¸a˜o e
Informa´tica, 2a. edic¸a˜o, Sagra Luzzatto / Instituto de Informa´tica da
UFRGS, Porto Alegre, 2006).
2. Exerc´ıcios do Scheinerman
(E.R. Scheinerman, Matema´tica Discreta, Thomson, Sa˜o Paulo,
2006).
3. Exerc´ıcios da Lista 7.
	Conjunto das partes
	Antinomia de Russell